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拓扑学连续性与极限理论拓扑学是数学中的一个分支，研究的是空间的性质和结构。
在拓扑学中，连续性和极限理论是两个重要的概念。
本文将介绍拓扑学中的连续性和极限理论，并探讨它们的应用。
一、连续性在拓扑学中，连续性是一个基本的概念。
直观上讲，一个函数在某个点上连续，意味着当自变量在该点附近变化时，函数值也会在相应的范围内变化。
在拓扑学中，我们用开集的概念来定义连续性。
定义1：设X和Y是两个拓扑空间，f：X→Y是一个函数。
如果对于Y中的任意开集V，f的原像f^(-1)(V)是X中的开集，那么称f在X上连续。
根据这个定义，我们可以得到一些连续性的性质。
例如，恒等函数和常值函数都是连续的。
此外，连续函数的复合仍然是连续的。
在实数集上，我们可以用ε-δ语言来描述连续性。
设f：R→R 是一个函数，x0是R中的一个点。
如果对于任意给定的ε>0，存在一个δ>0，使得当|x-x0|<δ时，有|f(x)-f(x0)|<ε，那么称f在x0处连续。
二、极限理论极限理论是拓扑学中的另一个重要概念。
在实数集上，我们熟知的极限定义是这样的：对于一个数列{an}，如果存在一个实数a，使得对于任意给定的ε>0，存在一个正整数N，使得当n>N时，有|an-a|<ε，那么称数列{an}收敛于a，记作lim(an)=a。
在拓扑学中，我们可以将极限的概念推广到一般的拓扑空间上。
定义2：设X是一个拓扑空间，A是X的一个子集，x0是X的一个点。
如果对于X中的任意开集V，如果x0∈V，那么存在A中的一个点a，使得a∈V，且a≠x0，那么称x0是A的一个极限点。
定义3：设X是一个拓扑空间，A是X的一个子集，x0是X的一个点。
如果存在A中的一个点列{an}，使得lim(an)=x0，那么称x0是A的一个极限点。
根据这个定义，我们可以得到一些极限的性质。
例如，如果一个点是一个集合的极限点，那么它一定是该集合的闭包的极限点。
集合的拓扑与连续性在数学中，拓扑学是研究集合的性质和关系的学科。
它关注集合中元素之间的连续性和相互接近的性质。
在本文中，我们将探讨拓扑学中集合的拓扑性质以及连续性的概念。
1. 拓扑空间的定义拓扑学中最基本的概念就是拓扑空间。
一个拓扑空间由一个集合和集合上定义的拓扑结构组成。
拓扑结构是由集合中的开集构成的，它满足以下三个条件：1) 空集和整个集合为开集；2) 有限个开集的交集仍为开集；3) 任意个开集的并集仍为开集。
2. 拓扑基与拓扑生成给定一个拓扑空间，我们可以通过拓扑基或生成元素来描述这个空间中的开集。
拓扑基是指一组开集，它们的任意非空交集都可以表示成其他开集的并集。
而拓扑生成则是通过集合中的元素生成出所有可能的开集。
拓扑生成是通过开集运算得到一组拓扑基。
3. 连续映射在拓扑学中，映射的连续性是一个重要的概念。
给定两个拓扑空间A和B，一个从A到B的映射f被称为连续的，如果对于B中的任意开集V，f的原像f^(-1)(V)在A中也是开集。
换句话说，连续映射保持了集合中元素的连续性。
4. 连通性连通性是拓扑学中研究的一个重要性质。
一个拓扑空间被称为连通的，如果它不能表示成两个非空的、不相交的开集的并集。
换句话说，连通空间中的任意两点都可以通过连续映射相互连接。
当一个拓扑空间被表示为连通空间时，它被称为连通的。
5. 紧致性在拓扑学中，紧致性是另一个重要的概念。
一个拓扑空间被称为紧致的，如果它的每一个开覆盖都有有限的子覆盖。
也就是说，从一个空间中选择任意多个开集作为覆盖，总能从这个集合中选取有限个开集来覆盖整个空间。
结语通过以上对集合的拓扑与连续性的讨论，我们可以看到拓扑学在数学中扮演着重要的角色。
它不仅仅是一门学科，更是用来描述现实世界中各种现象和关系的有力工具。
无论是在纯数学领域还是应用数学领域，拓扑学的概念和方法都发挥着重要的作用。
通过深入研究和应用拓扑学的相关理论，我们能够更好地理解和描述集合之间的连接性与连续性。
拓扑空间的基本概念与性质拓扑空间是数学中的一个重要概念，它在分析、代数、几何等领域中起着重要的作用。
本文将介绍拓扑空间的基本概念及其性质。
一、引言拓扑空间是由集合和集合上的拓扑结构构成的一种数学结构。
它是一种比度量空间更一般的空间，可以用于描述不同度量之间的性质。
拓扑空间的研究为数学领域的许多问题提供了新的解决方法。
二、拓扑空间的定义拓扑空间由以下三条公理定义：首先，给定一个非空集合X，X的全体子集构成的集合Τ称为X上的一个拓扑。
拓扑中的元素称为开集。
其次，空集和整个集合X都是开集。
最后，开集的任意并、有限交以及有限并仍然是开集。
三、开集与闭集拓扑空间中的开集具有以下性质：首先，空集和整个集合X都是开集。
其次，任意两个开集的交集仍然是开集。
最后，开集的任意并仍然是开集。
闭集是指和开集互补的集合。
四、邻域与极限点在拓扑空间中，邻域是指包含某个点的开集。
极限点是指在拓扑空间中，存在序列中的某一点，使得该点的任意邻域都与序列中的无穷个点相交。
五、连续映射拓扑空间中，连续映射是指保持拓扑结构的映射。
即，对于任意开集V，其原像在定义域中是一个开集。
连续映射有以下性质：首先，恒等映射是连续的。
其次，连续映射的复合仍然是连续的。
最后，如果映射的像是开集，那么定义域中的原像也是开集。
六、拓扑空间的性质拓扑空间具有许多重要的性质：首先，有限集在拓扑空间中是闭集。
其次，连续映射保持极限点。
最后，具有有限子覆盖性质的拓扑空间是紧致的。
七、子空间拓扑空间的子集上也可以定义一个拓扑结构，这样的子集称为子空间。
子空间具有许多与原空间相似的性质。
八、紧致性紧致性是拓扑空间中的重要概念之一。
一个拓扑空间是紧致的，当且仅当它的每一个开覆盖都有有限子覆盖。
九、拓扑空间的分类不同的拓扑空间之间可以存在同胚。
同胚是指两个拓扑空间之间存在一个双射，且该双射及其逆映射都是连续映射。
十、总结本文介绍了拓扑空间的基本概念与性质。
拓扑空间是数学中的一个重要研究对象，它可以用于描述不同度量之间的性质。
区间度量空间诱导的拓扑的性质间度量空间（Interval Metric Space）是一种特殊的度量空间，具有强大的数学分析能力，是现代几何学和高维数据分析的必要组成部分。
它可以用来表示复杂的几何结构，并在不同的空间中进行测量，建立有效的数学模型。
下面，我们来看看区间度量空间诱导的拓扑的性质。
一、基本概念1、间度量空间：间度量空间是一种特殊的度量空间，指在一给定的空间中，两个元素之间的距离是一个逐渐变化的区间，而不是一个常数值。
2、拓扑：拓扑是基于距离的几何结构的一种数学表示方式，它描述了空间中的图形和对象之间的关系，并可以根据距离信息进行推断和分析。
二、区间度量空间诱导的拓扑1、拓扑结构：区间度量空间诱导的拓扑结构由度量空间决定，它可以逐步建立高维空间中的拓扑结构，以确定每个点的近似度。
2、可视化方法：可视化方法可以用来描述大型数据集的结构和关系，用于以可视的方式表示高维数据的拓扑结构。
3、度量规范：度量规范是在区间度量空间中建立的度量，用于描述不同点之间的距离关系。
它具有替代度量、单调性和双射性等特性，可用于确定不同位置之间的密度关系和分类等信息。
4、度量敏感函数：度量敏感函数是建立在区间度量空间中的一类函数，它可以用于分析不同空间中的拓扑特性，并可以用来推断高维空间中大量信息的相关性。
三、区间度量空间诱导的拓扑的应用1、统计学：区间度量空间提供了一种强大的工具，可用于统计检验和拓扑分析，帮助提取和理解高维空间的数据特征。
2、数据挖掘：区间度量空间的拓扑分析，在多种数据挖掘方式中有着重要的作用，可以帮助发现数据中的潜在模式，且有助于预测数据的发展趋势。
3、模式识别：区间度量空间提供了一种高维拓扑分析的方法，用于实现模式识别，如检测和分类。
4、计算机视觉：在计算机视觉领域，使用区间度量空间诱导的拓扑，帮助分析图像数据，确定其中的潜在模式，从而提高识别率。
四、总结区间度量空间诱导的拓扑的的性质是一种独特的几何结构，具有高精度分析和可视化的能力，并可用于提取和理解高维空间数据的信息特征。
拓扑学的基本概念与性质拓扑学是数学中的一个分支，研究的是空间的性质和结构。
在拓扑学中，最基本的概念就是拓扑空间和拓扑性质。
本文将介绍拓扑学的基本概念和一些常见的拓扑性质。
一、拓扑空间的定义拓扑空间是一个集合，其中包含了一些特定的集合，这些集合被称为开集。
拓扑空间必须满足以下三个条件：1. 空集和整个集合本身必须是开集；2. 任意多个开集的交集仍然是开集；3. 有限个开集的并集仍然是开集。
除此之外，还有一些其他等价的定义方式，比如闭集的定义。
二、拓扑性质1. 连通性：若一个拓扑空间不可表示为两个非空、不相交的开集的并集，则称该空间是连通的。
换句话说，连通性指的是空间中的点之间无阻隔，可以通过连续的曲线将它们连接起来。
2. 紧致性：若一个拓扑空间中的任意开覆盖都存在有限子覆盖，称该空间是紧致的。
紧致性是一种十分重要的性质，它保证了一些重要的性质，比如有界性和完备性。
3. Hausdorff性：若一个拓扑空间中的任意两个不同的点都存在不相交的开邻域，则称该空间是Hausdorff空间。
Hausdorff性保证了拓扑空间中的点之间具有良好的分离性。
4. 可度量性：若一个拓扑空间中存在一种度量，使得拓扑与度量空间的拓扑完全相同，则称该空间是可度量的。
可度量性是一种强大的性质，使得我们可以使用度量空间的工具来研究拓扑空间。
5. 分离公理：分离公理是指拓扑空间中的点之间可以根据各种条件进行分离。
常见的分离公理有T0、T1、T2（Hausdorff性），T3、T4等。
这些公理使我们能够将点之间的关系进行精细的划分和研究。
6. 等价性：两个拓扑空间在某种条件下具有相同的特征和性质，我们就称它们是等价的。
拓扑学作为一门独立的数学学科，研究的是空间的基本性质和结构。
通过对拓扑空间的定义和拓扑性质的研究，我们可以更加深入地理解空间之间的关系，从而应用于各种领域，比如物理学、工程学和计算机科学等。
总结起来，拓扑学的基本概念包括拓扑空间和拓扑性质。
拓扑学中的连续性与紧致性拓扑学是数学的一个分支，研究的是空间的性质和结构，其中连续性和紧致性是拓扑学中的两个重要概念。
本文将介绍拓扑学中连续性和紧致性的概念及其性质，以及它们在数学和实际应用中的重要性。
1. 连续性连续性是拓扑学中最基本的概念之一。
在拓扑学中，我们将空间中的点和点之间的关系看作是连续的，即如果两个点非常接近，它们之间就存在连续的路径。
具体来说，设X和Y是两个拓扑空间，如果对于任意的y∈Y，当x→x0时，存在一个函数f:X→Y，使得f(x)→y成立，则称f是从X到Y的连续映射。
如果一个函数f:X→Y在X的任意点上都连续，则称f是X到Y的连续函数。
连续性概念的重要性在于它可以帮助我们研究空间上的性质。
例如，如果一个映射是连续的，那么在映射前后的空间中，原来紧密相连的点在映射后仍然是紧密相连的。
这种性质在实际应用中有很多用途，比如地图上的路径规划、电路的设计等。
2. 紧致性紧致性是拓扑学中另一个重要概念。
一个拓扑空间称为紧致的，如果对于任意的开覆盖，都存在一个有限子覆盖。
即无论如何将整个空间划分为开集的并集，总可以从中选取有限个开集，使得它们的并集仍然覆盖整个空间。
紧致性是连续性的自然推广。
事实上，连续函数将紧致空间映射到紧致空间，而将连续空间映射到连续空间。
紧致性还具有很多重要的性质和应用。
例如，紧致性与有界性概念相似，但对于非度量空间，紧致性是一个更一般化的概念。
此外，在微积分、几何学、动力系统等领域都有广泛的应用。
3. 连续性与紧致性的关系连续性和紧致性在拓扑学中有着密切的联系。
一方面，紧致性是连续性的一个重要推论，即连续函数将紧致空间映射到紧致空间。
另一方面，连续性是紧致性的一个必要条件，即如果一个函数在一个紧致空间上连续，那么它将该空间映射到一个紧致空间。
连续性和紧致性的关系使得我们可以通过研究连续函数和紧致空间间的映射关系来深入理解空间的性质。
例如，通过研究紧致空间上连续函数的性质，我们可以推导出一些拓扑空间的性质。
——西安电子科技大学数学与统计学院杨有龙教授ylyang@ - 8 -1.2 度量空间的拓扑性质与连续性 1.2.1 度量空间的拓扑性质定义1.2.1 邻域设(,)X d 是度量空间，0x X ∈，0δ>，称集合0(,)O x δ0{|(,),}x d x x x X δ=<∈为以0x 为中心，δ为半径的开球，或0x 的一个δ邻域．如果不特别强调半径，用0()O x 表示0x 的半径；称0(,)O x δ0{|(,),}x d x x x X δ=≤∈为闭球．定义1.2.2 内点、开集与闭集设(,)X d 是一度量空间，0x G X ∈⊂，若存在0x 的δ邻域0(,)O x δG ⊂，则称点0x 为G 的内点．如果G 中的每个点均是它的内点，则称G 为开集．并规定空集φ为开集．对于F X ⊂，若C F X F =−是开集，则称F 为闭集．注1：实数域中的任何开球是开集，闭球是闭集，对于度量空间其结论如何？ 例1.2.1 度量空间(,)X d 的开球0(,)O x δ是开集．证明 x ∀∈0(,)O x δ,显然0(,)d x x δ<，取*01((,))2d x x δδ=−，即*02(,)d x x δδ+=，则对任何*(,)y O x δ∈，都有*(,)d x y δ<，从而0(,)d y x 0(,)(,)d y x d x x ≤+*0(,)d x x δ<+δ<．即*(,)O x δ⊂0(,)O x δ,所以0(,)O x δ是开集．□图2.1 例1.2.1和例1.2.2证明示意图例1.2.2 度量空间(,)X d 的闭球0(,)O x δ是闭集．证明 0((,))C x O x δ∀∈，显然0(,)d x x δ>，取*01((,))2d x x δδ=−，即*02(,)d x x δδ+=，则*(,)y O x δ∀∈，有*00(,)(,)(,)2(,)d y x d x x d y x d y x δδδ≥−=+−>可见0(,))C y O x δ∈，即*(,)O x δ⊂0(,))C O x δ，从而0((,))C O x δ为开集，故0,)O x δ为闭集．例1.2.3 设0(,)X d 是离散度量空间，A 是X 的任意非空子集，证明A 既是开集又是闭集． 证明 0x A ∀∈，取 12δ=，则{}000011(,)|(,),22O x x d x x x X x A ⎧⎫=<∈=⊂⎨⎬⎩⎭，故0x 是A 的内点，从而A 是开集．由于X A −是X 的子集，故它是开集，从而A 是闭集．□下面是一些与实数域相类似的开集、闭集性质，仿照相应的证明可证得． 定理1.2.1（开集的性质）度量空间X 中的开集具有以下性质： (1) 空集φ和全空间X 都是开集； (2) 任意多个开集的并集是开集； (3) 有限个开集的交集是开集.定理1.2.2（闭集的性质）度量空间X 中的闭集具有以下性质： (1) 空集φ和全空间X 都是闭集； (2) 任意多个闭集的交集是闭集； (3) 有限个闭集的并集是闭集. 定义1.2.3 聚点与闭包设(,)X d 是一度量空间， A X ⊂，0x X ∈，如果在0x 的任意δ邻域0(,)O x δ内含有A 中异于0x 的点，则称0x 是A 的一个聚点或极限点．A 的全体聚点所构成的集合称为A 的导集，记为A ′，称A A ′U 称为A 的闭包，记为．注2：由聚点的定义知，0x 可以在A 中，也可以不在A 中．0x 是A 的一个聚点的一个等价定义是：0x 的任意一个去心δ邻域与A 的交非空．定理1.2.3 设(,)X d 是度量空间,0x X ∈,A X ⊂,那么下面的命题成立: (1) 0x A ′∈当且仅当存在{}n x A ⊂，使得0lim n n x x →∞= ；(2) A 是闭集；(3) A 是闭集当且仅当A A =.注3： 对于度量空间(,)X d , 设A 是X 的非空子集,则A 为闭集的充要条件是A A ′⊂. 如果A φ′≠,那么A 为闭集.定义1.2.4 边界点与孤立点设(,)X d 是一度量空间，A X ⊂，若0x 的任意邻域内既有属于A 的点，也有不属于A 的点，——西安电子科技大学数学与统计学院杨有龙教授ylyang@ - 10 -则称0x 为A 的边界点．A 的全体边界点所构成的集合，称为A 的边界，记为A ∂．若0x A ∈，但0x 不是A 的聚点，则称0x 为A 的孤立点．注4：0x 是A 的孤立点的充要条件是：存在0x 的某个δ邻域0(,)O x δ，使得00(,){}A O x x δ=I ．注5：A 的边界点不是聚点便是孤立点．注6：闭包的其他形式表示：{}A A A A A A A ′=∂=∂=oU U U 的孤立点．其中A o表示A 的全体内点所构成的集合，称其为A 的内部．由孤立点的定义可知离散度量空间0(,)X d 中的每个点都是孤立点，由例1.2.3知0(,)X d 的子集A 既开又闭，所以{}A A A A ===o的孤立点．对于一般的度量空间X 而言，A X ⊂，A 的内部A o是由一些聚点和孤立点组成，A 的边界A ∂也是由一些聚点和孤立点组成，且A A φ∂=oI ．A 的导集A ′是由一些内点和边界点组成，A 的孤立点要么是边界点要么是内点，且{}A A φ′=I 的孤立点．1.2.2 拓扑空间定义1.2.5 拓扑空间设X 是一个非空集合，如果τ是X 的一个子集族，且满足如下条件： (1)空集φ和X 都属于τ．(2)τ内任意个集合的并集都仍然会属于τ． (3)τ内任意两个集合的交集也仍然会属于τ．则称子集族τ为X 的拓扑；(,)X τ为一个拓扑空间，在不引起混乱的情形下简记为X ．τ内的集合称为拓扑空间的开集，X 中的元素称为点．□对于度量空间(,)X d 而言，若记X 中由度量定义的开集组成的集合为τ，那么容易验证(,)X τ为一个拓扑空间，称(,)X τ为由距离d 诱导的拓扑．定义1.2.6 离散拓扑空间设X 是一个非空集合，τ由X 的所有子集构成，容易验证τ是X 的一个拓扑，称之为X 的离散拓扑；并且称拓扑空间(,)X τ为一个离散拓扑空间．在离散拓扑空间(,)X τ中，X 的每一个子集都既是开集，又是闭集．□显然，离散度量空间诱导的拓扑为离散拓扑空间． 定义1.2.7 拓扑空间中的邻域和闭集设(,)X τ是一个拓扑空间，(1)点x X ∈，V X ⊂，若存在O τ∈，使得x O V ∈⊂，则称V 为x 的邻域．(2)子集F X ⊂，如果c G X F F τ=−=∈，则称F 为拓扑空间X 的闭集．□定理1.2.4 拓扑空间X 中的闭集具有以下性质： (1) 空集φ和全空间X 都是闭集； (2) 任意多个闭集的交集是闭集； (3) 有限个闭集的并集是闭集. 定义1.2.8 Hausdorff 空间设(,)X τ是一个拓扑空间，如果X 中任意两个不同的点都有不相交的邻域，则称X 为豪斯道夫(Hausdorff)拓扑空间．□例1.2.4 度量空间(,)X d 诱导的拓扑空间是Hausdorff 空间． 证明 设00,x y X ∈且00x y ≠，于是00(,)0d x y δ=>，令0000(,){|(,),}33U O x x d x x x X δδ==<∈0000(,){|(,),}33V O y x d x y x X δδ==<∈ 显然0U ，0V 分别是00,x y 的邻域，且00U V φ=I ．□1.2.3 度量空间的连续性定义1.2.5 连续与一致连续设11(,)X d ，22(,)X d 是两个度量空间，f 是这两个度量空间之间的一个映射12:f X X →． (1) 关于01x X ∈，如果0ε∀>，0δ∃>，当1x X ∈且10(,)d x x δ<时，有20((),())d f x f x ε<，则称f 在点0x 处连续．若f 在1X 的每一点处都连续，则称映射f 在1X 上的连续．(2) 如果0ε∀>，0δ∃>，1,x y X ∀∈，当1(,)d x y δ<时，有2((),())d f x f y ε<，则称f 在1X 上一致连续． □注7：显然，由一致连续可以推出连续． 定理1.2.4 连续的等价条件设11(,)X d ，22(,)X d 是两个度量空间，12:f X X →,01x X ∈,则下列各命题等价． (1) 映射f 在0x 点连续；（2）对于0()f x 的任一邻域0((),)O f x ε，都存在0x 的一个邻域0(,)O x δ使得]00(,)((),)f O x O f x δε⎡⊂⎣；（3）对于X 中的任意点列{}n x X ⊂，若0()n x x n →→∞，则有0()()()n f x f x n →→∞．（即00lim lim ()()n n n n x x f x f x →∞→∞=⇒=）证明 （1）⇒(2)由f 在0x 处连续的定义知，任给0ε>,存在0δ>，当10(,)d x x δ<时，有20((),())d f x f x ε<.注意10(,)d x x δ<即0(,)x O x δ∈,而20((),())d f x f x ε<即0()((),)f x O f x ε∈．所以]00(,)((),)f O x O f x δε⎡⊂⎣．——西安电子科技大学数学与统计学院杨有龙教授ylyang@ - 12 -（2）⇒（3）由（2）知，0ε∀>，0δ∃>，使得]00(,)((),)f O x O f x δε⎡⊂⎣．根据假设0n x x →得，对于此0δ>,存在N ,当n N >时，0(,)n x O x δ∈.即0()((),)n f x O f x ε∈，于是20((),())n d f x f x ε<,因此0()()n f x f x →．（3）⇒（1）反证法．假设f 在0x 不连续，则必存在某个正数0ε，使得对于每一个1n nδ=，其中1,2,n =L ，有n x 满足101(,)n d x x n<,但200((),())n d f x f x ε≥，显然这与0()()n f x f x →相矛盾．□图2.2 连续映射示意图定理1.2.5 连续的充要条件设(,)X d ，(,)Y ρ是两个度量空间，那么映射:f X Y →是连续映射的充分必要条件是，对Y 中的任一开集G ，其原象{1(), ()}f G x x X f x G −=∈∈是开集．证 必要性⇒，不妨设1()f G −非空．任取10()x f G −∈，即0()f x G ∈．因为G 是开集，故存在0ε>，使0((),)O f x G ε⊂．由于f 连续，所以对0ε>，有0δ>,使得00((,))((),)f O x O f x G δε⊂⊂．即10(,)()O x f G δ−⊂．说明0x 是1()f G −的内点，故1()f G −是开集．充分性⇐：任取0x X ∈，对任意的0ε>，取开集0((),)G O f x ε=，则10(),x f G −∈由假设1()f G −是开集，因而存在0δ>，使10(,)()O x f G δ−⊂,故00((,)((),)f O x G O f x δε⊂=，即f 在0x 连续． □注8：由上述定理知，在连续映射下，开集的原象是开集，那么开集的象一定是开集吗？不一定．例如：()sin :f x x R R =→是连续映射，f 将(0,2)π映射为[1,1]−．例1.2.4 设(,)X d 是度量空间，*x X ∈，那么*()(,):f x d x x X R =→是度量空间X 上的连续映射．证 任取0x X ∈，对于x X ∈而言，由**00(,)(,)(,)d x x d x x d x x −≤及**00(,)(,)(,)d x x d x x d x x −≤可得**00(,)(,)(,)d x x d x x d x x −≤．0ε∀>，2εδ∃=,当0(,)2d x x εδ<=时，就有**000()()(,)(,)(,)2f x f x d x x d x x d x x εδε−=−≤<=<因此,*d x x是X上的连续映射．□(,)。
