聚焦圆中角的应用

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磁聚焦的原理及应用

简单的来说，现代科学研究中,经常需要通过添加磁场使运动的带电粒子汇聚到一起,这个技术手段称之为磁聚焦。具体上是多束发散角不大的带电粒子束，当它们在磁场B的方向上具有大致相同的速度分量时，它们有相同的螺距。经过一个周期它们将重新会聚在另一点，这种发散粒子束会聚到一点的现象与透镜将光束聚焦现象十分相似，因此叫磁聚焦。、

磁聚焦的原理：

如果一个带电粒子进入匀强磁场时，其速度V的方向与磁感强度 的方向成任意角度θ，则可将V分解成平行于B和垂直于B的两个分量V∥和V⊥。因磁场的作用，垂直于B的速度分量V⊥虽不改变大小，却不断改变方向。在垂直于B的平面内作匀速圆周运动。平行于B的速度分量V∥不变，其运动是沿B方向的匀速直线运动。这两种运动的合成，为螺旋线运动。此带电粒子作螺旋运动时，螺旋线的半径(即电子在磁场中作圆运动的回旋半径)为

R=mv⊥/(qB)=mvsinθ/(qB)

粒子每转一周前进的距离称为螺距，用符号表示，则

h=v∥*T=2πmvcosθ/(qB)

上式中的T是粒子转过一周所需的时间，称为回转周期。

在匀强磁场中某点A处有一束带电粒子，当带电粒子的速度v与B的夹角很小、各粒子速率v大致相同时，这些粒子具有相同的螺距。经一个回转周期后，他们各自经过不同的螺距轨道重新会聚到A'点。发散粒子依靠磁场作用会聚于一点的现象称为磁聚焦。它与光束经光学透镜聚焦相类似。实际应用中，更多利用它产生的非匀强磁场聚焦。短线圈的作用类似光学中的透镜，称为磁透镜。也可用于电子显微镜中。

磁聚焦还可用于测量电子的质荷比，从而对于微观世界的认识和学习做出更好的了解，以便于更好的服务于人类。

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是数学思想的具体化形式，实际上两者的本质是相同的，差别只是　站在不同的角度看问题．数学思想和数学方法是学习数学的核心．下　

面举例探讨圆中渗透的数学思想．　

例１（２０１０年上海市中考题）机器人“海宝”在某圆形区域表　演“按指令行走”，如图ｌ所示，　“海宝”从圆心０出发，选沿北偏　

西６７．４。方向行走ｌ３米至点Ａ处，再沿正南方向行走１４米至点日处，　最后沿正东方向行走至　Ｏ，ｃ处，点Ｂ、Ｃ都在圆Ｄ上．　（１）求弦ＢＣ的长；　（２）求圆Ｄ的半径长．　

（本题参考数据：ｓｉｎ６７．４。＝　，ｃｏｓ６７．４。＝　ｌｊ　５．ｔａｎ６７．４。：旦）　１３　５　分析：为了方便解题，本题需要结合所给　图形构造直角三角形，巧妙利用　Ａ　ＯＤ与　ＬＡＯＮ互余，已知条件所给角的三角函数值在　

此也起到了关键性的作用．　（１）解：过点０作ＯＤ　ＬＡＢ，则　Ａ　ＯＤ＋　

ＬＡＯＮ＝９０。，即：ｓｉｎ／＿ＡＯＤ＝ｃｏｓＬＡＯＮ＝　．　１ｊ　

即：ＡＤ　０×　＝５，ＤＤ　Ｏｘｓｉｎ６７．４。＝　

Ａ　０×ｌ２＿：１２．　１３　图１

　又沿正南方向行走１４米至点　处，最后沿正东方向行走至点Ｃ　

处．　

．・ＡＢ＃Ｎｓ，ＡＢ＿ＬＢＣ，．・．Ｅ点是ＢＣ的中点，且ＢＥ＝ＤＯ＝１２．　

．’．ＢＣ＝２４　（２）解：连接ＯＢ，则０Ｅ＝肋；Ａ　．ＡＤ＝１４—５＝９．　

・．’在ＲＴ△日ｏＥ中，ＢＥ＝１２，　ｒ————　—————　，—ｊ—————　．・．ＢＯ：Ｖ０Ｅ‘＋　：、／９‘＋１２　：　＝１５．　

即圆０的半径长为１５．　点评：理解方位角的概念，学会构造直角三角形，熟练掌握三　角函数和垂径定理是解决本题的前提．　

例２已知：如图２，ｏＤ和ｏＤ．内切于Ａ，直线Ｅ）Ｏ．交ｏＤ于另　

一点Ｂ，交ｏ０．于另一点Ｆ，过曰点作ＧＯ　的切线，切点为Ｄ，交ｏ０　

于Ｃ点，ＤＥｌＡＢ垂足于Ｅ，求证：　

（１）ＣｌＤ＝ＤＥ；　（２）若将两圆内切改为外切，其他条件不变，　（１）中的结论　是否成立？请证明你的结论．　分析：主要应用“如果两个圆相切，　

圆的培优专题15——聚焦圆中无图多解题

圆是中考数学考查的一个热点，题型较全，选择、填空、作图、计算与证明经常出现，常与三角形、四边形、相似形、二次函数等知识一起考查。因为圆是一个特殊对称图形，而同学们往往考虑不周，丢掉另一种情况，造成失分较多，现将圆中无图两解或多解试题列举如下，供同学们参考：

答案：60°或120°

2、若AB是⊙O的直径，AC、AD是弦，AB＝2，AC＝2，AD＝1，则∠CAD＝ .

答案：15°或105°

3、在直径为50cm的⊙O中，弦AB＝40cm，弦CD＝48cm，且AB∥CD，则AB与CD之

间的距离是 .

答案：22cm或8cm

4、已知P点到⊙O的最短距离为2cm，最长距离为6cm，则⊙O的半径为 .

答案：4cm或2cm

5、相交两圆的公共弦长为6cm，两圆的半径分别为32，5，则这两圆的圆心距等于 .

答案：7cm或1 cm

6、点P是半径为5的⊙O内的一点，且OP＝3cm，在过点P的所有弦中长度为整数的弦一

共有 条.

答案：4条

7、已知⊙O的半径为5cm，弦AB＝8，P为AB上一动点，且OP长为整数，满足条件的P

点有 个.

答案：5个

8、⊙O1和⊙O2交于A、B两点，且⊙O1经过点O2，若∠AO1B＝90°那么∠AO2B的度数

是 .

答案：135°或45

9、从不在⊙O上的一点A，作⊙O的割线交⊙O于B、C，且AB· AC＝64，OA＝10，则

⊙O的半径等于 .

答案：241或6

10、已知⊙O的半径为5cm，AB是弦，P是直线AB上的一点，PA＝3cm，AB＝8cm，

则tan∠OPB的值为 .

责任编辑：王二喜　

０／王宗俊　用　

在圆中，圆心角与圆周角是最常见的角，它们与弦、弧和扇形　

的面积的联系很密切，是中考命题的重点．下面以２０１１年的中考　

题为例，说明圆中角的各种应用．　

一、求角的大，ＪＩ　

１．利用圆心角求圆周角　

例１　（２０１１年乌兰察布卷）如图１，ＡＢ为ｏ　０的直径，ＣＤ为弦，　

ＡＢ　ｊ－ＣＤ，如果　ＢＯＣ＝７０。，那么　Ａ的度数为（　）．　

Ａ．７０。　Ｂ．３５　ｏ　Ｃ．３０ｏ　Ｄ．２０。　

解析：连接ＯＤ，因为ＡＢ上ＣＤ，所以屁：　

Ｂ—Ｄ，所以　ＢＯＤ＝　ＢＯＣ：７０　Ｏ．由于面所对的　

圆心角和圆周角分别是Ｌ　ＢＯＤ　ＬＡ，所以　ｃ　

：　Ｚ＿ＢＯＤ：３５。．选Ｂ．　２　温馨小提示：“在同圆或等圆中，同弧或等弧　图１　

所对的圆周角等于圆心角的一半”是作辅助线或解题的有力工具．　２．利用圆周角求圆心角　

例２　（２０１１年常德卷）如图２，已知ｏ　Ｏ是　

△ＡＢＣ的外接圆，且　Ｃ＝７０。，则　ＯＡＢ＝　．　

解析：因为ＡＢ所对的圆心角是　Ａ　ＯＢ，所对　

的圆周角是　Ｃ，　Ａ　ＯＢ＝２　Ｃ＝２￣７０。＝１４０。．在　

△Ａ　ＯＢ中，ＯＡ＝ＯＢ，　所以　ＯＡＢ＝　ＯＢＡ＝　Ｃ　

图２　＝２０。．　２　温馨小提示：解这类题常用到圆周角与对应的圆心角之间的　

数量关系和等腰三角形的性质．　３．利用直径所对的圆周角是直角求角　

例３　（２０１１年荆州卷）如图３，ｏ　Ｄ是△ＡＢＣ的外接圆，ＣＤ是直　

径，／Ｂ＝４０。，则　ＡＣＤ的度数是——．　解析：连接ＡＤ．由同弧所对的圆周角相　

等，得ＬＡＤＣ：　Ｂ：４０。．由直径所对的圆周　Ａ　

点，若／＿ＢＡＤ：１０５。，则　ＤＣＥ的大小是（　）．　图４　

Ａ．１１５。　Ｂ．１０５。　Ｃ．１００。　Ｄ．９５。　解析：因为　ＢＡＤ＝１０５。，根据“圆内接四边形对角互补”得　

ＢＣＤ＝１８０。一　ＢＡＤ＝７５　０．　ＤＣＥ＝１８０。一　ＢＣＤ＝１０５　Ｏ．选Ｂ．　５．利用圆心角、圆周角求其他角　例５　（２０ｌ１年泰安卷）如图５，ＰＡ－ｑ　ｏ　Ｄ相Ｐ