2017年高考理数考前20天终极冲刺攻略第02期第11天：5月26日 立体几何与空间向量 含解析 精品
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核心考点解读——立体几何与空间向量
考纲解读 平面的基本性质(I)
空间点、线、面的位置关系（II）
空间直线、平面平行的判定定理与性质定理（II）
空间直线、平面垂直的判定定理与性质定理（II）
空间向量在立体几何中的应用（II）
高考预测 1.从考查题型来看，涉及本知识点的选择题、填空题一般从宏观的角度，结合实际观察、判断空间点、线、面的位置关系，确定命题的真假；解答题中则从微观的角度，严密推导线面平行、垂直，利用空间向量的有关形式表示、求解空间的距离、夹角等.
2.从考查内容来看，主要考查空间点、线、面位置关系的命题的判断及证明，重点是根据平行、垂直的判定定理与性质定理证明线面平行、垂直，难点则是如何计算空间中有关角与距离的问题.
3.从考查热点来看，证明空间线面平行、垂直是高考命题的热点，结合平行、垂直的判定定理及性质定理，通过添加辅助线的方式证明是常考的方式.要注意结合空间几何体的特征严格推理论证.
应试技巧
1.平面的基本性质
(1)熟悉三个公理的三种语言的描述（自然语言、图形语言、符号语言），明白各自的作用，能够依据这三个公理及其推论对点与平面、直线与平面、平面与平面的位置关系作简单的判断.
(2)掌握确定一个平面的依据：不共线的三点确定一个平面、直线与直线外一点确定一个平面、两相交直线确定一个平面、两平行直线确定一个平面.
2.空间直线、平面的位置关系
(1)空间两条直线与直线的位置关系：相交、平行、异面.
判断依据：是否在同一个平面上；公共点的个数情况.
理解平行公理与等角定理：
平行公理：平行于同一条直线的两条直线平行；
等角定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
(2)直线与平面的位置关系：直线在平面内、直线与平面平行或相交
判断依据：直线与平面的公共点的个数.
理解直线与平面平行的定义.
(3)空间两个平面的位置关系：相交、平行
判断依据：没有公共点则平行，有一条公共直线则相交.
3.空间直线、平面平行的判定定理与性质定理
(1)线面平行的判定定理与性质定理
1)线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则直线与平面平行.
符号语言：,,////ababa.
要判定直线与平面平行，只需证明直线平行于平面内的一条直线.
2)线面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的平面与已知平面的交线与该直线平行.
符号语言：//,,//aabab.
当直线与平面平行时，直线与平面内的直线不一定平行，只有在两条直线共面时才平行.
3)面面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.
符号语言：//,//,,,//abababP.
要使两个平面平行，只需证明其中一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行即可，这里的直线需是相交直线.
4)面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.
符号语言：//,,//mnmn.
5)平行关系的转化
判定判定性质性质线线平行线面平行面面平行
(2)直线、平面垂直的判定定理与性质定理
1)线面垂直的判定定理：如果直线垂直于平面内的两条相交直线，则直线与平面垂直.
符号语言：,,,,lalbababPl.
要判定直线与平面垂直，只需判定直线垂直于平面内的两条相交直线即可.
2)线面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.
符号语言：,//abab.
此性质反映了平行、垂直之间的关系，也可以获得以下推论：两直线平行，若其中一条直线与一个平面垂直，则另一条直线也与该平面垂直.
3)面面垂直的判定定理：若直线垂直于平面，则过该直线的平面与已知平面垂直.
符号语言：,aa.
要证明平面与平面垂直，关键是在其中一个平面内找到一条与另一个平面垂直的直线.
4)面面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
符号语言：,,,mnnmn.
要通过平面与平面垂直推理得到直线与平面垂直，必须满足直线垂直于这两个平面的交线.
5)垂直关系的转化
判定判定性质性质线线垂直线面垂直面面垂直
4.空间向量在立体几何中的应用
(1)空间向量的坐标运算
设123123(,,),(,,)aaabbbab，则112233(,,)abababab，
123(,,)()aaaRa，112233abababab，
112233,,()bababaRabba，
1122330ababababab，
2222123aaaaa，
112233222222123123cos,abababaaabbbababab.
空间111222(,,),(,,)AxyzBxyz两点间的距离为222121212()()()ABdxxyyzz.
注意上述空间向量坐标运算公式的正确应用.
(2)直线的方向向量与平面的法向量
i)直线的方向向量：与直线平行的向量，记作.
ii)平面的法向量：若直线l，则该直线的方向向量即为该平面的法向量，平面的法向量记作.
iii)平面法向量的求法：设平面的法向量为(,,)xyz.在平面内找出（或求出）两个不共线的向量123123(,,),(,,)aaabbbab，根据定义建立方程组，得到00ab，通过赋值，取其中一组解，得到平面的法向量.
(3)利用空间向量证明空间线面平行、垂直
设直线,lm的方向向量分别为,lm，平面,的法向量分别为,.
若//lm，则()Rlmlm；
若lm，则0lmlm；
若//l，则0ll；
若l，则该直线的方向向量即为该平面的法向量，可利用上述求法向量的过程证明.
若//，则()R；
若，则0.
(4)利用空间向量求直线、平面所成的角
设直线,lm的方向向量分别为l,m，平面,的法向量分别为,.
直线,lm所成的角为，则π02，计算方法：coslmlm；
直线与平面所成的角为，则π02，计算方法：sinll；
平面,所成的二面角为，则0π，计算方法：cos，然后观察直观图中所表示的二面角的平面角大小，以确定是锐二面角还是钝二面角.
(5)利用空间向量求空间距离
设点A是平面外一点，B是平面内一点，平面的一个法向量为，
则点A到平面的距离为ABd.
(6)利用空间向量证明线面平行、垂直及计算空间角、距离的关键在于将所在直线的方向向量和平面的法向量正确表示，而正确表示直线的方向向量与平面的法向量的关键在于空间直角坐标系的正确建立及相关点的坐标的正确表示.求解空间角时公式选用要正确，特别是直线与平面所成的角用向量表示时得到的是正弦值，而直线与直线所成的角与二面角则是余弦值，要注意区分.
1.(2016高考新课标I，理11)平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，α//平面CB1D1，αI平面ABCD=m，αI平面ABB1 A1=n，则m，n所成角的正弦值为
A．32B．22C．33D．13
【答案】A
【解析】如图，设平面11CBD平面ABCD='m，平面11CBD平面11ABBA='n，因为∥平面11CBD，所以','mmnn∥∥，则,mn所成的角等于','mn所成的角.过1D作11DEBC∥，交AD的延长线于点E,连接CE，则CE为'm.连接1AB，过B1作111BFAB∥，交1AA的延长线于点1F，则11BF为'n.连接BD，则111,BDCEBFAB∥∥，则','mn所成的角即为1,ABBD所成的角，为60，故,mn所成角的正弦值为32，选A.
2.（2016高考新课标II，理14）α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：
①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.
②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.
③如果α∥β，mα，那么m∥β.
④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.
其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）
【答案】②③④
【解析】对于①，,,//mnmn，则,的位置关系无法确定，故错误；对于②,因为//n，所以过直线n作平面与平面相交于直线，则//nc，因为,,mmcmn所以所以，故②正确；对于③，由两个平面平行的性质可知正确；对于④，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确，故正确的命题有②③④.
【名师点睛】求解本题时应注意在空间中考虑线、面位置关系.
3.(2016高考新课标I，理18)如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，90AFD，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60．
（I）证明：平面ABEF平面EFDC；
（II）求二面角E-BC-A的余弦值．
【解析】（I）由已知可得ΑFDF，ΑFFE，所以ΑF平面ΕFDC．
又F平面ΑΒΕF，故平面ΑΒΕF平面ΕFDC．
（II）过D作DGΕF，垂足为G，
由（I）知DG平面ΑΒΕF．
以G为坐标原点，GF的方向为x轴正方向，GF为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz．
由（I）知DFE为二面角DAFE的平面角，故60DFE，则2DF，3DG，可得1,4,0A，3,4,0B，3,0,0E，0,0,3D．
由已知，//ABEF，所以//AB平面EFDC．
又平面ABCD平面EFDCDC，故//ABCD，//CDEF．
由//BEAF，可得BE平面EFDC，
所以CΕF为二面角CBEF的平面角，60CΕF．
从而可得2,0,3C．
