2021届全国名校学术联盟新高考原创预测试卷(二)数学

2021届河北衡水密卷新高考原创预测试卷（二）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题（每题5分，共60分）1.已知集合{}220A x x x =∈-++≥N ，则满足条件A B A ⋃=的集合B 的个数为( ) A. 3 B. 4 C. 7 D. 8【答案】D 【解析】 【分析】可以求出集合{}0,1,2A =，由A B A ⋃=可得B A ⊆，从而求集合A 的子集个数即可. 【详解】解：{}{}2200,1,2A x x x =∈-++≥=N ，∵A B A ⋃=，∴B A⊆，∴集合A的子集个数为328=个.故选：D.【点睛】本题考查并集的运算及理解，是基础题.2.已知i为虚数单位，,a b∈R，复数12ii a bii+-=+-，则a bi-=（）A. 1255i- B.1255i+ C.2155i- D.2551i+【答案】B 【解析】【分析】由复数的除法运算，可得(1)(2)12(2)(2)55i ii ii ia b i=+++-=--+，即可求解a b i-，得到答案．【详解】由题意，复数12ii a bii+-=+-，得(1)(2)1312(2)(2)555i ia b i=ii i ii i++++-=-=--+，所以1255a b i=i-+，故选B．【点睛】本题主要考查了复数的运算，其中解答中熟记复数的基本运算法则，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2013年以来，“一带一路”建设成果显著.下图是2013-2017年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图.下列描述错误的是（）A. 这五年，2013年出口额最少B. 这五年，出口总额比进口总额多C. 这五年，出口增速前四年逐年下降D. 这五年，2017年进口增速最快 【答案】C 【解析】 【分析】对于选项A ：观察五个灰色的条形图的高低即可判断;对于选项B:观察五组条形图,对比每组灰色条形图与黑色条形图的高低及高低悬殊程度即可判断;对于选项C ：从图中知,红色的折线图是先上升后下降即可判断; 对于选项D ：观察这五年所对的蓝色折线图的高低即可判断;【详解】对于选项A ：观察五个灰色的条形图,可得2013年所对的灰色条形图高度最低,所以这五年，2013年出口额最少.故选项A 正确;对于选项B:观察五组条形图可得,2013年出口额比进口额稍低,但2014年—2017年都是出口额高于进口额,并且2015年和2016年都是出口额明显高于进口额，故这五年，出口总额比进口总额多.故选项B 正确;对于选项C ：从图中可知,红色的折线图是先上升后下降,即2013年到2014年出口增速是上升的.故选项C 错误;对于选项D ：从图中可知,蓝色的折线图2017年是最高的,即2017年进口增速最快.故选项D 正确; 故选: C【点睛】本题主要考查统计条形图和折线图的应用;解题的关键是从条形图看出口金额和进口金额,从折线图看出口增速和进口增速;属于基础题.4.已知()1,2A ，()2,3B ，()1,C m -，若BA BC BA BC +=-，则2AC =( )A. 6B.C. 16D. 20【答案】D 【解析】 【分析】代入坐标可求出(4,4),(2,2)BA BC m BA BC m +=---=-，利用模的坐标运算列方程可得6m =，进而可求出AC 的坐标，则2AC 可求.【详解】解：(1,1),(3,3)BA BC m =--=--，(2,2)CA m =-，(4,4),(2,2)BA BC m BA BC CA m ∴+=---==-，又BA BC BA BC +=-，2216(4)4(2)m m ∴+-=+-，解得6m =，(2,4)AC ∴=-，241620AC ∴=+=.故选：D.【点睛】考查根据点的坐标求向量的坐标的方法，向量坐标的加法运算，向量减法的几何意义，以及根据向量坐标求向量长度的方法，是基础题. 5.已知命题p :“0x R ∃∈，0101x >+”的否定是“x R ∀∈，101x ≤+”；命题q :“2020x <”的一个充分不必要条件是“2019x <”，则下列命题为真命题的是（ ）A. p q ∧B. q ⌝C. ()p q ∨⌝D. ()p q ⌝∧【答案】D 【解析】 【分析】根据条件分别判断命题,p q 的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可． 【详解】命题p ：“0x R ∃∈，0101x >+”的否定是“x R ∀∈，101x <+或10x +=”. 则命题p 是假命题.命题q ：“2020x <”的一个充分不必要条件是“2019x <”，为真命题. 则()p q ⌝∧为真命题，其余为假命题. 故选：D ．【点睛】本题主要考查复合命题真假关系的应用，根据条件判断命题,p q 的真假是解决本题的关键．属于基础题.6.分形几何是美籍法国数学家芒德勃罗在20世纪70年代创立的一门数学新分支，其中的“谢尔宾斯基”图形的作法是:先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”(即以原三角形各边的中点为顶点的三角形)，然后在剩下的每个小正三角形中又挖去一个“中心三角形”.按上述方法无限连续地作下去直到无穷，最终所得的极限图形称为“谢尔宾斯基”图形(如图所示)，按上述操作7次后，“谢尔宾斯基”图形中的小正三角形的个数为（）A. 53B. 63C. 73D. 83【答案】C【解析】【分析】根据题意分别求出第1,2,3次操作后，图形中的小正三角形的个数，然后可归纳出一般结论，得到答案.【详解】如图，根据题意第1次操作后，图形中有3个小正三角.第2次操作后，图形中有3×3=23个小正三角.第3次操作后，图形中有9×3=33个小正三角.…………………………所以第7次操作后，图形中有73个小正三角.故选：C 【点睛】本题考查归纳推理，属于中档题.7.已知双曲线()221my x m R -=∈与椭圆2215yx +=有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为( )A. y =B. 3y x =±C. 13y x =±D. 3y x =±【答案】A 【解析】 【分析】确定椭圆、双曲线的焦点坐标，求出m 的值，即可求出双曲线的渐近线方程.【详解】椭圆2215y x +=的焦点坐标为(0,2)±，双曲线()221my x m R -=∈的焦点坐标为(0,， 因为双曲线()221my x m R -=∈与椭圆2215yx +=有相同的焦点，2=， 解得13m =，所以双曲线的渐近线方程为y =. 故选：A【点睛】本题主要考查椭圆、双曲线的性质，考查学生的计算能力，属于中档题.8.已知函数())(0f x x ωϕω=+>，)22ππ-<ϕ<，1(3A ，0)为()f x 图象的对称中心，B ，C 是该图象上相邻的最高点和最低点，若4BC =，则()f x 的单调递增区间是( )A. 2(23k -，42)3k +，k Z ∈ B. 2(23k ππ-，42)3k ππ+，k Z ∈C. 2(43k -，44)3k +，k Z ∈ D. 2(43k ππ-，44)3k ππ+，k Z ∈【答案】C 【解析】 分析】由三角函数图像的性质可求得：2πω=，6πϕ=-，即()3sin()26f x x ππ=-，再令222262k x k ππππππ--+，求出函数的单调增区间即可.【详解】解：函数()3sin()(0f x x ωϕω=+>，)22ππ-<ϕ<， 因为1(3A ，0)为()f x 图象的对称中心，B ，C 是该图象上相邻的最高点和最低点，又4BC =，∴222(23)()42T +=，即221216πω+=，求得2πω=．再根据123k πϕπ+=，k Z ∈，可得6πϕ=-，()3sin()26f x x ππ∴=-，令222262k x k ππππππ--+，求得244433k x k -+， 故()f x 的单调递增区间为2(43k -，44)3k +，k Z ∈， 故选C ．【点睛】本题考查了三角函数图像的性质及单调性，属中档题. 9.函数22cos x xy x x--=-的图像大致为（ ）.A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】 本题采用排除法: 由5522f f ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭排除选项D ； 根据特殊值502f π⎛⎫>⎪⎝⎭排除选项C; 由0x >,且x 无限接近于0时, ()0f x <排除选项B ； 【详解】对于选项D:由题意可得, 令函数()f x = 22cos x xy x x--=-,则5522522522f ππππ--⎛⎫-= ⎪⎝⎭,5522522522f ππππ--⎛⎫= ⎪⎝⎭;即5522f f ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选项D 排除; 对于选项C ：因为55225220522f ππππ--⎛⎫=> ⎪⎝⎭,故选项C 排除;对于选项B:当0x >,且x 无限接近于0时,cos x x -接近于10-<,220x x -->，此时()0f x <.故选项B 排除;故选项:A【点睛】本题考查函数解析式较复杂的图象的判断;利用函数奇偶性、特殊值符号的正负等有关性质进行逐一排除是解题的关键;属于中档题.10.已知正方形ABCD 的边长为2，点E 为边AB 中点，点F 为边BC 中点，将AED DCF ∆∆，，EBF ∆分别沿 DE DF ，,EF 折起，使,,A B C 三点重合于M 点，则三棱锥M DEF -的外接球的表面积为（ ） A.32πB. 3πC. 6πD. 12π【答案】C 【解析】 【分析】把棱锥扩展为正四棱柱,求出正四棱柱的外接球的半径就是三棱锥外接球的半径,即可求出三棱锥M DEF-外接球的表面积.【详解】作图如下：由题意可得MFE∆为等腰直角三角形,且MD⊥平面MEF,将三棱锥的底面MEF扩展为边长为1的正方形,然后扩展为正四棱柱,三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一球,正四棱柱的对角线的长度就是外接球的直径, 1146++=,所以球的半径为62所以三棱锥M DEF-的外接球的表面积为2264462S Rπππ⎛ ⎝⎭==⋅=, 故选：C【点睛】本题主要考查多面体的外接球;重点考查学生的空间想象能力、知识迁移能力；属于难度较大型试题.11.一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄a元一年定期，若年利率为r保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为()A. 17(1)a r+ B. 17[(1)(1)]ar rr+-+C. 18(1)a r+ D. 18[(1)(1)]ar rr+-+【答案】D【解析】【分析】由题意可得：孩子18岁生日时将所有存款（含利息）全部取回，可以看成是以(1)a r+为首项，(1)r+为公比的等比数列的前17项的和，再由等比数列前n项和公式求解即可.【详解】解：根据题意，当孩子18岁生日时，孩子在一周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为17(1)a r +， 同理：孩子在2周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为16(1)a r +， 孩子在3周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为15(1)a r +，⋯⋯孩子在17周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为(1)a r +，可以看成是以(1)a r +为首项，(1)r +为公比的等比数列的前17项的和， 此时将存款（含利息）全部取回， 则取回的钱的总数：17171618(1)[(1)1](1)(1)(1)[(1)(1)]11a r r aS a r a r a r r r r r++-=++++⋯⋯++==+-++-；故选D ．【点睛】本题考查了不完全归纳法及等比数列前n 项和，属中档题.12.已知函数f （x ）＝（k ＋4k ）lnx ＋24x x－，k∈[4，＋∞），曲线y ＝f （x ）上总存在两点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），使曲线y ＝f （x ）在M ，N 两点处的切线互相平行，则x 1＋x 2的取值范围为 A. （85，＋∞） B. （165，＋∞） C. [85，＋∞） D. [165，＋∞） 【答案】B 【解析】 【分析】利用过M 、N 点处的切线互相平行，建立方程，结合基本不等式，再求最值，即可求x 1+x 2 的取值范围．【详解】由题得f′（x ）=4k k x +﹣24x ﹣1=﹣2244x k x k x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=﹣()24x k x k x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，（x ＞0，k ＞0）由题意，可得f′（x 1）=f′（x 2）（x 1，x 2＞0，且x 1≠x 2），即21144k k x x +-﹣1=24k k x +﹣224x ﹣1，化简得4（x 1+x 2）=（k+4k）x 1x 2， 而x 1x 2＜212()2x x +， 4（x 1+x 2）＜（k+4k ）212()2x x +， 即x 1+x 2＞164k k +对k ∈[4，+∞）恒成立， 令g （k ）=k+4k，则g′（k ）=1﹣24k =()()222k k k+-＞0对k ∈[4，+∞）恒成立， ∴g（k ）≥g（4）=5，∴164k k +≤165， ∴x 1+x 2＞165，故x 1+x 2的取值范围为（165，+∞）. 故答案为B【点睛】本题运用导数可以解决曲线的切线问题，函数的单调性、极值与最值，正确求导是我们解题的关键，属于中档题.二、填空题（每题5分，共20分） 13.已知2πsin 3x ⎛⎫-=⎪⎝⎭则πcos 6x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭___________.【答案】-【解析】由题意得ππ2π2πcos cos sin 62333x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦答案：33-． 14.如图是一个几何体的三视图，若它的体积是23，则a =__________，该几何体的表面积为__________.【答案】 (1). 1 (2). 35+ 【解析】 【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以主视图为底面的四棱锥，根据它的体积是23，求出a 值, 再计算各个面的面积，相加可得答案. 【详解】如图所示，此几何体是四棱锥，底面是边长为a 的正方形，平面SAB ⊥平面ABCD ，并且90SAB ∠=︒，2SA =， 所以体积是212233V a =⨯⨯=，解得1a =， 四个侧面都是直角三角形， 所以计算出表面积是21111112151215352222S =+⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯=+. 故答案为：1；35【点睛】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状，属于中档题.15.在ABC ∆中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若2sin sin cos sin A B C C =，则222a b c +=________，sin C 的最大值为_________.【答案】【解析】 【分析】利用正余弦定理把角化边即可求得222a b c +的值,利用222222,cos 2a b c a b ab C ab +-+≥=求出cos C 的最小值,此时所对的sin C 即为所求的最大值. 【详解】因为2sin sin cos sin A B C C =，由正余弦定理可得,22222222a b b a c c R R ab R +-⎛⎫⋅⋅= ⎪⎝⎭,整理可得, 2223b a c +=，即222a b c+=3；因为222222,cos 2a b c a b ab C ab+-+≥=,所以2222222232cos 33a b c c c C a b c +--≥==+， 由题意可得，02C <<π,所以当2cos 3C =时,C 角有最大值,sin C 有最大值,所以sin C =即sin C ==故答案为【点睛】本题主要考查正余弦定理,利用基本不等式求三角函数最值;其中基本不等式与余弦定理的结合应用是求解本题的关键;属于中档题.16.已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若OMN ∆为直角三角形，则MN =______.【答案】3 【解析】 【分析】根据题意，可知其渐近线的斜率为3±()2,0F ，从而得到30FON ∠=︒，所以直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60︒，求出,M N 的坐标，再利用两点间的距离公式，即可得答案；【详解】根据题意，可知其渐近线的斜率为3±()2,0F ， 从而得到30FON ∠=︒，所以直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60︒，可以得出直线MN 的方程为)2y x =-，分别与两条渐近线3y x =和3y x =-联立，求得(M ，3,22N ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以3MN ==. 故答案为：3.【点睛】本题考查直线的斜率与倾斜角、双曲线渐近线方程、两点间的距离公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 三、解答题17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，424S S =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若129180m m m m a a a a +++++++=（*m N ∈），求m 的值.【答案】（1）21n a n =-（*n N ∈）（2）5m = 【解析】 【分析】()1由424S S =得到1,a d 的方程,由11a =求出公差d ,代入等差数列通项公式即可; ()2由()1知2d =和等差数列定义可知，129180mm m m aa a a +++++++=可得1045180m a d +=，把2d =代入求解即可.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， 由424S S =得，114684a d a d +=+，整理得12d a =. 又∵11a =，∴2d =，∴()1121n a a n d n =+-=-（*n N ∈）. （2）129180m m m m a a a a +++++++=可化为10452080180m a d m +=+=，解得5m =.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和利用等差数列的定义求参数;其中由等差数列的定义把129180m m m m a a a a +++++++=化为1045180m a d +=是求解本题关键;重点考查学生的运算能力；属于中档题.18.如图，多面体11ABC DB C -是正三棱柱111ABC A B C -沿平面11DB C 切除一部分所得，11BC CC ==，点D 为1AA 的中点.（1）求证:1BC ⊥平面1B CD ； （2）求点1B 到平面BCD 的距离. 【答案】（1）证明见解析（23【解析】 【分析】（1）设1BC 1与1B C C 交于点E ，连接DE ，可得1BD C D =，1BC DE ⊥，即可证明1BC ⊥平面1B CD .（2）利用等体积法求点1B 到平面BCD 的距离．【详解】（1）设1BC 与1B C 交于点E ，连接DE .∵多面体11ABCDB C 是正三棱柱111ABC A B C -沿平面11DB C 切除部分所得， 1BC CC =，∴四边形11BB C C 是正方形，四边形1CC DA ､1ABB D 均为直角梯形，其中AB AD ⊥，AC AD ⊥.∵点D 为1AA 的中点，1AA 平行且等于1BB ，∴2252BD BA AD =+=. 又()22115DC CC AD AC =-+=，∴1BD C D = .∵E 为1BC 的中点，∴1BC DE ⊥. 又∵11B C BC ⊥，1B C DE E =，∴1BC ⊥平面1B CD ；（2）设点1B 到平面BCD 的距离为d ， ∵11B BCD D BCB V V --=，点D 到平面11BCC B 的距离即为ABC ∆边BC 21312⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴111333BCD B BC S d S ∆∆⋅=又∵5DC BD ==，1BC =， ∴121122B BC S BC ∆=⨯=，22111242BCD S BC BD BD ∆=⨯-=. ∴1313322212B BC BCDS d S ∆∆⨯⨯===，即点1B 到平面BCD 3【点睛】本题考查了线面垂直的证明、点到面的距离，属于中档题．19.某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间（满分150分），将统计结果按如下方式分成八组：第一组[65，75)，第二组[75，85)，⋯⋯第八组[135，145]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．（1）求第七组的频率，并完成频率分布直方图；（2）用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）；（3）若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值小于10分的概率．【答案】（1）0.08,绘图见解析；（2）102；（3）2 5【解析】【分析】（1）由频率分布直方图可得：各小矩形的高之和为0.1，运算可得解；（2）由频率分布直方图中平均数的求法即可得解；（3）样本成绩属于第六组的有3人，样本成绩属于第八组的有2人，则随机抽取2名，基本事件总数为2510C=，他们的分差的绝对值小于10分包含的基本事件个数为22324C C+=，再利用古典概型概率公式运算即可.【详解】解：（1）由频率分布直方图得第七组的频率为：1(0.0040.0120.0160.0300.0200.0060.004)100.08-++++++⨯=．完成频率分布直方图如下：（2）用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分为： 700.00410800.01210900.016101000.030101100.02010⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+1200.006101300.008101400.00410102⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.（3）样本成绩属于第六组的有0.00610503⨯⨯=人，样本成绩属于第八组的有0.00410502⨯⨯=人，从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名， 基本事件总数2510n C ==，他们的分差的绝对值小于10分包含的基本事件个数22324m C C =+=， 故他们的分差的绝对值小于10分的概率42105m p n ===． 【点睛】本题考查了频率分布直方图及古典概型概率公式，属中档题.20.设椭圆:C 22221x y a b+=（0a b >>）的左右焦点分别为12F F ，，椭圆的上顶点为点B ，点A 为椭圆C 上一点，且1130F A F B +=. （1）求椭圆C 的离心率；（2）若1b =，过点2F 的直线交椭圆于M N ，两点，求线段MN 的中点P 的轨迹方程.【答案】（1）22（2）2220x y x +-= 【解析】 【分析】()1利用向量的坐标表示及运算表示出点A 坐标,代入椭圆C 的方程即可求解;()2由()1知e =,结合1b =求出椭圆C 的方程，分两种情况线段MN 在x 轴上和线段MN 不在x 轴上求解点P ，当线段MN 不在x 轴上, 设直线MN 的方程为1x my =+，()11M x y ，，()22N x y ，，代入椭圆方程，利用韦达定理和中点坐标公式,消去参数m 即可.【详解】（1） 设A （00x y ，），B ()0b ，，()1 0Fc -，， 所以()()1001,,,F A x c y F B c b =+=，1130FA FB +=得 000043403303c x x c y b by ⎧=-⎪+=⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=-⎪⎩，即433b A c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，， 又∵A （00x y ，）在椭圆:C 22221x y a b+=上，∴222241331c b a b ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，得2c a =，即椭圆C 的离心率为2e =. （2） 由（1）知，2e =.又∵1b =，222a b c =+， 解得22a =，21b =，∴椭圆C 的方程为2212x y +=.当线段MN 在x 轴上时，线段MN 的中点P 为坐标原点（0，0）.当线段MN 不在x 轴上时，设直线MN 的方程为1x my =+，()11M x y ，，()22N x y ，，将直线MN 的方程为1x my =+代入椭圆方程2212x y +=中，得()222210m y my ++-=.∵点2F 在椭圆内部，∴>0∆，12222m y y m +=-+，则()12122422x x m y y m +=++=+， ∴点()P x y ，的坐标满足222x m =+，22m y m =-+，消去m 得，2220x y x +-=（0x ≠）. 综上所述，点P 的轨迹方程为2220x y x +-=.【点睛】本题主要考查椭圆的离心率的求解和标准方程及直线与椭圆相交时弦的中点的轨迹问题;其中当线段MN 不在x 轴上时，设直线MN 的方程为1x my =+是求解本题的关键;考查学生的运算能力和知识的综合运用能力;属于中档题. 21.已知函数()()1ln f x x x =+，()()1g x a x a R =-∈，.（1）求直线yg x 与曲线()y f x =相切时，切点T 的坐标；（2）当()0 1x ∈，时，()()g x f x >恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）（1，0）（2）(] 2-∞，【解析】 【分析】()1求出函数()f x 的导函数()'f x ,设所求切点T 的坐标为()00x y ，,利用导数的几何意义可得切线的斜率为a ，再由切点T 满足函数()y g x =和()y f x =，从而得到关于0x 的方程组,解方程即可;()2当()0 1x ∈，时，()()g x f x >恒成立，等价于()1ln 01a x x x --<+对()0 1x ∈，恒成立. 构造函数()()1ln 1a x h x x x -=-+，则()10h =，()()()()2222111211x a x a h x x x x x +-+'=-=++， 分两种情况2a ≤和2a >利用导数讨论函数()h x 单调性及最值即可. 【详解】()1因为函数()()1ln f x x x =+，所以()1ln 1f x x x'=++， 设直线()y g x =与曲线()y f x =相切的切点T 的坐标为()00x y ，，则()()000001ln 11ln 1x a x x x a x ⎧++=⎪⎨⎪+=-⎩，整理化简得00012ln 0x x x -+=.令()12ln h x x x x=-+，则()22210x x h x x -+'=-≤， ∴()h x 在()0+∞，上单调递减， ∴由零点存在性定理可得,()0h x =在()0+∞，最多有一个实数根. 又∵()10h =，∴01x =，此时00y =， 即切点T 的坐标为（1，0）.（2）当()0 1x ∈，时，()()g x f x >恒成立，等价于()1ln 01a x x x --<+对()0 1x ∈，恒成立. 令()()1ln 1a x h x x x -=-+，则()()()()2222111211x a x ah x x x x x +-+'=-=++，()10h =.①当2a ≤，()01x ∈，时，()22211210x a x x x +-+≥-+>， ∴()0h x '>，()h x 在()0 1x ∈，上单调递增，因此()0h x <符合题意. ②当2a >时，令()0h x '=得1211x a x a =-=-由21>x 与121=x x 得，101x <<. ∴当()1 1x x ∈，时，()0h x '<，()h x 单调递减， ∴当()1 1x x ∈，时，()()10h x h >=，不符合题意； 综上所述得，a 的取值范围是(]2-∞，. 【点睛】本题考查利用导数的几何意义求切点和利用导数研究函数的单调性和最值，利用函数的性质解决方程和恒成立问题;中点考查学生的推理论证能力和利用分类讨论思想综合解题能力;解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用;属于难度大型试题.选修4-4：坐标系与参数方程 22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为6x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为ρ=. (1)求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；(2)若M ，N 分别为曲线1C 和曲线2C 上的动点，求MN 的最大值.【答案】(1)()2262x y +-=，22110x y +=；(2)【解析】【分析】（1）根据同角三角函数关系式，消去参数，可得1C 直角坐标方程.利用222x y ρ=+，sin y ρθ=化简可得2C 的直角坐标方程；（2）设),sin Nθθ，利用点到直线的距离公式和三角函数的有界限，求解MN 的最大值.【详解】(1)曲线1C 的直角坐标方程为()2262x y +-=. 由221019sin ρθ=+，222x y ρ=+，sin y ρθ=， 得222910x y y ++=，即2C 的直角坐标方程为：22110x y +=. (2)由(1)得1C 的圆心为()0,6A，半径r =设),sin N θθ，)()2220sin 6NA θθ=-+- 则2210cos sin 12sin 36θθθ=+-+，229sin 503θ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭ ∴当2sin 3θ=-时，max NA = ∴MN的最大值为=【点睛】本题考察了参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的互换.利用参数设坐标，求解点到直线的距离的问题.选修4-5：不等式选讲23.已知函数()12()f x x x m m R =-++∈.（1）若2m =时，解不等式()3f x ≤；（2）若关于x 的不等式()23f x x ≤-在[0,1]x ∈上有解，求实数m 的取值范围.【答案】（1）4{|0}3x x -≤≤；（2）32m -≤≤. 【解析】试题分析： （1）当2m =时，不等式为1223x x -++≤，根据分类讨论解不等式即可．（2）由题意可得当[]0,1x ∈时，22x m x +≤-有解，即[]2230,1x m x x 在--≤≤-∈上有解，故只需（()min max 2)23x m x --≤≤-，由此可得结论．试题解析：（1）当2m =时，不等式为1223x x -++≤，若1x ≤-，则原不等式可化为412233x x x -+--≤≥-，解得，所以413x -≤≤-； 若11x -<<，则原不等式可化为12230x x x -++≤≤，解得，所以10x -<≤； 若1x ≥，则原不等式可化为212233x x x -++≤≤，解得，所以x ∈Φ． 综上不等式的解集为4{|0}3x x -≤≤． （2）当[]0,1x ∈时，由()23f x x ≤-，得1232x x m x -++≤- 即22x m x +≤-故222223x x m x x m x -≤+≤---≤≤-，解得，又由题意知（()min max 2)23x m x --≤≤-，所以32m -≤≤．故实数m 的取值范围为[]3,2-．。

《高考理数预测密卷》新课标II 卷本试卷分为第I 卷（选择题）和第n 卷（非选择题）两部分，满分150分考试时间120分钟（选择题共60分） 、选择题（本大题共 12小题, r 每小题 5分，共 60分。

在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的。

） 1.已知i 为虚数单位，复数z zz 等于（） A.1 B.2 C. 12 D.0 2.已知集合M x | x 2,N y |y log 2X, x 2 ,则下列结论正确的是（ ） A. B. M I e u N C. MUN U D. M e u N3.某学校为了更好的培养尖子生，使其全面发展，决定由 3名教师对5个尖子生进行“包教” 要求每名教师的“包教”学生不超过 2人，则不同的“包教”方案有（ A.60 B.90 C.150 D.1204.下列命题中的假命题为（ a 、 3为两个不同平面，若直线 l 在平面 a 内，则a ，3是3 ”的必要不充分条件；B. 设随机变量 服从正态分布 N 0,12 p ;C. 得到函数f x cos 2x 的图象， 3sin 2x 一的图象向左平移3 一个单位长度.4D. (0, —), x sinx .25.阅读加图所示的程序框图，若运行相应的程序输出的结果为只需将函数0,则判7.函数y 4cos （2016x ） e |2016x| （ e 为自然对数的底数）的图像可能是（）图如图所示，则截面所在平面与底面所在平面所成的锐二面角的正切值为（ ）A. 2B.2 C.二D. —2-2..1n ........................9.若（x — 1）n 的展开式中各项的系数之和为81,则分别在区间［0,可和［0,—］内任取两个实数x 4x, y,满足y>sinx 的概率为（ ）.1. 2-3-A. 1 —B. 1 —C. 1 —D.瓦 10.函数f （x ） ln （x 1）e x 的单调递增区间为（断框中的条件不可能是（ ） A. n 2014 B. n 2015 C. n 2016 D. n 20186.在平面直角坐标系中，若不等式组 物线y ax 2的准线方程为（ x+2y>2r（s 为常数）表示的区域面积等于A . y1 24B.243 D . y28.高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视亶现圄 恻视圄僻视圄A.2B.4C.6D.012 .已知双曲线x 2-y 2=1的左、右顶点分别为 A 、A 2,动直线l: y=kx+m 与圆x 2+y 2=1相切，且与 双曲线左、右两支的交点分别为P I （X I , y 。

2021届全国名校学术联盟新高三原创预测试卷（十一）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|ln 1}A x x =<，{|12}B x x =-<<，则AB =（ ） A. (0,)eB. (1,2)-C. (1,)e -D. (0,2) 【答案】D【解析】【分析】解不等式ln 1x <，化简集合A ，根据交集定义即可求解.【详解】因为{|ln 1}A x x =<{|0}x x e =<<，所以{|02}A B x x ⋂=<<.故选:D【点睛】本题考查集合间的运算，解对数不等式是解题的关键，属于基础题.2.已知复数z =，则复数z 的共轭复数z =（ ）A. 122i -B. 122-C. 122i +D.12+ 【答案】A【解析】【分析】复数z 实数化，即可求解.【详解】因为2i z ===，所以12z i =-. 故选:A【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数定义，属于基础题.3.已知tan 3α=，则2cos sin 2αα+=（ ）A. 10B. 710C. 10-D. 710- 【答案】B【解析】【分析】利用“1”的变换，所求式子化为关于sin ,cos αα的齐次分式，化弦为切，即可求解. 【详解】22222cos 2sin cos 12tan 7cos sin 2cos sin 1tan 10ααααααααα+++===++. 故选:B【点睛】本题考查同角间三角函关系，弦切互化是解题的关键，属于基础题.4.设,x y满足约束条件20220220x yx yx y+-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则3z x y=-的最小值为（）A. 0B. -4C. -8D. -6【答案】D【解析】【分析】作出可行域，利用数形结合即可求解.【详解】作出可行域，如下图所示：当目标函数3z x y=-经过(0,2)A时，z取得最小值-6.故选:D【点睛】本题考查二元一次不等式组所表示的平面区域，以及线性目标函数的最小值，属于基础题.5.甲、乙两人近五次某项测试成绩的得分情况如图所示,则（）A. 甲得分的平均数比乙的大B. 乙的成绩更稳定C. 甲得分的中位数比乙的大D. 甲的成绩更稳定【答案】B【解析】【分析】 根据图形中的数据，可求出甲乙的平均数，中位数，分析数据的离散程度，确定方差大小，即可求解.【详解】甲、乙得分的平均数均为13，中位数均为13，甲得分的方差明显比乙大.故选:B【点睛】本题考查数据的处理以及数据的分析，属于基础题.6.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()ln f x a x a =+，若()4f e -=，则(0)(1)f f +=（ ）A. -1B. 0C. -2D. 1【答案】C【解析】【分析】根据()f x 是定义在R 上的奇函数，可得(0)0f =，由()4f e -=可得()4f e =-，求出a ，即可得出结论.【详解】因为()f x 是奇函数，所以()()24f e f e a -=-=-=，可得2a =-.所以当0x >时，()2ln 2f x x =--，所以(1)2f =-，又(0)0f =，所以(0)(1)2f f +=-.故选:C【点睛】本题考查奇函数的对称性，属于基础题. 7.函数()ln cos sin x x f x x x⋅=+在[)(],00,ππ-⋂的图像大致为（ ）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】 先求出函数()f x 为奇函数，再通过特殊值确定答案.【详解】函数的定义域关于原点对称. 因为()()ln cos sin x x f x f x x x-=-=-+， 所以()f x 为奇函数.又因为()10f ±=.0,(02())3f f ππ±=>.() 0f π<， 故选：D .【点睛】本题主要考查图象的确定问题，考查函数奇偶性的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的最长棱的长为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 5【答案】C【解析】【分析】由三视图可得直观图为四棱锥，即可求出结论.【详解】根据三视图，还原直观图如图所示，最长棱为1122AC AB ==.故选:C【点睛】本题考查三视图应用，三视图还原成直观图是解题的关键，属于基础题.9.已知P 是抛物线2:2(0)C y px p =>上的一点，F 是抛物线C 的焦点，O 为坐标原点，若||2PF =，3PFO π∠=，则抛物线C 的方程为（ ） A. 26y x =B. 22y x =C. 2y x =D. 24y x = 【答案】A【解析】【分析】 ||2PF =，3PFO π∠=，可求出P 点的坐标，代入抛物线方程，即可求解.【详解】过P 向x 轴作垂线，设垂足为Q ，∵3PFO π∠=，||2PF =， ∴||3PQ =||1QF =，(1,3)2p P -±， 将P 点的坐标代入22y px =，得3p =，故C 的方程为26y x =.故选:A【点睛】本题考查抛物线的标准方程，属于基础题.10.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，8AB =，6AD =，异面直线BD 与1AC 所成角的余弦值为15，则该长方体外接球的表面积为（ ）A. 98πB. 196πC. 784πD. 13723π 【答案】B【解析】【分析】 先做出BD 与1AC 所成角的角下图中的∠BOE ，设,,CE x OE BE =用x 表示，然后用余弦定理求出x ，求出长方体的对角线，即长方体的外接球的直径，可求出答案.【详解】连AC 与BD 交于O 点,则O 为AC 中点，取1CC 中点E ，连,BE OE ，则1//AC OEEOB ∴∠为异面直线BD 与1AC 所成角,设,CE x =则236BE x =+，8AB =，6AD =，25,25OB OC OE x ===+在OBE ∆中，由余弦定理得2222362cos BE x OB OE OB OE EOB =+=+-⨯⨯∠222362525225x x x +=++-+6x =1246CC x == 36649614++=所以长方体的外接球的半径为7，所以长方体外接球的表面积为196π.故选:B【点睛】本题考查异面直线所成的角，余弦定理，以及长方体外接球的表面积，做出空间角，解三角形是解题的关键，属于较难题.11.双曲线()2210mx ny mn +=<的渐近线于圆()2259x y -+=相切，且该双曲线过点352,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则该双曲线的虚轴长为（ ）A. 3B. 4C. 6D. 8【答案】D【解析】【分析】 221(0)mx ny mn +=<的渐近线与圆22:(5)9E x y -+=相切等价于圆心(5,0)到渐近线的距离等于半径3r =，推出mn 的方程，结合点在双曲线上，求解m ，n 然后求解双曲线的虚轴长．【详解】双曲线221(0)mx ny mn +=<||||0m x n y -=．圆22:(5)9E x y -+=的圆心(5,0)，半径3r =．渐近线与圆22:(5)9E x y -+=相切，∴5||3||||m m n =+，即16||9||m n =，① 该双曲线过点35)P ， 45414n m ∴+=， ② 解①②可得19n =，116m =-， 双曲线221916y x -=，该双曲线的虚轴长为8．故选：D ．【点睛】熟练掌握双曲线的渐近线方程、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、离心率的计算公式是解题的关键，是中档题．12.在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，ABC ∆的面积为S ，若222sin()S A C b c+=-，则1tan 2tan()C B C +-的最小值为（ ）B. 2C. 1D. 【答案】A【解析】【分析】 222sin()S A C b c+=-结合面积公式，可得出22b c ac =+，由余弦定理得出2cos a c B c -=，再用正弦定理化边为角，得出2B C =，把所求式子用角C 表示，并求出角C 范围，最后用基本不等式求最值. 【详解】因为222sin()S A C b c +=-，即222sin S B b c =-， 所以22sin sin ac B B b c=-，因为sin 0B ≠， 所以22b c ac =+，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得2cos a c B c -=，再由正弦定理得sin 2sin cos sin A C B C -=，因为sin 2sin cos sin()2sin cos sin()A C B B C C B B C -=+-=-，所以sin()sin B C C -=，所以B C C -=或B C C π-+=，得2B C =或B π=（舍去）.因为ABC ∆是锐角三角形， 所以02022032C C C ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩，得64C ππ<<，即tan 3C ∈，所以11tan tan 2tan()2tan C C B C C+=+≥-当且仅当tan C =，取等号. 故选:A【点睛】本题考查考查用正弦定理、余弦定理、面积公式解三角形，考查基本不等式求最值，属于较难题.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量(1,)a m =，2(,)22b =-，若a b ⊥，则m =__________． 【答案】1【解析】 【分析】根据垂直向量的坐标关系，即可求解.【详解】由1()022m ⨯+⨯-=，得1m =. 故答案为:1【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示，属于基础题. 14.712x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，x 项的系数是__________．（用数字作答） 【答案】560-【解析】 分析：先求出二项式712x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式，令x 的指数等于1，求出r 的值，即可求得展开式中x 项的系数. 详解：712x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式的通项为 ()()()71772177212r r rrr r r r T C x x C x ----+=-=-，7213r r -=⇒=，展开式x 项的系数为()334712560C -⨯=-故答案为560-.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r rr n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用. 15.若函数()sin cos f x x a x =-图像的一条对称轴方程为3x π=，则a =__________．【答案】-【解析】 【分析】利用对称轴的点纵坐标为函数的最大或最小值，即可求解.|()|3f π=，得a =.故答案为:3-【点睛】本题考查正弦型函数性质的应用，属于基础题.16.若111ln 20x x y --+=，22242ln 20x y +--=，则221212()()x x y y -+-的最小值为__________，此时2x =_______. 【答案】 (1). 45(2). 125【解析】 分析】设1122(,),(,)A x y x y ，点A 在函数ln 2y x x =-+图像上，点B 在直线242ln 20x y +--=上，221212()()x x y y -+-为,A B 两点距离的平方，转化为函数ln 2y x x =-+图像上的点到直线242ln 20x y +--=的距离平方最小，利用数形结合方法，即可求出2||AB 的最小值. 【详解】设1122(,),(,)A x y x y ，点A 在函数ln 2y x x =-+图像上，点B直线242ln 20x y +--=上，221212()()x x y y -+-221212()()x x y y -+-的最小值可转化为函数ln 2y x x =-+图像上的点与直线242ln 20x y +--=上的点的距离的最小值的平方，由ln 2y x x =-+，可得1'1y x=-， 与直线242ln 20x y +--=平行的直线的斜率为12-， 令1112x -=-，得2x =，所以切点坐标为(2,ln 2)， 切点到直线242ln 20x y +--=的距离5d ==， 即221212()()x x y y -+-的最小值为45， 过切点与直线242ln 20x y +--= 垂直的直线24ln 20x y --+=，由242ln 2024ln 20x y x y +--=⎧⎨--+=⎩，得2125x =.【点睛】本题考查导数几何意义的应用，解题的关键是要把问题转化为点到直线的距离，属于难题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n S n kn k =++.（1）求{}n a 的通项公式； （2）若11n n n b a a +=，求数列{}n b 前n 项和n T . 【答案】(1) 42n a n =- (2) 84n nT n =+【解析】【分析】（1）根据前n 项和为n S 与通项的关系，即可求出结论； （2）用裂项相消法，求出数列{}n b 的前n 项和n T . 【详解】（1）当1n =时，1122a S k ==+，当2n ≥时，2212[2(1)(1)]42n n n a S S n kn k n k n k n k -=-=++--+-+=-+{}n a 是等差数列，41222k k ⨯-+=+，得0k =所以42n a n =- （2）因为111111()(42)(42)82121n n n b a a n n n n +===--+-+， 所以11111111(1)()()8383582121n T n n =-+-++--+ 11(1)82184n n n =-=++ 【点睛】本题考查由数列的前n 项和求通项，考查用裂项相消法求数列的前n 项和，属于中档题.18.“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心,这将推动新能源汽车产业的迅速发展.下表是近几年我国某地区新能源乘用车的年销售量与年份的统计表：某机构调查了该地区30位购车车主的性别与购车种类情况，得到的部分数据如下表所示：（1）求新能源乘用车的销量y 关于年份x 的线性相关系数r ，并判断y 与x 是否线性相关；（2）请将上述22⨯列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关；（3）若以这30名购车车主中购置新能源乘用车的车主性别比例作为该地区购置新能源乘用车的车主性别比例,从该地区购置新能源乘用车的车主中随机选取50人,记选到女性车主的人数为X ,求X 的数学期望与方差.参考公式：()()niix x y y r --=∑，22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++25≈，若0.9r >，则可判断y 与x 线性相关.附表：.【答案】(1) 0.94r ≈,y 与x 线性相关. (2)见解析，有90%把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关.(3) 数学期望20.方差12 【解析】 【分析】（1）根据已知数据以及给定公式，求出相关系数，再判断y 与x 是否线性相关；（2）由调查数据，即可补充列联表，代入2K 公式，结合附表数据，即可得结论； （3）应用二项分布的期望和方差公式，即可求解. 【详解】（1）依题意，2014201520162017201820165x ++++==，810132524165y ++++==故51()()(2)(8)(1)(6)192847iii x x y y =--=-⨯-+-⨯-+⨯+⨯=∑521()411410ii x x =-=+++=∑，521()643698164254i i y y =-=++++=∑，则5()()0.940.9iix x y y r --===≈>∑故y 与x 线性相关.（2）依题意，完善表格如下：2230(18426)15 3.75 2.70620102464K ⨯⨯-⨯===>⨯⨯⨯故有90%的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关. （3）依题意，该地区购置新能源车的车主中女性车主的概率为42105=， 则2(50,)5XB ，所以250205EX =⨯=，2250(1)1255DX =⨯⨯-=.【点睛】本题考查判断变量间是否线性相关，考查列联表独立性检验，以及二项分布期望，方差，考查计算能力，属于中档题.19.如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为梯形，AB CD ∥，60BAD ∠=︒，1CD =，2AD =，4AB =，点G 在线段AB 上，3AG GB =，11AA =.（1）证明：1D G ∥平面11BB C C . （2）求二面角11A D G A --的余弦值.【答案】(1)见解析531【解析】 【分析】（1）连接1C B ，证明11GB CDD C 得到四边形11GBC D 为平行四边形，故11D G C B 得到证明.（2）作DH AB ⊥于H ，以D 点为坐标原点，分别以DH ，DC ，1DD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，计算平面11A D G 的法向量为(1,3,33m =，平面1AD G 的法向量为(1,0,3n =，计算夹角得到答案.【详解】（1）证明：连接1C B ，因为底面ABCD 为梯形，AB CD ∥，44AB CD ==，3AG GB =，则11GBCDD C ，且111GB D C ==，所以四边形11GBC D 为平行四边形，则11D GC B .又1C B ⊂平面11BB C C ，1D G ⊄平面11BB C C ，所以1D G ∥平面11BB C C .（2）作DH AB ⊥于H ，以D 点为坐标原点，分别以DH ，DC ，1DD 所 在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则()10,0,1D ，)13,1,1A -，()3,1,0A-，()10,0,1D ，)3,2,0G，所以()113,1,0D A =-，()13,2,1D G =-，()0,3,0AG =.设平面11A D G 的法向量为()111,,m x y z =，则1111111130,320,D A m x y D G m x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩令11x =，得(1,3,33m =. 设平面1AD G 的法向量为()222,,n x y z =，则2122230,320,AG n y D G n x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+-=⎪⎩令21x =，得(1,0,3n =. 所以531cos ,31431m n ==⨯ 因为二面角11A D G A --531【点睛】本题考查了线面平行，二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的半焦距为c ，圆222:O x y c +=与椭圆C 有且仅有两个公共点，直线2y =与椭圆C 只有一个公共点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知动直线l 过椭圆C 的左焦点F ，且与椭圆C 分别交于,P Q 两点，试问：x 轴上是否存在定点R ，使得RP RQ ⋅为定值?若存在，求出该定值和点R 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22184x y +=（2）在x 轴上存在点5,02R ⎛-⎫ ⎪⎝⎭，使得RP RQ 为定值74-【解析】 【分析】（1）根据已知求出,a b 即得椭圆C 的标准方程；（2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()2y k x =+，设(),0R m ，利用韦达定理和向量的数量积求出52m =-，此时RP RQ 为定值74-；当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2x =-，求出此时点R 也满足前面的结论，即得解.【详解】(1)依题意，得2c b ==， 则222448a b c =+=+=，故椭圆的标准方程为22184x y +=.()2①当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()2y k x =+，代人椭圆C 的方程，可得()2222218880k k x x k +++-=设()11,P x y ，()22,Q x y ，则2122821k x x k -+=+，21228821k x x k -=+ 设(),0R m ，则()()1122,,RP RQ x m y x m y =--()()1212x m x m y y =--+=()()()122112224x m x k x x x m x +--+++⎡⎤⎣⎦()()22222228288421211k k k m k m k k k --++=+-++()2222284821m m k m k +++-=+ 若()2222284821mm k m k +++-+为定值，则22812842m m m -=++，解得52m =- 此时()222228487214mm k m k +++-=-+R 点的坐标为5,02⎛⎫- ⎪⎝⎭②当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2x =-，代人22184x y +=，得2x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩不妨设((,2,P Q --，若5,02R ⎛-⎫ ⎪⎝⎭，则11,2,,22RP RQ ⎛⎫⎛== ⎪ ⎝⎝ 74RP RQ =-综上所述，在x 轴上存在点5,02R ⎛-⎫⎪⎝⎭，使得RP RQ 为定值74-【点睛】本题主要考查椭圆的方程的求法，考查椭圆中的定点定值问题，意在考查学生对这些知识的 理解掌握水平.21.已知函数()f x 的定义域为R 且满足2()()f x f x x -+=，当0x ≥时，'()f x x <.（1）判断()f x 在(,0]-∞上的单调性并加以证明；（2）若方程()f x x =有实数根0x ，则称0x 为函数()f x 的一个不动点，设正数0x 为函数()(1)1x x g x xe a e x =+-++的一个不动点，且0001()(1)2fx f x x +≥-+，求a 的取值范围. 【答案】(1) 单调递减. 见解析 (2))+∞（或)+∞）. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件'()f x x <，构造函数2()()2x x f x ϕ=-，可证()x ϕ在[0,)+∞上单调递减.，再通过()x ϕ的奇偶性，可得出2()()2x x f x ϕ=-在(,0]-∞上单调递减，即可判断()f x 在(,0]-∞上的单调性；（2）0001()(1)2f x f x x +≥-+转为为（1）中的()x ϕ两个函数值，利用()x ϕ的单调性，求出0x 的范围，再根据不动点的定义转化为()g x x =在1(0,]2有解，，分离参数11x x a x e +=+-，转化为研究y a =与函数1()1x x m x x e +=+-在1(0,]2有交点，通过两次求导得出1()1xx m x x e +=+-在1(0,]2单调性，即可求出在a 的范围. 【详解】（1）令2()()2x x f x ϕ=-，则'()'()x f x x ϕ=-，∵当0x ≥时，'()f x x <，∴'()0x ϕ<，∴2()()2x x f x ϕ=-在[0,)+∞上单调递减，又∵2()()f x f x x -+=，∴22()()()()022x x x x f x f x ϕϕ+-=-+--=，∴()x ϕ为奇函数，∴2()()2x x f x ϕ=-在(,0]-∞上单调递减.又∵22x y =在(,0]-∞上单调递减，∴2()()2x f x x ϕ=+在(,0]-∞上单调递减.（2）由（1）可知，2()()2x x f x ϕ=-在R 上单调递减.∵0001()(1)2f x f x x +≥-+，∴00()(1)x x ϕϕ≥-， ∴001x x ≤-，故012x ≤.∵正数0x 为函数()g x 上的一个不动点，∴方程()g x x =在1(0,]2上有解，即方程(1)10x xxe a e +-+=在1(0,]2上有解，整理得：1(1)11111x x x x x xe x e x x a x e e e +-+++===+---. 令1()1x x m x x e +=+-，2(2)'()(1)x x x e e x m x e --=-，设()2x h x e x =--，1(0,]2x ∈，则'()10xh x e =->，∴()h x 在1(0,]2上单调递增，又15()022h =-<， ∴()20x h x e x =--<，∴2(2)'()0(1)x x x e e x m x e --=<-， ∴()m x 在1(0,]2上单调递减，∴1()()2m x m ≥=()m x ≥）， 即a的取值范围是)+∞（或)+∞）. 【点睛】本题考查利用导数研究函数性质的综合应用，构造函数法判断函数的单调性，注意审题，对于新定义问题转化为函数的零点，并用分离参数法研究函数的零点问题，属于难题.22.在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()23πρθ+=.（1）求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；（2）直线l 与x 轴的交点为P ，经过点P 的直线m 与曲线C 交于,A B两点，若||||PA PB +=m 的倾斜角.【答案】(1) 226x y +=，40x -= (2) 6π或56π. 【解析】【分析】（1）利用22sin cos 1αα+=消去参数化曲线C 为普通方程，运用cos ,sin x y ρθρθ==，即可化直线l 极坐标方程为直角坐标方程；（2）将直线方程化为具有几何意义的参数方程，代入曲线C 方程，利用根与系数关系结合直线参数的几何意义，即可求解.【详解】（1）曲线C 的普通方程为226x y +=， 因为cos()23πρθ+=，所以cos sin 40ρθθ-=，直线l的直角坐标方程为40x -=.（2）点P 的坐标为(4,0)，设直线m 的参数方程为4cos sin x t y t θθ=+⎧⎨=⎩（t 为参数，θ为倾斜角）， 联立直线m 与曲线C 的方程得28cos 100t t θ++=.设,A B 对应的参数分别为12,t t ，则121228cos 1064cos 400t t t t θθ+=-⎧⎪=⎨⎪∆=->⎩，所以1212||||||||||8|cos |PA PB t t t t θ+=+=+==，得cos θ=，且满足>0∆， 故直线m 的倾斜角为6π或56π. 【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程和直角坐标方程互化，考查直线参数方程参数灵活应用，属于中档题.23.已知函数()|31||33|f x x x =-++.（1）求不等式()10f x ≥的解集；（2）正数,a b 满足2a b +=≥.【答案】(1) 4(,2][,)3-∞-+∞ (2)证明见解析【解析】【分析】（1）分类讨论，去绝对值，解一元一次不等式，即可求解；（2）要证不等式两边平方，等价转化证明()fx a b ≥++，即证min ()f x a b ≥++min ()f x ，运用基本不等式即可证明结论.【详解】（1）当1x <-时，()13336210f x x x x =---=--≥，解得2x -≤，所以2x -≤；当113x -≤≤时，()1333410f x x x =-++=≥，x φ∈；当13x >时，()31336210f x x x x =-++=+≥， 解得43x ≥，所以43x ≥. 综上，不等式()10f x ≥的解集为4(,2][,)3-∞-+∞.（2）证明：因为,a b ≥等价于()f x a b ≥++x ∈R 恒成立.又因为()|31||33|4f x x x =-++≥，且2a b +=1≤，12a b +≤=，当且仅当1a b ==时等号成立.成立.【点睛】本题考查解绝对值不等式，证明不等式恒成立，转化为函数的最值与不等式关系，考查用基本不等式证明不等式，属于中档题.。

2021年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅱ）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）复数在复平面内对应点所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，3，6}，B ＝{2，3，4}，则A∩∁U B＝（）A．{3}B．{1，6}C．{5，6}D．{1，3} 3．（5分）若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点到直线y＝x+1的距离为，则p＝（）A．1B．2C．2D．44．（5分）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨迹高度为36000km（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为6400km的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，该卫星信号覆盖地球表面的表面积S＝2πr2（1﹣cosα）（单位：km2），则S占地球表面积的百分比约为（）A．26%B．34%C．42%D．50% 5．（5分）正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（）A．20+12B．28C．D．6．（5分）某物理量的测量结果服从正态分布N（10，σ2），则下列结论中不正确的是（）A．σ越小，该物理量在一次测量中落在（9.9，10.1）内的概率越大B．σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C．σ越小，该物理量在一次测量中小于为9.99与大于10.01的概率相等D．σ越小，该物理量在一次测量中结果落在（9.9，10.2）与落在（10，10.3）的概率相等7．（5分）已知a＝log52，b＝log83，c＝，则下列判断正确的是（）A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c 8．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，f（x+2）为偶函数，f（2x+1）为奇函数，则（）A．f（﹣）＝0B．f（﹣1）＝0C．f（2）＝0D．f（4）＝0二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。