下载文档原格式
2021年度北师大版八年级数学下册《第4章因式分解》常考题型章末综合训练（附答案）1．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（）A．a2+b2B．2a﹣b2C．﹣a2+b2D．﹣a2﹣b22．下列因式分解正确的是（）A．2x2﹣2＝2（x2﹣1）B．﹣x2﹣y2＝﹣（x+y）（x﹣y）C．x2﹣2xy+4y2＝（x﹣2y）2D．﹣x2﹣2xy﹣y2＝﹣（x+y）23．下列因式分解正确的是（）A．x2﹣xy+y2＝（x﹣y）2B．x2﹣5x﹣6＝（x﹣2）（x﹣3）C．x3﹣4x＝x（x2﹣4）D．9m2﹣4n2＝（3m+2n）（3m﹣2n）4．多项式8a3b2+12a3bc﹣4a2b中，各项的公因式是（）A．a2b B．﹣4a2b2C．4a2b D．﹣a2b5．若实数x满足x2﹣2x﹣1＝0，则2x3﹣7x2+4x+2023的值为（）A．2020B．2021C．2022D．20236．若x2+5x+m＝（x+n）2，则m，n的值分别为（）A．m＝，n＝B．m＝，n＝5C．m＝25，n＝5D．m＝5，n＝7．若a2+2ab+b2﹣c2＝10，a+b+c＝5，则a+b﹣c的值是（）A．2B．5C．20D．98．已知a+b＝3，ab＝1，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为（）A．﹣1B．0C．3D．69．如图，大正方形ABCD和小正方形AEFG的周长和为20，且阴影部分的面积是10，则BE＝．10．分解因式：6xy2﹣8x2y3＝．11．因式分解：﹣3x2+27＝．12．已知x2﹣3x+1＝0，则＝．13．若2a﹣3b＝﹣1，则代数式4a2﹣6ab+3b的值为．14．如果x2+mx+6＝（x﹣2）（x﹣n），那么m+n的值为．15．因式分解：a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）＝．16．已知a+b＝3，ab＝2，求代数式a3b+2a2b2+ab3的值．17．若|x+y﹣5|+（x﹣y+1）2＝0，则x2﹣y2＝．18．若x2+2（3﹣m）x+25可以用完全平方式来分解因式，则m的值为．19．已知x﹣2y+2＝0，则x2+y2﹣xy﹣1的值为．20．已知P＝m2﹣m，Q＝m﹣1（m为任意实数），则P、Q的大小关系为．21．已知a、b、c分别是△ABC的三边．（1）分别将多项式ac﹣bc，﹣a2+2ab﹣b2进行因式分解；（2）若ac﹣bc＝﹣a2+2ab﹣b2，试判断△ABC的形状，并说明理由．22．阅读材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等，但有的多项式只有上述方法就无法分解，如x2﹣4y2+2x﹣4y，细心观察这个式子会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式，过程为：x2﹣4y2+2x﹣4y＝（x2﹣4y2）+（2x﹣4y）＝（x+2y）（x﹣2y）+2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y+2）这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：（1）分解因式：x2﹣6xy+9y2﹣3x+9y（2）△ABC的三边a，b，c满足a2﹣b2﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．23．分解因式：（1）3x2y﹣6xy+3y （2）（a2+1）2﹣4a2．24．因式分解（1）﹣2a3+12a2﹣18a （2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）25．阅读下面的问题，然后回答，分解因式：x2+2x﹣3，解：原式＝x2+2x+1﹣1﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）上述因式分解的方法称为配方法．请体会配方法的特点，用配方法分解因式：（1）x2﹣4x+3 （2）4x2+12x﹣7．26．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1＝0，求2x+y的值；（2）已知a﹣b＝4，ab+c2﹣6c+13＝0，求a+b+c的值．27．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．解：设x2﹣4x＝y，原式＝（y+2）（y+6）+4 （第一步）＝y2+8y+16 （第二步）＝（y+4）2（第三步）＝（x2﹣4x+4）2（第四步）（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的．A．提取公因式B．平方差公式C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底？．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．参考答案1．解：A、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意；B、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意；C、原式＝（b﹣a）（b+a），能利用平方差公式进行因式分解，符合题意；D、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意，故选：C．2．解：A、2x2﹣2＝2（x2﹣1）＝2（x+1)(x﹣1),故此选项错误；B、﹣x2﹣y2＝﹣（x2+y2），无法分解因式，故此选项错误；C、x2﹣2xy+4y2，无法直接利用公式法分解因式，故此选项错误；D、﹣x2﹣2xy﹣y2＝﹣（x+y）2，故此选项正确．故选：D．3．解：A、x2﹣xy+y2≠（x﹣y）2，因式分解错误，不符合题意．B、x2﹣5x﹣6＝（x﹣6）（x+1），因式分解错误，不符合题意．C、x3﹣4x＝x（x2﹣4）＝x（x+2）（x﹣2），因式分解错误，不符合题意．D、9m2﹣4n2＝（3m+2n）（3m﹣2n），因式分解正确，符合题意．故选：D．4．解：多项式8a3b2+12a3bc﹣4a2b中各项的公因式是4a2b，故选：C．5．解：∵x2﹣2x﹣1＝0，∴2x3﹣7x2+4x+2023＝2x（x2﹣2x﹣1）﹣3（x2﹣2x﹣1）+2020＝2x×0﹣3×0+2020＝0+0+2020＝2020，故选：A．6．解：∵x2+5x+m＝（x+n）2＝x2+2nx+n2，∴2n＝5，m＝n2，解得m＝，n＝，故选：A．7．解：a2+2ab+b2﹣c2＝10，（a+b）2﹣c2＝10，（a+b+c）（a+b﹣c）＝10，∵a+b+c＝5，∴5（a+b﹣c）＝10，解得a+b﹣c＝2．故选：A．8．解：a2b+ab2﹣a﹣b＝（a2b﹣a）+（ab2﹣b）＝a（ab﹣1）+b（ab﹣1）＝（ab﹣1）（a+b）将a+b＝3，ab＝1代入，得原式＝0．故选：B．9．解：∵正方形的面积等于边长的平方，∴正方形ABCD的面积为AB2，正方形AEFG的面积为AE2．∴阴影部分的面积是AB2﹣AE2＝（AB+AE）（AB﹣AE）．∵大正方形ABCD和小正方形AEFG的周长和为20，∴AB+BEBAE＝20÷4＝5．∵阴影部分的面积是10，∴（AB+AE）（AB﹣AE）＝10．∴AB﹣AE＝2．即BE＝2．故答案为2．10．解：6xy2﹣8x2y3＝2xy2（3﹣4xy）．故答案为：2xy2（3﹣4xy）．11．解：原式＝﹣3（x2﹣9）＝﹣3（x+3）（x﹣3），故答案为：﹣3（x+3）（x﹣3）12．解：∵x2﹣3x+1＝0，∴x+＝3，∴＝＝＝，故答案为．13．解：∵2a﹣3b＝﹣1，∴4a2﹣6ab+3b＝2a（2a﹣3b）+3b＝2a×（﹣1）+3b＝﹣2a+3b＝﹣（2a﹣3b）＝﹣（﹣1）＝1故答案为114．解：∵（x﹣2）（x﹣n）＝x2﹣（2+n）x+2n，∴m＝﹣（2+n），2n＝6，∴n＝3，m＝﹣5，∴m+n＝﹣5+3＝﹣2．故答案为﹣2．15．解：a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）＝（x﹣y）（a2﹣4b2）＝（x﹣y）（a+2b）（a﹣2b）．故答案为：（x﹣y）（a+2b）（a﹣2b）．16．解：∵a+b＝3，ab＝2，∴a3b+2a2b2+ab3＝ab（a2+2ab+b2）＝ab（a+b）2＝2×32＝18故答案为：18．17．解：∵|x+y﹣5|+（x﹣y+1）2＝0，∴，则原式＝（x+y）（x﹣y）＝﹣5，故答案为：﹣518．解：∵x2+2（3﹣m）x+25可以用完全平方式来分解因式，∴2（3﹣m）＝±10解得：m＝﹣2或8．故答案为：﹣2或8．19．解：∵x﹣2y+2＝0，∴x2+y2﹣xy﹣1，＝（x2﹣4xy+4y2）﹣1，＝（x﹣2y）2﹣1，＝×（﹣2）2﹣1，＝1﹣1，＝0，即x2+y2﹣xy﹣1＝0．故答案是：0．20．解：∵P＝m2﹣m，Q＝m﹣1（m为任意实数），∴P﹣Q＝m2﹣m﹣（m﹣1）＝m2﹣2m+1＝（m﹣1）2≥0，∴P≥Q．故答案为：P≥Q．21．解：（1）ac﹣bc＝c（a﹣b）﹣a2+2ab﹣b2＝﹣（a2﹣2ab+b2）＝﹣（a﹣b）2（2）∵ac﹣bc＝﹣a2+2ab﹣b2∴c（a﹣b）＝﹣（a﹣b）2c（a﹣b）+（a﹣b）2＝0（a﹣b）（c+a﹣b）＝0∵a、b、c分别是△ABC的三边，满足两边之和大于第三边，即c+a﹣b＞0∴a﹣b＝0即a＝b故△ABC的形状是等腰三角形．22．解：（1）x2﹣6xy+9y2﹣3x+9y＝（x2﹣6xy+9y2）﹣（3x﹣9y）＝（x﹣3y）2﹣3（x﹣3y）＝（x﹣3y）（x﹣3y﹣3）；（2）∵a2﹣b2﹣ac+bc＝0，∴（a2﹣b2）﹣（ac﹣bc）＝0，∴（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，∴（a﹣b）[（a+b）﹣c]＝0，∵a，b，c是△ABC的三边，∴（a+b）﹣c＞0，得a＝b，∴△ABC是等腰三角形．23．解：（1）原式＝3y（x2﹣2x+1）＝3y（x﹣1）2；（2）原式＝（a2+1+2a）（a2+1﹣2a）＝（a+1）2（a﹣1）2．24．解：（1）原式＝﹣2a（a2﹣6a+9）＝﹣2a（a﹣3）2；（2）原式＝（x﹣y）（9a2﹣4b2）＝（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）．25．解：（1）x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣4+3＝（x﹣2）2﹣1＝（x﹣2+1）（x﹣2﹣1）＝（x﹣1）（x﹣3）（2）4x2+12x﹣7＝4x2+12x+9﹣9﹣7＝（2x+3）2﹣16＝（2x+3+4）（2x+3﹣4）＝（2x+7）（2x﹣1）26．解：（1）∵x2+2xy+2y2+2y+1＝0，∴（x2+2xy+y2）+（y2+2y+1）＝0，∴（x+y）2+（y+1）2＝0，∴x+y＝0，y+1＝0，解得，x＝1，y＝﹣1，∴2x+y＝2×1+（﹣1）＝1；（2）∵a﹣b＝4，∴a＝b+4，∴将a＝b+4代入ab+c2﹣6c+13＝0，得b2+4b+c2﹣6c+13＝0，∴（b2+4b+4）+（c2﹣6c+9）＝0，∴（b+2）2+（c﹣3）2＝0，∴b+2＝0，c﹣3＝0，解得，b＝﹣2，c＝3，∴a＝b+4＝﹣2+4＝2，∴a+b+c＝2﹣2+3＝3．27．解：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式；故选：C；（2）该同学因式分解的结果不彻底，原式＝（x2﹣4x+4）2＝（x﹣2）4；故答案为：不彻底，（x﹣2）4；（3）（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1＝（x2﹣2x）2+2（x2﹣2x）+1＝（x2﹣2x+1）2＝（x﹣1）4。
整式的乘除与因式分解章
因式分解之公式法
北京四中 龚剑钧
知识要点：
一、因式分解步骤：“一提二代三分组”
（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；
（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；
（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以 后会学到）．
二、因式分解注意事项
（1）因式分解的对象是多项式；
（2）最终把多项式化成乘积形式；
（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．
三、平方差公式：22
a b -=(a+b)(a-b)
完全平方公式：()2222a ab b a b ++=+ ()2
222a ab b a b -+=- （1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.
（2）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，
a 、
b 可以是字母，也可以是单项式或多项式.
例题分析：
1. 把下列各式分解因式.
2.用简便方法计算下列各式：
4.分解因式：
5.若a 、b 、c 为三角形的三边边长，
试判断()2222224a b c
a b +--的正负状况．
6.若三角形的三边长是a 、b 、c ，且满足2222220a b c ab bc ++--=， 试判断三角形的形状.
7.（1）若a+b=3，求222426a ab b ++-的值.
（2）若44225a b a b ++=，ab=2，求22a b +的值.
（3）已知x 、y 满足22x y ++0.5=x+y ，求x+y 的值.。
北师大版八年级数学下册《因式分解》练习(含答案)《分解因式》练习卷一、选择题1.下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的为（ ）A.23()33a a b a ab +=+B.2(2)(3)6a a a a +-=--C.221(2)1x x x x -+=-+D.22()()a b a b a b -=+-2.下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是（ ）A.2x y -B.22x x +C.22x y +D.22x xy y -+3.把多项式(1)(1)(1)m m m +-+-提取公因式(1)m -后，余下的部分是（ ）A.1m +B.2mC.2D.2m +4.分解因式：24x -=（ ）A.2(4)x -B.2(2)x - C.(2)(2)x x +- D .(4)(4)x x +- 5.(3)(3)a y a y -+是下列哪一个多项式因式分解的结果（ ）.A.229a y +B. －229a y +C.229a y -D.－229a y -6.若 4a b +=，则222a ab b ++的值是（ ）A.8B.16C.2D.47.因式分解2a ab -，正确的结果是（ ）A.2(1)a b -B.(1)(1)a b b -+C.2()a b -D.2(1)a b -8.把多项式244x x -+分解因式的结果是（ ）A.2(2)x -B.(4)4x x -+C.(2)(2)x x +-D.2(2)x +9.若215(3)()x mx x x n +-=++，则m 的值为（ ）A.－5B.5C.－2D.210.下列因式分解中，错误的是（ ）A. 219(13)(13)x x x -=+-B.2211()42a a a -+=- C.()mx my m x y -+=-+ D.()()ax ay bx by ab x y --+=--二、填空题11.多项式2232128x xy xy ++各项的公因式是______________.12. 已知x ＋y=6，xy=4，则x 2y ＋xy 2的值为 . 13.一个长方形的面积是2(9)x -平方米，其长为(3)x +米，用含有x 的整式表示它的宽为________米.14. (1)x +（ ）21x =-．15.若多项式4a 2+M 能用平方差公式分解因式，则单项式M=____(写出一个即可).16. 在多项式241x +加上一个单项式后，能成为一个整式的完全平方式，那么所添加的单项式还可以是 ．17. 已知：x +y =1,则222121y xy x ++的值是___________. 18. 若512x 3,04422-+=-+x x x 则的值为_____________.20. 如图所示，边长为a 米的正方形广场，扩建后的正方形边长比原来的长2米，则扩建后的广场面积增加了_______米2．三、解答题21.分解因式：（1）222a ab -； （2）2x 2－18；（3）22242x xy y -+； （4）2242x x ++.22.请你从下列各式中，任选两式作差，并将得到的式子进行因式分解．2224()19a x y b +， ， ， ．23.设n为整数．求证：（2n+1）2－25能被4整除.24.在直径D1=1 8mm的圆形零件上挖出半径为D2=14mm的圆孔，则所得圆环形零件的底面积是多少?(结果保留整数).27. 先阅读下列材料，再分解因式：（1）要把多项式am an bm bn+++分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出a；把它的后两项分成一组，并提出b.从而得到()()a m nb m n+++.这时由于()a m n+与()b m n+又有公因式()m n+，于是可提出公因式()m n+，从而得到()()m n a b++.因此有()()am an bm bn am an bm bn+++=+++()()a m nb m n=+++()()m n a b=++.这种分解因式的方法叫做分组分解法.如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来分解因式了.（2）请用（1）中提供的方法分解因式：①2a ab ac bc+--.-+-；②255m n mn m(1)(1)x y x y =++--． =(2a+x+y)(2a －x －y)．23. 提示：判断（2n+1）2－25能否被4整除，主要看其因式分解后是否能写成4与另一个因式积的形式，因（2n+1）2－25=4（n+3）（n －2），由此可知该式能被4整除.24.解：环形面积就是大圆面积减去小圆面积，于是S 环=π21R 一π22R=π212D ⎛⎫ ⎪⎝⎭一π222D ⎛⎫ ⎪⎝⎭=π12122222D D D D ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ =π×(9+7)(9—7)=126π≈396(mm 2)故所得圆环形零件的底面积约为396mm 2．25. 用一张图①、5张图②、4张图③拼成下图矩形，由图形的面积可将多项式a 2＋5ab ＋4b 2分解为（a ＋b ）（a ＋4b ）.26. 解：（1）132－92=8⨯11，172－32=8⨯35．（2）规律：任意两个奇数的平方差是8的倍数．（3）证明：设m 、n 为整数，两个奇数可表示为2m+1和2n+1，则(2m+1)2－(2n+1)2=[(2m+1)+(2n+1)][(2m+1)－(2n －1)]=4(m －n)(m+n+1)．当m 、n 同是奇数或偶数时，m －n 一定为偶数，所以4(m －n)一定是8的倍数；当m 、n 一奇一偶时，m+n+1一定为偶数，所以4(m+n+1)一定是8的倍数．所以任意两个奇数的平方差是8的倍数．27. ①()()--.m m na b a c-+；②(5)()。
《分解因式》练习卷一、选择题1.下列各式由左边到右边的变形中,是因式分解的为（ ）Ａ.23()33a a b a ab +=+ Ｂ.2(2)(3)6a a a a +-=--C.221(2)1x x x x -+=-+ Ｄ．22()()a b a b a b -=+-2.下列多项式中,能用提公因式法分解因式的是（ )A.2x y -B.22x x + C ．22x y + D.22x xy y -+3.把多项式(1)(1)(1)m m m +-+-提取公因式(1)m -后,余下的部分是（ ）A.1m +B.2m C ．2 D.2m + ４．分解因式:24x -=（ )Ａ.2(4)x -ﻩﻩ B.2(2)x - Ｃ.(2)(2)x x +- Ｄ.(4)(4)x x +-５.(3)(3)a y a y -+是下列哪一个多项式因式分解的结果( ）.Ａ．229a y + Ｂ. -229a y + Ｃ.229a y - D.－229a y -6.若 4a b +=，则222a ab b ++的值是（ ）A.8B.16 Ｃ.2 D ．4７．因式分解2a ab -，正确的结果是（ )A ．2(1)a b - B.(1)(1)a b b -+ C.2()a b - Ｄ.2(1)a b -8．把多项式244x x -+分解因式的结果是（ ）A ．2(2)x - B.(4)4x x -+ C.(2)(2)x x +-D ．2(2)x +9．若215(3)()x mx x x n +-=++，则m 的值为（ ）A.－5B.5C.－2 D ．210．下列因式分解中，错误的是( ）A. 219(13)(13)x x x -=+- B ．2211()42a a a -+=-C.()mx my m x y -+=-+D ．()()ax ay bx by a b x y --+=--二、填空题11.多项式2232128x xy xy ++各项的公因式是_____＿_＿_＿_＿__.１２. 已知x ＋y ＝6,xy ＝４，则x 2y ＋ｘy 2的值为 . １3.一个长方形的面积是2(9)x -平方米，其长为(3)x +米,用含有x 的整式表示它的宽为_____＿__米.１4． (1)x +( ）21x =-．15．若多项式4a 2+Ｍ能用平方差公式分解因式，则单项式Ｍ＝＿___(写出一个即可).16. 在多项式241x +加上一个单项式后，能成为一个整式的完全平方式，那么所添加的单项式还可以是 ．17. 已知:x +y =１,则222121y xy x ++的值是_＿＿_______＿. 18. 若512x 3,04422-+=-+x x x 则的值为___＿＿________．20. 如图所示，边长为a 米的正方形广场，扩建后的正方形边长比原来的长２米,则扩建后的广场面积增加了_______米2．三、解答题21.分解因式:(1）222a ab -； (2）2x 2－18；(3）22242x xy y -+; （４)2242x x ++．２２.请你从下列各式中，任选两式作差，并将得到的式子进行因式分解.2224()19a x y b+， ， ，．23.设n为整数.求证：（２n+１）2－25能被4整除．2４.在直径D1=１ 8mｍ的圆形零件上挖出半径为D２=14mm的圆孔，则所得圆环形零件的底面积是多少?(结果保留整数).2７. 先阅读下列材料,再分解因式:(1）要把多项式am an bm bn+++分解因式,可以先把它的前两项分成一组,并提出a；把它的后两项分成一组,并提出b.从而得到()()a m nb m n+++.这时由于()a m n+与()b m n+又有公因式()m n+，于是可提出公因式()m n+,从而得到()()m n a b++．因此有()()am an bm bn am an bm bn+++=+++()()a m nb m n=+++()()m n a b=++．这种分解因式的方法叫做分组分解法.如果把一个多项式的项分组并提出公因式后,它们的另一个因式正好相同,那么这个多项式就可以利用分组分解法来分解因式了．(2)请用(１）中提供的方法分解因式：①2a ab ac bc+--.-+-;②255m n mn m参考答案一、选择题１.D;2.B;3.D;4.C;５.Ｃ;6.B ；7．B;8.A;９.C ；1０．C二、填空题11.2x ；12.2４；13. 3x -;14．1x -；15． 本题是一道开放题，答案不唯一.M 为某个数或式的平方的相反数即可,如：－b ２,-1，－４……１6. 4x ±、44x 、－1,24x -中的一个即可;1７.12;提示：本题无法直接求出字母ｘ、y 的值，可首先将求值式进行因式分解，使求值式中含有已知条件式,再将其整体代入求解.因222121y xy x ++=21（x +ｙ)２,所以将x ＋y =1代入该式得:222121y xy x ++=21. １8.7；19.答案不唯一,如33()()a b ab ab a b a b -=+-等;２0. 4（ａ+１);三、解答题2１.(１)2()a a b -；（２)２（x ＋3)(ｘ-3)；(3)22()x y -;(4）22(1)x +．22. 本题是一道开放性试题,答案不唯一．解：作差如：2249a b - ， 2()1x y +-；22()4x y a +-;22()9x y b +-；21()x y -+;224()a x y -+；229()b x y -+ 等．分解因式如:1．2249a b - ３. 22()9x y b +-(23)(23)a b a b =+-. =(x+y+３b ）（x ＋y-3b)．2. 21()x y -+ 4. 224()a x y -+[][]1()1()x y x y =++-+ =[２ａ+(x+y)]［2a-(ｘ+ｙ)］(1)(1)x y x y =++--． ＝（2a ＋x+ｙ)(2ａ-x-y ）． ２3. 提示:判断(2ｎ＋1)2－2５能否被4整除，主要看其因式分解后是否能写成4与另一个因式积的形式,因(2n ＋1)2-２5＝4(n+3）(n-2），由此可知该式能被4整除.24．解：环形面积就是大圆面积减去小圆面积,于是S 环=π21R 一π22R=π212D ⎛⎫ ⎪⎝⎭一π222D ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝π12122222D D D D ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ =π×(9＋7)(9—7）＝126π≈3９6(ｍｍ2)故所得圆环形零件的底面积约为３９６mm 2.25． 用一张图①、5张图②、4张图③拼成下图矩形,由图形的面积可将多项式a 2+5ab+4b 2分解为(ａ+ｂ)(ａ+4ｂ）.２6. 解：（1）1３2-92＝8⨯1１，172-32=８⨯35.(2)规律：任意两个奇数的平方差是8的倍数．（3)证明：设m 、n 为整数，两个奇数可表示为２m+1和2n+1,则(2m+1)2-(２n+1)2＝[(2m ＋1)＋(2ｎ+1)][(2m+１）-(2n －1)］=4(ｍ-n)（ｍ+n+1). 当m 、n 同是奇数或偶数时，m －ｎ一定为偶数,所以4（ｍ－n ）一定是８的倍数；当m 、n 一奇一偶时,ｍ+n+1一定为偶数，所以４（ｍ＋n+1)一定是8的倍数.所以任意两个奇数的平方差是8的倍数．２７．①()()--.m m na b a c-+;②(5)()。
2020年北师大版八年级下数学第4章《因式分解》练习题12．阅读下列材料：数学中枚举法是一种重要归纳法也称为列举法、穷举法，是暴力策略的具体体现，又称为蛮力法．用枚举法解题时应该注意：（1）常常需要将对象进行恰当分类．（2）使其确定范围尽可能最小，逐个试验寻求答案．正整数N的末尾为5称为“威武数”，那么N的平方数为M称为“平武数”．例：152＝225（2＝1×2），252＝625（6＝2×3），352＝1225（12＝3×4），452＝2025（20＝4×5），552＝3025（30＝5×6），……由以上的枚举可以归纳得到的“平武数”特点是：①“平武数”的末两位数字是25；②去掉末两位数字25后，剩下部分组成的数字等于“威武数”去掉个位数字5后剩部分组成的数字与比此数大1的数之积．（如例中的括号内容）（1）根据以上特点我们能够很快的推出一个四位数的“平武数”M一共有7个．（2）同学们用学过的完全平方公式求证：当“威武数”N为任意二位数时，“平武数”M 都满足以上特点．（3）已知“平武数”M的首位数是2且小于六位，又满足N的各位数字之和与M的各位数字之和相等，求出“平武数”M的值．解：（1）∵352＝1225，452＝2025，552＝3025，652＝4225，752＝5625，852＝7225，952＝9025，再由“平武数”的特点，∴四位数的“平武数”共有7个，故答案为7；（2）设二位数的“威武数”N的十位数字是a，∴N＝10a+5，∴M＝（10a+5）2＝100a2+25+100a＝100a（a+1）+25，∴M的末尾两位数是25，∴当“威武数”N为任意二位数时，“平武数”M都满足以上特点；（3）当M是四位数时，设M的千位数是x，百位数是y，此时N是两位数，设N的十位数字是z，∴10x+y＝z（z+1），∵N的各位数字之和与M的各位数字之和相等，∴z+5＝x+y+2+5，∴z＝x+y+2，∴z2+2＝9x，∴当x＝2时，z＝4；当x＝5时，z＝3；∴M＝2025或M＝3025；当M是五位数时，设万位数字是x，千位数字是y，百位数字是z，∵3152＝99225，∴N的首位两个数字和最大是11，设N的十位数字是a，当N的首位是1时，∴1+a＝2+x+y+z，∴a﹣1＝x+y+z，又∵（10+a）（10+a+1）＝100x+10y+z，∴a2+20a+111＝9（9x+y），∴a2+20a+111＝（a+10）2+11＝9（9x+y），∴a＝4，∴1452＝21025，∴M＝21025；当N的首位是2时，∴2+a＝2+x+y+z，∴a＝x+y+z，又∵（20+a）（20+a+1）＝100x+10y+z，∴a2+40a+420＝（a+20）2+20＝9（9x+y），此时a不存在；∴M的值为2025或3025或21025．。
2017年八年级数学下册第4章《因式分解》训练题（新版）北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017年八年级数学下册第4章《因式分解》训练题（新版）北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2017年八年级数学下册第4章《因式分解》训练题（新版）北师大版的全部内容。
第4章《因式分解》一、选择题1．下列各式从左到右的变形，正确的是（ )A ．﹣x ﹣y=﹣（x ﹣y ）B ．﹣a+b=﹣(a+b)C ．（y ﹣x ）2=（x ﹣y ）2D ．(a ﹣b ）3=（b ﹣a ）32．下列因式分解正确的是（ ）A ．4322269(69)a b a b a b a b a a -+=-+B ．2211()42x x x -+=-C ．2224(2)x x x -+=-D ． 224(4)(4)x y x y x y -=+-3．多项式2mx m -与多项式221x x -+的公因式是（ )A ．1x -B ．1x +C ．21x -D ．()21x -4．将多项式a （b ﹣2）﹣a 2(2﹣b ）因式分解的结果是（ ）A ．（b ﹣2）(a+a 2）B ．（b ﹣2）（a ﹣a 2）C ．a(b ﹣2）（a+1）D ．a(b ﹣2）（a ﹣1) 5．下列等式不一定成立的是( ）A ．(0)aab b b =≠ B ．3521a a a -•=C ．224(2)(2)a b a b a b -=+-D ．326(2)4a a -=6．下列各式的变形中，正确的是( ）A ．22()()x y x y x y ---+=-B ．11xx x x --=C ．2243(2)1x x x -+=-+D ．21()1x x x x ÷+=+二、填空题7．﹣xy 2(x+y ）3+x （x+y ）2的公因式是 ；（2）4x （m ﹣n ）+8y （n ﹣m ）2的公因式是 ．8．（2015南京)分解因式()(4)a b a b ab --+的结果是 ．9．（2015内江）已知实数a ，b 满足:211a a +=,211b b +=，则2015a b -｜= ．10．已知(2x﹣21)（3x﹣7)﹣（3x﹣7）(x﹣13）可分解因式为（3x+a）(x+b），其中a、b均为整数，则a+3b= ．11.若a—b=3，ab=2，则a2b—ab2=三、解答题12．将下列各式因式分解：（1）5a3b(a﹣b）3﹣10a4b3（b﹣a）2；(2）(b﹣a）2+a（a﹣b）+b（b﹣a）;(3）（3a﹣4b）（7a﹣8b）+(11a﹣12b）（8b﹣7a）；(4）x（b+c﹣d）﹣y（d﹣b﹣c)﹣c﹣b+d．13．若x，y满足，求7y（x﹣3y）2﹣2（3y﹣x)3的值．14．先阅读下面的材料，再因式分解:要把多项式am+an+bm+bn因式分解,可以先把它的前两项分成一组,并提出a；把它的后两项分成一组，并提出b,从而得至a(m+n）+b（m+n)．这时，由于a(m+n)+b（m+n)，又有因式（m+n），于是可提公因式(m+n），从而得到（m+n）（a+b）．因此有am+an+bm+bn=（am+an）+(bm+bn）=a（m+n）+b（m+n）=（m+n)（a+b）．这种因式分解的方法叫做分组分解法．如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解了．请用上面材料中提供的方法因式分解：（1）ab﹣ac+bc﹣b2：(2）m2﹣mn+mx﹣nx;（3）xy2﹣2xy+2y﹣4．15．求使不等式成立的x的取值范围：（x﹣1）3﹣（x﹣1)（x2﹣2x+3）≥0．16．阅读题：因式分解：1+x+x(x+1）+x（x+1）2解：原式=（1+x）+x（x+1）+x（x+1)2=（1+x）［1+x+x（x+1）]=（1+x）[（1+x）+x（1+x)]=（1+x）2（1+x)=（1+x）3．（1）本题提取公因式几次？(2)若将题目改为1+x+x(x+1)+…+x(x+1）n，需提公因式多少次？结果是什么?《第4章因式分解》参考答案一、选择题1．C2．D3．D4．C5．A6. B二、填空题7．解：（1）﹣xy2（x+y)3+x（x+y）2的公因式是x（x+y）2；（2）4x（m﹣n）+8y（n﹣m）2的公因式是4（m﹣n）．故答案为：4（m﹣n）x（x+y）2．8．解:（x+3）2﹣（x+3），=(x+3）(x+3﹣1），=（x+2）（x+3）．9．解:n（m﹣n）（p﹣q）﹣n(n﹣m）（p﹣q）=n（m﹣n）（p﹣q）+n（m﹣n）(p﹣q)=2n（m﹣n)（p﹣q）．故答案为：2n（m﹣n）（p﹣q)．10．解:（2x﹣21）（3x﹣7)﹣（3x﹣7）（x﹣13)，=（3x﹣7)（2x﹣21﹣x+13），=（3x﹣7）(x﹣8）=（3x+a)(x+b），则a=﹣7，b=﹣8，故a+3b=﹣7﹣24=﹣31，故答案为:﹣31．三、解答题11．解：（1）5a3b（a﹣b)3﹣10a4b3(b﹣a)2=5a3b（a﹣b）2（a﹣b﹣2ab2）(2）(b﹣a）2+a（a﹣b）+b（b﹣a）=(a﹣b）（a﹣b+a﹣b）=2（a﹣b）2;(3)(3a﹣4b）（7a﹣8b）+（11a﹣12b)（8b﹣7a）=（7a﹣8b)（3a﹣4b﹣11a+12b)=8（7a﹣8b）(b﹣a）（4)x（b+c﹣d）﹣y(d﹣b﹣c）﹣c﹣b+d=（b+c﹣d）（x+y﹣1)．12．解：7y（x﹣3y）2﹣2(3y﹣x）3，=7y（x﹣3y)2+2（x﹣3y）3,=（x﹣3y）2[7y+2（x﹣3y）］，=（x﹣3y）2（2x+y),当时，原式=12×6=6．13．解：（1）ab﹣ac+bc﹣b2=a（b﹣c）+b（c﹣b)=(a﹣b)（b﹣c）;（2）m2﹣mn+mx﹣nx=m（m﹣n）+x（m﹣n)=（m﹣n）（m﹣x）;(3）xy2﹣2xy+2y﹣4=xy（y﹣2）+2（y﹣2）=（y﹣2）（xy+2)．14．解：（x﹣1）3﹣（x﹣1）（x2﹣2x+3）=（x﹣1)3﹣（x﹣1)2(x﹣2）=（x﹣1）2(x+1）；因（x﹣1）2是非负数，要使(x﹣1）3﹣（x﹣1）(x2﹣2x+3)≥0，只要x+1≥0即可，即x≥﹣1．15．解:（1）共提取了两次公因式；（2)将题目改为1+x+x（x+1）+…+x（x+1）n,需提公因式n次，结果是（x+1）n+1．16．解：x（x﹣y）﹣y（y﹣x）=（x﹣y）（x+y）；因为x，y都是自然数，又12=1×12=2×6=3×4;经验证（4﹣2）×（4+2）=2×6符合条件;所以x=4,y=2．。
因式分解编稿：白真审稿：范兴亚责编:邵剑英【内容综述】本讲主要介绍因式分解的概念，方法和技巧。
【要点讲解】一．因式分解的概念和基本要求把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式，因式分解的基本方法有：提公因式法；运用公式法；分组分解法；十字相乘法，难点是如何灵活的运用这些基本方法。
在进行多项式的因式分解时，要注意以下几点：(1)如果多项式的各项含有公因式，那么要先提出这个公因式，再进一步分解因式。
(2)分解因式时，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
(3)因式分解过程的每一步必须都是恒等变形。
这一部分中，通过一系列的由易到难的题目的解决过程的讲解，同学们不但要体会因式分解的基本方法的灵活运用，而且还将学习到拆项法、添项法等其它的因式分解方法。
举出因式分解的例子。
结合举例让学生明白以下几个问题：这一概念的特点是：(1)多项式因式分解的结果一定是积的形式；(2)每个因式必须是整式(单项式或多项式)；(3)各因式要分解到不能再分为止(本章，只在有理数范围内研究因式分解)。
二．因式分解与整式乘法的区别和联系整式乘法是把几个整式相乘化为一个多项式，而因分解是把一个多项式化为几个整式相乘，也就是说，因式分解是整式乘法的逆变形，例如(1)明了因式分解的意义；(2)把整式乘法的过程反过来得到因式分解的一些基本方法；(3)利用整式乘法检验因式分解的结果是否正确。
练习：判断下例式子变形是否是因式分解?(1)(2)(3)(4)三．因式分解的基本方法(1)提公因式法：这是因式分解的基本方法，只要多项式各项有公因式，首先把它提出来(2)运用公式法：本章学习了三个公式。
平方差公式：完全平方公式：这里的a、b既可以是单项式，也可以是多项式。
(3)分组分解法：分组的原则是：分组后每组之间、组与组之间有公因式可提，或分组后可用公式。
四．手把手点拨：1．把下列各式分解因式：(1)；(2)；(3)；(4)。
北师大版八年级数学下册第四章因式分解专项训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，长与宽分别为a 、b 的长方形，它的周长为14，面积为10，则a 3b +2a 2b 2+ab 3的值为（ ）A ．2560B ．490C ．70D ．492、已知c ＜a ＜b ＜0，若M ＝|a （a ﹣c ）|，N ＝|b （a ﹣c ）|，则M 与N 的大小关系是（ ）A ．M ＜NB ．M ＝NC ．M ＞ND ．不能确定3、27327-可以被24和31之间某三个整数整除，这三个数是（ ）A ．25，26，27B ．26，27，28C ．27，28，29D ．28，29，304、下列运算错误的是（ ）A ．()23924b b =B ．235a a a ⋅=C ．()ax ay a x y +=+D ．32a a a ÷=（a ≠0）5、不论x ，y 取何实数，代数式x 2－4x ＋y 2－6y ＋13总是（ ）A ．非负数B ．正数C ．负数D ．非正数6、下列各因式分解正确的是（ ）A ．2221(1)x x x +-=-B ．22(2)(2)(2)x x x -+-=-+C ．22(1)21x x x +=++D ．34(2)(2)x x x x x -=+-7、下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）A ．x 2﹣x ﹣6＝（x ＋2）（x ﹣3）B ．x 2﹣2x ＋1＝x （x ﹣2）＋1C ．x 2＋y 2＝（x ＋y ）2D ．（x ＋1）（x ﹣1）＝x 2﹣18、下列因式分解正确的是（ ）A ．a 2+1＝a （a+1）B ．2(1)(1)1x x x +-=-C ．a 2+a ﹣5＝（a ﹣2）（a +3）+1D ．22()x y y y xy x x =++9、下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ）A ．2161x +B ．221x x +-C ．2224a ab b ++D ．214x x -+ 10、因式分解m 2-m -6正确的是（ ）A ．(m +2)(m -3)B ．(m -2)(m +3)C ．(m -2)(m -3)D ．(m +2)(m +3) 第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、分解因式：x 2﹣7xy ﹣18y 2＝___．2、因式分解：2a 2-4a -6=________．3、因式分解：23322212820x y x y x y -+=______．4、因式分解：42716a a ++=__．5、分解因式：﹣8a 3b +8a 2b 2﹣2ab 3＝_____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、分解因式：x 3y ﹣6x 2y 2+9xy 32、因式分解：（1）23396ab a b ab +-（2）()()2m x y n x y +-+（3）221218x y xy y -+3、因式分解（1）ax 2＋8ax ＋16a ；（2）x 4－81x 2y 24、对于多项式x 3﹣5x 2+11x ﹣10，如果我们把x ＝2代入此多项式，发现多项式x 3﹣5x 2+11x ﹣10＝0，这时可以断定多项式中有因式（x ﹣2），于是我们可以把多项式写成：x 3﹣5x 2+11x ﹣10＝（x ﹣2）（x 2+mx +n ），以上这种因式分解的方法叫试根法．（1）求式子中m 、n 的值；（2）用试根法对多项式x 3﹣5x 2+3x +9进行因式分解．5、（1）运用乘法公式计算：()()3232x y x y +--+；（2）分解因式：()2101025a b a b --++．-参考答案-一、单选题【分析】利用面积公式得到ab＝10，由周长公式得到a+b＝7，所以将原式因式分解得出ab（a+b）2．将其代入求值即可．【详解】解：∵长与宽分别为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，∴ab＝10，a+b＝7，∴a3b+2a2b2+ab3＝ab（a+b）2＝10×72＝490．故选：B．【点睛】本题主要考查了因式分解和代数式求值，准确计算是解题的关键．2、C【分析】方法一：根据整式的乘法与绝对值化简，得到M-N=（a﹣c）（b﹣a）＞0，故可求解；方法二：根据题意可设c=-3，a=-2，b=-1，再求出M，N，故可比较求解．【详解】方法一：∵c＜a＜b＜0，∴a-c＞0，∴M＝|a（a﹣c）|=- a（a﹣c）N＝|b（a﹣c）|=- b（a﹣c）∴M-N=- a（a﹣c）-[- b（a﹣c）]= - a（a﹣c）+ b（a﹣c）=（a﹣c）（b﹣a）∵b-a＞0，∴（a﹣c）（b﹣a）＞0方法二：∵c＜a＜b＜0，∴可设c=-3，a=-2，b=-1，∴M＝|-2×（-2+3）|=2，N＝|-1×（-2+3）|=1∴M＞N故选C．【点睛】此题主要考查有理数的大小比较与因式分解得应用，解题的关键求出M-N=（a﹣c）（b﹣a）＞0，再进行判断．3、B【分析】先提取公因式27，再逐步利用平方差公式分解因式，即可得到答案.【详解】解：273243-=⨯-327333()()()241212=-=+-2731273131()()()1266=++-27313131()()()()12633=+++-2731313131()()126=⨯⨯⨯++2728263131所以27327-可以被26，27，28三个整数整除，故选B【点睛】本题考查的是利用平方差公式分解因式，掌握平方差公式的特点并灵活应用是解本题的关键.4、A【分析】根据积的乘方法则，同底数幂的乘除法法则，提取公因式分解因式，即可判断．【详解】解：A. ()23624b b =，故该选项错误，符合题意； B. 235a a a ⋅=，故该选项正确，不符合题意；C. ()ax ay a x y +=+，故该选项正确，不符合题意；D. 32a a a ÷=（a ≠0），故该选项正确，不符合题意，故选A ．【点睛】本题主要考查积的乘方法则，同底数幂的乘除法法则，提取公因式分解因式，熟练掌握运算法则是解题的关键．5、A【分析】先把原式化为224469x x y y -++-+，结合完全平方公式可得原式可化为()()2223,x y -+-从而可得答案.【详解】解：x 2－4x ＋y 2－6y ＋13224469x x y y =-++-+ ()()22230,x y =-+-≥故选A【点睛】本题考查的是代数式的值，非负数的性质，利用完全平方公式分解因式，掌握“()2222a ab b a b -+=-”是解本题的关键.6、D【分析】利用提公因式法、公式法逐项进行因式分解即可．【详解】解：A 、2221(1)x x x +-≠-，所以该选项不符合题意；B 、22(2)(2)(2)x x x -+-=-+，所以该选项不符合题意；C 、22(1)21x x x +=++是整式的乘法，所以该选项不符合题意；D 、34(2)(2)x x x x x -=+-，所以该选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是解决问题的关键．7、A【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，根据概念逐一判断即可.【详解】解：x 2﹣x ﹣6＝（x ＋2）（x ﹣3）属于因式分解，故A 符合题意；x 2﹣2x ＋1＝x （x ﹣2）＋1，右边没有化为整式的积的形式，不是因式分解，故B 不符合题意； x 2＋y 2＝（x ＋y ）2的左右两边不相等，22x y +不能分解因式，不是因式分解，故C 不符合题意； （x ＋1）（x ﹣1）＝x 2﹣1是整式的乘法运算，不是因式分解，故D 不符合题意；故选A【点睛】本题考查的是因式分解的概念，掌握“利用因式分解的概念判断代数变形是否是因式分解”是解题的关键.8、D【分析】根据因式分解的定义严格判断即可．【详解】∵2a +1≠a （a+1）∴A 分解不正确；∵2(1)(1)1x x x +-=-，不是因式分解，∴B 不符合题意；∵（a ﹣2）（a +3）+1含有加法运算，∴C 不符合题意；∵22()x y y y xy x x =++，∴D 分解正确；故选D ．【点睛】本题考查了因式分解，即把一个多项式写成几个因式的积，熟练进行因式分解是解题的关键．9、D【分析】根据完全平方公式法分解因式，即可求解．【详解】解：A 、不能用完全平方公式因式分解，故本选项不符合题意；B 、不能用完全平方公式因式分解，故本选项不符合题意；C 、不能用完全平方公式因式分解，故本选项不符合题意；D 、221142x x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭能用完全平方公式因式分解，故本选项符合题意； 故选：D【点睛】本题主要考查了完全平方公式法分解因式，熟练掌握()2222a ab b a b ±+=± 是解题的关键．10、A【分析】先把6-分解32, 再利用十字乘法分解因式，再逐一分析各选项，从而可得答案.【详解】 解： m 2-m -632m m 故选A【点睛】本题考查的是利用十字乘法分解因式，掌握“利用十字乘法分解因式”是解题的关键.二、填空题1、()()92x y x y -+【分析】根据十字相乘法因式分解即可．【详解】x 2﹣7xy ﹣18y 2()()92x y x y =-+，故答案为：()()92x y x y -+．【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．2、2(a -3)(a +1)a +1)(a -3)【分析】提取公因式2，再用十字相乘法分解因式即可．【详解】解：2a 2－4a －6＝2（a 2－2a －3）＝2(a -3)(a +1)故答案为：2(a -3)(a +1)【点睛】本题考查了本题考查了提公因式法与十字相乘法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法或十字相乘法分解因式，分解因式要彻底是解题关键．3、()224325x y y x -+【分析】直接提取公因式224x y 整理即可．【详解】解：()23322222128204325x y x y x y x y y x -+=-+，故答案是：()224325x y y x -+．【点睛】本题考查了提取公因式因式分解，解题的关键是找准公因式．4、22(4)(4)a a a a +-++【分析】将2a 当作整体，对式子先进行配方，然后利用平方差公式求解即可．【详解】解：原式42222222816(4)(4)(4)a a a a a a a a a =++-=+-=+-++．故答案是：22(4)(4)a a a a +-++．【点睛】此题考查了因式分解，涉及了平方差公式，解题的关键是掌握因式分解的方法，并将2a 当作整体，得到平方差的形式．5、﹣2ab （2a ﹣b ）2【分析】先提取公因式-2ab ，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【详解】解：原式＝﹣2ab （4a 2﹣4ab +b 2）＝﹣2ab （2a ﹣b ）2，故答案为：﹣2ab （2a ﹣b ）2．【点睛】本题考查提公因式法，公式法分解因式，解题的关键在于提取公因式后要继续进行二次分解因式．三、解答题1、()23xy x y -【分析】先提取公因式xy ，再根据完全平方公式分解因式．【详解】解：322369x y x y xy +﹣ =22(69)xy x xy y +﹣ ()23xy x y - 【点睛】考查了因式分解-运用公式法，要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．2、（1）()2332ab b a +-；（2）()()2x y m n +-；（3）()223y x -【分析】（1）利用提取公式法因式分解即可；（2）利用提取公式法因式分解即可；（3）提取公因式2y ，在利用完全平方公式因式分解即可．【详解】解：（1）23396ab a b ab +-=()2332ab b a +-；（2）()()2m x y n x y +-+()()2x y m n =+-（3）()()2222121826923x y xy y y x x y x -+=-+=- 【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．3、（1）a (x ＋4)2 ；（2）x 2(x ＋9y )(x －9y )【分析】（1）先提取公因式,a 再利用完全平方公式分解因式即可；（2）先提取公因式2,x 再利用平方差公式分解即可.【详解】解：（1）原式＝a (x 2＋8x ＋16)＝a (x ＋4)2（2）原式＝x 2(x 2－81y 2) ＝x 2(x ＋9y )(x －9y )【点睛】本题考查的是综合提公因式与公式法分解因式，掌握“利用完全平方公式与平方差公式分解因式”是解本题的关键.4、（1）3,5m n =-=；（2）2(1)(3)x x +-【分析】（1）把2(2)()x x mx n -++由多项式乘以多项式展开，与3251110x x x -+-对应相等即可得出答案；（2）把1x =-代入32539x x x -++中得325390x x x -++=，故可把32539x x x -++写成322539(1)()x x x x x ax b -++=+++，同（1）解出a 、b 的值，代入即可进行因式分解．【详解】（1）2322(2)()222x x mx n x mx nx x mx n -++=++---，32(2)(2)2x m x n m x n =+-+--，3232(2)(2)251110x m x n m x n x x x ∴+-+--=-+-，25211210m n m n -=-⎧⎪∴-=⎨⎪-=-⎩， 解得：35m n =-⎧⎨=⎩； （2）把1x =-代入32539x x x -++中得：325390x x x -++=，322539(1)()x x x x x ax b ∴-++=+++，232(1)()(1)()x x ax b x a x a b x b +++=+++++，3232(1)()539x a x a b x b x x x ∴+++++=-++，1539a a b b +=-⎧⎪∴+=⎨⎪=⎩， 解得：69a b =-⎧⎨=⎩， 3222539(1)(69)(1)(3)x x x x x x x x ∴-++=+-+=+-．【点睛】本题考查因式分解，掌握试根法的定义是解题的关键．5、（1）229124x y y -+-；（2）()25a b --【分析】（1）把（3y -2）看作一个整体，然后利用平方差公式及完全平方公式进行求解即可；（2）先部分提公因式，然后再利用完全平方公式进行因式分解即可．【详解】解：（1）()()3232x y x y +--+=()2232x y -- =229124x y y -+-；（2）()2101025a b a b --++ =()()21025a b a b ---+ =()25a b --．【点睛】本题主要考查整式的混合运算及因式分解，熟练掌握乘法公式是解题的关键．。
一、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）1．利用我们学过的知识，可以导出下面这个等式：()()()12222222a b c ab bc ac a b b c c a ⎡⎤++---=-+-+-⎣⎦． 该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美． （1）请你展开右边检验这个等式的正确性；（2）利用上面的式子计算：222201820192020201820192019202020182020++-⨯-⨯-⨯．【答案】（1）见解析；（2）3．【解析】【分析】（1）根据完全平方公式和合并同类项的方法可以将等式右边的式子进行化简，从而可以得出结论；（2）根据题目中的等式可以求得所求式子的值．【详解】解：（1）12[（a-b ）2+（b-c ）2+（c-a ）2] =12（a 2-2ab+b 2+b 2-2bc+c 2+a 2-2ac+c 2） =12×（2a 2+2b 2+2c 2-2ab-2bc-2ac ） =a 2+b 2+c 2-ab-bc-ac ，故a 2+b 2+c 2-ab-bc-ac=12[（a-b ）2+（b-c ）2+（c-a ）2]正确； （2）20182+20192+20202-2018×2019-2019×2020-2018×2020 =12×[（2018-2019）2+（2019-2020）2+（2020-2018）2] =12×（1+1+4） =12×6 =3．【点睛】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，熟练掌握完全平方公式并能灵活运用．2．阅读下列材料，然后解答问题：问题：分解因式：3245x x +-.解答：把1x =带入多项式3245x x +-，发现此多项式的值为0，由此确定多项式3245x x +-中有因式()1x -，于是可设()()322451x x x x mx n +-=-++，分别求出m ，n 的值.再代入()()322451x x x x mx n +-=-++，就容易分解多项式3245x x +-，这种分解因式的方法叫做“试根法”.（1）求上述式子中m ，n 的值；（2）请你用“试根法”分解因式：3299x x x +--.【答案】（1）5m =，5n =；（2）()()()133x x x ++-【解析】【分析】（1）先找出一个x 的值，进而找出一个因式，再将多项式设成分解因式的形式，即可得出结论；（2）先找出x=-1时，得出多项式的值，进而找出一个因式，再将多项式设成分解因式的形式，即可得出结论．【详解】解：（1）把1x =带入多项式3245x x +-，发现此多项式的值为0，∴多项式3245x x +-中有因式()1x -，于是可设322451xx x x mx n ， 得出：3232451x x x m x n m x n ，∴14m ，0n m，∴5m =，5n =， （2）把1x =-代入3299x x x +--，多项式的值为0，∴多项式3299x x x +--中有因式()1x +，于是可设322329911x x x x x mx n x m x n m x n ，∴11m +=，9n m，9n =- ∴0m =，9n =-，∴3229133991x x x x x x x x【点睛】此题是分解因式，主要考查了试根法分解因式的理解和掌握，解本题的关键是理解试根法分解因式．3．阅读下列材料：利用完全平方公式，可以将多项式2(0)ax bx c a ++≠变形为2()a x m n ++的形式，我们把这种变形方法，叫做配方法．运用配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．例如：22222111111251151151124112422242222x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++-+=+-=+++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭根据以上材料，解答下列问题：（1）用配方法将281x x +-化成2()x m n ++的形式，则281=x x +- ________；（2）用配方法和平方差公式把多项式228x x --进行因式分解；（3）对于任意实数x ，y ，多项式222416x y x y +--+的值总为______（填序号）．①正数②非负数 ③ 0【答案】（1）2(4)17x +-；（2）(2)(4)x x +-；（3）①【解析】【分析】（1）根据材料所给方法解答即可；（2）材料所给方法进行解答即可；（3）局部进行因式分解，最后写成非负数的积的形式即可完成解答.【详解】解：（1）281x x +-=2816116x x ++--2(4)17x +-.（2）原式=22118x x -+--=2(1)9x --=(13)(13)x x -+--=(2)(4)x x +-．（3）222416x y x y +--+=()()22214411x x y y -++-++=()()221211x y -+-+＞11故答案为①.【点睛】本题考查了配方法，根据材料学会配方法并灵活运用配方法解题是解答本题的关键.4．（阅读材料）因式分解：()()221x y x y ++++．解：将“x y +”看成整体，令x y A +=，则原式()22211A A A =++=+．再将“A ”还原，原式()21x y =++．上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法.（问题解决）（1）因式分解：()()2154x y x y +-+-；（2）因式分解：()()44a b a b ++-+；（3）证明：若n 为正整数，则代数式()()()21231n n n n ++++的值一定是某个整数的平方．【答案】（1）()()144x y x y +-+-1．（2）()22a b +-；（3）见解析. 【解析】【分析】（1）把（x-y ）看作一个整体，直接利用十字相乘法因式分解即可；（2）把a+b 看作一个整体，去括号后利用完全平方公式即可将原式因式分解；（3）将原式转化为()()223231n n n n ++++，进一步整理为（n 2+3n+1）2，根据n 为正整数得到n 2+3n+1也为正整数，从而说明原式是整数的平方．【详解】（1）()()[][]21541()14()(1)(144)x y x y x y x y x y x y +-+-=+-+-=+-+-； （2）()()2244()4()4(2)a b a b a b a b a b ++-+=+-++=+-； （3）原式()()223231n n n n =++++()()2223231n n n n =++++ ()2231n n =++． ∵n 为正整数，∴231n n ++为正整数．∴代数()()()21231n n n n ++++的值一定是某个整数的平方． 【点睛】本题考查因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法．5．阅读材料：若m 2﹣2mn+2n 2﹣8n+16=0，求m 、n 的值．解：∵m 2﹣2mn+2n 2﹣8n+16=0，∴（m 2﹣2mn+n 2）+（n 2﹣8n+16）=0∴（m ﹣n ）2+（n ﹣4）2=0，∴（m ﹣n ）2=0，（n ﹣4）2=0，∴n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x 2﹣2xy+2y 2+6y+9=0，求xy 的值；（2）已知△ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足a 2+b 2﹣10a ﹣12b+61=0，求△ABC 的最大边c 的值；（3）已知a ﹣b=8，ab+c 2﹣16c+80=0，求a+b+c 的值．【答案】(1)9；（2）△ABC 的最大边c 的值可能是6、7、8、9、10；（3）8.【解析】试题分析：（1）直接利用配方法得出关于x ，y 的值即可求出答案；（2）直接利用配方法得出关于a ，b 的值即可求出答案；（3）利用已知将原式变形，进而配方得出答案．试题解析：（1）∵x 2﹣2xy+2y 2+6y+9=0，∴（x 2﹣2xy+y 2）+（y 2+6y+9）=0，∴（x ﹣y ）2+（y+3）2=0，∴x ﹣y=0，y+3=0，∴x=﹣3，y=﹣3，∴xy=（﹣3）×（﹣3）=9，即xy 的值是9．（2）∵a 2+b 2﹣10a ﹣12b+61=0，∴（a 2﹣10a+25）+（b 2﹣12b+36）=0，∴（a ﹣5）2+（b ﹣6）2=0，∴a ﹣5=0，b ﹣6=0，∴a=5，b=6，∵6﹣5＜c ＜6+5，c≥6，∴6≤c ＜11，∴△ABC 的最大边c 的值可能是6、7、8、9、10．（3）∵a ﹣b=8，ab+c 2﹣16c+80=0，∴a （a ﹣8）+16+（c ﹣8）2=0，∴（a ﹣4）2+（c ﹣8）2=0，∴a ﹣4=0，c ﹣8=0，∴a=4，c=8，b=a ﹣8=4﹣8=﹣4，∴a+b+c=4﹣4+8=8，即a+b+c 的值是8．6．阅读材料小明遇到这样一个问题：求计算()()()22334x x x +++所得多项式的一次项系数.小明想通过计算()()()22334x x x +++所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法.他决定从简单情况开始，先找()()223x x ++所得多项式中的一次项系数，通过观察发现：也就是说，只需用2x +中的一次项系数1乘以23x +中的常数项3，再用2x +中的常数项2乘以23x +中的一次项系数2，两个积相加13227⨯+⨯=，即可得到一次项系数. 延续上面的方法，求计算()()()22334x x x +++所得多项式的一次项系数，可以先用2x +的一次项系数1，23x +的常数项3，34+x 的常数项4，相乘得到12；再用23x +的一次项系数2，2x +的常数项2，34+x 的常数项4，相乘得到16；然后用34+x 的一次项系数3，2x +的常数项223x +的常数项3，相乘得到18.最后将12，16，18相加，得到的一次项系数为46.参考小明思考问题的方法，解决下列问题：(1)计算()()443x x ++所得多项式的一次项系数为____________________.(2)计算()()()13225x x x +-+所得多项式的一次项系数为_____________.(3)若231x x -+是422x ax bx +++的一个因式，求a 、b 的值.【答案】(1)19;(2)1;(3) a= -6，b= -3．【解析】【分析】（1）根据两多项式常数项与一次项系数乘积的和即为所得多项式一次项系数可得；（2）根据三个多项式中两个多项式的常数项与另一个多项式一次项系数的乘积即为所求可得；（3）由x 4+ax 2+bx+2中4次项系数为1、常数项为2可设另一个因式为x 2+mx+2，根据三次项系数为0、二次项系数为a 、一次项系数为b 列出方程组求出a 、b 的值，可得答案．【详解】解：（1）（x+4）（4x+3）所得多项式的一次项系数为1×3+4×4=19，故答案为：19；（2）()()()13225x x x +-+所得多项式的一次项系数为1×(-2)×5+1×3×5+1×(-2)×2=1， 故答案为：1；（3）由x 4+ax 2+bx+2中4次项系数为1、常数项为2可设另一个因式为x 2+mx+2，则（x 2-3x+1）（x 2+mx+2）=x 4+ax 2+bx+2，13101211(3)321m m a m b ⨯-⨯=⎧⎪∴⨯+⨯+-⨯=⎨⎪-⨯+⨯=⎩解得： 363m a b =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩故答案为：a= -6，b= -3．【点睛】本题考查多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式的运算法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．7．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x +x (x +1)+x (x +1)2=(1+x )[1+x +x (x +1)]=(1+x )2(1+x )=(1+x )3(1)上述分解因式的方法是 ，共应用了 次.(2)若分解1+x +x (x +1)+x (x +1)2+…+ x (x +1)2004，则需应用上述方法 次，结果是 .(3)分解因式：1+x +x (x +1)+x (x +1)2+…+ x (x +1)n (n 为正整数).【答案】（1）提公因式，两次；（2）2004次，（x ＋1）2005；(3) (x ＋1)1n +【解析】【分析】（1）根据已知材料直接回答即可；（2）利用已知材料进而提取公因式（1+x ），进而得出答案；（3）利用已知材料提取公因式进而得出答案．【详解】（1）上述分解因式的方法是：提公因式法，共应用了2次．故答案为提公因式法，2次；（2）1+x+x （x+1）+x （x+1）2+…+ x (x +1)2004，=（1+x ）[1+x+x （1+x ）+…+ x (x +1)2003]⋯=22003(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x +++++个=（1+x ）2005，故分解1+x+x （x+1）+x （x+1）2+…+ x (x +1)2004，，则需应用上述方法2004次，结果是：（x+1）2005．（3）分解因式：1+x+x （x+1）+x （x+1）2…+x （x+1）n （n 为正整数）的结果是：（x+1）n+1．故答案为（x+1）n+1．【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．8．阅读理解：把两个相同的数连接在一起就得到一个新数，我们把它称为“连接数”，例如：234234，3939…等，都是连接数，其中，234234称为六位连接数，3939称为四位连接数．（1）请写出一个六位连接数 ，它 （填“能”或“不能”）被13整除．（2）是否任意六位连接数，都能被13整除，请说明理由．（3）若一个四位连接数记为M ，它的各位数字之和的3倍记为N ，M ﹣N 的结果能被13整除，这样的四位连接数有几个？【答案】（1）证明见解析（2）abcabc 能被13整除（3）这样的四位连接数有1919，2525，3131，一共3个【解析】分析：（1）根据六位连接数的定义可知123123为六位连接数，再将123123进行因数分解，判断得出它能被13整除；（2）设abcabc 为六位连接数，将abcabc 进行因数分解，判断得出它能被13整除； （3）设xyxy 为四位连接数，用含x 、y 的代数式表示M 与N ，再计算M ﹣N ，然后将13M N -表示为77x +7y +3413x y +，根据M ﹣N 的结果能被13整除以及M 与N 都是1～9之间的整数，求得x 与y 的值，即可求解．详解：（1）123123为六位连接数；∵123123=123×1001=123×13×77，∴123123能被13整除；（2）任意六位连接数都能被13整除，理由如下：设abcabc 为六位连接数．∵abcabc =abc ×1001=abc ×13×77，∴abcabc 能被13整除；（3）设xyxy 为四位连接数，则M =1000x +100y +10x +y =1010x +101y ，N =3（x +y +x +y ）=6x +6y ，∴M ﹣N =（1010x +101y ）﹣（6x +6y ）=1004x +95y ，∴13M N -=10049513x y +=77x +7y +3413x y +．∵M ﹣N 的结果能被13整除，∴3413x y +是整数．∵3x +4y 取值范围大于3小于63，所以能被13整除的数有13，26，39，52，∴x =1，y =9；x =2，y =5；x =3，y =1；x =8，y =7；x =9，y =3；x =5，y =6；x =6，y =2；满足条件的四位连接数的3131，2525，6262，9393，8787，5656，1919共7个． 点睛：本题考查了因式分解的应用，整式的运算，理解“连接数”的定义是解题的关键．9．探究阅读材料：“若x 满足()()806030x x --=，求()()228060x x -+-的值” 解：设()80x a -=，()60x b -=，则()()806030x x ab --==，()()806020a b x x +=-+-=，所以()()22228060x x a b -+-=+()22220230340a b ab =+-=-⨯=.解决问题：（1）若x 满足()()451520x x --=-，求()()224515x x -+-的值. （2）若x 满足()()22202020184040x x -+-=，求()()20202018x x --的值. （3）如图，正方形ABCD 的边长为x ，20AE =，30CG =，长方形EFGD 的面积是700，四边形NGDH 和MEDQ 都是正方形，PQDH 是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）.【答案】（1）940；（2）2018；（3）2900【解析】【分析】（1）根据材料提供的方法进探究，设（45-x ）=a ，（x-15）=b ，则有()()451520x x ab --==-，()()4515=30a b x x +=-+-，据此即可求出()()224515x x -+-的值； （2）（2020-x ）=m ，（ x-2018）=n ，则()()2222202020184040,2x x m n m n -+-=+=+=，则可求出()()20202018x x --的值； （3）根据题意知S 四EFGD =（x-20）（x-30）=700，知S 正MEDQ =（x-20）2，S 正DHNG =（x-30）2，S 四PQDN =（x-20）（x-30）=700,设x-20=a ，30-x=b ，则有-ab=700，据此即可求出阴影部分的面积.【详解】解：（1）设（45-x ）=a ，（x-15）=b ，则有()()451520x x ab --==-，()()4515=30a b x x +=-+-∴()()()()2222224515=230220940x x a b a b ab -+-+=+-=-⨯-=；（2）（2020-x ）=m ，（ x-2018）=n ，则()()2222202020184040,2x x m n m n -+-=+=+=∴()()20202018x x --=-()()20202018x x -- ()()222+-44040-201822m n m n mn +-=== ∴()()20202018x x --=-mn=2018；（3）根据题意知S 四EFGD =（x-20）（x-30）=700，S 正MEDQ =（x-20）2，S 正DHNG =（x-30）2，S 四PQDN =（x-20）（x-30）=700设x-20=a ，30-x=b ，∴-ab=700，∴()()()()222222302021027001500x x a b a b ab -+-=+=+-=-⨯-=∴S 阴影=1500+700+700=2900故答案为：（1）940；（2）2018；（3）2900【点睛】本题考查完全平方公式，换元法等知识，解题的关键是学会利用换元法解决问题，熟练掌握完全平方公式．10．（知识生成）我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：（1）根据图2，写出一个代数恒等式：．（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝．（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）长方形，则x+y+z＝．（知识迁移）（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：．【答案】（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）30；（3）9；（4）x3﹣x＝（x+1）（x﹣1）x【解析】【分析】（1）依据正方形的面积＝（a+b+c）2；正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，可得等式；（2）依据a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc，进行计算即可；（3）依据所拼图形的面积为：xa2+yb2+zab，而（2a+b）（a+2b）＝2a2+4ab+ab+2b2＝2a2+5b2+2ab，即可得到x，y，z的值．（4）根据原几何体的体积＝新几何体的体积，列式可得结论．【详解】（1）由图2得：正方形的面积＝（a+b+c）2；正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∵a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，∴102＝a2+b2+c2+2×35，∴a2+b2+c2＝100﹣70＝30，故答案为：30；（3）由题意得：（2a+b）（a+2b）＝xa2+yb2+zab，∴2a2+5ab+2b2＝xa2+yb2+zab，∴225xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴x+y+z＝9，故答案为：9；（4）∵原几何体的体积＝x3﹣1×1•x＝x3﹣x，新几何体的体积＝（x+1）（x﹣1）x，∴x3﹣x＝（x+1）（x﹣1）x．故答案为：x3﹣x＝（x+1）（x﹣1）x．【点睛】本题主要考查的是整式的混合运算，利用直接法和间接法分别求得几何图形的体积或面积，然后根据它们的体积或面积相等列出等式是解题的关键．。
