诚信考试 沉着应考 杜绝违纪浙江大学2009–2010学年 秋冬 学期《 高等数学 》课程期末考试试卷开课学院： 理学院 ，考试形式： 闭 卷，允许带___________入场 考试时间： 2010 年 1 月 23 日,所需时间： 120 分钟考生姓名： _____学号： 专业： ______一、填空题（每个空格3 分，共33 分）1.设函数⎩⎨⎧<+≥-=0 ,0,1)(2x k x x x x f 在0=x 处连续，则=k -1 。
2.计算极限：11lim 21--→x x x = 2 ；)sin 11(lim 0xx x -→= 0 。
3.设函数x x y sin =，则=dxdysin cos x x x +；=22dx y d 2cos sin x x x -。
4.设1=-yxe y ，则==0|x dxdye 。
5.5001.1的近似值为 1.0002 。
6.函数)1ln(+-=x x y 的单调增加区间为 (0,+∞) 。
7.设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1 2 4 16 5 2 2 4 2 2 1 A ，则A 的秩为 3 。
8.假设有100件产品，其中有70件为一等品，30件为二等品。
从中一次随机地抽取3件，则恰好有2件一等品的概率为2170303100 C C C 。
9.甲、乙二人各投篮一次，设甲投中的概率为0.6，乙投中的概率为0.7，则甲、乙二人至少有一人投中的概率为 0.88 。
二、（本题 6分）欲造一个容积为250m 3的圆柱形无盖蓄水池，已知池底的单位面积造价是周围的单位面积造价的两倍。
要使水池造价最低，问其底半径与高应是多少？解： 设所做的圆柱形底半径为r ，高为h ，侧面造价为1单位，则总造价2()22P r r rh ππ=+．由2V r h π=得到2Vh rπ=，代入上式消去h ，得22()2VP r r r π=+，(0,)r ∈+∞． 令22()4=0VP r r rπ'=-，得到唯一驻点r =点，即底面半径r ===三、计算不定积分与定积分（每小题 5分，共 15分）1.解：()3222111(1)23x x C =+=++⎰2.解：()()()()11sin 2sin 22cos 2221111cos(2)cos 2cos(2)sin 22224x xdx x x d x xd x x x x dx x x x C ==-=-+=-++⎰⎰⎰⎰3.解：()()()()242044242404sin cos sin cos sin cos cos sin sin cos sin cos cos sin 2x x dx x x dx x x dxx x dx x x dx x x x x ππππππππππ==-=-+-=-+-=++--=⎰⎰⎰⎰⎰四、（本题5分）求由直线x y =与曲线2x y =所围成平面图形的面积。
浙江大学组合优化往年试卷1.设图G=(V,E)为无向简单图，V ⊆V为顶点子集。
若G(V )是一个完全图，则称V 是G的团（clique）。
求给定图的顶点数最多的团的问题称为图的最大团。
(a)证明：V ⊆V是G的团当且仅当V \V是G 的顶点覆盖，这里G =(V ,E ),对任意的u,v∈V,uv∈E 当且仅当uv∈E;(b)证明：图的最大团是N P−难问题;(c)求给定图的顶点数最少的顶点覆盖的问题称为图的最小顶点覆盖。
试利用图的最大基数匹配问题的算法设计图的最小顶点覆盖问题的多项式时间近似算法，并证明其最坏情况界不超过2；(d)基于(a)给出的图的顶点覆盖与团的关系，是否可由类似于（c）的思路给出图的最大团问题最坏情况界为2的多项式时间近似算法，为什么？2.某航空公司计划在全国选择若干个机场组建基地。
设在机场j组建基地所需费用为c j,j=1,···,n。
若该公司在机场i和机场j的基地组建完成，则可开通往返两地的航班并获得票款收益r ij,1≤i<j≤n。
该航空公司基地组建费用上限为B，应选择在哪些机场组建基地才能使获得的票数收益最大。
试写出该问题的数学规划。
3.某购书网站推出“满100送礼券”活动，凡单张订单购书金额达到或超过100元可获指定面额礼券一张，现就购买一批图书，计划分拆若干张订单以使获得的礼券数最多。
(a)试指出该问题与何经典问题有密切联系，又与之有哪些区别；(b)若按任一顺序选择购买图书，当当前订单累计金额达到或超过100元后，立即新启一张订单，试给出该方案的最坏情况紧界。
14.给定正整数集S=s1,s2,···,s n,s1≤s2≤···s n,记l(S )为S的子集S’中所含元素之和，σ(S)=min l(S1)l(S2)S1⊆S,S2⊆S,S1∩S2=∅,l(S1)≥l(S2)(a)若S为超增集，即对任意1≤j≤n−1,s j+1>ji=1s i，则最相近子集问题是多项式时间可解的。
2019-2020本科数学系期末考试试题数学分析（一）（A 卷）本试卷共4道大题，满分100分．一、选择题（本大题10分，每小题2分）1. 设数列{}n x 单调增，{}n y 单调减，且0lim =−∞→n n n x y ，则（ A ）（A ）{}n x 、{}n y 均收敛 （B ）{}n x 收敛，{}n y 发散 （C ）{}n x 发散，{}n y 收敛 （D ）{}n x 、{}n y 均发散2. 设函数)(1)(3x x x f ϕ−=，其中)(x ϕ在1=x 处连续，则0)1(=ϕ是)(x f 在1=x 处可导的( A )（A ）充分必要条件 （B ）必要但非充分条件（C ）充分但非必要条件 （D ）既非充分也非必要条件 3. 设0()0f x '=是)(x f 在0x 取得极值的（ D ）（A ）充分条件； （B ）必要条件； （C ）充要条件； （D ）既非充分条件也非必要条件.4. 设()353−=x y ，下述结论正确的是（ A ）（A ）()0,3是曲线)(x f y =的拐点； （B ）3=x 是)(x f 的极值点； （C ）因为)3(f ''不存在，所以()0,3不是曲线)(x f y =的拐点；（D ）当3<x 时，曲线)(x f y =为凹的，当3>x 时，曲线)(x f y =为凸的.5. 设xe e xf xx1arctan 11)(11+−=，则0=x 是)(x f 的（ C ）（A ）连续点 （B ）第一类（非可去）间断点 （C ）可去间断点 （D ）第二类间断点6. 设)(x f y =且21)(0='x f ，则当0>∆x 时，在0x 处dy 是（ B ） (A) 与x ∆等价的无穷 (B) 与x ∆同阶但不等价的无穷小； (C) 比x ∆高阶的无穷 (D) 比x ∆低阶的无穷小 二、填空题（本大题10分，每小题2分）1. 若)(0x f '存在，则=−−→000)()(limx x x f x x xf x x 000()()f x x f x '−．2. 曲线21xy xe =的渐近线方程是 0x =．3. 设⎪⎩⎪⎨⎧==te y t e x ttcos 2sin ，则曲线上点(0,1)M 处的法线方程是12=+y x ．4. 设x x x f 2sin )(2=，则)2()20(πf = 19202π⋅ ．三、计算题（本大题35分，每小题5分）1.（5分）求极限20sin )1()cos 1(limx e x x x x −−→答案与评阅要点：由于 0→x 时，2~cos 12x x − ，22~sin x x ，x e x ~1−所以 21)(2lim sin )1()cos 1(lim 22020−=⋅−⋅=−−→→x x x x x e x x x x x2.（5分）求极限()tan 2lim sin xx x π→；答案与评阅要点： 令()tan sin xy x =,ln tan ln sin y x x =.22221cos ln sin sin lim ln lim lim cot csc x x x xx x y x x πππ→→→⋅==−2lim sin cos 0x x x π→=−⋅=，所以 原式=01e =. 3.（5分）求极限30sin (1)lim x x e x x x x→−+ 答案与评阅要点：2331()2!3!xx x e x o x =++++，33sin ()3!x x x o x =−+3333001()sin (1)16lim lim 6xx x x o x e x x x x x →→+−+== 4.（5分）计算不定积分33tan sec x xdx ⎰答案与评阅要点：⎰xdx x 33sec tan ⎰=x xd x sec sec tan 22⎰−=x xd x sec sec )1(sec 22.sec 31sec 5135C x x +−=5.（5分）计算不定积分⎰+−dx xx xx 5cos sin sin cos答案与评阅要点：⎰+−dx xx xx 5cos sin sin cos ⎰++=5cos sin )cos (sin x x x x d .)cos (sin 4554C x x ++=6.（5分）计算不定积分⎰−dxxx 224答案与评阅要点：设2sin ()22x t t ππ=−<<，则2cos .dx tdt =⎰−dx xx 224⎰=tdt t tcos 2cos 2sin 42dt t ⎰−=)2cos 1(2C t t +−=2sin 2 .4212arcsin22C x x x +−−=7.（5分）计算不定积分⎰xdx x ln 3答案与评阅要点：⎰xdxx ln 3⎰=)4(ln 4x xd ⎰−=dx x x x 3441ln 41.161ln 4144C x x x +−=四、证明题（本大题45分）1.(10分)设函数()f x 在],[b a 上二阶可导，0)()(='='b f a f ．证明存在一点),(b a ∈ξ，使得)()()(4)(2a fb f a b f −−≥''ξ．答案与评阅要点：因为2()()()()()()2222a b a b f a bf f a f a a a ξ''+++'=+−+−1()2a b a ξ+<< 2()()()()()()2222a b a b f a bf f b f b b b ξ''+++'=+−+−2()2a b b ξ+<<（5分） 两式相减，因为0)()(='='b f a f ，得2211()()[()()]()08f b f a f f b a ξξ''''−+−−=，记12()max{(),()}f f f ξξξ''''''=，则2222112111()()()()()(()())()()()884f b f a f f b a f f b a f b a ξξξξξ''''''''''−=−−≤+−≤−即)()()(4)(2a fb f a b f −−≥''ξ，证明完毕．（5分）2.(10分)证明数列{}n x 收敛，其中11x =，113()2n n nx x x +=+，1,2,n =，并求lim n n x →∞．答案与评阅要点：1131()22n n n x x x +=+≥=，21313()022n n n n n n nx x x x x x x +−−=+−=≤，故有1n n x x +≤（5分）故{}n x 单调减有下界，从而lim n n x →∞存在设lim n n x A →∞=，在113()2n n nx x x +=+两边取极限得13()2A A A =+，从而A =5分）3.（15分）设函数()f x 定义在区间(,)a b 上：（1）（5分）用εδ−方法叙述()f x 在(,)a b 上一致连续的概念； （2）（5分）设01a <<，证明1()sin f x x=在(,1)a 上一致连续； （3）（5分）证明1()sinf x x=在(0,1)上非一致连续． 答案与评阅要点：（1）对0ε∀>，0δ∃>，对12,(,)x x a b ∀∈，只要12x x δ−<，就有12()()f x f x ε−<（5分）（2）对0ε∀>，取2a δε=，12,(,1)x x a ∀∈，只要12x x δ−<，12121212111111()()sinsin 2cos sin 22x x x x f x f x x x +−−=−= 121222121211x x x x x x x x a a δε−−≤−=<<=故1()sinf x x=在(,1)a 上一致连续．（5分） （1）在(0,1)内取2n x n π=，2(1)n x n π'=+，取012ε=，对0δ∀>，只要n 充分大总有2(1)n n x x n n δπ'−=<+，而1201()()sin sin 122n n f x f x ππε+−=−=>，故1()sinf x x=在(0,1)非一致连续．（5分） 4.（10分）(1)（5分）叙述函数极限lim ()x f x →+∞的归结原则，并应用它lim sin x x →+∞不存在． (2)（5分）叙述极限lim ()x f x →+∞存在的柯西收敛准则;并证明lim sin x x →+∞不存在.证明：(1)设()f x 在[,)a +∞有定义．lim ()x f x →+∞存在的充分必要条件是：对任意含于[,)a +∞,当lim n n x →∞=+∞时当lim n n x →∞=+∞时且趋于+∞的数列{}n x ，极限lim ()n n f x →∞存在且相等．取2,2,2n n x n x n πππ'''==+则lim lim 2,n n n x n π→∞→∞'==+∞lim lim(2),2n n n x n ππ→∞→∞''=+=+∞但lim ()lim sin(2)0,n n n f x n π→∞→∞'==lim ()limsin(2)1,2n n n f x n ππ→∞→∞''=+=lim ()lim (),n n n n f x f x →∞→∞'''≠故lim ()x f x →+∞不存在．（5分）(2)设函数()f x 在[,)a +∞有定义,则极限lim ()x f x →+∞存在的充要条件是:对于任何0,ε>存在正数0(),M M a >>当12,x x M >时有12|()()|.f x f x ε−<对于012ε=及任意正整数M,取122,2,2x M x M πππ=+=则有1,x M >2,x M >且有1201|()()|sin 2sin 21,22f x f x M M πππε⎛⎫−=+−=>= ⎪⎝⎭所以lim sin x x →+∞不存在.（5分）试题来源：微信公众号 学术之星。
浙江大学数学分析试题答案一、,,0N ∃>∀ε当N n >时，ε<->>∀m n a a N n N m ,,证明：该数列一定是有界数列，有界数列必有收敛子列}{k n a ，a a kn k =∞→lim ， 所以，ε2<-+-≤-a a a a a a k k n n n n二 、,,0N ∃>∀ε当N x >时，ε<-)()(x g x f ，,0,01>∃>∀δε当1'''δ<-x x 时，ε<-)''()'(x f x f对上述,0>ε当N x x >'','时，且1'''δ<-x xε3)''()'()''()''()'()'()''()'(<-+-+-≤-x f x f x f x g x g x f x g x g当N x x <'','时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，所以,0,02>∃>∀δε2'''δ<-x x 时ε<-)''()'(x g x g ，当'''x N x <<时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，在],['','22δδ+-∈N N x x 时，ε<-)''()'(x g x g ，取},min{21δδδ=即可。
三、由,0)('',0)('<>x f a f 得,0)('<x f 所以)(x f 递减， 又2))((''21))((')()(a x f a x a f a f x f -+-+=ξ，所以-∞=+∞→)(lim x f x ，且0)(>a f ，所以)(x f 必有零点，又)(x f 递减，所以有且仅有一个零点。
