新教材高中数学第五章三角函数5.4.2正弦函数、余弦函数的性质(第2课时)正、余弦函数的单调性与最值应用案

新教材高中数学第五章三角函数5.4.2正弦函数、余弦函数的性
质（第2课时）正、余弦函数的单调性与最值应用案巩固提升新
人教A版必修第一册

[A 基础达标]
1．(2019·河南林州第一中学期末检测)函数y＝|sin x|的一个单调递增区间是( )

A．(π2，π) B．(π，2π)

C．(π，3π2) D．(0，π)
解析：选C.作出函数y＝|sin x|的图象，如图，观察图象可知C正确．

2．函数f(x)＝sin(π6＋x)＋cos(π3－x)的最大值为( )
A．1 B.32
C.3 D．2
解析：选D.由π6＋x与π3－x互余得f(x)＝2sin(x＋π6)．故f(x)的最大值为2，故选D.

3．函数y＝sin2x＋π3在区间[0，π]的一个单调递减区间是( )
A.0，5π12 B.π12，7π12
C.5π12，11π12 D.π6，π2
解析：选B.由2kπ＋π2≤2x＋π3≤2kπ＋3π2(k∈Z)得kπ＋π12≤x≤kπ＋7π12(k∈Z)，
取k＝0，则一个单调递减区间为π12，7π12.
4．下列函数中，既为偶函数又在(0，π)上单调递增的是 ( )
A．y＝cos|x| B．y＝|cos x|

C．y＝sinx－π2 D．y＝－sinx2
解析：选C.y＝cos|x|在0，π2上是减函数，排除A；y＝|cos x|在0，π2上是减函数，
排除B；y＝sinx－π2＝－sinπ2－x＝－cos x是偶函数，且在(0，π)上单调递增，符合
题意；y＝－sinx2在(0，π)上是单调递减的．
5．下列不等式中成立的是( )
A．sin－π8>sin－π10 B．sin 3>sin 2

C．sin75π>sin－25π D．sin 2>cos 1
解析：选D.因为sin 2＝cosπ2－2＝cos2－π2，
且0<2－π2<1<π，所以cos2－π2>cos 1，
即sin 2>cos 1.故选D.
6．函数y＝3cos(12x－π4)在x＝________时，y取最大值．

解析：当函数取最大值时，12x－π4＝2kπ(k∈Z)，x＝4kπ＋π2(k∈Z)．
答案：4kπ＋π2(k∈Z)
7．函数y＝cos2x＋π4的单调递减区间是________．
解析：令2kπ≤2x＋π4≤2kπ＋π，k∈Z，
解得kπ－π8≤x≤kπ＋3π8，k∈Z，
所以所求函数的单调递减区间为




kπ－π8，k
π＋

3π

8
，k∈Z.

答案：kπ－π8，kπ＋3π8，k∈Z
8．函数值sin 35π，sin 45π，sin 910π从大到小的顺序为________(用“＞”连接)．
解析：因为π2＜3π5＜4π5＜9π10＜π，
又函数y＝sin x在π2，π上单调递减，
所以sin 3π5＞sin 4π5＞sin 9π10.
答案：sin 3π5＞sin 4π5＞sin 9π10
9．已知函数y＝sinπ3－2x.
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数在[－π，0]上的单调递减区间．

解： y＝sinπ3－2x，可化为y＝－sin2x－π3.

(1)最小正周期T＝2πω＝2π2＝π.
(2)令2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，k∈Z，
得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12，k∈Z，
所以x∈R时，y＝sinπ3－2x的单调递减区间为kπ－π12，kπ＋5π12，k∈Z.
从而x∈[－π，0]时，y＝sinπ3－2x的单调递减区间为
－π，－7π12，


－π12，0
.

10．求下列函数的最大值和最小值．
(1)f(x)＝sin2x－π6，x∈0，π2；

(2)y＝－2cos2x＋2sin x＋3，x∈π6，5π6.
解：(1)当x∈0，π2时，
2x－π6∈－π6，5π6，
所以f(x)＝sin2x－π6∈sin－π6， sin π2，
即sin2x－π6∈－12，1.
所以，f(x)在0，π2上的最大值和最小值分别为1，－12.
(2)y＝－2(1－sin2x)＋2sin x＋3
＝2sin2x＋2sin x＋1
＝2sin x＋122＋12.
因为x∈π6，5π6，
所以12≤sin x≤1.
当sin x＝1时，ymax＝5；
当sin x＝12时，ymin＝52.
[B 能力提升]
11．函数y＝cos x在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是________．
解析：因为y＝cos x在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，所以只有当－π
答案：(－π，0]

12．函数y＝log2sinx＋π3的单调递增区间是________．

解析：由题意，得sinx＋π3>0，所以2kπ2π
3

＋2kπ，k∈Z.

令－π2＋2kπ≤x＋π3≤π2＋2kπ，k∈Z可得y＝sinx＋π3的单调递增区间为




－56π＋2kπ，π6＋2kπ
，k∈Z，

所以函数y＝log2sinx＋π3的单调递增区间为－π3＋2kπ，π6＋2kπ，k∈Z.
答案：－π3＋2kπ，π6＋2kπ，k∈Z
13．已知函数f(x)＝sin2x－π6.
(1)求函数f(x)图象的对称轴方程；
(2)解不等式：fx＋π12≥32.
解：(1)由2x－π6＝kπ＋π2(k∈Z)，
得x＝kπ2＋π3(k∈Z)．
所以函数图象的对称轴方程为
x＝kπ2＋π3(k
∈Z)．

(2)由fx＋π12＝sin 2x≥32，
得2kπ＋π3≤2x≤2kπ＋2π3，k∈Z，
解得kπ＋π6≤x≤kπ＋π3，k∈Z，
故不等式的解集是
{|
x





kπ＋π6≤x≤kπ＋π3，k
∈Z
.

14．已知函数y＝a－bcos2x＋π6(b>0)的最大值为32，最小值为－12.
(1)求a，b的值；
(2)求函数g(x)＝－4asinbx－π3的最小值并求出对应x的集合．

解：(1)cos2x＋π6∈[－1，1]，
因为b>0，

所以－b<0，ymax＝b＋a＝32，ymin＝－b＋a＝－12，
所以a＝12，b＝1.
(2)由(1)知：g(x)＝－2sinx－π3，
因为sinx－π3∈[－1，1]，
所以g(x)∈[－2，2]，
所以g(x)的最小值为－2，对应x的集合为




x




x＝2kπ＋56π，k
∈Z
.

[C 拓展探究]
15．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)为R上的偶函数，其图象关于点

M(34π，0)对称，且在区间[0，π2]上是单调函数，求φ和ω
的值．

解：由f(x)是偶函数，得sin φ＝±1，
所以φ＝kπ＋π2，k∈Z.
因为0≤φ≤π，所以φ＝π2.
由f(x)的图象关于点M(3π4，0)对称，
得f(3π4)＝0.
因为f(3π4)＝sin(3ωπ4＋π2)
＝cos3ωπ4，所以cos3ωπ4＝0.
又因为ω>0，所以3ωπ4＝π2＋kπ，k∈N，
即ω＝23＋43k，k∈N.
当k＝0时，ω＝23，此时f(x)＝
sin(23x＋π2)在[0，π2]上是减函数；
当k＝1时，ω＝2，此时f(x)＝
sin(2x＋π2)在[0，π2]上是减函数；

当k≥2时，ω≥103，此时f(x)＝
sin(ωx＋π2)在[0，π2]上不是单调函数．
综上，ω＝23或ω＝2.