易拉罐形状和尺寸的最优设计模型
(2006年获全国一等奖)
摘 要：本文主要考虑当容积一定时，如何设计易拉罐的形状和尺寸，使得所用材料最省。首先对易拉罐进行测量，对问题二、问题三、问题四建立数学模型，并利用LINGO 软件结合所测的数据进行计算，得出最优易拉罐模型的设计。
模型一，对正圆柱体形状的易拉罐，当容积一定时，以材料体积最小为目标，建立材料体积的函数关系式，并通过求二元函数条件极值得知，当圆柱高为直径两倍时，最经济，并用容积为360 ml 进行验算，算得mm H 63.122=，mm R 58.30=与市场上净含量为355ml 的测得的数据基本接近。
模型二，对上面部分为正圆台、下面部分为正圆柱的易拉罐同样在容积量一定时，考虑所用材料最省，建立优化模型，并通过LINGO 软件仍用容积为360 ml 进行验算，算得mm R 58.30=，mm r 33.291=，mm h 94.81=，mm h 8.1112=，高之和约为直径的两倍。
模型三，考虑到罐底承受的压力，根据力学上横梁支点的受力与拱桥设计的原理，设计底部支架（环形）与一定弧度的拱面，同时利用黄金分割，将直径与高之比设为0.618，建立容积量一定时材料最省的优化模型，再将有关数据代入计算，得到结论，现行易拉罐的设计从某种意义上不乏是最优设计。
关键词：优化模型 易拉罐 非线性规划 正圆柱 正圆台
一、问题重述
销量很大的饮料容器(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。这应该是某种意义下的最优设计，而不是偶然。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。
现针对以下问题，研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。
问题一：取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是测量得到的，那么必须注明出处。
问题二：设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。
问题三：设易拉罐的中心纵断面如图1所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。
问题四：利用所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。
同时，以做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文(不超过1000字，论文中必须包括这篇短文)，阐述什么图1
是数学建模、它的关键步骤，以及难点。
二、问题分析
在易拉罐设计的实际情况中，我们必须保证罐内体积大于饮料的净含量，同时考虑到饮料对罐体各部分的应力，需确定罐盖、罐底和罐壁的厚度，在此情况下的最优是使得容积一定时，所用的材料最省。
在问题一中对于各个部分的数据可以直接测量，利用千分卡对易拉罐进行测量；问题二是对正圆柱体的易拉罐在容积一定时，以半径和高之比为衡量最优设计的标准；问题三中，对比问题一中所测得的数据，发现易拉罐罐盖、罐底的厚度是罐壁的两倍，因此我们在解决此问题时可以假设罐盖、罐底的厚度是罐壁的两倍，再利用规划方法求解由圆台和圆柱体组成的易拉罐的最优设计。在问题四中根据问题二、三的模型所求得的数据与测量的数据进行比较，以及观察市场上正规厂家生产的碳酸和非碳酸饮料易拉罐的异同之处，作出关于易拉罐形状和尺寸的最优模型。
三、模型假设
1、根据薄壁圆筒的应力分析，假设易拉罐罐盖、罐底的厚度是罐壁的两倍。
2、易拉罐各接口处的材料忽略不计。
3、易拉罐各部分所用的材料相同。
4、单位体积材料的价格一定。
5、相同类型易拉罐的容积相同。
四、模型建立与求解
目前市场上大部分的易拉罐形状可以分成两类：一类主体部分是正圆柱体，正圆柱体上面部分是正圆台（如图2所示）；另一类主体部分是正圆柱体，正圆柱体上面部分与下面部分都是正圆台（如图3所示）。
如图2 如图3
我们用千分卡尺对杭州中萃食品有限公司生产的可口可乐易拉罐进行了测量，分
2倍。
易拉罐形状和尺寸的最优设计就是确保盛放饮料时容器不变形、放置稳定、运输安全的前提下，如何设计形状与尺寸才能使一定容积量的易拉罐所用的材料最省，为此我们分别对问题二、问题三、问题四建立模型如下：
模型一：正圆柱体模型
假设易拉罐是一个正圆柱体，罐内半径为R，罐内高为H，罐壁厚为b，根据假
设1可知，罐底与罐盖厚为b 2，所以制作材料的体积为：
=32224842b R b R b Hb RbH πππππ++++
因为R b <<，故项34b π可以忽略不计。因而
于是，问题就是求目标函数)842(),(2bR R Hb RH b H R s +++=π在条件H R V 2π=下的最优解。即
min )842(),(2bR R Hb RH b H R s +++=π
s.t.⎩
⎨⎧>>=0,02H R H R V π 利用Lagrange 乘子法求解，作函数
令
即
消去λ得：R H 4=，34πV R =，344π
V H ⋅=。唯一的驻点就是问题的极值点，也是此问题的最优解。由上述可知，当罐高为罐内直径的两倍时，正圆柱体的易拉罐所用的材料最省。这与我们目前市场上的可口可乐易拉罐的形状大致相同。
若用ml V 360=代入计算得，mm H 392.122=，mm R 598.30=，这与我们所测净含量为ml 355的易拉罐高123.7mm 与罐体半径30.51mm 还是比较接近的（饮料罐不能装满饮料，必须留有一定的空间余量）。
但也看出两组数据之间也存在一定差异，这是因为我们所测量的易拉罐下底并非是一个圆面，而是一个向上凸的拱面，接近上、下底部分是两个正圆台。
模型二：主体为正圆柱体，上面部分为正圆台模型
当易拉罐的上面部分是一个正圆台，下面部分是正圆柱
体时2h ，（如图4），假设正圆柱体部分的罐内半径为R ，罐内高为
罐壁厚为b ；正圆台部分上底内半径为1r ，正圆台内高为1h 。
根据假设1可知，易拉罐罐底与罐盖的厚度均为b 2，仍以制作
易拉罐的材料最省作为最优设计。由于考虑到易拉罐各部分材
料的厚度不同，因此采用易拉罐所需的材料等于外径体积减去
内径
体积进行计算。
易拉罐正圆台部分所用的材料体积：
图4
因为R b <<，故32b π可以忽略，则易拉罐正圆台部分的材料体积为：
易拉罐正圆柱部分的材料体积：
