2012年山东专升本高等数学真题答案
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2012(1 −
1 2011n
)
2012
=
.
2011
提示：等比数列求和公式：
sn
=
an (1− qn ) 1− q
3．解；
lim
n→∞
1 n2
ln
[
f
(1).............
f
(n)]
ln f (1) + ln f (2) + ........ln f (n)
= lim
n→∞
n2
=
lim
n→∞
5 解： lim( x + a )x x→∞ x − a
= lim( x − a + 2a )x x→∞ x − a
= lim(1+ 2a )x x→∞ x − a
第4页共8页
=
lim
x→∞
(1
+
x
1 −
a
)
x−a 2a
•
x x−a
2a 2a
lim x→∞
x x−a
则 f ′(ln x) =1+ x ⇒ f ′(t) =1+ et
即 f ′(x)= 1+ ex
f (x) =∫ f ′(x)dx =∫ (1+ ex )dx =x + ex + c
9.解: ∂u=
x
ey
∂y
x
=(e y
⋅
1 y
)
d= 2 y d 2x
(11++tt= 2 )x′
(11++t= t2 )t′
1+ t2 − (1+ t) ⋅ 2t ⋅= 1
(1+ t 2 )2
xt′
1− 2t − t2 ⋅ = 1 (1+ t2 )2 1
(1− 2t − t2 )(1+ t) (1+ t 2 )2
1+ t
8.解:令 ln x =t ⇒ x =et
四.应用和证明题(每小题 5 分,共 20 分)
1.求 lim( 1+ 2 + + n − 1+ 2 + + (n − 2)) . n→∞
2.在曲= 线 y x2 , (x > 0) 上求一点,使得曲线在该店处的切线与曲线一起 x 轴所围图面积为
1
.
12
3.求 dy = y +
x2 − y2
的通解.
山东省 2012 年普通高等教育专升本统一考试
高数试卷
一、 单选题（共 15 分，每小题 3 分）
1,. 函数 y =
x +1+1
的定义域为
x + x −1
A,[−1, +∞)
B,
−1,
1 2
C,
1 2
,
+∞
D.
−1,
1 2
∪
1 2
,
+∞
2.下列各组中，两个函数为同一函数的组是
+
1 20112
+
1 2011n
x→∞
1 2012
+
1 20122
+
1 2012n
3 设 f (x) = ex,
求
lim
x→∞
1 n2
ln [
f
(1)
f
(2)
f
(n)]
1
4. lim e x−1 x→1
5.若
lim
x→∞
x x
+ −
a a
x
=
e
，试求常数
a
6.设=y ln (1+ ax). (a > 0) ），求 y ''
dx
x
4.证明:双曲线 xy = 1上任一点处的切线与两坐标轴所围三角形的面积均相等.
山东省 2012 年普通高等教育专升本统一考试
一、选择题： DA CBD 二、填空题
1.{y y = −1, y = 0, y = 1}
高数答案
x
2.
x2 + 2
3. e = 4. y ln2 x + 1
2
5.x=0， x=2
= x 6n(1+ t) d 2 y
7.设
y
= arctan t
,求
dx2
.
8.设 f ′(ln x)= 1+ x ,求 f (x) .
第2页共8页
x
9.若 u = e y ,求
∂2u
.
∂x∂y
∫∫ 10.求 ex2 dxdy ,其中,D 为 y = x 与 y = x3 所围区域. D
三、计算题
第3页共8页
1，解；因为 f (x) = sin x 则 f ((x)) = sin((x)) 又 f ((x))= 1− x2 所以 sin ((x))= 1− x2 ） 所以= (x) arcsin(1− x2 )
2．解；= lim
1 2011
(1
−
1 2011n
)
n→∞
1
1
+
2
+
3......... n2
+
n
n•1+ n
= lim n→∞
2 n2
1
=
2
1
1
4 解： lim e x−1 = +∞(e x−1 x → 1+e+∞ → +∞)
x→1+
1
1
lim e x−1= 0(e x−1 x → 1−e−∞ → 0)
x→1−
1
左右极限不相等则 lim e x−1 不存在 x→1
A．有界函数 B. 单调函数 C. 偶函数 D.周期函数
x + 3y + 2z +1 =0
4.直线
2
x
−
y
−10z
+
3
与平面
=0
4x
−
2
y
+
z
−
2
=0
的关系为
A.直线在平面上 B.直线与平面垂直 C. 直线与平面平行 D.直线与平面斜交
∞
∑ 5.若级数 an 收敛，下列结论正确的是 n=1
∞
∑ A． n = an 收敛 n=1
∞
n
∞
∑ ∑ B. (−1) an 收敛 C. anan+1
n=1
n=1
∑ D. ∞ an + an+1
n=1
2
二、填空题（共 15 分，每小题 3 分）
−1, x < 0 1．函数=y sg= n x = 0, x 0 的值域为
1, x > 0
第1页共8页
2.设 f (x) = x ，则 f [ f (x)]=
A. f (x) = x2 + 3x −1, g(t) = t2 + 3t −1
B． f (x)= x2 − 4 , g(x)= x + 2 x−2
C． f (x) = x x −1, g(x) = x(x −1)
D． f (x) = 3, g(x) = x + 3 − x
3.函数 y = xtgx 是
= lxi→m∞(1+
x
1 −
a
)
x−a 2a
2a
2a
= e2a
6 解： y/ = a 1+ ax
y// = ( a )/ 1+ ax
= − a2 (1+ ax)2
7.解= : dy dx
(arcta= n t)′ (ln(1+ t))′
1 1= + t2
1 1+ t
1+ t 1+ t2
x2 +1
3. lim(1+ 1 )x =
x→0
x
4.曲= 线 y x ln(2 + 1 ) 的渐近线为 x
5.函数 y =
1
x
的间断点为
ex−2 −1
三、计算题（共 50 分，每小题 5 分）
1.设函数 f (x)= sin x, f [(x)]= 1− x2 ，求 (x)
2 求 lim
1 2011
