三次样条插值要点前面讲过的插值多项式包

问题：当n较大时，计算工作量很大，不便于实际应用。
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1. 确定插值函数 S( x) 在节点处的一阶导数，记为 S( x j ) m j , j 0,1,, n,
该方法即为3次样条插值函数的一阶导数表示。
2. 确定插值函数 S( x) 在节点处的二阶导数，记为 S( x j ) M j , j 0,1,, n,
由Lagrange插 值 公 式 得 ：
其 中 ：hj
Sj''(x) M j1 x j1 x j
x xj hj
Mj
x x j1 hj
x [x j , x j1]
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对
Sj''(x)
M j1
x xj hj
Mj
x x j1 hj
积分得：
Sj'( x)
M j1 2hj
(x
x j )2
Mj 2hj
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“样条”的来源:
所谓“样条”(Spline)是工程绘图中的一种工具,它是有弹性的 细长木条,绘图时,用细木条连接相近的几个结点,然后再进行拼接,连 接全部结点,使之成为一条光滑曲线,且在结点处具有连续的曲率。 样条函数就是对这样的曲线进行数学模拟得到的。
特殊性:
除了要求给出各个结点处的函数值外,只需提供两个边界 点处导数信息,便可满足对光滑性的不同要求。
则称S(x)为函数f(x)的三次样条插值函数
观察与思考 ?
3次样条插值函数s(x) 是否存在?
是否唯一?如何计算?误差估计?
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S(x)除了满足基本插值条件
S0 x,
SxS1源自x,x x0, x1, x x1, x2 ,
Sn1 x, x xn1, xn ;

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2.8.1 三次样条函数
定义 给定区间[a,b]的一个划分 a=x0<x1<…<xn=b， yi=f (xi) (i=0,1,…,n),如果函数S(x)满足： (1) S(xi )=yi (i=0,1,…,n); (2) 在每个小区间[xi, xi+1] (i=0,1,...,n-1)上是次数不超
S上且( xS与)(x相)的(邻x表节达x点j式的1 )为2两[hh个jj3转2角( x有关x j，)]故y j称为三h转j=x角j+方1-x程j 。
(
x
x
j
)2[hj 2( hj3
x
x j1 )] y j1
(x
x j1 )2 ( x h2j
xj)
mj
(x
x j )2( x h2j
x j1 )
m j1
则方程组化为：
2 1 2 2 2
m1 g1 1 f0
m2
g2
n2 2 n2 mn2 gn2
n1 2 mn1 gn1 n1 fn
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2、已知 S( x0 ) f0, S( xn ) fn
2m0
m1
3
f
[x0 ,
x1 ]
h0 2
f0
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S(
x)
M
j
(
x j1 6hj
x)3
M
j1
(x
x 6hj
j
)3
(
y
j
M jh2j 6
)
x
j1 hj
x
(
y
j1
M
j1h2j 6
)
x
x hj

三次样条插值C++数值算法（第二版)3.3 三次样条插值给定一个列表显示的函数yi=y(xi),i=0,1,2,...,N-1。

特别注意在xj和xj+1之间的一个特殊的区间。

该区间的线性插值公式为(3.3.1)式和(3.3.2)式是拉格朗日插值公式(3.1.1)的特殊情况。

因为它是(分段)线性的，(3.3.1)式在每一区间内的二阶导数为零，在横坐标为xj处的二阶导数不定义或无限。

三次样条插值的目的就是要得到一个内插公式，不论在区间内亦或其边界上，其一阶导数平滑，二阶导数连续。

做一个与事实相反的个假设，除yi的列表值之外，我们还有函数二阶导数y"的列表值，即一系列的yi"值，则在每个区间内，可以在(3.3.1)式的右边加上一个三次多项式，其二阶导数从左边的yj"值线性变化到右边的yj+1"值，这么做便得到了所需的连续二阶导数。

如果还将三次多项式构造在xj和xj+1处为零，则不会破坏在终点xj和xj+1处与列表函数值yj和yj+1的一致性。

进行一些辅助计算便可知，仅有一种办法才能进行这种构造，即用注意,(3.3.3)式和(3.3.4)式对自变量x的依赖，是完全通过A和B对x的线性依赖，以及C和D(通过A和B)对x的三次依赖而实现。

可以很容易地验证，y"事实上是该插值多项式的二阶导数。

使用ABCD的定义对x求(3.3.3)式的导数，计算dA/dx dB/dx dC/dx dD/dx,结果为一阶导数因为x=xj是A=1，x=x(i+1)时A=0，而B正相反，则(3.3.6)式表明y"恰为列表函数的二阶导数。

而且该二阶导数在两个区间(xj-1, xj)和(xj, xj+1)上是连续的。

现在唯一的问题是，假设yj"是已知的。

而实际上并不知道。

然而，仍不要求从(3.3.5)式算出的一阶导数在两个区间的边界处是连续的。

三次样条的关键思想就在于要求这种连续性，并用它求得等式的二阶导数yi"。

三次样条曲面插值原理
三次样条曲面插值是一种用于构造二维曲面的插值方法。

其基本原理是通过已知的曲面上的若干点，计算出该曲面上的三次多项式函数，从而实现曲面的插值。

具体来说，三次样条曲面插值的原理如下：
1. 确定曲面上的插值节点：根据给定的曲面上的点的坐标，确定曲面上的插值节点。

2. 构造曲面的参数方程：利用插值节点，构造出曲面的参数方程。

三次样条曲面插值通常使用双变量的三次多项式作为参数方程。

参数方程的形式可以是Bézier曲面、B样条曲面等。

3. 确定曲面上的插值条件：根据已知的曲面上的点的坐标和曲面方程，确定曲面上的插值条件。

通常使用平滑条件（曲面上的点的正切方向相等）和代数条件（曲面上的点的坐标满足给定的条件）来确定插值条件。

4. 求解参数方程的系数：根据插值条件，求解参数方程中的系数。

可以使用线性代数的方法求解系数矩阵，得到曲面的参数化表达式。

5. 计算曲面上的点的坐标：利用参数方程和求解得到的系数，计算曲面上的点的坐标。

可以通过插值节点上的参数值，使用参数方程计算得到。

通过以上步骤，就可以构造出满足给定插值条件的三次样条曲面，从而实现曲面的插值。