一次函数
编稿：范兴亚审稿：白真责编：高伟
知识要点的考查内容梳理
平面直角坐标系
常考查的题目是求点关于坐标轴、坐标原点的对称点的坐标；求线段长度；求某些点的坐标等，主要考查考生对点的坐标等知识的理解及观察、分析能力．
函数的有关概念
常见题目有求自变量的取值范围，求函数值、函数图象、函数的表示法，主要考查学生的判断能力、计算能力、作图能力等．
正比例函数和一次函数的概念、图象和性质
常见题目是求函数解析式，确定图象位置，利用函数性质解决某些问题，主要考查学生对数形结合思想的理解水平和对待定系数法掌握的熟练程度，要求考生既能熟练地根据图象的位置判断系数的情况或函数的变化趋势，又能依据函数的性质或系数的大小判定函数图象的位置．
一元一次方程、一元一次不等式和一次函数的联系及其应用问题
旨在通过实际问题培养学生的化归能力，即把实际问题转化为学生学过的数学问题加以解决．
规律方法指导
函数知识是历年中考的热点，与本章知识有关的考题约占全部试题的15%~25%．题型既有填空题、选择题又有中档的解答题，更有难度较大的综合题．近几年全国各地中考试卷中，还出现了设计新颖，贴近生活、反映时代特点的阅读理解题、开放性探索题和函数应用题．尤其是全国各地中考试卷中的压轴题，有三分之一以上是与函数有关的综合题．试题不仅考查函数的基础知识、基本技能、基本数学思想方法，还越来越重视对学生灵活运用知识能力，探索创新能力和实践能力的考查．
常用的方法有数形结合法、待定系数法、配方法、类比法；在解答选择题时，又常用直接法、排除法、特殊值法和验证法等．这些方法为分析问题和解决问题创造了有利条件，是开发智力、培养能力的重要途径．
经典例题透析
类型一：有关函数的概念
1．已知正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，则一次函数y=x＋k的图象大致是图中的（）．
思路点拨：本题综合考查正比例函数和一次函数图象和性质，k＞0时，函数值随自变量x的增大而增大．解析：∵y随x的增大而减小，∴k＜0．
∵y=x＋k中x的系数为1＞0，k＜0，∴经过一、三、四象限，故选B．总结升华：对有关函数概念的考查，主要是考查考生是否理解正比例函数、一次函数等有关概念．有时单独命题专门考查，有时则结合其它题目来考查．
类型二：自变量的取值范围
2．函数的自变量x的取值范围是_________．
思路点拨：此题主要考查考生是否理解函数中自变量的取值范围的意义及解不等式、不等式组的运算能力，解题的关键是根据函数的解析式列出相应的不等式或不等式组，然后再求解．
解析：要使函数有意义，必须
解得x≤且x≠－１．
总结升华：
（１）作为函数的三大要素之一，自变量的取值范围这一问题理所当然成为中考重点考查的内容之一，并且绝大部分的试题都是单独命题来专门考查．
（２）在列出不等式或不等式组时，一般主要考虑：①分母不等于零；②二次根式的被开方数非负；
③如果自变量同时出现在分母与二次根式的被开方数中，则应根据上述①与②列出不等式组．
类型三：确定函数的解析式
3．某出版社出版一种适合中学生阅读的科普读物，若该读物首次出版印刷的印数不少于5000册时，投入的成本与印数间的相应数据如下：
（1）经过对上表中数据的探究，发现这种读物的投入成本y（元）是印数x（册）的一次函数，求这个一次函数的解析式（不要求写出x的取值范围）；
（2）如果出版社投入成本48000元，那么能印该读物多少册？
思路点拨：此题主要考查待定系数法以及解方程(组)的运算能力．解题时应根据函数图象上的点的坐标与函数解析式之间的关系列出方程或方程组，然后再求解．
解析：（1）设所求一次函数的解析式为y＝kx＋b，
则
解得k＝，b＝16000．
∴所求的函数关系式为y＝x＋16000．
（2）∵48000＝x＋16000．
∴x＝12800．
答：能印该读物12800册．
总结升华：此类问题主要是考查考生利用待定系数法来求出有关函数一般解析式中的未知系数，从而确定该函数解析式的能力．
类型四：图表信息
4．如图１，平面直角坐标系中画出了函数y=kx+b的图像．
（1）根据图像，求k和b的值．
（2）在图中画出函数y= -2x+2的图像．
（3）求x的取值范围，使函数y=kx+b的函数值大于函数y=-2x+2的函数值．
图 1 图 2
思路点拨：根据图象信息，求出一次函数解析式，找出图象的交点坐标，再根据图象的位置，判断函数值的大小．
解析：（1）∵直线y=kx+b经过点（-2，0），（0，2）．
∴解得∴y=x+2．
（2）y=-2x+2经过（0，2），（1，0），图像如图2所示．
（3）当y=kx+b的函数值大于y=-2x+2的函数值时，也就是x+2＞-2x+2，解得x＞0，•即x的取值
范围为x＞0．
类型五：“三个一次型”的关系
5．阅读：我们知道，在数轴上，x＝1表示一个点，而在平面直角坐标系中，x＝1表示一条直线；我们还知道，以二元一次方程2x－y＋1＝0的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数y＝2x＋1的图象，它也是一条直线，如图3．观察图3可以得出：直线x＝1与直线y＝2x＋1的交点P的坐标（1，3）就是方程
组的解，所以这个方程组的解为．在直角坐标系中，x≤1表示一个平面区域，即直线x＝1以及它左侧的部分，如图4；y≤2x＋1也表示一个平面区域，即直线y＝2x＋1以及它下方的部分，如图5．
回答下列问题：
（1）在直角坐标系（如图6）中，用作图象的方法求出方程组的解；
（2）用阴影表示，所围成的区域．
思路点拨：本题是一道阅读理解性考题，主要考查考生应用一次函数的图象解方程组和一元一次不等式的能力．
解析：（1）如图６所示，在坐标系中分别作出直线x＝－2和直线
y＝－2x＋2，
则是方程组的解．
这两条直线的交点是P（－2，6）．
（2）如图６阴影所示．
总结升华：一次函数与一元一次方程、一元一次不等式有着密切联系，以此构筑考题是课标中考的一个靓点．
