高二数学下册期中模块测试题10

山西省太原市2021-2022学年高二数学下学期期中试题一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其字母标号填入下表相应位置）1. 在统计中，研究两个分类变量是否存在关联性时，常用的图表有（ ）A. 散点图和残差图B. 残差图和列联表C. 散点图和等高堆积条形图D. 等高堆积条形图和列联表【答案】D【解析】【分析】根据这些统计量的定义逐个分析判断【详解】散点图是研究两个变量间的关系，列联表是研究两个分类变量的，残差图是体现预报变量与实际值间的差距，等高堆积条形图能直观的反映两个分类变量的关系，故选：D2. 若，则（ ）A. 2B. 4C. 2或4D. 以上答案都不对【答案】C【解析】【分析】根据组合数的性质求解．【详解】因为，所以或，即或．故选：C．3. 从5件不同的礼物中选出2件，分别送给甲、乙两人，每人一件礼物，则不同的送法种数为（ ）A. 10B. 20C. 25D. 32【答案】B【解析】【分析】用分步计数原理计算．【详解】从5件不同的礼物中选出2件，分别送给甲、乙两人，每人一件礼物，第一步选一件礼物给甲，有5种不同方法，第二步选一件礼物给乙，有4种不同方法，总方法为．故选：B．4. 下列关于独立性检验的说法正确的是（ ）A. 用独立性检验推断的结论可靠，不会犯错误B. 用独立性检验推断的结论可靠，但会犯随机性错误C. 独立性检验的方法适用普查数据D. 对于不同的小概率值，用独立性检验推断的结论相同【答案】B【解析】【分析】根据独立性检验的思想判断．【详解】A．独立性检验取决于样本，来确定是否有把握认为“两个分类变量有关系，样本不同，所得结果会有差异，不会犯错误的说法太绝对，A错；B．用独立性检验推断的每个结论都会犯随机性错误，B正确C．根据普查数据，我们可以通过相关的比率给出准确回答，不需要用独立性检验，依据小概率值推断两个分类变量的关联性，所以独立性检验的方法不适用普查数据，C错；D．对于不同的小概率值，结论可能不相同，有时有把握，有时无把握，把握率不同，D错误．故选：B．5. 以下四幅散点图所对应的样本相关系数的大小关系为（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据散点图及相关系数的概念判断即可；【详解】解：根据散点图可知，图①③成正相关，图②④成负相关，所以，，，，又图①②的散点图近似在一条直线上，所以图①②两变量的线性相关程度比较高，图③④的散点图比较分散，故图③④两变量的线性相关程度比较低，即与比较大，与比较小，所以；故选：A6. 现有壹圆、伍圆、拾圆、贰拾圆和伍拾圆的人民币各1张，用它们可以组成的不同币值的种数为（ ）A. 31B. 32C. 63D. 64【答案】A【解析】【分析】五张人民币可以组成的不同币值的种数分一张，两张，三张，四张，五张共五种情况，将五种情况的种数加和即可.【详解】根据题意，五张人民币可以组成的不同币值的种数为：,故选：A.7. 以下说法错误的是（ ）A. 用样本相关系数r来刻画成对样本数据的相关程度时，若越大，则成对样本数据的线性相关程度越强B. 经验回归方程一定经过点C. 用残差平方和来刻画模型的拟合效果时，若残差平方和越小，则相应模型的拟合效果越好D. 用相关指数来刻画模型的拟合效果时，若越小，则相应模型的拟合效果越好【答案】D【解析】【分析】根据回归分析的相关依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：对于A选项，样本相关系数r来刻画成对样本数据的相关程度，当越大，则成对样本数据的线性相关程度越强，故A正确；对于B选项，经验回归方程一定经过样本中心点，故B正确；对于C选项，残差平方和越小，则相应模型的拟合效果越好，故C正确；对于D选项，相关指数来刻画模型的拟合效果时，若越大，则相应模型的拟合效果越好，故错误.故选：D8. 已知随机变量X的期望，方差，随机变量，则下列结论正确的是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】根据期望与方差的性质计算可得；【详解】解：因为随机变量X的期望，方差，又，所以，；故选：C9. 除以8的余数为（ ）A. B. 1 C. 6 D. 7【答案】D【解析】【分析】利用二项式定理求解，即，展开后观察各项值可得．【详解】，展开式中除最后一项外其他项都是8的整数倍，又，所以所求余数为7．故选：D．10. 某校高二年级某次数学学业质量检测考试成绩，规定成绩大于或等于85分为A等级，已知该年级有考生500名，则这次考试成绩为A等级的考生数约为（ ）（附：，，）A. 11B. 79C. 91D. 159【答案】B【解析】【分析】由正态分布求得等级学生的概率，从而可得样本容量．【详解】由题意，，人数为．故选：B．11. 有编号为1，2，3，4，5的5支竹签，从中任取3支，设X表示这3支竹签的最小编号，则（ ）A. 4.5B. 2.5C. 1.5D. 0.45【答案】D【解析】【分析】由题意可能取得数值为：1，2，3，求出所对应的概率，再根据期望与方差公式计算可得；【详解】解：由题意可能取得数值为：1，2，3，所以，，所以．所以故选：D．12. 某校高二年级一班星期一上午有4节课，现从语文、数学、英语、物理、历史和体育这6门学科中任选4门排在上午的课表中，若前2节只能排语文、数学和英语，数学课不能排在第4节，体育只能排在第4节，则不同的排法种数为（ ）A. 18B. 48C. 50D. 54【答案】C【解析】【分析】根据题意，利用分类加法计数原理求解即可.【详解】根据题意，当体育课排在第四节时，有种排法；当体育课不排在第四节，且数学课排在第一节或第二节时，有种；当体育课不排在第四节，且数学课不排在第一节或第二节时，有种；所以不同的排法共有：种，故选：C.二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案写在题中横线上）13. 已知随机变量，则______．【答案】3【解析】【分析】若X~B(n，p)，则E(X)＝np．【详解】∵，∴E(X)＝10×0.3＝3．故答案为：3．14. 已知女儿身高y（单位：cm）关于父亲身高x（单位：cm）的经验回归方程为，当父亲身高每增加1cm，则女儿身高平均增加______．【答案】0.81 cm【解析】【分析】根据线性回归方程的意义作答．【详解】由回归方程知，当父亲身高每增加1cm，则女儿身高平均增加0.81 cm．故答案为：0.81 cm．15. 长期吸烟可能引发肺癌．据调查，某地市民大约有0.03%的人患肺癌，该地大约有0.1%的市民吸烟时间超过20年，这些人患肺癌率约为10%．现从吸烟时间不超过20年的市民中随机抽取1名市民，则他患肺癌的概率为______．【答案】【解析】【分析】根据条件概率公式计算．【详解】事件为患肺癌，，事件为吸烟时间不超过20年，，则，，所以，，．故答案为：．16. 甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三人中的任何一人，则经过6次传球后，球在甲手中的概率为______．【答案】【解析】【分析】设表示经过第次传球后，球在甲手中，设次传球后球在甲手中的概率为，依题意利用条件概率的概率公式得到，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，从而求出，再将代入计算可得；【详解】解：设表示经过第次传球后，球在甲手中，设次传球后球在甲手中的概率为，，则有，，所以，即，所以，又，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，即，当时；故答案为：三、解答题（本大题共5小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. （1）求的展开式的常数项；（2）求的展开式中的x的系数．【答案】（1）60；（2）－15.【解析】【分析】（1）求二项式的通项，令通项x的次数为零即可求解；（2）的展开式中的x的系数为.【详解】（1）的展开式的通项公式为，令，解得，则的展开式的常数项为；（2）的展开式的通项公式为则的展开式中的的系数为18.已知甲袋中装有4个白球，6个黑球，乙袋中装有4个白球，5个黑球．先从甲袋中随机取出1个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出1个球．（1）在从甲袋取出白球的条件下，求从乙袋取出白球的概率；（2）求从乙袋取出白球的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在从甲袋取出白球的条件下，乙袋中变成有5个白球，5个黑球，由此易求概率；（2）把从乙袋取出白球这个事件分成两个互斥事件：从甲袋取出白球，然后从乙袋取出白球；从甲袋取出黑球，然后从乙袋取出白球，由概率公式可得．【小问1详解】在从甲袋取出白球的条件下, 乙袋中变成有5个白球，5个黑球，从乙袋取出白球的概率为；【小问2详解】从乙袋取出白球可分成两个互斥事件：从甲袋取出白球，然后从乙袋取出白球，和从甲袋取出黑球，然后从乙袋取出白球，所求概率为．19. 为了研究一种新药治疗某种疾病是否有效，进行了临床试验．采用有放回简单随机抽样的方法得到如下数据：抽到服用新药的患者55名，其中45名治愈，10名未治愈；抽到服用安慰剂（没有任何疗效）的患者45名，其中25名治愈，20名未治愈．（1）根据上述信息完成服用新药和治疗该种疾病的样本数据的列联表；疗法疗效合计未治愈服用新药服用安慰剂合计（2）依据的独立性检验，能否认为新药对治疗该种疾病有效？并解释得到的结论．附：；0.100.010.0012.706 6.63510.828【答案】（1）列联表见解析（2）可以认为新药对治疗该种疾病有效【解析】【分析】（1）依题意完成列联表；（2）根据（1）中的列联表计算出，由独立性检验的思想判断即可；【小问1详解】解：由题意可得新药和该种疾病的样本数据的列联表如下：疗法疗效合计未治愈服用新药451055服用安慰剂252045合计7030100【小问2详解】解：零假设：假设新药对治疗该种疾病无效，根据列联表中的数据，可得，根据小概率值的独立性检验，推断出不成立，即认为新药对该种疾病治疗，此推断犯错误的概率不超过，服用新药中治愈和未治愈的频率分别为和，服用安慰剂治愈和未治愈的频率分别为和，根据频率稳定于概率的原理，可认为服用新药治愈该疾病的概率大；说明：请同学们在（A）、（B）两个小题中任选一题作答．20. 有一个摸球中奖游戏，在一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个小球，其中有6个红球和4个白球，从中随机摸出5个球，至少有4个红球则中奖．（1）若有放回地每次摸出1个球，连续摸5次，求中奖的概率；（2）现有两种摸球方案，方案一：按（1）的方式摸球；方案二：无放回地一次摸出5个球．若小明要进行摸球游戏，请问他应该选择哪种方案？【答案】（1）（2）选择方案一【解析】【分析】（1）有放回地摸球，求出每次摸到红球概率为，然后由独立重复试验的概率公式计算概率；（2）由概率公式求得方案二的概率，比较可得．【小问1详解】有放回地摸球，每次摸到红球的概率都是，摸5次球，至少有4次是红球，含有恰好4次红球与5次都是红球，概率为；【小问2详解】无放回地一次摸出5个球，则得奖概率为,显然，所以选择方案一中奖概率大．21. 有一个摸球中奖游戏，在一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个小球，其中有6个红球和4个白球，从中随机摸出5个球，至少有3个红球则中奖．（1）若有放回地每次摸出1个球，连续摸5次，求中奖的概率；（2）现有两种摸球方案，方案一：按（1）的方式摸球；方案二：无放回地一次摸出5个球．若小明要进行摸球游戏，请问他应该选择哪种方案？【答案】（1）（2）方案二【解析】【分析】（1）由题意可知，一次摸出红球的概率为：，则连续摸5次中奖的情况包括3次红球，4次红球和5次红球，把三种情况的概率加和即可；（2）求出方案二中奖的概率和方案一比较即可作出选择.【小问1详解】根据题意，每一次摸出红球的概率为：，所以连续摸5次中奖的概率为：；【小问2详解】若无放回地一次摸出5个球，则中奖的概率为：,因为，所以小明应该选择方案二.说明：请同学们在（A）、（B）两个小题中任选一题作答．22. 某高科技公司对其产品研发年投资额x（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表1和散点图．表1：x12345y0.51 1.53 5.5（1）求年销售量y关于年投资额x的线性经验回归方程；（2）该公司科研团队通过进一步分析散点图的特征后，计划用作为年销售量y关于年投资额x 的非线性经验回归方程，请根据表2的数据，求出此方程；表2：x1234500.4 1.1 1.7（3）根据，及表3数据，请用残差平方和比较（1）和（2）中经验回归方程的拟合效果哪个更好？表3：n2345.518.9的近似值 3.2 5.810参考公式：，．【答案】（1）（2）（3）第二种非线性回归方程拟合效果更好．【解析】【分析】（1）求出，，根据公式计算出，得线性回归方程；（2）求出，再求得系数，代入得非线性回归方程；（3）根据（1）（2）回归方程分别求得，然后计算残差平方和比较可得．【小问1详解】由题意，，＝1.2，，所以线性回归方程为；【小问2详解】，则，记，即，，，，，所以．即；【小问3详解】按（1）可得：x12345 y0.51 1.53 5.5.10.9 2.3 3.5 4.7－0按（2）可得：x12345.53 5.5y0.5110.540.96 1.74 3.15 5.67，显然，第二种非线性回归方程拟合效果更好．23. 某高科技公司对其产品研发年投资额x（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表1和散点图．表1：x12345y0.51 1.53 5.5（1）求年销售量y关于年投资额x的线性回归方程；（2）该公司科研团队通过进一步分析散点图的特征后，计划用作为年销售量y关于年投资额x 的非线性回归方程，请根据表2的数据，求出此方程；表2：x12345.4 1.1 1.7（3）根据，及表3数据，请用决定系数比较（1）和（2）中回归方程的拟合效果哪个更好？表3：n2345的近似值 3.2 5.810.518.9参考公式：，，．【答案】（1）（2）（3）第二种非线性回归方程拟合效果更好．【解析】【分析】（1）求出，，根据公式计算出，得线性回归方程；（2）求出，再求得系数，代入得非线性回归方程；（3）根据（1）（2）回归方程分别求得，然后计算比较可得．【小问1详解】由题意，，＝1.2，，所以线性回归方程为；【小问2详解】，则，记，即，，，，，所以．即；【小问3详解】按（1）可得：x12345y0.51 1.53 5.5－0.1 1.1 2.3 3.5 4.7按（2）可得：x12345y0.51 1.53 5.50.540.96 1.74 3.15 5.67，显然，第二种非线性回归方程拟合效果更好．。

高二数学下学期期中试题理一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设i为虚数单位，则复数的共轭复数（）A．B．C．D．2．已知函数，则（）A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣43．若函数f（x），则f′（x）是（）A．仅有最小值的奇函数 B．仅有最大值的偶函数C．既有最大值又有最小值的偶函数 D．非奇非偶函数4．直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限围成的封闭图形面积为a，则（）5展开式中，x 的系数为（）A．20 B．﹣20 C．5 D．﹣55．某研究机构在对具有线性相关的两个变量x，y进行统计分析时，得到如下数据，由表中数据求得y关于x的回归方程为，则在这些样本中任取一点，该点落在回归直线下方的概率为（）A．B．C．D．06．某市一次高三年级数学统测，经抽样分析，成绩X近似服从正态分布N（84，σ2），且P （78＜X≤84）＝0.3．该市某校有400人参加此次统测，估计该校数学成绩不低于90分的人数为（）A．60 B．80 C．100 D．1207．的展开式中，常数项为（）A．﹣15 B．16 C．15 D．﹣168．据统计，连续熬夜48小时诱发心脏病的概率为0.055，连续熬夜72小时诱发心脏病的概率为0.19．现有一人已连续熬夜48小时未诱发心脏病，则他还能继续连续熬夜24小时不诱发心脏病的概率为（）A．B．C．D．0.199．停车场划出一排9个停车位置，今有5辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法有（）A．种B．种C．种D．种10．若函数f（x）＝x3﹣ke x在（0，+∞）上单调递减，则k的取值范围为（）A．[0，+∞）B．C．D．11．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，其导函数为f′（x），若对任意的正实数x，都有xf′（x）+2f（x）＞0恒成立，且，则使x2f（x）＜2成立的实数x的集合为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）＝（x﹣3）e x+a（2lnx﹣x+1）在（1，+∞）上有两个极值点，且f（x）在（1，2）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．（e，+∞）B．（e，2e2）C．（2e2，+∞）D．（e，2e2）∪（2e2，+∞）二．填空题（本题共四小题，每题5分，共20分）13．某射手对一目标进行4次射击（每次射击互不影响且每次命中概率不变），若其恰好命中2次的概率为，则此射手的命中率为．14．已知，若a 0+a 1+a 2+…+a 8＝0，则a 3＝ ．15．如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为 ．16．已知函数x e x x f )3()(2-=，设关于x 的方程）（R a x af x f ∈=-0)()(2有四个不同的实数解，则a 的取值范围为三．解答题（17题10分，其余每题12分，共70分） 17．已知曲线f （x ）＝x 3﹣2x 2+x ．（Ⅰ）求曲线y ＝f （x ）在x ＝2处的切线方程； （Ⅱ）求曲线y ＝f （x ）过原点O 的切线方程．18．“双十一网购狂欢节”源于淘宝商城（天猫）2009年11月11日举办的促销活动，当时参与的商家数量和促销力度均有限，但营业额远超预想的效果，于是11月11日成为天猫举办大规模促销活动的固定日期．如今，中国的“双十一”已经从一个节日变成了全民狂欢的“电商购物日”．某淘宝电商为分析近8年“双十一”期间的宣传费用x （单位：万元）和利润y （单位：十万元）之间的关系，搜集了相关数据，得到下列表格：（1）请用相关系数r 说明y 与x 之间是否存在线性相关关系（当|r |＞0.81时，说明y 与x 之间具有线性相关关系）；（2）建立y 关于x 的线性回归方程（系数精确到0.1），预测当宣传费用为30万元时的利润，附参考公式：回归方程中和最小二乘估计公式分别为，，相关系数参考数据：，356，，19．某校为了推动数学教学方法的改革，学校将高一年级部分生源情况基本相同的学生分成甲、乙两个班，每班各40人，甲班按原有模式教学，乙班实施教学方法改革．经过一年的教学实验，将甲、乙两个班学生一年来的数学成绩取平均数，两个班学生的平均成绩均在[50，100]，按照区间[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]进行分组，绘制成如下频率分布直方图，规定不低于80分（百分制）为优秀．（1）完成表格，并判断是否有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”； （2）从乙班[70，80），[80，90），[90，100]分数段中，按分层抽样随机抽取7名学生座谈，从中选三位同学发言，记来自[80，90）发言的人数为随机变量X ，求X 的分布列和期望．附：2，20．已知函数f（x）＝e x﹣x2﹣1．（1）若函数g（x），x∈（0，+∞），求函数g（x）的单调区间；（2）若不等式f（x）（3x2﹣2x﹣2k）≤0有解，求k的取值范围．21．为了保障某种药品的主要药理成分在国家药品监督管理局规定的值范围内，某制药厂在该药品的生产过程中，检验员在一天中按照规定每间隔2小时对该药品进行检测，每天检测4次：每次检测由检验员从该药品生产线上随机抽取20件产品进行检测，测量其主要药理成分含量（单位：mg）．根据生产经验，可以认为这条药品生产线正常状态下生产的产品的其主要药理成分含量服从正态分布N（μ，σ2）．（Ⅰ）假设生产状态正常，记X表示某次抽取的20件产品中其主要药理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的药品件数，求P（X＝1）（精确到0.001）及X的数学期望；（Ⅱ）在一天内四次检测中，如果有一次出现了主要药理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的药品，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对本次的生产过程进行检查；如果在一天中，有连续两次检测出现了主要药理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的药品，则需停止生产并对原材料进行检测．（1）下面是检验员在某一次抽取的20件药品的主要药理成分含量：经计算得x i＝9.96，s0.19．其中x i为抽取的第i件药品的主要药理成分含量，i＝1，2，…，20．用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对本次的生产过程进行检查？（2）试确定一天中需停止生产并对原材料进行检测的概率（精确到0.001）．附：若随机变量Z 服从正态分布N （μ，σ2），则P （μ﹣3σ＜Z ＜μ+3σ）≈0.9974， 0.997419≈0.9517，0.997420≈0.9493，0.05072≈0.0026，0.94932≈0.9012．22．已知函数)0(42ln)(>+-=a xaax x x f ． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）当f （x ）存在三个不同的零点时，求实数a 的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题 1-5：D D C A B 6-10 : B BADC 11-12: BC 11．【解答】解：令h （x ）＝x 2f （x ），易知函数h （x ）为偶函数，当x ＞0时，h ′（x ）＝2xf （x ）+x 2f ′（x ）＝x （2f （x ）+xf ′（x ））＞0，所以h （x ）在（0，+∞）上为增函数，则h （x ）在（﹣∞，0）上为减函数． 所以x 2f （x ）＜2即，所以，解之得．故选：B ．12．【解答】解：f ′（x ）＝（x ﹣2）e x+a （1）＝（x ﹣2）（ex），x ∈（1，+∞）．∵f ′（2）＝0，可得2是函数f （x ）的一个极值点．∵f （x ）在（1，+∞）上有两个极值点，且f （x ）在（1，2）上单调递增，∴函数f （x ）的另一个极值点x 0＞2，满足：0，可得：a ＝x 02e 2，故选：C ．二．填空题13． ． 14． ﹣14 ． 15. 420 16.16．已知函数xe x xf )3()(2-=，设关于x 的方程）（R a x af x f ∈=-0)()(2有四个不同的实数解，则a 的取值范围为三．解答题（共6小题）17． (1) 5x﹣y﹣8＝0；（Ⅱ）切线方程为y＝x或y＝0．18．【解答】解：（1）由题意得6，4…（2分）又，356，，，所以0.99＞0.81…（4分）所以，y与x之间具有线性相关关系…（5分）（2）因为，…（7分）4﹣0.72×6≈﹣0.3…（9分）所以y关于x的线性回归方程为．当x＝30时，故可预测当宣传费用为30万元时的利润为20.7十万元（或207万元）…（12分）19．【解答】解：（1）依题意得，有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”．（2）从乙班[70，80），[80，90），[90，100]分数段中抽人数分别为2，3，2，依题意随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，，，∴X的分布列为：∴．20．【解答】解：（1）函数g（x），x∈（0，+∞），g′（x），∵x∈（0，+∞），∴e x﹣x﹣1＞e0﹣0﹣1＝0．可得：函数g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．（2）不等式f（x）（3x2﹣2x﹣2k）≤0有解⇔k．令h（x）＝e x x﹣1，h′（x）＝e x+x﹣1在R上单调递增，且h′（0）＝0．∴函数h（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）单调递增．∴x＝0时，使得h（x）取得极小值即最小值．h（x）min＝h（0）＝0k≥h（x）min＝0．∴k的取值范围是[0，+∞）．21．【解答】解：（Ⅰ）抽取的一件药品的主要药理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.9974，从而主要药理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率为0.0026，故X～B（20，0.0026）．因此P（X＝1）0.0495，X的数学期望为EX＝20×0.0026＝0.052；（Ⅱ）（1）由，s＝0.19，得μ的估计值为，σ的估计值为0.19，由样本数据可以看出有一件药品的主要药理成分（9.22）含量在（3，3）＝（9.39，10.53）之外，因此需对本次的生产过程进行检查．（2）设“在一次检测中，发现需要对本次的生产过程进行检查”为事件A，则P（A）＝1﹣[P（X＝0）]20≈1﹣（0.9974）20＝1﹣0.9493＝0.0507；如果在一天中，需停止生产并对原材料进行检测，则在一天的四次检测中，有连续两次出现了主要药理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的药品，故概率为P＝3[P（A）]2×[1﹣P（A）]2≈3×（0.0507）2×（0.9493）2≈0.007．故确定一天中需对原材料进行检测的概率为0.007．22．【解答】解：（1）由f（x）＝ln ax（a，b＞0），且f（x）+f（）＝0，得ln ax0，即恒成立，则，即b＝4a．∴f（x）＝ln ax（a＞0）．f′（x ）（x＞0）．令g（x）＝﹣ax2+x﹣4a．△＝1﹣16a2．若△＝1﹣16a2≤0，即a，则g（x）≤0，即f′（x）≤0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递减；若△＝1﹣16a2＞0，即0＜a．由g（x）＝﹣ax2+x﹣4a＝0，解得0，0．∴当x∈（0，）∪（，+∞）时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，f（x）在（0，），（，+∞）上单调递减；当x ∈（，）时，g（x）＞0，即f′（x）＞0，f（x ）在（，）上单调递增；（2）由（1）知，当0＜a时，f（x）在（0，），（，+∞）上单调递减，在（，）上单调递增，可知f（x）存在三个不同的零点．故实数a的取值范围是（0，）．11。

2022-2023学年度第二学期期中质量检测高二数学（理科）模拟试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．z 为复数，若216i z z -=+成立，则z 的虚部为（ ） A ．6- B ．6i - C ．2D ．2i2．反证法证明命题“若a R ∈，则函数3y x ax b =++至少有一个零点”时，正确的反设为（ ）A ．若a R ∈，则函数3y x ax b =++恰好有一个零点 B ．若a R ∈，则函数3y x ax b =++至多有一个零点 C ．若a R ∈，则函数3y x ax b =++至多有两个零点 D ．若a R ∈，则函数3y x ax b =++没有零点3．已知函数()i f x 的导函数为()(1,2,3)i f x i '=，若123()()()f x f x f x 、、的图象如图所示，则（ ）A ．123()()()f a f a f a '''>>B ．132()()()f a f a f a '''>>C ．213()()()f a f a f a '''>>D ．312()()()f a f a f a '''>>4．若()y f x =是奇函数，则11()f x dx -=⎰（ ）A ．1B ．0C ．012()f x dx -⎰D ．102()f x dx ⎰5．下列计算不正确．．．的是（ ）A ．()xxee--'= B ．2(ln(21))21x x +=+' C ．(cos )sin x x '=- D ．1()2x x'=6．用数学归纳法证明“()22,4n nn N n *≥∈≥”时，第二步应假设（ ）A ．当(),2n k k N k *=∈≥时，22kk ≥成立 B ．当(),3n k k N k *=∈≥时，22k k ≥成立 C ．当(),4n k k N k *=∈≥时，22k k ≥成立 D ．当(),5n k k N k *=∈≥时，22k k ≥成立 7．若函数()y f x =的导函数()()y x f x ϕ=='图象如图所示，则（ ）A ．3-是函数()f x 的极小值点B ．1-是函数()y f x =的极小值点C ．函数()f x 的单调递减区间为(2,1)-D ．()0x ϕ'<的解集为(,3)-∞- 8．函数()2ln f x x x =-的单调递减区间是（ ） A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(0,2)D ．(,0)-∞和(0,2)9．函数()2()2xf x x x e =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．10．函数()cos (1)sin 1,[0,2]f x x x x x π=+++∈在点x =（ ）处取得最小值． A ．32π B ．22π+ C ．2 D ．32π-11．已知函数()ln ()f x a x x a R =-∈在区间(,)e +∞内有最值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,)e +∞ B ．,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(,]e -∞D ．(,)e -∞- 12．设2ln 21ln6,,412a b c e ===，则（ ） A ．a c b << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分）13．已知0x >，观察下列不等式：①12x x +≥，②243x x +≥，③3274,x x+≥⋅⋅⋅，则第n 个不等式为_________．14．一个小球作简谐振动，其运动方程为()2sin 3x t t ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，其中()x t （单位：cm ）是小球相对于平衡点的位移，t （单位：s ）为运动时间，则小球在2t =时的瞬时速度为_________cm/s ．15．设i 是虚数单位，复数z 的共轭复数为z ，下列关于复数的命题正确的有_________ ①z z =②若z 是非零复数，0z z +=，则||zi z = ③若12z z =，则2212z z =④若复数z 为纯虚数，则z i ⋅为实数16．如图：在平面直角坐标系xOy 中，将直线2xy =与直线1x =及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积21130021212x V dx x πππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎰圆锥． 据此类比：将曲线2y x =与直线2y =及y 轴所围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V =_________．三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分10分）已知复数i z b =（b R ∈，i 是虚数单位），31iz +-是实数． （1）求b 的值；（2）若复数2()8m z m --在复平面内对应点在第二象限，求实数m 的取值范围． 18．（本小题满分12分）（1）已知b 克糖水中含有a 克糖，再添加m 克糖(0)m >（假设全部溶解），则糖水变甜了．将这一事实表示为不等式：当0,0b a m >>>时，有a a mb b m+<+，请证明这个不等式． （2）设ABC △的三边长分别为a ，b ，c ，请利用第（1）问已证不等式，证明：2c a b a b b c c a++<+++． 19．（本小题满分12分）已知函数432()8181f x x x x =-+-．（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的极值． 20．（本小题满分12分）已知函数()sin x f x e a x =-（其中 2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数），0为()f x 的一个极值点． （1）求a 的值；（2）证明：()f x x >恒成立． 21．（本小题满分12分）如图，在区间[0,1]上给定曲线2y x =，左边阴影部分的面积为1S ，右边阴影部分的面积记为2S ．（1）当12t =时，求1S 的值； （2）当01t ≤≤时，求12S S +的最小值． 22．（本小题满分12分） 已知函数21()ln ()2f x x x mx x m R =--∈． （1）若0m =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，求实数m 的取值范围．2022-2023学年度第二学期期中质量检测 高二数学（理科）模拟试题参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分．）13．当0x >时，()1n n n x n n N x*+≥+∈成立 14．π 15．①④ 16．2π三、解答题（共6小题，第17题满分10分，其余满分均为12分．）17．（本小题满分10分） 解：（1） 解法1：∵i z b = ∴33i (3i)(1i)(3)(3)i1i 1i (1i)(1i)2z b b b b ++++-++===---+ 因为31iz +-是实数，所以解集为30b +=，解得3b =- 解法2：因为31iz +-是实数，则令3()1i z k k R +=∈- 则有3i i b k k +=-由复数相等的概念得3k b k=⎧⎨=-⎩，解得3b =-（2）由（1）可知3i z =-∴()222()8(3i)8896i m z m m m m m m --=+-=--+ ∵复数2()8m z m --在复平面内对应点在第二象限∴289060m m m ⎧--<⎨>⎩，解得09m << 所以实数m 的取值范围为(0,9) 18．（本小题满分12分） 解：（1）()()()()()a a m ab m b a m m a b b b m b b m b b m ++-+--==+++ 由00b a a b >>⇒-< 又∵0,0m b >>∴()0()m a b b b m -<+，即a a m b b m+<+得证．（2）ABC △的三边长分别为a ，b ，c根据三边关系有a b c +>由（1）已证不等式可得：c c ca b a b c+<+++ 同理可得,a a a b b b b c b c a c a c a b++<<++++++也成立 将以上不等式左右两边分别相加可得：2()2c a b a b c a b b c c a a b c++++<=+++++成立． 即命题得证．19．（本小题满分12分）解：（1）()3222()424364694(3)f x x x x x x x x x =-+=-+=-' 切点为(0,1)-，切线的斜率为(0)0k f ='=切所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为10y += （2）令()0f x '=，解得0x =，或3x =当0x =时，函数()f x 取得极小值()01f =- 20．（本小题满分12分）解：（1）函数()f x 的导函数为()cos xf x e a x '=-0为()f x 的一个极值点，则有0(0)cos00f e a =-=' 解得1a =（2）要证()f x x >，即证sin xe x x >+ 因为sin 1x ≤ 下面先证1xe x ≥+ 构造函数()1xg x e x =--()10x g x e -'==解得0x =当(,0)x ∈-∞时，有()0g x '<，则()g x 在(,0)-∞上单调递减 当(0,)x ∈+∞时，有()0g x '>，则()g x 在(0,)+∞上单调递增 所以当0x =时，()g x 取得最小值(0)0g = 即1xe x ≥+成立（当且仅当0x =时等号成立） 又因为1sin x ≥（当且仅当2()2x k k Z ππ=+∈时等号成立）由于等号不具有传递性，所以有sin xe x x >+成立． 21．（本小题满分12分）解：（1）当12t =时，1221014S x dx ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰12301143x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭111183812=-⨯= （2）1S 面积等于边长分别为t 与2t 的矩形面积减去曲线2y x =与x 轴、直线x t =所围成的面积，即2231023tS t t x dx t =⨯-=⎰ 2S 面积等于曲线2y x =与x 轴、直线1x t x ==、所围成的面积减去矩形边长分别为1t -与2t 的矩形面积，即12232221(1)33t S x dx t t t t =--=-+⎰所以阴影部分的面积321241()(01)33S t S S t t t =+=-+≤≤令2()422(21)0S t t t t t =-'=-= 解得0t =，或12t =解不等式()0S t '>得112t <<即()S t 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 解不等式()0S t '<得102t <<即()S t 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减所以当12t =时，()S t 取得极小值，也是最小值为1422．（本小题满分12分）解：（1）当0m =时，()ln ,(0,)f x x x x x =-∈+∞()ln 0f x x =='解得1x =解()0f x '>得1x >，即函数()f x 的单调递增区间为()1,+∞ 解()0f x '<得01x <<，即函数()f x 的单调递减区间为(0,1) （2）由函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，可知()ln 0f x x mx =-≤'对任意(0,)x ∈+∞恒成立 即对任意0x >，都有ln xm x≥恒成立 构造函数ln (),0xg x x x => 由21ln ()0xg x x-'==解得x e = 解()0g x '>得0x e <<，即函数()f x 的单调递增区间为(0,)e 解()0g x '<得x e >，即函数()f x 的单调递减区间为(,)e +∞ 所以max ln 1()e g x e e== 所以1m e≥．。

2021-2022学年山东省泰安肥城市高二下学期期中考试数学试题一、单选题1．已知函数()y f x =在0x x =处的导数()01f x '=-，则()()000lim x f x x f x x∆→+∆-=∆（ ）A ．1-B ．1C ．12D ．2-【答案】A【分析】根据题意，由导数的定义可得0lim x ∆→000()()()f x x f x f x x+∆-'=∆，即可得答案． 【详解】根据题意，函数()y f x =在0x x =处的导数为0()1f x '=-，而0000()()lim ()1x f x x f x f x x∆→+∆-'==-∆，故选：A2．学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，假设每种菜足量，则不同的选法共有（ ） A ．53种B ．35种C ．35A 种D ．35C 种【答案】B【分析】根据分步乘法计数原理进行计算，即每人有5种选法，分三步完成，可求得答案.【详解】窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种， 即每人都有5种选法，分3步完成，故不同的选法有35555⨯⨯= 种， 故选：B3．记()02012101101x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+，则12310a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．1024B ．1023C ．1-D ．0【答案】B【分析】利用赋值法求二次项系数和，令0x =求出0a ，再令1x =即可求解. 【详解】由题意可知，令0x =，得()100101a =+=， 令1x =，得()1010100121024112a a a a +++⋅⋅⋅++===， 所以1231001024102411023a a a a a +++⋅⋅⋅+=-=-=. 故选：B.4．已知函数()sin f x x mx =-在(),-∞+∞上单调递增，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[]1,1-B ．[)1,+∞C ．(],1-∞-D ．()1,1-【答案】C【分析】求得导数()cos f x x m '=-，根据题意转化为不等式cos x x ≤在R 上恒成立，结合余弦函数的值域，即可求解.【详解】由题意，函数()sin f x x mx =-，可得()cos f x x m '=-， 因为函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增，可得()0f x '≥在R 上恒成立， 即不等式cos 0x m -≥在R 上恒成立，即不等式cos m x ≤在R 上恒成立， 因为1cos 1x -≤≤，所以1m ≤-， 所以实数m 的取值范围是(],1-∞-. 故选：C.5．将5名临床医学检验专家（3男2女）分配到2家医院进行核酸检测指导，要求每家医院分配男、女专家各1名，剩下1名专家负责统筹安排，则不同的分配方案有（ ） A ．6种 B ．9种 C ．12种 D ．16种【答案】C【分析】根据题意，先从3名男专家取2名，再分别安排男专家和女专家，即可求解. 【详解】由题意，每家医院分配男、女专家各1名，剩下1名专家负责统筹安排，则不同的分配方案有22223222C C A A 312212=⨯⨯⨯=种.故选：C.6．()712x +的展开式的第4项的系数为（ ） A ．335x B ．35 C ．3280x D ．280【答案】D【分析】根据二项式的展开式的通项公式，即可求解.【详解】由题意二项式()712x +的展开式的第4项为33347C (2)280T x x ==，所以展开式中4项的系数为280. 故选：D.7．某小区的道路网如图所示，则由A 到C 的最短路径中，经过B 的走法有（ ）A ．6种B ．8种C ．9种D ．10种【答案】C【分析】由题意，从点A 到点B ，共走三步，需向上走一步，向右走两步，从点B 到点C ，共走三步，需向上走一步，向右走两步，结合分步计数原理，即可求解.【详解】由题意，从点A 到点B ，共走三步，需向上走一步，向右走两步，共有13C 3=种走法；从点B 到点C ，共走三步，需向上走一步，向右走两步，共有13C 3=种走法，由分步计数原理，可得共有339⨯=种不同的走法. 故选：C.8．过曲线()3:C f x x ax b =-+外一点1,0A 作C 的切线恰有两条，则（ ）A ．a b =B ．1a b -=C ．1b a =+D ．2a b =【答案】A【分析】设出切点，求出切点处的导函数即切线的斜率，据点斜式写出切线的方程，将切点代入，列出关于切点横坐标的方程，据题意此方程有两个根，构造函数，通过导函数求出两个极值，令极值为0，求出a ，b 的关系.【详解】()23f x x a '=-，过点1,0A 作曲线C 的切线， 设切点()()00,x f x ，则切线方程为：()()2031y x a x =--， 将()()00,x f x 代入得：()()()230000031f x x a x x ax b =--=-+即3200230x x a b -+-=（） 由条件切线恰有两条，方程（）恰有两根．令()3223u x x x a b =-+-，()()26661u x x x x x '=-=-，显然有两个极值点0x =与1x =，于是()00u =或()10u = 当()00u =时，a b =；当()10u =时，1a b -=，此时()()()32111f x x ax a x x x a =-+-=-++-经过()1,0与条件不符，所以a b =， 故选：A. 二、多选题9．下列求导运算正确的是（ ）A ．2111x x x'⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭B ．()22ln 2x x '=⋅C ．222e e x xx x x '⎛⎫-= ⎪⎝⎭ D ．()22cos 2cos sin x x x x x x '⋅=⋅+⋅【答案】BC【分析】根据导数的运算公式及运算法则进行计算即可. 【详解】A 选项，2111x x x '⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，故A 选项错误； B 选项，()22ln 2x x '=⋅，故B 选项正确；C 选项，22222?·2()x x x x xx x e x e x x e e e '⎛⎫--== ⎪⎝⎭，故C 选项正确； D 选项，()222cos 2cos (sin )2cos sin x x x x x x x x x x '⋅=⋅+⋅-=⋅-⋅，故D 选项错误； 故选：BC.10．第24届冬奥会于2022年2月4日在北京和张家口联合举行. 甲、乙等5名志愿者计划到高山滑雪、自由式滑雪、短道速滑和花样滑冰4个比赛区从事志愿者活动，则下列说法正确的有（ ）A ．若每个比赛区至少安排一名志愿者，则有240种不同的方案B ．安排5名志愿者排成一排拍照，若甲、乙相邻，则有42种不同的站法C ．若短道速滑必须安排两名志愿者，其余各安排一名志愿者，则有60种不同的方案D ．已知5名志愿者身高各不相同，若安排5名志愿者拍照，前排两名，后排三名，后排要求身高最高的站中间，则有40种不同的站法 【答案】ACD【分析】根据分组分配法即可判断AC ，根据捆绑法可以判断B ，根据特殊位置优先安排可判断D ．【详解】解：对于A ：若每个比赛区至少安排1人，则有2454C A 240=种不同的方案，故A 正确；对于B ：把甲乙捆绑在一起，看作一个复合元素，再和另外的三人全排，则有2424A A 48=种，故B 错误；对于C ：短道速滑赛区必须安排2人，其余各安排1人，则有2353C A 60=种不同的方案，故C 正确；对于D ：先排前排，由25A 20=种，后排3人中身高最高的站中间，则两边的有22A 2=种，则有20240⨯=种，故D 正确． 故选：ACD11．若()()()()22*012121212nn n x x x a a x a x a x n ++++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅+∈N ，06a =，则下列结论中正确的是（ ） A ．12n = B ．142a = C ．064ni i a ==∑D ．()116nii i ia =-=∑【答案】BD【分析】对于A ，根据已知条件及赋值法令0x =即可求解； 对于B ，利用二项式展开式的通项公式求指定项系数即可； 对于C ，利用赋值法求二项式系数令1x =即可求解；对于D ，根据已知等式两边同时求导数再利用赋值法令1x =-即可求解.【详解】对于A ，由题意可知，令0x =时 ()()()201201201206na +⨯++⨯+⋅⋅⋅++⨯==，解得6n =，故A 不正确；对于B ，由()12n x +展开式的通项公式为()1C 122C rr n r r r rr n n T x x -+=⋅⋅=⋅⋅，由6n =，得()()()26121212x x x ++++⋅⋅⋅++展开式中含x 的项的系数和为111111111123461522C 2C 2C 2C 2C 2468101242a =+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=+++++=，故B 正确； 对于C ，令1x =，得660122603309231i i a a a a a ==+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+==++∑，故C 不正确；对于D ，对()()()22012121212nn n x x x a a x a x a x ++++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅+，两边同时求导，得()()()6255122121231261226x x x a a x a x ⎡⎤+++++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅+⎣⎦， 令1x =-，得12345623456a a a a a a -+-+-()()()()()2345212123124125126126⎡⎤=+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=-⎣⎦. 所以()1234561234566a a a a a a -+-+-+=()()612345611234566iii ia a aa a a a =-=-+-+-+=∑，故D 正确.故选：BD.12．已知函数()ln x f x x=，e是自然对数的底数，则（ ） A ．()f x 的最大值为1eB ．π2π2ln 33ln π3ln 2>>C ．若1221ln ln =x x x x ，则212e x x +=D ．对任意两个正实数12,x x ，且12x x ≠，若()()12f x f x =，则212e x x > 【答案】ABD【分析】对于A ，求出函数的导数，判断导数正负，确定函数单调性，即可求得最大值；对于B ，根据函数()ln xf x x=的单调性，即可判断；对于C ，构造函数()(e+)(e ),(0,e)g t f t f t t =--∈，判断其单调性，结合1221ln ln =x x x x 即()()12f x f x =即可判断；对于D ，将()()12f x f x =展开整理得12121212(),ln ln ln ln ()m x x x x x x x m x +=+-=-，然后采用分析法的思想，推出1121222(1)ln1x x x x x x ->+，构造函数2(1)(1)ln u t t t t --=+，求其最小值即可判断. 【详解】由题意得()ln x f x x =，则21ln ()xf x x -'=， 当0e x << 时，()0f x '>，()f x 递增 ，当e x > 时，()0f x '<，()f x 递减， 故max 1()(e)ef x f ==，故A 正确；由于3π<，由于当e x > 时，()f x 递减，故(3)(π)f f > ， 即ln 3ln π,2πln3>23ln π3π>⨯ ，即π22ln33ln π>， 因为ln 2ln 4(2)(4)(π)24f f f ===< ， 故ln 2ln π,3πln2<32ln π2π<⨯，即2π3ln π3ln 2>， 故π2π2ln 33ln π3ln 2>>，故B 正确； 因为1221ln ln =x x x x ，即121122ln ln ,()()x x f x f x x x ==， 设()(e+)(e ),(0,e)g t f t f t t =--∈ ，由于当0e x << 时，()f x 递增 ，当e x > 时， ()f x 递减，故()(e+)(e ),(0,e)g t f t f t t =--∈单调减函数，故()(0)0g t g <=，即(e+)<(e )f t f t -，由于12()()f x f x =，不妨设20e x <<， 则122e x x <- ， 即212e x x +<，故C 错误；对任意两个正实数12,x x ，且12x x ≠，若()()12f x f x =，不妨设210x x << ， 即1212ln ln x x x x =，设1212ln ln x x m x x ==，则1122ln ,ln x mx x mx ==， 则12121212(),ln ln ln ln ()m x x x x x x x m x +=+-=-，1212ln ln x x m x x -=-，而212121212121222()ln ln e ln ln 2x x x x x x x x x x x m x -+>⇔+>⇔>-+>⇔112112112222l 2(1n )2()ln 1ln x x x xx x x x x x x x --->⇔>++⇔ ， 设211,x x t => 令2(1)(1)ln u t t t t --=+ ，则2222(1)2(1)(1)0(1)(11)()t t t t t u t t t '+----=>++=， 即2((1)ln ,(11))t u t t t t -->+=为单调增函数，故()(1)0u t u >=， 即1121222(1)ln1x x x x x x ->+成立，故212e x x >，故D 正确， 故选：ABD 三、填空题13．若()1nx +的展开式中，2x 的系数为15，则n =___________. 【答案】6【分析】先求得()1nx +的展开式的通项公式，再根据2x 的系数为15求解. 【详解】因为()1nx +的展开式的通项公式为1rn r r n T x C -+=，且2x 的系数为15，所以2215n nn C C -==，即()1152n n -=， 解得5n =-(舍)或6n =. 故答案为：614．若()()3log 0f x x x =>，则()1f '=________. 【答案】1ln 3【分析】根据初等函数的导数公式，可得()1ln3f x x '=，即可求解.【详解】根据初等函数的导数公式，可得()1ln3f x x '=，所以()11ln 3f '=. 故答案为：1ln 3. 15．在如图所示的杨辉三角中，按图中箭头所示的前n 个数字之和为________.【答案】32n C +【分析】根据组合数的运算性质，即可容易求得. 【详解】由表格可知，所求数列的前n 项和为：2222322223413341n n C C C C C C C C ++++++=++++322323441512n n n C C C C C C ++++++=++=.故答案为：32n C +.【点睛】本题考查组合数的运算性质，属中档题. 四、双空题16．若函数()()()()()()32112f x x x x x x x =---++，则()1f '=________；曲线()()24ln 31ln 3y f x x x x =+++-在点()1,8ln 2处的切线方程为________.【答案】 12 338ln 20x y +--=【分析】根据题意求得()f x '，得出()1f '的值，再结合导数的几何意义，求得切线的方程，得到答案. 【详解】由题意，函数()()()()()()()()()()32112(1)[3212]f x x x x x x x x x x x x x =---++=---++，可得()()()()()()()()()()1[(3)212]1[3212]f x x x x x x x x x x x x x '''=---+++---++()()()()()()()()[(3)212]1[3212]x x x x x x x x x x x '=--+++---++ 所以()12(1)12312f '=-⨯-⨯⨯⨯=； 又由()()24ln 31ln 3y f x x x x =+++-，可得1|4ln 48ln 21030x y ==+=+-，且()()()()()2222ln 3ln 34331ln 3x x x x y x xx f x f x +-+-'=+⨯++--'' ()()()()2221ln 324331ln 3x x x f x f x x x x x ⎛⎫'- ⎪⎝+-+⎭=+⨯++-， 所以()()12103034|333110132x y -+-⨯'=++-⨯=-+-，即切线的斜率为3k =-， 所以曲线在点()1,8ln 2处的切线方程为8ln 23(1)y x -=--，即338ln 20x y +--=. 故答案为：12；338ln 20x y +--=. 五、解答题17．盒子里装有六个大小相同的小球，分别标有数字1、2、3、4、5、6. 现从盒子里随机不放回地抽取3次，每次抽取1个小球，按抽取顺序将球上数字分别作为一个三位数的百位、十位与个位数字.(1)一共能组成多少个不同的三位数？(2)一共能组成多少个不同的大于500的三位数？ 【答案】(1)120 (2)40【分析】（1）由抽取的三位数各不相同，可由排列数公式求得组成不同三位数的个数． （2）大于500的三位数，则百位应该从5或6中选一个，其他的从剩下的五个里面选2个进行排列，再根据分步计算原理即可得到结果．【详解】(1)解：（1）因为抽取的三位数各不同，所以组成三位数的总数为36A 654120=⨯⨯=.(2)解：百位为5或6，则个位、十位是剩余5个数字中的两个，则有1225C A 40⨯=个大于500的三位数.18．已知函数()2ln x f x x x-=-． (1)求()f x 的单调区间；(2)求()f x 在区间[]1,e 上的最值．【答案】(1)单调递减区间为()0,2，单调递增区间为()2,+∞ (2)()f x 在区间[]1,e 上的最小值是ln 2，最大值是1【分析】（1）对函数()f x 求导，通过导函数的正负判断()f x 的增加区间； （2）根据（1）中的单调性可得()f x 的极值，与区间端点值比较可得最值. 【详解】(1)由题意知：()()220x f x x x -'=>． 令()0f x '=，解得2x =．2x =把()f x 定义域划分成两个区间，()f x '在各区间上的正负，以及()f x 的单调性如下表所示.所以()f x 的单调递减区间为()0,2，单调递增区间为()2,+∞． (2)结合（1）的结论，列表如下：所以()f x 在区间[]1,e 上的最小值是ln 2，最大值是1．19．在二项式12nx ⎛+ ⎝的展开式中.(1)若展开式后三项的二项式系数的和等于46，求展开式中二项式系数最大的项； (2)若n 为满足812n <<的整数，且展开式中有常数项，试求n 的值和常数项.【答案】(1)展开式中二项式系数最大的项为3563T x -=，362252x T -=(2)9n =，常数项为7672T =【分析】（1）根据已知条件可得出关于n 的等式，结合N n *∈可求得n 的值，利用二项式系数的单调性可结合二项式定理可求得展开式中二项式系数最大的项；（2）设第1r +项为常数项，则r 为整数，写出二项展开式通项，令x 的指数为零，可得出32rn =，根据812n <<可求得整数r 的值，进而可求得n 的值，再利用二项式定理可求得展开式中的常数项.【详解】(1)解：由已知()212101C C C C C C 1462n n n n n n n n n n n n ---++=++=++=，整理得2900n n +-=，即()()9100n n -+=，N n *∈，解得9n =. 则展开式中二项式系数最大的项为第5项和第6项，即(5443591C 632T x x -⎛⎫== ⎪⎝⎭，(43552691C 2522T x x -⎛⎫== ⎪⎝⎭.(2)解：设第1r +项为常数项，则r 为整数，(322211C C 22n rr n rr r r nr nnT xx ---+⎛⎫== ⎪⎝⎭，则有3202r n -=，即32rn =，所以81322r <<，可得1683r <<，解得6r =或7r =. 当6r =时，9n =；当7r =时，212n =（不合题意舍去），所以9n =. 常数项为6379C 2672T =⋅=.20．已知函数()()()2f x x x c c =-∈R . (1)若()f x 在2x =处有极大值，求c 的值；(2)若()f x 在2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭存在单调递减区间，求c 的取值范围．【答案】(1)6c = (2)2(,)3+∞【分析】（1）求导因式分解后可得当3c x =时，()f x 有极大值，故此时23c=，所以6c =.（2）即()0f x '≤在2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有解，所以23c >.【详解】(1)因为()()23222f x x x c x cx c x =-=-+，所以()()()22343f x x cx c x c x c '=-+=--.当0fx，即3cx =，或x c =时，函数()f x 可能有极值.由题意，当2x =时，函数()f x 有极大值，所以0c >.当x 变化时，f x ，()f x 的变化情况如下表所示：x,3c ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ 3c,3c c ⎛⎫⎪⎝⎭c(),c +∞f x+-+()f x单调递增极大值单调递减极小值单调递增因此，当3c x =时，()f x 有极大值，此时23c=，所以6c =.(2)由（1）可知：()()()3f x x c x c '=--，当0fx时，3cx =，或x c =.由题意，()f x 在2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭存在单调递减区间，所以()0f x '≤在2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有解，由（1）知，()f x 在[,]3c c 上单调递减，所以23c >，解得23c >，或2c ≥，即23c >.综上所述，c 的取值范围是2(,)3+∞.21．如图，实线部分的公园是由圆P 和圆Q 围成，圆P 和圆Q 的半径都是2千米，点P 在圆Q 上，现要在公园内建一块顶点都在圆P 上的多边形活动场地ABCD ．若要建的活动场地ABCD 为等腰梯形，且AD 必须切圆Q 于P ，APB θ∠=π02θ⎛⎫<< ⎪⎝⎭.(1)记活动场地ABCD 的面积为()S θ，求()S θ的表达式；(2)当θ为何值时，活动场地ABCD 的面积最大，并求最大面积． 【答案】(1)()π()4sin sin cos 02S θθθθθ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭(2)3πθ=时，场地ABCD 面积取得最大值为3S π⎛⎫= ⎪⎝⎭（平方千米） 【分析】（1）通过对等腰梯形进行分割，结合三角形面积公式即可得结果； （2）通过导数判断函数的单调性，进而可得最值.【详解】(1)由题意：()()1122sin 222sin π222S θθθ=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-()π4sin sin cos 02θθθθ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭.(2)令()sin sin cos f θθθθ=+，则()()2cos cos cos sin sin 2cos cos 1f θθθθθθθθ'=++-=+-． 令()0f θ'=，得1cos 23πθθ==，.又03πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f θ'>；,32ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f θ'<，所以()sin sin cos f θθθθ=+在3πθ=处取到极大值也是最大值，故3πθ=时，场地ABCD 面积取得最大值为3S π⎛⎫= ⎪⎝⎭（平方千米）． 22．已知函数()22ln e x xf x a x=-+． (1)当1ea =时，求()f x 在1x =处的切线方程；(2)若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)0x y -= (2)20,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）利用导数的几何意义及直线的点斜式方程即可求解；（2）根据函数零点的存在性定理及利用导数法求函数的单调性及函数的最值，再结合分类讨论即可求解. 【详解】(1)因为()()221ln e x x f x a x-'=-， 所以当1ea =时，()11f '=.又因为()11f =，所以()f x 在1x =处的切线方程11y x -=-， 所以()f x 在1x =处的切线方程为0x y -=.(2)因为()()2ln e xx x ax f x x+-=，其中0x >，设()()2ln e xg x x x ax =+-，则()()()12e x x ax g x x+-'=，当0a ≤时，()0g x '>，则()g x 在()0,+∞单调递增，()g x 在()0,+∞上至多有一个零点，即()f x 在()0,+∞上至多有一个零点，不合题意，舍去．当0a >时，设()2e x h x ax =-，()()1e xh x a x '=-+，所以()0h x '<， ()h x 在()0,+∞上单调递减. 又()020h =>，2222e 0a h a ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以020,a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∃，使得()00h x =，即00e 2xax =，当()00,x x ∈时，()0h x >，此时0g x ，所以()g x 在()00,x 单调递增；当()0,x x ∈+∞时，()0h x <，此时()0g x '<，所以()g x 在()0,x +∞单调递减. 所以()g x 在()0,+∞有极大值()0g x ，即()()()()00000000max 2ln e 2ln 22ln 1x g x x x ax x x x x =+-=+-=+-⎡⎤⎣⎦若00ln 10x x +-≤，则()0g x ≤，所以()0≤f x ，()f x 在()0,+∞上至多有一个零点，不合题意.… 若00ln 10x x +->，设()ln p x x x =+，()110p x x'=+>， 所以()p x 在()0,+∞单调递增. 又()11p =，所以01x >.因为()()e 1e 0x x x x '=+>，所以e x y x =在()0,+∞单调递增， 所以002e e x x a=>，即20e a <<，此时()00g x >，()00f x >因为111e e11122(1)e 2e 0e e e e g a a -⎛⎫=-+-=-+-< ⎪⎝⎭， ()g x 在()00,x 单调递增，()00g x >，所以101,e x x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()10f x =.又因为e 11ln x x x x ≥+>-≥，e 1x x x ≥+>，所以444444442ln 4e 2ln e e 0aa a g a a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+-<⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 因为()g x 在()0,x +∞单调递减，()00g x >，且因为020,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以04x a >，所以204,x x a ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()20g x =.所以204,x x a ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()20f x =．综上所述，若()f x 有两个零点，则实数a 的取值范围为20,e ⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】解决此类题型的关键第一问直接利用导数的几何意义及点斜式即可，第二问利用零点的存在性定理及导数法求函数的单调性和最值但要注意对参数进行分类讨论.。