1 双曲线定义及标准方程
知识梳理
1、 双曲线的定义
（1）平面内到两定点21,FF的距离 的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做 ，定点间的距离叫 。
（2）平面内动点P到 距离与到 的距离之比等于常数e（e ）的点的轨迹是双曲线。 是焦点， 是准线，常数e是双曲线的
2、椭圆的方程
（1）焦点在x轴上，中心在原点的双曲线标准方程 ,焦点是 ，其中c
（2）焦点在y轴上，中心在原点的双曲线标准方程 ,焦点是 ，其中c
（3）两种标准方程的一般形式221(0)AxByAB当0A时，双曲线的焦点在 轴上；当0A时，双曲线的焦点在 轴上.
课前练习
1.到两定点12(3,0),(3,0)FF的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹是 .
2.双曲线的两条准线将实轴三等分，则它的离心率为 .
3.焦点为(0,6)，且与双曲线2212xy有相同的渐近线的双曲线方程是 .
4.过双曲线221169xy左焦点1F的弦AB长为6，则2ABF的周长是 .
5.双曲线22197xy的右焦点到右准线的距离为 .
6.点P在双曲线221916xy上，若12PFPF则点P到x轴的距离是 .
典型例题
例1．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）3,4ab，焦点在x轴上；
（2）25a，经过点A（2，－5），焦点在y轴上。
§8.2双曲线
本节目录
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1•到两个定点Fi与F2的距离之差的绝对值等于 定长（小于IFgl）的点的轨迹
2•到定点F与到定直线I的距离之比等于常数
£（大于1）的点的轨迹
基础梳理
方程
y]a2^b2)(a>Q9 b>Q) \]a2+b2 )(“>0 ,
b>0) 定义
焦点
图形
顶点 Fi(-c,O)；恥,0)
y
Aj(—a,0)去⑺,。) Fi(O, 一c)；几(0, c)
Fi
41(0, —a) A2(0> a)
离心率
程
渐近线
玄程
轴
焦点半
径
对称性 T>i) 「注 >1)
Z：
x= b y = ±~x
丿 a
\x\>a y=±bx 2
\y\>a
实轴长加，虚轴长2〃
用第二定义推导，不必记忆，注意区分在哪一支上,
焦点在何处
关于坐标轴成轴对称图形，关于原点成中心对称图形 思考探究
1.在双曲线的第一定义中，如果常^2a = \FXF^2a>\FXF
2°=0时，则动点M的轨迹分别是什么？
提示：如果2a = \FxF^则M的轨迹是以"，巧为端点的两条
射线；如果2«>1^21,则轨迹不存在；如果2«=0,则M的轨
迹是线段耳巧的垂直平分线.
2.双曲线的离心率Q的大小对双曲线的“开口，吠小有什
么影响?
提示：双曲线的离心率是描述双曲线“开口”大小的一个重要 数据，由e=-> 1可推出Q越大，双曲线的“开口 ”就越开阔.课前热身 2 2
1.（教材改编）双曲线亍一音
7
C空
答案：B
2. （2011-S考课标全国卷）设直线/过双曲线C的一个焦点，且 与c的一条对称轴垂直，Z与C交于A, B两点，L4BI为C的 实轴长的2倍，则C的离心率为（）
A.^2 B・V§
C. 2 D. 3 22
解析：选B.设双曲线的标准方程为》-严1（“>0,方>0）,
由于直线I过双曲线的焦点且与对称轴垂直,
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第6讲 双曲线
一、知识梳理
1．双曲线的定义
条件 结论1 结论2
平面内的动点M与平面内的两个定点F1,F2 M点的
轨迹为
双曲线 F1、F2为双曲线的焦点
|F1F2|为双曲线的焦距 ||MF1|－|MF2||＝2a
2a＜|F1F2|
[注意] (1)当2a＝|F1F2|时,P点的轨迹是两条射线;
(2)当2a＞|F1F2|时,P点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 x2a2－y2b2＝1(a＞0,b＞0) y2a2－x2b2＝1(a＞0,b＞0)
图形
性质 范围 x≥a或x≤－a,y∈R y≤－a或y≥a,x∈R
对称性 对称轴:坐标轴,对称中心:原点
顶点 A1(－a,0),A2(a,0) A1(0,－a),A2(0,a)
渐近线 y＝±bax y＝±abx
离心率 e＝ca,e∈(1,＋∞)
实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|＝2a;线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|＝2b;a叫做双曲线的半实轴长,b叫做双曲线的半虚轴长
a、b、c的关系 c2＝a2＋b2(c＞a＞0,c＞b＞0)
3.等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,其渐近线方程为y＝±x,离心率为e＝2.
常用结论
1．双曲线中的几个常用结论
(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. 教案、讲义、课件、试卷、PPT模板、实用文案，请关注【春暖文案】，进店下载。（双击此处可删除）
(2)若P是双曲线右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则|PF1|min＝a＋c,|PF2|min＝c－a.
(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦),其长为2b2a,异支的弦中最短的为实轴,其长为2a.
(4)设P,A,B是双曲线上的三个不同的点,其中A,B关于原点对称,直线PA,PB斜率存在且不为0,则直线PA与PB的斜率之积为b2a2.
双曲线复习课
教学目的：归纳双曲线的定义、标准方程及几何性质；基础题目反复训练；熟练掌握知识点。
教学重点：通过列表归纳知识点；反复联系基础题目。
教学难点：知识点的内化。
教学过程：
1．双曲线知识点列表
焦点在x轴的双曲线 [
焦点在y轴的双曲线
第一定义 平面上到两定点1F、2F的距离的差的绝对值为常数2a（小于12||FF）的点的轨迹叫做双曲线 平面上到两定点1F、2F的距离的差的绝对值为常数2a（小于12||FF）的点的轨迹叫做双曲线
标准方程 22221xyab 22221yxab
图形 ~
范围 xa或xa ya或ya
对称性 x轴、y轴及原点 x轴、y轴及原点
'
顶点坐标 1(,0)Aa，2(,0)Aa 1(0,)Ba，2(0,)Ba
实轴（长）
12||2AAa 12||2BBa
虚轴（长）
12||2BBb :
12||2AAb
焦点
1(,0)Fc、2(,0)Fc 1(,0)Fc、2(,0)Fc
焦距
12||2FFc 12||2FFc
渐近线方程 ;
byxa ayxb
离心率 cea cea
第二定义 平面上到定点(,0)Fc的距离与到平面上到定点(0,)Fc的距离与到
定直线2axc的距离之比为常数cea的点的轨迹是双曲线
定直线2ayc的距离之比为常数cea的点的轨迹是双曲线
)
准线方程 2axc 2ayc
焦半径公式
10||||PFaex
20||||PFaex
0x是P点的横坐标 10||||PFaey
、
20||||PFaey
0y是P点的纵坐标
弦长公式 212||1||ABkxx
1221||1||AByyk 212||1||ABkxx
1221||1||AByyk
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2相关练习题
1. 过点(2,2)，与双曲线2212xy有公共渐近线的双曲线方程是_________________。
