高二数学导数与微分PPT教学课件

人教版高二数学课件《微积分》

一、教学目标

根据学生的认知结构特征以及教材内容的特点，依据新课程标准要求，确定本节课的教学目标如下：

（1）知识与技能目标：

1、了解微积分基本定理的含义；

2、会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分.

（2）过程与方法目标：通过直观实例体会用微积分基本定理求定积分的方法.

（3）情感、态度与价值观目标：

1、学会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，提高理性思维能力；

2、了解微积分的科学价值、文化价值.

3、教学重点、难点

重点：使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分.

难点：了解微积分基本定理的含义.

二、教学设计

复习：

1.定积分定义： 其中--积分号，-积分上限，-积分下限，-被积函数，-积分变量，-积分区间

2.定积分的几何意义：

一般情况下，定积分的几何意义是介于轴、函数的图形以及直线之间各部分面积的代数和，在轴上方的面积取正号，在轴下方的面积去负号.

曲边图形面积：；

变速运动路程：；

3.定积分的性质：

性质1

性质2

性质3

性质4

三.引入新课：

计算（1）（2）

上面用定积分定义及几何意义计算定积分，比较复杂不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的比较一般的方法。

问题：

设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位置为S（t），速度为v（t）（），则物体在时间间隔[a，b]内经过的路程可用速度函数表示为 另一方面，这段路程还可以通过位置函数S（t）在[a，b]上的增量S（b）-S（a）来表达，即===S（b）-S（a）而

推广：

例题1：计算

练习：

例2.计算定积分

练习

回顾：基本初等函数的导数公式

函数f（某）c

Sin某co某

ln某

导函数f′（某）0n

co某-in某

新知：基本初等函数的原函数公式

被积函数f（某）c

in某co某

一个原函数F（某）c某

-co某in某ln

课堂小结： 1.本节课借助于变速运动物体的速度与路程的关系以及图形得出了特殊情况下的牛顿-莱布尼兹公式.成立，进而推广到了一般的函数，得出了微积分基本定理，得到了一种求定积分的简便方法，运用这种方法的关键是找到被积函数的原函数，这就要求大家前面的求导数的知识比较熟练，希望，不明白的同学，回头来多复习！

1 函数的导数

一.促使微积分产生的因素：

十七世纪，由于对物质和运动的研究而产生了函数概念，紧接着函数概念的引进，又产生了微积分，它是继欧几里得几何之后，全部数学中的一个最大的创造.有四种主要类型的问题促使了微积分的产生.

1.已知物体运动的距离s与时间t的函数关系sst，求物体在任意时刻的速度v和加速度a，对物质和运动的研究必然导致对这类问题的研究.在这个问题上，伽利略的贡献最大.

2.已知曲线方程yfx，求曲线的切线方程.在这个问题上，费尔马、笛卡尔、巴罗（牛顿的老师）贡献最大.为什么要求曲线的切线？它是纯几何的问题，数学家有兴趣，同时它对科学应用有巨大的重要性.光学是十七世纪的一门重要学科，透镜的设计直接吸引了费尔马，笛卡尔，惠更斯和牛顿，要研究光线通过透镜的通道，必须知道光线射入透镜的角度以便应用反射定律，重要的角是光线同曲线的法线间的夹角，曲线的法线是垂直于切线的，所以问题的解决在于求出曲线的切线.另一个涉及到曲线的切线的科学问题还是对运动的研究，物体在它的轨道上任意一点的运动方向，就是轨道曲线的切线方向.

（3）求函数的最大值和最小值.物理学和天文学的研究，在好多时候要涉及这个问题，在这个问题上，开普勒、费尔马的贡献最大.

（4）求曲线的长度、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、天体之间的引力.这一大类问题也是物理学家和天文学家需要解决的问题.在这类问题上，开普勒、伽利略、卡瓦利里（伽利略的学生，西方以他名字命名的一个定理在中国叫做祖暅原理）、罗伯瓦尔、托里拆利、巴斯卡、沃利斯、格雷戈里、惠更斯等人的贡献最大.

在对上面问题的解决中，数学家创造了大量的方法，其中，费尔马、沃利斯、格雷戈里 2 的算术方法对微积分的创立影响最大.

将上述问题一般化，把解决上述问题的特殊方法普遍化的人是牛顿和莱布尼兹.于是现在的人就说是牛顿和莱布尼兹创造了微积分.

二.补充：

函数导数的概念的理论基础是函数的极限和函数的连续性，为了学习导数，必须补充下列内容（最低限度）：

高中数学打印版

校对完成版本

1.6 微积分基本定理

数学选修2－2 1.6 微积分基本定理

[核心必知]

1．预习教材，问题导入

根据以下提纲，预习教材P51～P54的内容，回答下列问题．

(1)观察教材P51图1.6－1，一个做变速直线运动的物体的运动规律是y＝y(t)，并且y(t)有连续的导数，设这个物体在时间段[a，b]内的位移为S.

①由导数的概念可知，它在任意时刻t的速度v(t)与y(t)之间有什么关系？

提示：v(t)＝y′(t)．

②如何利用y＝y(t)表示物体在t∈[a，b]上的位移S?

提示：S＝y(b)－y(a)．

③若v(t)表示物体在任意时刻t的速度，如何用v(t)求物体在t∈[a，b]上的位移S?

提示：S＝abv(t)dt.

④由①②③能否得出结论S＝abv(t)dt＝aby′(t)dt＝y(b)－y(a)成立？

提示：能．

(2)计算定积分0πSin xdx，∫2ππSin xdx，∫2π0Sin xdx，由计算结论你能发现什么规律？

提示：0πSin xdx＝2，∫2ππSin xdx＝－2，∫2π0 Sin xdx＝0. 即定积分的值可正， 可负，还可能为0. 高中数学打印版

校对完成版本 (3)根据0πSin xdx，∫2ππSin xdx和∫2π0Sin xdx值的特点以及曲边梯形的面积，你能得出定积分与曲边梯形的面积有什么关系吗？(参阅教材P54图1.6－3，图1.6－4，图1.6－5)．

提示：当曲边梯形在x轴上方时，定积分的值取正值；当曲边梯形在x轴下方时，定积分的值取负值；当位于x轴上方的曲边梯形面积等于位于x轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0.

2．归纳总结，核心必记

(1)微积分基本定理

内容 如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么abf(x)dx＝F(b)－F(a)．

1 2-2§4.2 微积分基本定理

【知识点梳理】

已知函数f(x)＝x，F(x)＝12x2.

问题1：f(x) 和F(x)有何关系？

提示：F′(x)＝f(x)．

问题2：利用定积分的几何意义求12xdx的值．

提示：12xdx＝32.

问题3：求F(2)－F(1)的值．

提示：F(2)－F(1)＝12×22－12×12＝32.

问题4：你得出什么结论？

提示：12f(x)dx＝F(2)－F(1)，且F′(x)＝f(x)．

问题5：由12f(x)dx与F(2)－F(1)之间的关系，你认为导数与定积分之间有什么联系？

提示：abf(x)dx＝F(b)－F(a)，其中F′(x)＝f(x)．

微积分基本定理

如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即f(x)＝F′(x)，则有

∫bafxdx＝Fb－Fa

定理中的式子称为牛顿—莱布尼茨公式，通常称F(x)是f(x)的一个原函数．

在计算定积分时，常常用记号F(x)| ba来表示F(b)－F(a)，于是牛顿—莱布尼茨公式也可写作

∫baf(x)dx＝F(x)| ba＝F(b)－F(a)．

微积分基本定理：如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即f(x)＝F′(x)，则有abf(x)dx＝F(b)－F(a).

利用微积分基本定理求定积分

求简单的定积分应注意两点： 2 (1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；

(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限.

【典例】计算下列定积分.

(1)12(x2＋2x＋3)dx；(2)－π0(cos x－ex)dx；(3)122x2＋x＋1xdx；

(4)

0π2

sin2x2dx. (5)12x－1x2dx

【自主解答】

(1)12(x2＋2x＋3)dx