散射理论

3. 刚势球散射：势垒
U 0 → ∞; k 02 =
2 µU 0
→ ∞ ，则
2
thk 0 a =
e k0 a − e − k0 a e k0 a + e − k0 a
' Hm ' m
2
ˆ ' ' = − Dε H mm 2π
2π
∫e
i m − m' φ
(
)
cos φ dφ
=−
Dε ⎡ δ ' +δ ' ⎤ 2 ⎣ m ,m +1 m , m −1 ⎦
∴E
( 2)
⎤ D 2ε 2 I 1 2 2 2I ⎡ 1 1 1 = Dε 2⎢ 2 + 2 = 2 2⎥ 2 4 4m 2 − 1 ⎢ m − ( m − 1) m − ( m + 1) ⎦ ⎥ ⎣ k i ⎛ ∂ψ 1∗ ∂ψ 1 ⎞ 2 =V = N ， （ ψ 1 = 1 入射粒子体密度为 1） −ψ 1∗ ⎜ψ 1 ⎟= ∂z ∂z ⎠ µ 2µ ⎝
解得：ψ nlm ( r , θ , ϕ ) = Rnl ( r ) Ylm (θ , ϕ )
2 ∇ 2ψ ( r , θ ) + ⎡ ⎣k − V ( r )⎤ ⎦ψ ( r , θ ) = 0 ，
n固定 ψ ( r ,θ ) ⎯⎯⎯⎯⎯ → R r P cos θ ) ， 所以，每一项（ l 的一个值）称为ψ ( r , θ ) 的 一个分波。 m=0（与ϕ 无关） ∑ l ( ) l ( l
所以，总截面： Q =
又k =
'2
2µ ( E − U 0 ) E
2
≈
2µ U 0
2
= k02 ， ∴ k ' = k0 ，∴ Q = ∴ Q = 4π a 2 (
⎡ tgk a ⎤ 4π sin 2 ⎢ ka ( 0 − 1) ⎥ 2 k k0 a ⎣ ⎦
∵ k → 0时，δ 0很小， ∴ sin δ 0 ≈ δ 0
, k
'2
=
2 µ (U 0 − E )
2
.
' ' ⎧ ⎪U ( r ) = A sin k r，r ≤ a ⎞ ⎛k ⎛ thka ⎞ ∴ kctg (ka + δ 0 ) = k ' ctgk ' a ， δ 0 = tg −1 ⎜ ' thk ' a ⎟ − ka ，∴ Q = 4πa 2 ⎜ − 1⎟ ⎨ ka k δ U r A sin( kr ) r a = + ， > ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ ( ) ⎪ 0 ⎩
( 2l + 1) i e
l
i − lπ 2
Pl ( cos θ ) = ∑ Al e
l
∞
⎛ lπ ⎞ − i ⎜ −δ l ⎟ ⎝ 2 ⎠
Pl ( cos θ )
③
∴ Al = ( 2l + 1) i l eiδ l
④代入③中，又
④
i l = e 2 ， ∴ f (θ ) =
2
i
lπ
1 ∑ k
( 2l + 1) eiδ
2. 球方势垒
tgk0 a − 1) 2 k0 a
⎧U , r ≤ a(U 0 > 0) U (r ) = ⎨ 0 r>a ⎩ 0,
低能散射， k → 0, l = 0 .
U 0 > E ，令 R(r ) =
U (r ) 代入薛方： r
,k2 = 2 µE
2
⎧ d 2U ( r ) − k 'U ( r ) = 0，r ≤ a ⎪ 2 ⎪ dr ⎨ 2 ⎪ d U ( r ) + k 2U r = 0，r > a ( ) ⎪ ⎩ dr 2
− iEt
∴ an由ψ ( 0 ) 确定， ∴ψ ( t ) = ∑ anφn e
若ψ ( 0 ) = φk , 则a n = δ nk ，
ψ ( t ) = φk e
− iEk t
（定态波函数）
平面转子：转动惯量 I，电偶极矩 D，沿 x 方向上加一均匀电场 ε ，则转子与电场的作用能为：
2 ˆ 2 d2 ˆ ' = − D iε = − Dε cos θ 。 无外场作用时， H ˆ ( 0) = Lφ = − H 2I 2 I dφ 2
Ql =
3. 光学定理：
4π 2l + 1) sin 2 δ l 2 ( k
（散射后相移发生变化 δ l ）第 l 个分波的散射截面
∵ Pl (1) = 1 ， 当 θ = 0时，f (θ ) =
1 ∞ ∑ k l
( 2l + 1) eiδ
l
sin δ l =
1 ∑ k l
( 2l + 1) (cos δ l sin δ l + i sin 2 δ l )
1 1 ⎞ ⎛ sin ⎜ kr − lπ ⎟ 2 ⎠ kr ⎝
∴ψ ( r , θ ) =
∑
l =0
1 1 ⎞ eikr kr l P cos f − π i θ + θ ( 2l + 1) il sin ⎛ ( ) ( ) ⎜ ⎟ l kr 2 ⎠ r ⎝
②
∞ 1 iωt − iωt 由①=②， sin α = ( e − e ) 得： 2kif (θ ) + ∑ 2i l
∴ Im f ( 0 ) = ∴Q =
1 ∑ k l
( 2l + 1) sin 2 δ l
--------光学定理 一般取 0 或 0 ∼ ka, k小 → z小
4π Im f ( 0 ) k
适用范围：①中心力场；②低能级（ l 较小） （ lmax v
ka ）
a
l ： 0 ∼ ka
b≤ a
2
ˆ2 → l ( l + 1) L
ˆ → l = µ vb ≤ ka L
∴ l ≤ ka
作用力程； 适用范围：低能散射
§6.3 方形（球形）势阱和势垒的散射
1. 球方势阱：
⎧U , r ≤ a U (r ) = ⎨ 0 ⎩ 0, r > a
,
低能散射，k 很小， kα
1
+ k '2U ( r ) = 0, r ≤ a U (r ) ⎪ 2µ ( E − U 0 ) 2 2µ E 2 '2 ⎪ dr 取 l = 0, s 波 代入薛方：令 R ( r ) = ,k = 2 ，⎨ ，k = 2 2 r ⎪d U (r ) ⎪ ⎩ dr 2 + k 2U ( r ) = 0, r > a
⎧ d 2U ( r )
⎧U ( r ) = A' sin ( k ' r + δ 0' ) , r ≤ a ⎪ 解得： ⎨ ' ⎪ ⎩U ( r ) = A sin ( kr + δ ) , r > a
∵ r → a 处，
' ' ' U ( r ) A sin ( k + δ 0 ) ' ，∵ r → 0时，R ( r ) = 有限，∴δ 0 = 0 = r r
物理意义：反应散射本领的强弱。 2〉总散射截面 Q: Q = q (θ , ϕ ) d Ω =
π 2π
dn 1 , [q] = 2 Nd Ω L
∫
∫ ∫ q (θ , ϕ ) sin θ dθ dϕ , 有心力场中， q (θ , ϕ ) 与
0 0
ϕ 无关。
实际测量中测 dn，可得 q (θ , ϕ ) 。 3. 量子力学方法-----散射势的定态描述 1〉基本思想：用位势 U ( r ) 描述相互作用。 （自由粒子是缓慢进入势场的（绝热过程）弹性碰撞后离开势场）作用力程小，初末态都是自由粒子态。 初态：
ψ 1 = Aeikz （平面波）入射波；末态： ψ 2 = f (θ , ϕ )
eikr r
（球面波）散射波
K 确定，体系始终处于定态。 所以，归结为求解定态薛定谔方程，且只是求无穷远处的波函数。 2〉定薛方及解
−
2
2µ
∇ 2ψ + U ( r )ψ = Eψ ， ∇ 2ψ + [k 2 − V ( r )]ψ = 0 ，
§6.1 碰撞过程
1. 一般描述 一 维
散射截面
x →∞
束缚态： （两体问题可视为，边界条件ψ ( x ) ⎯⎯⎯ → 0 ，代入薛定谔方程，得到能级的能量分立） 碰撞问题：入射粒子的能量是已知的，且能谱连续，反射，透射（向无穷远处）则ψ ( x ) ⎯⎯⎯ →0
x →∞
由已知能量及其它条件求波函数。 碰撞过程 弹性碰撞：粒子内能不变 非弹性碰撞：粒子内能改变（部分动能与内能之间转化） 2. 散射截面 1〉微分散射截面
3〉微分截面计算公式 入射波的几率流密度： J z =
散射波： 又 dn = qNd Ω
Jr =
2 2 ds dn i ⎛ ∂ψ 2∗ ∂ψ 2 ⎞ V ∴ dn = J r ids = N f (θ , ϕ ) 2 −ψ 1∗ ⎜ψ 2 ⎟ = 2 f (θ , ϕ ) = ds r ∂r ∂r ⎠ r 2µ ⎝ 2 ds ） ∴ q (θ , ϕ ) = f (θ , ϕ ) 2 r
质心坐标系中 k1 = k2 = k ， 实验室坐标系中 k1 ≠ k2
eikr r
ˆ 不含 t ，求ψ ( t ) ？ H
ψ (t ) = ψ ( 0) e
− iEt
，
ˆ φ = E φ ， φ 正交归一。 a = φ ,ψ ( 0 ) ， ψ ( 0 ) 初态， ψ ( 0 ) = ∑ anφn ， H n n n n n n