多项式插值的震荡现象

数值分析实验报告多项式插值的振荡现象姓名：学院：数理与信息工程学院班级：学号：数值分析实验报告实验名称多项式插值的振荡现象实验时间2013年10月 23日姓名班级学号成绩一、 实验目的1．理解多项式插值，懂得它的振荡现象。

2. 研究样条插值，并分析它的收敛性。

3. 学会在实际生活中使用二维插值。

二、 实验内容1. 设区间[-1,1]上函数22511)(x x f +=考虑区间[-1,1]的一个等距划分，分点为n i nix i ,,2,1,0,21L =+-=则拉格朗日插值多项式为∑=+=ni ijn x l x x L 02)(2511)(其中的是n 次拉格朗日插值基函数。

n i x l i ,,2,1,0),(L =2. 请按一定的规则分别选择等距或者非等距的插值节点，并不断增加插值节点的个数。

考虑实验1中的函数或选择其他你有兴趣的函数，可以用MATLAB 的函数“spline”作此函数的三次样条插值。

3. 在一丘陵地带测量高程，x 和y 方向每隔100米测一个点，得高程数据如下。

试用MATLAB 的二维插值函数“interp2”进行插值，并由此找出最高点和该点的高程。

三、算法描述（1）编写好拉格朗日插值函数，保存在M 文件中；（2）考虑到：1、一幅图中太多的曲线会相互覆盖；2、n 取奇偶数可能结果不同；3、不同的节点选取方法可能导致不同的结果。

故而n 的选择分为n=2:2:8、n=3:2:9或者n=2:4:10、n=3:4:11与n=40三种情况；（3）节点的选取分为均匀节点、切比雪夫节点两种四、程序流程图由于实验方案明显、简单，实现步骤及流程图省略。

五、实验结果具体结果在实验分析里：整理的结果如下1>实验一的结果：1.22511)(x x f +=当节点为均匀节点时：插值点数目为奇数、偶数、40时，图像对称，但是不收敛，但是节点数越多，0附近的拟合效果越好，但是两端误差较大。

当节点为切比雪夫点时：插值点数目为奇数、偶数、40时，图像对称，但是可以收敛，节点数越多，拟合效果越好。

1 / 21数值分析实验二：插值法1 多项式插值的震荡现象1.1 问题描述考虑一个固定的区间上用插值逼近一个函数。

显然拉格朗日插值中使用的节点越多，插值多项式的次数就越高。

我们自然关心插值多项式的次数增加时， 是否也更加靠近被逼近的函数。

龙格（Runge ）给出一个例子是极著名并富有启发性的。

设区间[-1,1]上函数21()125f x x=+ (1)考虑区间[-1,1]的一个等距划分，分点为n i nix i ,,2,1,0,21 =+-= 则拉格朗日插值多项式为201()()125nn ii iL x l x x ==+∑(2)其中的(),0,1,2,,i l x i n =是n 次拉格朗日插值基函数。

实验要求：(1) 选择不断增大的分点数目n=2, 3 …. ，画出原函数f(x)及插值多项式函数()n L x 在[-1，1]上的图像，比较并分析实验结果。

(2) 选择其他的函数，例如定义在区间[-5，5]上的函数x x g xxx h arctan )(,1)(4=+=重复上述的实验看其结果如何。

(3) 区间[a,b]上切比雪夫点的定义为 (21)cos ,1,2,,1222(1)k b a b ak x k n n π⎛⎫+--=+=+ ⎪+⎝⎭(3)以121,,n x x x +为插值节点构造上述各函数的拉格朗日插值多项式，比较其结果,试分析2 / 21原因。

1.2 算法设计使用Matlab 函数进行实验, 在理解了插值法的基础上，根据拉格朗日插值多项式编写Matlab 脚本，其中把拉格朗日插值部分单独编写为f_lagrange.m 函数，方便调用。

1.3 实验结果1.3.1 f(x)在[-1,1]上的拉格朗日插值函数依次取n=2、3、4、5、6、7、10、15、20，画出原函数和拉格朗日插值函数的图像，如图1所示。

Matlab 脚本文件为Experiment2_1_1fx.m 。

可以看出，当n 较小时，拉格朗日多项式插值的函数图像随着次数n 的增加而更加接近于f(x)，即插值效果越来越好。

应用多项式插值的流水线ADC后台数字校正方法I. 绪论1.1 研究背景和意义1.2 研究目的与意义1.3 本文结构概述II. 基础知识介绍2.1 多项式插值基本原理2.2 流水线ADC工作原理2.3 数字校正原理III. 多项式插值在流水线ADC数字校正中的应用3.1 多项式插值法的优点3.2 多项式插值在流水线ADC数字校正中的应用IV. 实验方法与结果分析4.1 实验环境介绍4.2 实验步骤详述4.3 实验结果分析与总结V. 结论与展望5.1 结论5.2 不足与展望VI. 参考文献附录：插值算法代码I. 绪论1.1 研究背景和意义随着科学技术的迅速发展，数字信号处理技术在各种领域的应用越来越广泛。

其中，ADC（模数转换器）是将模拟信号转换为数字信号的重要设备，在各种领域的应用越来越广泛。

随着工艺的不断升级和电路的不断复杂，ADC在数字校正过程中所需要的准确度和精度也不断提高。

在ADC中，最常用的校准方法是数字校准法。

该方法使用校正电路的输出数字值来校正ADC的数字输出。

该方法可提高ADC的精度和准确度。

然而，在实践中，数字校准法也存在一些问题：数字校准电路对系统的时序有严格要求；ADC与数字校准电路之间存在时滞，这些特点使得数字校准误差较大。

因此，如何提高数字校准的精度和准确度一直是研究的热点问题。

为了解决数字校准法的缺陷，研究者们提出了许多方法来提高数字校准的精度和准确度。

其中，多项式插值法是一种常用的校准方法，可用于任何基于ADC的校准器。

而流水线ADC是现代高速转换器的重要形式之一，具有高速、分辨率高等优点。

本文将研究应用多项式插值法优化流水线ADC数字校准的方法。

1.2 研究目的与意义本文旨在提出一种基于多项式插值的流水线ADC数字校正方法，通过算法优化实现数字校正的自动化，提高数字校正的精度和准确度，减小误差。

同时，本文研究的方法可适用于各类流水线ADC，并具有工程应用意义。

此外，在理论研究和实践应用方面的探索，也将为后续相关领域的研究和应用提供理论与实践指导。

向宏志 20120047（2012-10-13）实验2.1（多项式插值的振荡现象）问题提出：考虑一个固定的区间上用插值逼近一个函数。

显然拉格朗日插值中使用的节点越多，插值多项式的次数就越高。

我们自然关心插值多项式的次数增加时，)(x L n 是否也更加靠近被逼近的函数。

龙格（Runge ）给出一个例子是极著名并富有启发性的。

设区间[-1,1]上函数22511)(xx f += 实验内容：考虑区间[-1,1]的一个等距划分，分点为n i nix i ,,2,1,0,21 =+-= 则拉格朗日插值多项式为∑=+=ni ijn x l x x L 02)(2511)( 其中的n i x l i ,,2,1,0),( =是n 次拉格朗日插值基函数。

实验要求：（1） 选择不断增大的分点数目n=2,3….，画出原函数f(x)及插值多项式函数)(x L n 在[-1，1]上的图像，比较并分析实验结果。

（2）选择其他的函数，例如定义在区间[-5，5]上的函数x x g xxx h arctan )(,1)(4=+= 重复上述的实验看其结果如何。

（3）区间[a,b]上切比雪夫点的定义为 1,,2,1,)1(2)12(cos 22+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--++=n k n k a b a b x k π 以121,,+n x x x 为插值节点构造上述各函数的拉格朗日插值多项式，比较其结果,试分析原因。

实验方法：考虑到：1、一幅图中太多的曲线会相互覆盖；2、n 取奇偶数可能结果不同；3、不同的节点选取方式可能导致不同的结果。

故而n 的选择分为n=2:2:8、n=3:2:9或者n=2:4:10、n=3:4:11与n=40三种情况；而节点的选取分为均匀节点、不均匀节点和切比雪肤节点三种。

说明：以下所有图中，蓝色曲线为原函数，绿色曲线为插值函数，插值节点数与两者交点数目相等。

实验数据及其分析：（1）22511)(x x f +=1. 节点为均匀节点时n i nix i ,,2,1,0,21 =+-=节点是对称的a)当节点数取为奇数个时，即n=2:2:8时。

数值分析实验报告模板篇一：数值分析实验报告(一)(完整)数值分析实验报告12345篇二：数值分析实验报告实验报告一题目：非线性方程求解摘要：非线性方程的解析解通常很难给出，因此线性方程的数值解法就尤为重要。

本实验采用两种常见的求解方法二分法和Newton法及改进的Newton法。

利用二分法求解给定非线性方程的根，在给定的范围内，假设f(x,y)在[a,b]上连续，f(a)xf(b) 直接影响迭代的次数甚至迭代的收敛与发散。

即若x0 偏离所求根较远，Newton法可能发散的结论。

并且本实验中还利用利用改进的Newton法求解同样的方程，且将结果与Newton法的结果比较分析。

前言：（目的和意义）掌握二分法与Newton法的基本原理和应用。

掌握二分法的原理，验证二分法，在选对有根区间的前提下，必是收敛，但精度不够。

熟悉Matlab语言编程，学习编程要点。

体会Newton使用时的优点，和局部收敛性，而在初值选取不当时，会发散。

数学原理：对于一个非线性方程的数值解法很多。

在此介绍两种最常见的方法：二分法和Newton法。

对于二分法，其数学实质就是说对于给定的待求解的方程f(x)，其在[a,b]上连续，f(a)f(b) Newton法通常预先要给出一个猜测初值x0，然后根据其迭代公式xk?1?xk?f(xk) f'(xk)产生逼近解x*的迭代数列{xk}，这就是Newton法的思想。

当x0接近x*时收敛很快，但是当x0选择不好时，可能会发散，因此初值的选取很重要。

另外，若将该迭代公式改进为xk?1?xk?rf(xk) 'f(xk)其中r为要求的方程的根的重数，这就是改进的Newton 法，当求解已知重数的方程的根时，在同种条件下其收敛速度要比Newton法快的多。

程序设计：本实验采用Matlab的M文件编写。

其中待求解的方程写成function的方式，如下function y=f(x);y=-x*x-sin(x);写成如上形式即可，下面给出主程序。

数值计算中的插值方法与误差分析数值计算是一门应用数学学科，广泛应用于科学与工程领域。

在实际问题中，我们常常需要通过已知的离散数据点来估计未知的数值。

插值方法就是为了解决这个问题而设计的。

插值方法是一种基于已知数据点，推断出未知数据点的数值计算方法。

常见的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值等。

下面我们将重点介绍这两种方法。

1. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是插值方法中最常见的一种。

它是基于拉格朗日多项式的思想。

假设我们有一组已知的数据点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，我们想要估计一个未知点x的函数值y。

拉格朗日插值法的基本思想是通过插值多项式来逼近原函数。

具体步骤如下：（1）根据已知数据点构造Lagrange插值多项式：L(x) = Σ(yi * Li(x)), i = 0, 1, ..., n其中，Li(x) = Π((x-xj)/(xi-xj)), j ≠ i（2）计算未知点x对应的函数值y：y = L(x)拉格朗日插值法的优点是简单易懂，计算方便。

然而，它也存在着一些问题，比如插值多项式的次数较高时，多项式在插值区间外的振荡现象明显，容易引起插值误差。

2. 牛顿插值法牛顿插值法是另一种常见的插值方法。

它是基于差商的思想。

假设我们有一组已知的数据点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，我们想要估计一个未知点x的函数值y。

牛顿插值法的基本思想是通过插值多项式来逼近原函数。

具体步骤如下：（1）计算差商：f[xi, xi+1, ..., xi+k] = (f[xi+1, ..., xi+k] - f[xi, ..., xi+k-1]) / (xi+k - xi)（2）根据已知数据点构造Newton插值多项式：N(x) = f[x0] + Σ(f[x0, x1, ..., xi] * Π(x - xj)), i = 0, 1, ..., n-1（3）计算未知点x对应的函数值y：y = N(x)牛顿插值法的优点是适用范围广，可以方便地添加新的数据点进行插值。

数值分析课程实验报告——插值逼近题目一.Runge 函数的插值1. Runge 函数Runge 函数的表达式为：21()125R x x =+ 其在[-1,1]区间上的函数图像如图1.1。

在课程学习中我们知道，对Runge 函数进行高次插值时有可能在两端出现不收敛的情况，即Runge 现象。

下面将分别用四种不同的插值方法在[-1,1]区间上对Runge 函数进行插值，并分析是否产生Runge 现象，比较插值效果。

图1.1.Runge 函数在[-1,1]区间的函数图像2.Newton 插值首先根据课本上的Newton 插值算法进行编程（代码略）。

核心思想就是用符号变量进行中间运算，以便将最终的插值函数用符号表达式表示出来，并进一步生成图像。

此处插值节点选择为等距插值节点，即：0.1(0,1,2,,)i x ih i =-+= (20)其中h=0.1。

插值曲线与原曲线的对比如图1.2（蓝色为原曲线，红色为插值曲线）。

从图中看出，在区间中部，二者吻合较好；但在区间两端二者则产生了明显偏差，甚至可以达到一个非常大的数值（e20量级）。

因此，在等距节点的20次Newton 插值下，产生了明显的Runge 现象。

图1.2.Newton 插值曲线与原曲线对比3. Lagrange 插值此处同样是根据Lagrange 插值的具体算法进行编程。

但插值节点不再是等距分布，而是如下形式：21cos()(0,1,2,,)42i i x i π+==…20 插值曲线与原曲线的对比如图1.3（蓝色为原曲线，红色为插值曲线）。

从图中看出，插值曲线与原曲线吻合的很好，没有产生明显的Runge 现象。

对比产生了明显Runge 现象的20次Newton 插值，Lagrange 插值的最高次数虽然也是20，但由于此处的插值节点不是等距分布的（事实上，此处采用的插值节点正是Chebyshev 多项式的零点），而是中间疏两边密，因此两侧较密的节点很好地抑制了Runge 现象。

数值分析课程设计多项式插值的振荡现象（姓名）（学号）指导教师学院名称专 业 名 称提交日期2012年6月一、 问题的提出考虑在一个固定区间上用插值逼近一个函数。

显然，Lagrange 插值中使用的节点越多，插值多项式的次数就越高。

我们自然关心插值多项式增加时，L n (x)是否也更加靠近被逼近的函数。

龙格(Runge)给出的一个例子是极著名并富有启发性的。

设区间[-1,1]上的函数21()125f x x=+ 考虑区间[-1,1]的一个等距划分，节点为21,0,1,2,,i i x i n n =-+=则拉格朗日插值多项式为201()()125nn i i i L x a x x ==+∑ 其中的a i (x),i=0,1,2,…,n 是n 次Lagrange 插值基函数。

二、 实验内容研究以下三个函数在各自区间上运用不同的划分1、21(),[1,1]125f x x x =∈-+ 2、4(),[5,5]1x h x x x=∈-+ 3、()arctan ,[5,5]g x x x =∈-运用在区间[-p,p]上等距划分（p>0）,节点为2,0,1,2,,i i x p i n n =-+=以x 0,x 1,…,x n 为插值节点构造上述各函数的Lagrange 插值多项式。

运用区间[a,b]上切比雪夫(Chebychev)点的定义为(21)cos ,1,2,,1222(1)k b a b a k x k n n π⎛⎫+--=+=+ ⎪+⎝⎭以x 1,x 2,…,x n+1为插值节点构造上述各函数的Lagrange 插值多项式，比较其结果。

并分别比较两种划分方法，增加节点数，最大误差的变化。

三、 实验结果及分析（一） 等距划分 对于函数21(),[1,1]125f x x x =∈-+来说，使用等距划分其中绿色点线代表误差，红色划线代表Lagrange插值多项式，蓝色实线代表原函数。

可见对于等距划分来说节点数越多，最大误差越大，可是越靠近中间的误差越少。

数值分析课程设计课程设计的目的和意义：⏹ 《课程设计》是数值分析的同步课程，是《数值分析》的上机实习课。

⏹ 《数值分析》课程中构造了各种有效的算法和有效公式，同学们通过上机作课程设计，学习揣摩这些算法的思想和构造，评价算法的优劣性。

⏹ 通过上机，可以提高我们运用数学软件编程解决问题的能力，为今后从事科学计算和软件开发打下良好的基础。

课程设计的题目：多项式插值的振荡现象设计目的：通过对多项式插值现象的观察,了解多项式的次数与逼近效 的关系，提高同学们分析实验结果的能力。

问题提出：考虑在一个固定区间上用插值逼近一个函数。

显然，Lagrange 插值中使用的节点越多，插值多项式的次数就越高。

我们自然关心插值多项式增加时，Ln(x)是否也更加靠近被逼近的函数。

龙格(Runge)给出的一个例子是极著名并富有启发性的。

设区间[-1,1]上的函数21()125f x x =+区间[-考虑设计1,1]的一个等距划分，节点为21,0,1,2,,i ix i nn=-+=则拉个朗日插值多项式为201()()125nn ii i L x l x x ==+∑其中的l i(x),i=0,1,2,…,n 是n 次Lagrange 插值基函数。

设计要求：1．选择不断增大的分点数n=2,3,…*画出原函数f(x)及插值多项式函数Ln(x)在[-1,1]上的图像； *给出每一次逼近的最大误差； *比较并分析实验结果。

2．选择其它函数，例如定义在区间[-5,5]上的函数。

4(),()arctan 1xh x g x x x ==+重复上述实验看其结果如何。

3．区间[a,b]上切比雪夫(Chebychev)点的定义为(21)cos ,1,2,,1222(1)k b a b ak x k n n π⎛⎫+--=+=+⎪+⎝⎭以x1,x2,…,xn+1为插值节点构造上述各函数的Lagrange 插值多项式，比较其结果。

设计过程：已知函数f (x )在n +1个点x 0,x 1,…,xn 处的函数值为 y 0,y 1,…,yn 。