高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数余弦函数的性质一学案含解析新人教A
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1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质第一课时正弦函数、余弦函数的性质(一)[提出问题]问题1：终边相同的角的三角函数值有什么关系？提示：相等．即sin(2kπ＋x)＝sin x，cos(2kπ＋x)＝cos x(k∈Z)．问题2：正弦曲线具有什么特点？提示：“周而复始”，每隔2π就重复一次．问题3：余弦曲线是否也具有上述特点？提示：是．[导入新知]1．函数的周期性(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期．2．正弦、余弦函数的周期性正弦函数y＝sin x(x∈R)和余弦函数y＝cos x(x∈R)都是周期函数，2kπ(k∈Z，且k≠0)都是它们的周期．最小正周期为2π.[化解疑难]细解周期函数(1)一定要强调是对定义域内的每一个值都有f(x＋T)＝f(x)成立，即x的任意性，否则不能说y＝f(x)是周期函数．(2)并非所有周期函数都有最小正周期．例如，对于常数函数f(x)＝c(c为常数，x∈R)，所有非零实数T都是它的周期，最小正数不存在，所以常数函数没有最小正周期．(3)在周期函数y＝f(x)中，若x∈D，则x＋nT∈D(n∈Z)，从而要求周期函数的定义域一定为无限集，且无上下界.[提出问题]问题1：正弦曲线、余弦曲线各有怎样的对称性？提示：正弦曲线关于原点对称，余弦曲线关于y轴对称．问题2：诱导公式sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x 体现了函数的什么性质？ 提示：奇偶性． [导入新知]正弦、余弦函数的奇偶性正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数． [化解疑难]函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ω≠0)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ω≠0)奇偶性的判断方法 由于函数y ＝A sin ωx (A ω≠0)是奇函数，y ＝A cos ωx (A ω≠0)是偶函数，因此判断函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ω≠0)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ω≠0)是否具备奇偶性，关键是看它们能否通过诱导公式转化为y ＝A sin ωx (A ω≠0)或y ＝A cos ωx (A ω≠0)．[例1] (1)y ＝3sin x ，x ∈R ； (2)y ＝cos 2x ，x ∈R ； (3)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π4，x ∈R ；(4)y ＝|cos x |，x ∈R.[解] (1)因为3sin(x ＋2π)＝3sin x ，由周期函数的定义知，y ＝3sin x 的周期为2π. (2)因为cos2(x ＋π)＝cos(2x ＋2π)＝cos 2x ，由周期函数的定义知，y ＝cos 2x 的周期为π.(3)因为sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13x ＋6π －π4＝sin 13x ＋2π－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π4，由周期函数的定义知，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π4的周期为6π.(4)y ＝|cos x |的图象如图(实线部分)所示，由图象可知，y ＝|cos x |的周期为π. [类题通法]求函数最小正周期的常用方法求三角函数的周期，一般有两种方法：①公式法，即将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b 的形式，再利用T ＝2π|ω|求得；②图象法，利用变换的方法或作出函数的图象，通过观察得到最小正周期．[活学活用]求下列函数的最小正周期： (1)y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 2＋3；(2)y ＝cos|x |.答案：(1)4 (2)2π[例2] (1)函数A ．奇函数 B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数(2)判断函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫34x ＋3π2的奇偶性．[解析] (1)(1)A(2)∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫34x ＋3π2＝－cos 34x ，∴f (－x )＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34x ＝－cos 34x ，∴函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫34x ＋3π2为偶函数．[类题通法]与三角函数奇偶性有关的结论(1)要使y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ω≠0)为奇函数，则φ＝k π(k ∈Z)； (2)要使y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ω≠0)为偶函数，则φ＝k π＋π2(k ∈Z)；(3)要使y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ω≠0)为奇函数，则φ＝k π＋π2(k ∈Z)；(4)要使y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ω≠0)为偶函数，则φ＝k π(k ∈Z)． [活学活用]1．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＋π2的奇偶性是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数也是偶函数答案：A2．若函数y ＝sin(x ＋φ)(0≤φ≤π)是R 上的偶函数，则φ等于( ) A ．0 B.π4 C.π2 D ．π答案：C[例3] π，且当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，0时，f (x )＝sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－53π的值为( )A ．－12 B.12C ．－32 D.32[答案] D [类题通法]解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法利用函数的周期性，可以把x ＋nT (n ∈Z)的函数值转化为x 的函数值．利用奇偶性，可以找到－x 与x 的函数值的关系，从而可解决求值问题．[活学活用]已知f (x )是以π为周期的偶函数且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝1－sin x ，求x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π2，3π时，f (x )的解析式．答案：f (x )＝1－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π2，3π4.三角函数周期性的应用误区[典例] 函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋π6的最小正周期是π，则a ＝______. [解析] ∵2π|a |＝π，∴|a |＝2，∴a ＝±2.[答案] ±21．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，若忽视这一点，则易得出a ＝2的错误答案．2．对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A ≠0，ω≠0)，T ＝2π|ω|. [成功破障]函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－ωx 的最小正周期为4π，则ω＝______. 答案：±12[随堂即时演练]1．函数y ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－x 的奇偶性为( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数答案：A2．函数f (x )＝7sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋15π2是( )A ．周期为3π的偶函数B ．周期为2π的奇函数C ．周期为3π的奇函数D ．周期为4π3的偶函数答案：A3．f (x )＝sin x cos x 是________(填“奇”或“偶”)函数． 答案：奇4．函数y ＝cos 1－x π2的最小正周期是________．答案：45．求y ＝|sin x |＋|cos x |的最小正周期，并判断其奇偶性． 答案：最小正周期为π2；偶函数[课时达标检测]1．(陕西高考)函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期是( ) A.π2B ．πC ．2πD ．4π答案：B2．函数y ＝4sin(2x ＋π)的图象关于( ) A ．x 轴对称 B ．原点对称 C ．y 轴对称 D ．直线x ＝π2对称答案：B3．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx －π2－1，则下列命题正确的是( ) A ．f (x )是周期为1的奇函数 B ．f (x )是周期为2的偶函数 C ．f (x )是周期为1的非奇非偶函数 D ．f (x )是周期为2的非奇非偶函数 答案：B4．已知a ∈R ，函数f (x )＝sin x －|a |，x ∈R 为奇函数，则a 等于( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1 答案：A5．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 4x ＋π3(k >0)的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值应是( )A ．10B ．11C ．12D ．13答案：D 二、填空题6．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的周期为π4，则ω＝________.答案：87．函数f (x )＝1＋sin x －cos 2x1＋sin x 的奇偶性为________．答案：非奇非偶函数8．若函数f (x )的定义域为R ，最小正周期为3π2，且满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，－π2≤x ＜0，sin x ，0≤x ＜π，则f ⎝⎛⎭⎪⎫－15π4＝________. 答案：22三、解答题9．已知函数y ＝12sin x ＋12|sin x |.(1)画出函数的简图．(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期． 解：(1)y ＝12sin x ＋12|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ∈[2k π，2k π＋π] k ∈Z ，0，x ∈[2k π－π，2k π] k ∈Z ，图象如图所示：(2)由图象知该函数是周期函数，且周期是2π.10．设有函数f (x )＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx －π3和函数g (x )＝b cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2kx －π6(a >0，b >0，k >0)，若它们的最小正周期之和为3π2，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－3g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－1，求这两个函数的解析式．解：∵f (x )和g (x )的最小正周期和为3π2，∴2πk ＋2π2k ＝3π2，解得k ＝2. ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2， ∴a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π2－π3＝b cos ⎝⎛⎭⎪⎫4×π2－π6，即a ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3＝b ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π6.∴32a ＝32b ，即a ＝b .①又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－3g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－1， 则有a ·sin π6＝－3b ·cos 5π6－1，即12a ＝32b －1.② 由①②解得a ＝b ＝1，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π6.11．已知函数y ＝5cos ⎝⎛⎭⎪⎫2k ＋13πx －π6(其中k ∈N)，对任意实数a ，在区间[a ，a ＋3]上要使函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次，求k 的值．解：由5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋13πx －π6＝54，得cos ⎝⎛⎭⎪⎫2k ＋13πx －π6＝14. ∵函数y ＝cos x 在每个周期内出现函数值14有两次，而区间[a ，a ＋3]长度为3，为了使长度为3的区间内出现函数值14不少于4次且不多于8次，必须使3不小于2个周期长度且不大于4个周期长度．即2×2π2k ＋13π≤3，且4×2π2k ＋13π≥3.∴32≤k ≤72.又k ∈N ，故k ＝2,3.。
