北京四中初二全等三角形专题——三角形的旋转、翻折与线段的截长补短

全等三角形-截长补短法全等三角形截长补短法在初中数学的几何学习中，全等三角形是一个重要的知识点，而解决全等三角形相关问题时，截长补短法是一种非常实用且巧妙的方法。

首先，咱们来聊聊什么是截长补短法。

简单来说，截长补短就是通过在图形中截取或者延长某条线段，使得图形中的线段关系发生变化，从而构造出全等三角形，帮助我们解决问题。

比如说，有一个三角形 ABC，其中∠B ＝ 2∠C，要证明 AB ＝ AC ＋ CD。

这时候，我们就可以考虑使用截长补短法。

如果使用截长的思路，就在 AB 上截取 AE ＝ AC，然后连接 DE。

这样一来，因为 AE ＝AC，再加上公共边 AD，以及已知的∠CAD ＝∠EAD，就可以证明△ACD 和△AED 全等。

然后通过一系列的角度推导，就能得出结论。

要是用补短的方法呢，就是延长 AC 至 E，使 CE ＝ CD，连接 DE。

通过角度关系证明∠E ＝∠CDE，进而得出∠B ＝∠BDE，再证明△ABD 和△AED 全等。

接下来，咱们通过几个具体的例子来更深入地理解截长补短法。

例 1：在△ABC 中，AB ＞ AC，AD 平分∠BAC，P 为 AD 上一点。

求证：AB AC ＞ PB PC。

我们来用截长的方法解决。

在 AB 上截取 AE ＝ AC，连接 PE。

因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD ＝∠CAD。

又因为 AE ＝ AC，AP 是公共边，所以△APE ≌△APC。

那么 PC ＝ PE。

在△PBE 中，根据三角形两边之差小于第三边，有 PB PE ＜ BE。

而 BE ＝ AB AE ＝ AB AC，所以 AB AC ＞ PB PC。

例 2：已知在正方形 ABCD 中，∠MAN ＝ 45°，∠MAN 绕点 A 顺时针旋转，它的两边分别交 CB、DC 于点 M、N。

求证：BM ＋ DN ＝MN。

这道题我们用补短的方法。

延长 CB 至 E，使 BE ＝ DN，连接 AE。

CCBA全等三角形问题中常见的辅助线——截长补短法例1、如图，中，AB =2AC ，AD 平分，且AD =BD ，ABC ∆BAC ∠求证：CD ⊥AC例2、如图，AD ∥BC ， AE , BE 分别平分∠DAB ,∠CBA ，CD 过点E ，求证;AB ＝AD +BC例3、如图，已知在内，，，P ，Q 分别在BC ，CA 上，ABC 060BAC ∠=040C ∠=并且AP ，BQ 分别是，的角平分线。

求证：BQ +AQ =AB +BPBAC ∠ABC ∠B A DO E CB A 例4、如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA ,AD ＝CD ，BD 平分，ABC ∠求证： 0180=∠+∠C A 例5、如图在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1＝∠2，P 为AD 上任意一点，求证;AB －AC ＞PB －PC例6、已知中，，、分别平分和，、ABC ∆60A ∠= BD CE ABC ∠.ACB ∠BD CE交于点，试判断、、的数量关系，并加以证明．O BE CD BC例7、如图，点为正三角形的边所在直线上的任意一点(点除外)，作M ABD AB B ，射线与外角的平分线交于点，与有怎样的数60DMN ∠=︒MN DBA ∠N DM MN 量关系?变式练习：如图，点为正方形的边上任意一点，且与外角的平分M ABCD AB MN DM ⊥ABC ∠线交于点，与有怎样的数量关系？N MD MN 例8、如图所示．已知正方形ABCD 中，M 为CD 的中点，E 为MC 上一点，且∠BAE =2∠DAM ．求证：AE =BC +CE ．NEB M A DMEDCB A NCD EB M ANMD CB A FEDC B A DN M CB A例9、已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD =∠FAE .求证：BE +DF =AE .例10、如图所示，是边长为2的正三角形，是顶角为的等腰三ABC ∆BDC ∆120 角形，以为顶点作一个的，点、分别在、上，求D 60 MDN ∠M N AB AC的周长．AMN ∆变式练习如图所示，是边长为4的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以ABC ∆BDC ∆120为顶点作一个的，点、分别在、上，求的周长．D 60MDN ∠M N AB AC AMN ∆CE DB A例11、五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求证：DA平分∠CDE例12、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,点E是AB上一个动点，若∠B=600，AB=BC，且∠DEC=60O,判断AD+AE与BC的关系并证明你的结论。

全等三角形模型之截长补短法若遇到证明线段的和差倍分关系时，通常考虑“截长补短法“”，构造全等三角形.（1）截长法：在较长线段中截取一段等于另两条较短线段中的一条，然后证明剩下部分等于另一条.即证明“短1＋短2＝长”，“截长法”是在“长”线段上截取一条和“短1”相等长度的线段，再证明剩下的部分和“短2”等长.（2）补短法：将一条较短线段延长，延长部分等于另一条较短线段，然后证明新线段等于较长线段.即证明“短1＋短2＝长”，“补短法”是将“短1”线段延长，延长的长度等于“短2”的长度，再证明新线段与“长”线段长度相等.【典型例题】1．【模型分析】当题目中出现线段的和差关系时，考虑用截长补短法，该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，采用截长补短法进行证明．问题：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且∠B＝2∠C，求证：AB+BD＝AC．截长法：在AC上截取AE＝AB，连接DE，证明CE＝BD即可．补短法：延长AB至点F，使AF＝AC，连接DF，证明BF＝BD即可．请结合【模型分析】证明结论．求证：AB+BD＝AC．【截长法】【补短法】2．已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC，求证：BC＝AB+CD．3．课堂上，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且AB+BD＝AC．求证：∠ABC＝2∠ACB．小明的方法是：如图2，在AC上截取AE，使AE＝AB，连接DE，构造全等三角形来证明结论．（1）小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段AB构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长AB至F，使BF＝BD，连接DF．请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线；（2）小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：如图3，点D在△ABC的内部，AD，BD，CD分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，且AB+BD ＝AC．求证：∠ABC＝2∠ACB．请你解答小芸提出的这个问题；（3）小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：如果在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，点D在边BC上，AB+BD＝AC，那么AD平分∠BAC．小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明．4．阅读：探究线段的和差倍分关系是几何中常见的问题，解决此类问题通常会用截长法或补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．（1）请完成下题的证明过程：如图1，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD平分∠BAC．求证：AB+BD＝AC．证明：在AC上截取AE＝AB，连接DE（2）如图2，AD∥BC，EA，EB分别平分∠DAB，∠CBA，CD过点E，求证：AB＝AD+BC．【小试牛刀】1．如图，△ABC中，∠C＝2∠A，BD平分∠ABC交AC于D，求证：AB＝CD+BC．（用两种方法）2．如图，△ABC中，∠B＝2∠A，∠ACB的平分线CD交AB于点D，已知AC＝16，BC＝9，则BD的长为．3．已知，如图，BD是△ABC的角平分线，AB＝AC，（1）若BC＝AB+AD，请你猜想∠A的度数，并证明；（2）若BC＝BA+CD，求∠A的度数？（3）若∠A＝100°，求证：BC＝BD+DA．4．已知：如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，O是CD上一点，且AO平分∠BAD，BO 平分∠ABC．（1）求证：AO⊥BO；（2）若AO＝3，BO＝4，求四边形ABCD的面积．5．如图，已知△ABC中，∠A＝60°，D为AB上一点，且AC＝2AD+BD，∠B＝4∠ACD，则∠DCB的度数是．。

《三角形的证明》全章复习与巩固（基础）【学习目标】1.经历回顾与思考的过程，深刻理解和掌握定理的探索和证明.2.结合具体实例感悟证明的思路和方法，能运用综合、分析的方法解决有关问题.3.能正确运用尺规作图的基本方法作已知线段的垂直平分线和角的平分线，以及绘制特殊三角形.【知识网络】【要点梳理】要点一、等腰三角形1.三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等.判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.2.等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）3.等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴.判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形.4.含30°的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 要点诠释：等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，比如边长为a 的等边三角形它的高是2a ，面积是24a ；含有30°的直角三角形揭示了三角形中边与角的关系，打破了以往那种只有角或边的关系，同时也为我们学习三角函数奠定了基础.要点二、直角三角形1.勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.2.命题与逆命题命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的；3.直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL ）.要点诠释：①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”.②直角三角形的全等判定方法，还有SSS,SAS,ASA,AAS,HL 一共有5种判定方法. 要点三、线段的垂直平分线1.线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.2.三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A 、B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧交于点M 、N ；作直线MN ，则直线MN 就是线段AB 的垂直平分线.要点诠释：①注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②利用线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题.要点四、角平分线1.角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.2.三角形三条角平分线的性质定理性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.3.如何用尺规作图法作出角平分线要点诠释：①注意区分角平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②几何语言的表述，这也是证明线段相等的一种重要的方法.遇到角平分线时，要构造全等三角形.【典型例题】类型一、 三角形的证明1. 已知：点D 是△ABC 的边BC 的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E ，F ，且BF=CE ． 求证：△ABC 是等腰三角形．【思路点拨】欲证△ABC 是等腰三角形，又已知DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，BF=CE ，可利用三角形中两内角相等来证明．【答案与解析】证明：∵D 是BC 的中点，∴BD=CD，∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴△BDF 与△CDE 为直角三角形，在Rt△BDF 和Rt△CDE 中，,BF CE BD CD =⎧⎨=⎩∴Rt△BFD≌Rt△CED（HL ），∴∠B=∠C，∴AB=AC，∴△ABC 是等腰三角形．【总结升华】考查等腰三角形的判定方法及全等三角形的判定及性质；充分利用条件证明三角形全等是正确解答本题的关键．举一反三：【变式1】在四边形ABCD 中，AB=2，CD=1，∠A=60°，∠B=∠D=90°，求BC 和AD ．【答案】解：延长AD 与BC ，两延长线交于点E ，如图所示，∵∠B=90°，∠A=60°，∴∠E=30°，在Rt△CDE 中，CD=1，∴CE=2CD=2，根据勾股定理得：223CE CD -=在Rt△ABE 中，AB=2，∴AE=2AB=4，根据勾股定理得：2223AE AB -=则BC=BE ﹣3﹣2，AD=AE ﹣DE=43【变式2】如图，在△ABC中，AB=AC，D、E在BC上，且AD=AE，求证：BD=CE．【答案】证明：∵AB=AC，AD=AE，∴∠B=∠C，∠ADE=∠AED，∵∠ADE=∠B+∠BAD，∠AED=∠C+∠EAC，∴∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE，∴ BD=CE．类型二、直角三角形2. 如图，已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，沿过B点的一条直线BE折叠这个三角形，使C点与AB边上的一点D重合．（1）当∠A满足什么条件时，点D恰为AB的中点写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证明D为AB的中点；（2）在（1）的条件下，若DE=1，求△ABC的面积．【思路点拨】（1）根据折叠的性质：△BCE≌△BDE，BC=BD，当点D恰为AB的重点时，AB=2BD=2BC，又∠C=90°，故∠A=30°；当添加条件∠A=30°时，由折叠性质知：∠EBD=∠EBC=30°，又∠A=30°且ED⊥AB，可证D为AB的中点；（2）在Rt△ADE中，根据∠A及ED的值，可将AE、AD的值求出，又D为AB的中点，可得AB的长度，在Rt△ABC中，根据AB、∠A的值，可将AC和BC的值求出，代入S△ABC=AC×BC进行求解即可．【答案与解析】解：（1）添加条件是∠A=30°．证明：∵∠A=30°，∠C=90°，所以∠CBA=60°，∵C 点折叠后与AB 边上的一点D 重合，∴BE 平分∠CBD，∠BDE=90°，∴∠EBD=30°，∴∠EBD=∠EAB，所以EB=EA ；∵ED 为△EAB 的高线，所以ED 也是等腰△EBA 的中线，∴D 为AB 中点．（2）∵DE=1，ED⊥AB，∠A=30°，∴AE=2．在Rt△ADE 中，根据勾股定理，得AD=22213-=，∴AB=23，∵∠A=30°，∠C=90°，∴BC=12AB=3． 在Rt△ABC 中，AC=22AB BC -=3，∴S△ABC =12×AC×BC=332． 【总结升华】考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．3. 小林在课堂上探索出只用三角尺作角平分线的一种方法：如图，在已知∠AOB 的两边上分别取点M ，N ，使OM=ON ，再过点M 作OB 的垂线，过点N 作OA 的垂线，垂足分别为C 、D ，两垂线交于点P ，那么射线OP 就是∠AOB 的平分线．老师当场肯定他的作法，并且表扬他的创新．但是小林不知道这是为什么．①你能说明这样做的理由吗？也就是说，你能证明OP 就是∠AOB 的平分线吗？②请你只用三角板设法作出图∠AOB 的平分线，并说明你的作图方法或设计思路．【思路点拨】①在Rt △OCM 与Rt △ODN 中，依据ASA 得出OC=OD;在Rt △O CP 与Rt △O DP 中，因为OP=OP ，OC=OD 得出Rt△O CP ≌Rt△O DP （HL ），所以∠C OP=∠DOP ，即OP 平分∠AOB． ②可作出两个直角三角形，利用HL 定理证明两角所在的三角形全等．【答案与解析】①证明：在Rt △OCM 和Rt △ODN 中，COM DON OCM ODN OM ON ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△OCM ≌△ODN （AAS ），∴OC=OD ，在△OCP 与△ODP 中，∵,OC OD OP OP=⎧⎨=⎩∴Rt △OCP ≌Rt △ODP （HL ），∴∠COP=∠DOP ，即OP 平分∠AOB ；②解：①利用刻度尺在∠AOB 的两边上分别取OC=OD ；②过C ，D 分别作OA ，OB 的垂线，两垂线交于点E ；③作射线OE ，OE 就是所求的角平分线．∵CE⊥OA，ED⊥OB，∴∠OCE=∠ODE=90°，在Rt△OCE 与Rt△ODE 中，∵OC OD OE OE=⎧⎨=⎩，∴Rt△OCE≌Rt△ODE（HL ），∴∠EOC=∠EOD，∴OE 为∠AOB 的角平分线．【总结升华】主要考查了直角三角形的判定，利用全等三角形的性质得出∠EOC=∠EOD 是解题关键．类型三、线段垂直平分线4. 撑伞时，把伞“两侧的伞骨”和支架分别看作AB 、AC 和DB 、DC ，始终有AB=AC ，DB=DC ，请大家考虑一下伞杆AD 与B 、C 的连线BC 的位置关系为 ．【思路点拨】根据到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上得出A 、D 都在线段BC 的垂直平分线上，根据两点确定一条直线得出AD 是线段BC 的垂直平分线即可．【答案】垂直．【解析】解：连接BC 、AD ，∵AB=AC，DB=DC ，∴A 在线段BC 的垂直平分线上，D 在线段BC 的垂直平分线上，∴根据两点确定一条直线得出AD是线段BC的垂直平分线，即AD⊥BC，【总结升华】考查了线段的垂直平分线定理和两点确定一条直线等知识点，注意：①到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上；②两点确定一条直线．举一反三：【变式】如图所示，AD是△ABC中∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于F，试说明∠BAF=∠ACF的理由．【答案】解：∵EF垂直平分AD，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA．又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵∠BAF=∠BAD+∠FAD，∠ACF=∠DAC+∠FDA，∴∠BAF=∠ACF．类型四、角平分线5. 如图，在△ABC中，∠BAC=80°，延长BC到D，使AC=CD，且∠ADB=20°，DE平分∠ADB交AC于F，交AB于E，连接CE，求∠CED的度数．【思路点拨】作EG⊥DA，EH⊥BD，EP⊥AC，根据角平分线的性质得到EG=EH，根据△EGA≌△EPA，得出∠ECB，就可以得到∠CED的度数．【答案与解析】证明：作EG⊥DA交DA的延长线于G，再作EH⊥BD，EP⊥AC，垂足分别为H，P，则EG=EH ∵∠ADC=20°，AC=CD，∴∠CAD=20°，而∠BAC=80°，∴∠GAE=180°﹣20°﹣80°=80°，∴Rt△EGA≌Rt△EPA，∴EG=EP∴EP=EH，∴∠ECB=∠ECA=12∠BCA=12×40°=20°∴∠CED=∠BCE﹣∠BDE=20°﹣10°=10°【总结升华】主要考查了角平分线的性质定理及逆定理、三角形全等的性质和判定；做题中两次用到角平分线的知识是正确解答本题的关键．举一反三：【变式】如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）A．1处B．2处 C．3处 D．4处【答案】D．解：满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．。

全等三角形专题（1）——截长补短【例题分析】1.如图，已知E 为AD 的中点，AB//CD，BE 平分∠ABC，CE 平分∠BCD，求证：BC=AB+CD.2.如图，AD 为△ABC 平分线，AB>AC，点P 为AD 上一点，求证：AB—AC>BP—CP3.如图，已知B（﹣1，0），C（1，0），A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限一动点，E在BD的延长线上，CD交AB于F，且∠BDC=∠BAC．（1）求证：∠ABD=∠ACD；（2）求证：AD平分∠CDE；（3）若在D点运动的过程中，始终有DC=DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数？【巩固练习】1.在△ABC 中,∠ACB＝90o,AC＝BC,直线MN 经过点C,且AD⊥MN 于D,BE⊥MN 于E.⑴当直线MN 绕点C 旋转到图⑴的位置时,求证:DE＝AD＋BE；⑵当直线MN 绕点C 旋转到图⑵的位置时,求证:DE＝AD－BE；⑶当直线MN 绕点C 旋转到图⑶的位置时,试问DE、AD、BE 具有怎样的等量关系？并证明。

2.如图在△ABC 中，∠ABC=600，AD、CE 分别平分∠BAC 和∠ACB，求证：AC=AE+CD.654321O ED CBA3.五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求证：AD平分∠CDE4.（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=12∠BAD.求证：EF=BE+FD；（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？说明理由.。

三角形全等之截长补短 (整理)三角形全等之截长补短一、知识点概述截长补短是指在几何题目中，当出现线段和的情况时，可以考虑通过截取一段线段并加上一段等于原线段的线段，将原问题转化为线段等量的问题。

二、例题讲解1.已知：如图，在△ABC中，∠1=∠2，∠B=2∠C．求证：AC=AB+BD．证明：可以通过截长法和补短法两种方法证明。

截长法：在AC上截取AF=AB，连接DF。

在△ABD和△AFD中，根据SAS准则可以得到△ABD≌△AFD，进而得到∠B=∠AFD，BD=FD。

又因为∠B=2∠C，所以∠AFD=2∠C。

因为∠AFD是△DFC的一个外角，所以∠AFD=∠C+∠XXX。

因为∠1=∠2，所以∠XXX∠C，进而得到∠AFD=2∠C=∠B。

因此，根据三角形内角和定理，可以得到∠A=180°-∠B-∠C=∠AFD+∠XXX∠C=2∠C+∠C+∠C=4∠C。

在△ABC中，∠B=2∠C，所以∠A=60°。

在△ADE和△ADC中，因为∠E=∠C，∠1=∠2，AD=AD，所以△ADE≌△ADC （AAS），进而得到AE=AC。

因此，AC=AB+BD。

补短法：延长AB到E，使BE=BD，连接DE。

因为BE=BD，所以∠XXX∠BDE。

因为∠ABD是△XXX的一个外角，所以∠ABD=∠E+∠BDE=2∠E。

因为∠ABD=2∠C，所以∠XXX∠C。

在△ADE和△ADC中，因为∠E=∠C，∠1=∠2，AD=AD，所以△ADE≌△ADC（AAS），进而得到AE=AC。

因此，XXX。

2.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，点E为AB边上一点，且DE平分∠ADC，CE平分∠BCD．求证：XXX．证明：在△ADE和△BCE中，因为∠A=∠B=90°，所以AD=BC。

因为DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，所以∠AED=∠DEC，∠XXX∠XXX。

因为∠AED+∠BCE=180°，所以∠DEC+∠CDE=180°。

全等三角形截长补短法的经典例题（最新版）目录1.截长补短法的概念2.截长补短法的两种方法：截长法和补短法3.截长补短法在全等三角形中的应用4.经典例题解析4.1 例题一4.2 例题二4.3 例题三5.截长补短法的优点和意义正文一、截长补短法的概念截长补短法是一种在几何问题中添加辅助线的方法，主要用于解决全等三角形的问题。

截长指的是在较长的线段上截取一段较短的线段，补短则是在较短线段上补一段线段，使其和较长的线段相等。

截长补短法的目的是将问题合理地转化为更容易解决的形式，从而简化结论。

二、截长补短法的两种方法截长补短法包括两种方法：截长法和补短法。

1.截长法：在较长的线段上截取与较短线段相等的线段。

2.补短法：在较短线段上补一段线段，使其和较长的线段相等。

三、截长补短法在全等三角形中的应用在全等三角形的证明中，截长补短法是非常常用的一种方法。

通过添加适当的辅助线，可以将问题转化为更容易证明的形式，从而得出结论。

下面通过几个经典例题来具体讲解截长补短法在全等三角形中的应用。

四、经典例题解析1.例题一已知三角形 ABC 和三角形 DEF 满足条件：AB=DE，BC=EF，∠ABC=∠DEF，求证三角形 ABC 与三角形 DEF 全等。

解：通过截长补短法，我们可以在 BC 上截取 BE=CF，连接 AD 和 CE。

由于 AB=DE，BC=EF，且∠ABC=∠DEF，根据三角形全等的 SAS 条件，可得三角形 ABC≌三角形 DEF。

2.例题二已知三角形 ABC 和三角形 DEF 满足条件：AB=DE，BC=EF，∠ABC=∠DEF，求证三角形 ABC 与三角形 DEF 全等。

解：这次我们可以在 AB 上截取 AD=DF，连接 CE 和 BD。

同样地，由于 AB=DE，BC=EF，且∠ABC=∠DEF，根据三角形全等的 SAS 条件，可得三角形 ABC≌三角形 DEF。

3.例题三已知三角形 ABC 和三角形 DEF 满足条件：AB=DE，BC=EF，∠ABC=∠DEF，求证三角形 ABC 与三角形 DEF 全等。