制作人：汪龙忠
2019年中考专题复习 -二次函数与几何综合
一、直线与二次函数 1、（平行线与二次函数）（2011铜仁25）如图，在平面直角坐标系xOy 中,一抛物线的顶点坐标是（0,1），且过点（-2,2），平行四边形OABC 的顶点A 、B 在此抛物线上，AB 与y 轴相交于点M.已知点C 的坐标是（-4,0），点Q （x,y ）是抛物线上任意一点. （1）求此抛物线的解析式及点M 的坐标； （2）在x 轴上有一点P(t,0），若PQ ∥CM ，试用x 的代数式表示t ； （3）在抛物线上是否存在点Q,使得ΔBAQ 的面积是ΔBMC 的面积的2倍？
若存在，求此时点Q 的坐标.
二、扇形与二次函数 2、（阴影面积与二次函数）（2008铜仁25）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A （﹣1，0），B （4，0），C （0，﹣4），⊙M 是△ABC 的外接圆，M 为圆心．
（1）求抛物线的解析式； （2）求阴影部分的面积；
（3）在x 轴的正半轴上有一点P ，作PQ ⊥x 轴交BC 于Q ，
设PQ=k ，△CPQ 的面积为S ，求S 关于k 的函数关系式，并求出S 的最大值．
三、三角形与二次函数 3、（折叠与二次函数）（2010铜仁25）如图所示，矩形OABC 位于平面直角坐标系中，AB ＝2，OA ＝
3，点P 是OA 上的任意一点，PB 平分∠APD ，PE 平分∠OPF ，且PD 、PF 重合． (1)设OP ＝x ，OE ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并求x 为何值时，y 的最大值； (2)当PD ⊥OA 时，求经过E 、P 、B 三点的抛物线的解析式；
(3)在（2）条件下，抛物线上是否存在一点M ，使得△MPE 是直角三角形，若存在，请求出点M
的坐标；若不存在，请说明理由。
4、（相似三角形与二次函数）（2012铜仁25）如图已知：直线3+-=x y 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A 、B 、C （1，0）三点. （1）求抛物线的解析式;
（2）若点D 的坐标为（-1，0），在直线3+-=x y 上有一点P, 使ΔABO 与ΔADP 相似，求出点P 的坐标；
（3）在（2）的条件下，在x 轴下方的抛物线上，是否存在点E ， 使ΔADE 的面积等于四边形APCE 的面积？如果存在，请求出点 E 的坐标；如果不存在，请说明理由．
5、（等腰三角形与二次函数）（2013铜仁25）如图，已知直线y=3x-3分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，
抛物线y=x 2
+bx+c 经过 A 、B 两点，点C 是抛物线与x 轴的另一个交点(与A 点不重合)． (1)求抛物线的解析式： (2)求△ABC 的面积；
(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点M ，使△ABM 为等腰三角形? 若不存在，请说明理由：若存在，求出点M 的坐标.
制作人：汪龙忠
三、平行四边形与二次函数
6．（2018?铜仁）如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关于x
轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P做
x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线于点M．
（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；
（2）已知点F（0，），当点P在x轴上运动时，试求m为何值时，四
边形DMQF是平行四边形？
（3）点P在线段AB运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶
点的三角形与△BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明
理由．
四、动点与二次函数
7、（2015?铜仁）如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交
于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标）；
（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点
M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停
止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．
五、周长与二次函数
8、（2016?铜仁）如图，抛物线y=ax2+bx-1(a≠0)经过A(-1，0),B(2，0)两点，与y轴交于点C。
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)点P在抛物线的对称轴上，当△ACP的周长最小时，求出点P的坐标；
(3) 点N在抛物线上，点M在抛物线的对称轴上，是否存在以点N为直角顶点的Rt△DNM与Rt△BOC
相似，若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由。
六、尺规作图与二次函数
9．（2017?铜仁）如图，抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（0，﹣2），并与x轴交于点C，点M
是抛物线对称轴l上任意一点（点M，B，C三点不在同一直线上）．
（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；
（2）在抛物线上找出两点P1，P2，使得△MP1P2与△MCB全等，并求出点P1，P2的坐标；
（3）在对称轴上是否存在点Q，使得∠BQC为直角，若存在，作出点
Q（用尺规作图，保留作图痕迹），并求出点Q的坐标．