19-20版 第1章 1.4 1.4.2 第2课时 正弦、余弦函数的单调性与最值

第2课时 正弦、余弦函数的单调性与最值点)正弦、余弦函数的图象与性质思考：y ＝sin x 和y ＝cos x 在区间(m ，n )(其中0＜m ＜n ＜2π)上都是减函数，你能确定m 、n 的值吗？[提示] 由正弦函数和余弦函数的单调性可知m ＝π2，n ＝π.1．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3的值域是( )A ．[－2，2]B ．[0，2]C ．[－2，0]D ．[－1，1]A [这里A ＝2，故值域为[－2，2]．]2．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π2的一个对称中心是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，0B [y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π2＝cos 2x ，令2x ＝k π＋π2(k ∈Z )得x ＝k π2＋π4(k ∈Z )，令k＝0的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，故选B.]3．函数y ＝2－sin x 取得最大值时x 的取值集合为________．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2k π－π2，k ∈Z[当sin x ＝－1时，y max ＝2－(－1)＝3，此时x ＝2k π－π2，k ∈Z .]4．函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的单调减区间为________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ) [令2k π≤2x －π4≤2k π＋π，k ∈Z ，得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )，故单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )．]【例1】 (1)函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________．(2)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2x ＋1，求函数f (x )的单调递增区间．思路点拨：(1)确定a 的范围→y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数→y ＝cos x 在区间[－π，0]上是增函数，在区间[0，π]上是减函数→a 的范围．(2)确定增区间→令u ＝π4＋2x →y ＝2sin u ＋1的单调递增区间．(1)(－π，0] [因为y ＝cos x 在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，所以只有－π＜a ≤0时满足条件，故a ∈(－π，0]．](2)[解] 令u ＝π4＋2x ，函数y ＝2sin u ＋1的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，由－π2＋2k π≤π4＋2x ≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π，k ∈Z .所以函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2x ＋1的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π，k ∈Z .1．本例(2)中条件不变，问⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4是该函数的单调递增区间吗？ [解] 令2x ＋π4＝u ，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，∴π4≤2x ＋π4≤3π4，即u ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4.而y ＝sin u 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4上不单调，故y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2x ＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上不是单调递增的．2．本例(2)中条件不变，求在[－π，π]上的单调递增区间． [解] 对于y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2x ＋1，由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )得 k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )． ∵－π≤x ≤π，令k ＝－1时，－π≤x ≤－78π，令k ＝0时，－3π8≤x ≤π8， 令k ＝1时，5π8≤x ≤π，∴函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2x ＋1在[－π，π]上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－78π、⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8，π8和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π8，π. 3．本例(2)中把条件中的“π4＋2x ”改为“π4－2x ”，结果怎样？ [解] y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＋1＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1，令2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )， 得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )．故函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＋1的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋3π8，k π＋7π8(k ∈Z )．1．求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 或形如y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b (其中A ≠0，ω>0，b 为常数)的函数的单调区间，可以借助于正弦函数、余弦函数的单调区间，通过解不等式求得．2．具体求解时注意两点：①要把ωx ＋φ看作一个整体，若ω<0，先用诱导公式将式子变形，将x 的系数化为正；②在A >0，ω>0时，将“ωx ＋φ”代入正弦(或余弦)函数的单调区间，可以解得与之单调性一致的单调区间；当A <0，ω>0时，同样方法可以求得与正弦(余弦)函数单调性相反的单调区间．提醒：复合函数的单调性遵循“同增异减”的规律．1．(1)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3的单调递减区间为________． (2)已知函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ，则它的单调递减区间为________．(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－2π9，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π9，π3 (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) [(1)由π2＋2k π≤3x ＋π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )， 得π9＋2k π3≤x ≤4π9＋2k π3(k ∈Z )． 又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3，所以函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－2π9，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π9，π3. (2)y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，由2k π≤2x －π3≤2k π＋π，k ∈Z ，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z ，∴单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )．](1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10；(2)sin 196°与cos 156°； (3)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π与cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π.思路点拨：用诱导公式化简→利用函数的单调性，由自变量的大小推出对应函数值的大小 [解] (1)∵－π2＜－π10＜－π18＜π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10.(2)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°，cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°， ∵0°＜16°＜66°＜90°， ∴sin 16°＜sin 66°， 从而－sin 16°＞－sin 66°， 即sin 196°＞cos 156°. (3)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π＝cos 235π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋35π＝cos 35π，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π＝cos 174π ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫4π＋π4＝cos π4. ∵0＜π4＜35π＜π，且y ＝cos x 在[0，π]上是减函数， ∴cos 35π＜cos π4，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π＜cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π.三角函数值大小比较的策略(1)利用诱导公式，对于正弦函数来说，一般将两个角转化到⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2或⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2内；对于余弦函数来说，一般将两个角转化到[－π，0]或[0，π]内． (2)不同名的函数化为同名的函数．(3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间内，借助正弦、余弦函数的单调性来比较大小．2．(1)已知α，β为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是( ) A ．sin α＜sin β B ．cos α＜sin β C ．cos α＜cos βD ．cos α ＞cos β(2)比较下列各组数的大小： ①cos 15π8，cos 14π9；②cos 1，sin 1.(1)B [α，β为锐角三角形的两个内角，α＋β＞π2，α＞π2－β，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，π2－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， 所以cos α＜cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝sin β.](2)[解] ①cos 15π8＝cos π8，cos 14π9＝cos 4π9，因为0＜π8＜4π9＜π，而y ＝cos x 在[0，π]上单调递减，所以cos π8＞cos 4π9，即cos 15π8＞cos 14π9.②因为cos 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，而0＜π2－1＜1＜π2且y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1＜sin 1，即cos 1＜sin 1.1．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4在x ∈[0，π]上的最小值是多少？提示：因为x ∈[0，π]，所以x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，由正弦函数图象可知函数的最小值为－22.2．函数y ＝A sin x ＋b ，x ∈R 的最大值一定是A ＋b 吗？提示：不是．因为A >0时，最大值为A ＋b ，若A <0时，最大值应为－A ＋b .【例3】 (1)函数y ＝cos 2x ＋2sin x －2，x ∈R 的值域为________． (2)已知函数f (x )＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋b (a ＞0)．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最大值为3，最小值是－2，求a 和b 的值．思路点拨：(1)先用平方关系转化，即cos 2x ＝1－sin 2x ，再将sin x 看作整体，转化为二次函数的值域问题．(2)先由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2求2x －π3的取值范围，再求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的取值范围，最后求f (x )min ，f (x )max ，列方程组求解．(1)[－4，0] [y ＝cos 2x ＋2sin x －2 ＝－sin 2x ＋2sin x －1＝－(sin x －1)2.因为－1≤sin x ≤1，所以－4≤y ≤0，所以函数y ＝cos 2x ＋2sin x －2，x ∈R 的值域为[－4，0]．] (2)[解] ∵0≤x ≤π2， ∴－π3≤2x －π3≤2π3， ∴－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，∴f (x )max ＝a ＋b ＝3， f (x )min ＝－32a ＋b ＝－2.由⎩⎨⎧a ＋b ＝3，－32a ＋b ＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2＋ 3.1．求本例(1)中函数取得最小值时x 的取值集合．[解] 因为y ＝cos 2x ＋2sin x －2＝－sin 2x ＋2sin x －1＝－(sin x －1)2， 所以当sin x ＝－1时，y min ＝－4， 此时x的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝2k π－π2，k ∈Z . 2．本例(2)中，函数变成f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋3，求其最大值和最小值，并求取得最大值及最小值时的集合．[解] (1)因为－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，所以当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1时，y max ＝5；这时2x ＋π3＝2k π(k ∈Z )，即x ＝k π－π6(k ∈Z )． 当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－1时，y min ＝1.这时2x ＋π3＝2k π＋π(k ∈Z )，即x ＝k π＋π3(k ∈Z )．综上，f (x )max ＝5，这时x 取值集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k π－π6（k ∈Z ）；f (x )min ＝1，这时x取值集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k π＋π3（k ∈Z ）. 3．本例(2)中，函数变成f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋3，且加上条件x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12时，求最大值、最小值．[解] 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12，所以0≤2x ＋π3≤π2， 所以0≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，所以当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1时，y max ＝5；当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝0，y min ＝3.所以函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12的最大值为5，最小值为3.三角函数最值问题的常见类型及求解方法：(1)y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (a ≠0)，利用换元思想设t ＝sin x ，转化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 求最值，t 的范围需要根据定义域来确定．(2)y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，可先由定义域求得ωx ＋φ的范围，然后求得sin(ωx ＋φ)的范围，最后得最值．1．求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)单调区间的方法：把ωx ＋φ看成一个整体，由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2(k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为增区间，由2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋3π2(k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为减区间．若ω＜0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．2．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断．3．三角函数最值问题的求解方法有：(1)形如y ＝a sin x (或y ＝a cos x )型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对a 正负的讨论．(2)形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b )型，可先由定义域求得ωx ＋φ的范围，然后求得sin(ωx ＋φ)(或cos(ωx ＋φ))的范围，最后求得最值．(3)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (a ≠0)型，可利用换元思想，设t ＝sin x ，转化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 求最值．t 的范围需要根据定义域来确定.1．下列命题正确的是( )A ．正弦函数、余弦函数在定义域内都是单调函数B ．存在x ∈R 满足sin x ＝ 2C ．在区间[0，2π]上，函数y ＝cos x 仅当x ＝0时取得最大值1D ．正弦函数y ＝sin x 有无穷多条对称轴和无数个对称中心D [A 错，y ＝sin x ，y ＝cos x 在定义域没有单调增区间也没有减区间；B 错，sin x ≤1；C 错，y ＝cos x (x ∈[0，2π])当x ＝0或2π时，函数取得最大值；D 对，根据正弦曲线可以知道正弦曲线有无数条对称轴，写成x ＝k π＋π2(k ∈Z )，也有无穷多个对称中心(k π，0)(k ∈Z )．]2．函数y ＝sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4≤x ≤5π6的值域为________． ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 [因为π4≤x ≤5π6，所以12≤sin x ≤1，即所求的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.] 3．sin 2π7________sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π8(填“＞”或“＜”)．＞ [sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π8＝sin π8， 因为0＜π8＜2π7＜π2，y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数，所以sin π8＜sin 2π7， 即sin 2π7＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π8.] 4．求函数y ＝1－sin 2x 的单调递增区间．[解] 求函数y ＝1－sin 2x 的单调递增区间，转化为求函数y ＝sin 2x 的单调递减区间，由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z ，即函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z )．。