第一章检测(A )(时间:90分钟 满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.命题“若A ⊆B ,则A=B ”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题的个数是( )A.0B.2C.3D.4解析:原命题为假,则其逆否命题为假;其逆命题为真,则其否命题为真.故共有2个真命题.答案:B2.设x ∈Z ,集合A 是奇数集,集合B 是偶数集.若命题p :∀x ∈A ,2x ∈B ,则( )A.p :∃x 0∈A ,2x 0∈BB.p :∃x 0∉A ,2x 0∈BC.p :∃x 0∈A ,2x 0∉BD.p :∀x ∉A ,2x ∉B解析:原命题的否定是∃x 0∈A ,2x 0∉B.答案:C3.已知命题p :∃x 0∈R ,2x 0+1≤0,则命题p 的否定是( )A.∃x 0∈R ,2x 0+1>0B.∀x ∈R ,2x+1>0C.∃x 0∈R ,2x 0+1≤0D.∀x ∈R ,2x+1≥0答案:B4.如果命题“p ∧q ”是假命题,“p ”是真命题,那么( )A.命题p 一定是真命题B.命题q 一定是真命题C.命题q 一定是假命题D.命题q 可以是真命题也可以是假命题解析:“p ”是真命题,p 一定是假命题,又“p ∧q ”是假命题,∴q 可真可假.答案:D5.等差数列{a n }中,“a 1<a 3”是“a n <a n+1”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:C6.已知命题p :∀x ∈R ,2x 2+2x ∃x 0∈R ,sin x 0-cos x 0+12<0;命题q :=2,则下列判断正确的是( )A.p 是真命题B.q 是假命题C.p 是假命题D.q 是假命题解析:∵∀x ∈R ,2x 2+2x ≥0,+12=(2x +12)2∴p 为假命题;∵当x 0,sin x 0-cos x 0=3π4时=22‒(-22)=2,∴命题q 为真命题.答案:D7.设命题p :若a>b ,则ac>bc ,q ⇔ab<0,给出下列四个由p ,q 构成的新命题:(1)p ∨q ;(2)p ∧q ;(3):ab <0p ;(4)q.其中真命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3解析:由已知可知p 为假,q 为真,所以(1)p ∨q 为真;(2)p ∧q 为假;(3)p 为真;(4)q 为假,故选C.答案:C8.已知命题p :“a=1”是“∀x>0,x ≥2”的充要条件;命题q :∃x 0∈R+ax ,x 20+x 0‒1>0,则下列结论中正确的是( )A.命题p ∧q 是真命题B.命题p ∧(q )是真命题C.命题(p )∧q 是真命题D.命题(p )∧(q )是真命题解析:a=1⇒x +a x =x +1x ≥2x ·1x =2,而当a=2时,也推出x ≥2成立,+a x 所以“a=1”是“∀x>0,x≥2”的充分不必要条件.故p 为假命题,而q 为真命题.+a x 答案:C 9.下列命题中是假命题的是( )A.命题“若x ≠1,则x 2-3x+2≠0”的逆否命题是“若x 2-3x+2=0,则x=1”B.若命题p :∀x ∈R ,x 2+x+1≠0,则p :∃x 0∈R ,x 20+x 0+1=0C.若p ∨q 为真命题,则p ,q 均为真命题D.“x>2”是“x 2-3x+2>0”的充分不必要条件答案:C10.记实数x 1,x 2,…,x n 中的最大数为max{x 1,x 2,…,x n },最小数为min{x 1,x 2,…,x n }.已知△ABC 的三边边长为a ,b ,c (a ≤b ≤c ),定义它的倾斜度为=ma ·mi △ABC 为等边三角形”的( )x {a b ,b c ,c a }n {a b ,b c ,c a },则“=1”是“A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:当△ABC 为等边三角形时,显然=1; 当a=b=1,c ,ma=3时=1,但△ABC 不为等边三角形.故选A.x {a b ,b c ,c a }=c a =3,min {a b ,b c ,c a }=b c=13,此时答案:A 二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.存在实数x 0,y 0,使得≤0,用符号“∀”或“∃”可表示为 ,其否定2x 20+3y 20为 . 答案:∃x 0,y 0∈R ,使≤0 ∀x ,y ∈R ,都有2x 2+3y 2>02x 20+3y 2012.若“x ∈[2,5]或x ∈{x|x<1或x>4}”是假命题,则x 的取值范围是 . 解析:由x ∈[2,5]或x ∈{x|x<1或x>4},得x<1或x ≥2.∵此命题是假命题,∴1≤x<2.答案:[1,2)13.设p :x>2或xp 是q 的 条件. <23;q :x >2或x <‒1,则解析:p ≤x ≤2,q :-1≤x ≤2.:23∵p ⇒q ,但q p ,∴p 是q 的充分不必要条件.答案:充分不必要14.已知p :|x 2-x|≠6,q :x ∈N ,若“p ∧q ”与“q ”都是假命题,则x 的值为 .解析:∵“p ∧q ”与“q ”都是假命题,∴p 是假命题,q 是真命题,∴|x 2-x|=6,且x ∈N ,即x=3.答案:315.(1)已知a ,b ,c ∈R ,则“b 2=ac ”是“a ,b ,c 成等比数列”的 条件.(2)设集合A={x ∈R |x-2>0},B={x ∈R |x<0},C={x ∈R |x (x-2)>0},则“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的 条件. 解析:(1)b=0,a=0或c=0时,b 2=ac ,但a ,b ,c 不成等比数列;若a ,b ,c 成等比数列,则由等比中项的定义得b 2=ac.∴“b 2=ac ”是“a ,b ,c 成等比数列”的必要不充分条件.(2)化简得A={x|x>2},B={x|x<0},C={x|x<0或x>2}.∵A ∪B=C ,∴“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的充要条件.答案:(1)必要不充分 (2)充要三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)写出下列命题的“p”命题,并判断它们的真假.(1)p:∀x∈R,x2+4x+4≥0;(2)p:∃x0∈R,x 2‒4=0.解:(1)p:∃x0∈R.,x20+4x0+4<0,是假命题(2)p:∀x∈R,x2-4≠0,是假命题.17.(8分)写出命题:“若x2-3x+2=0,则x=1或x=2”的逆命题、否命题和逆否命题,并判断它们的真假.解:原命题为真.逆命题:若x=1或x=2,则x2-3x+2=0,是真命题;否命题:若x2-3x+2≠0,则x≠1,且x≠2,是真命题;逆否命题:若x≠1,且x≠2,则x2-3x+2≠0,是真命题.18.(9分)指出下列各题中p是q的什么条件:(1)p:(x-2)(x-3)=0,q:x-2=0;(2)p:四边形的对角线相等,q:四边形是平行四边形;(3)p:(x-1)2+(y-2)2=0,q:(x-1)(y-2)=0.解:(1)∵(x-2)(x-3)=0x-2=0(可能x-3=0),而x-2=0⇒(x-2)(x-3)=0,∴p是q的必要不充分条件.(2)∵四边形的对角线相等四边形是平行四边形,四边形是平行四边形四边形的对角线相等,∴p是q的既不充分也不必要条件.(3)∵(x-1)2+(y-2)2=0⇒x=1,且y=2⇒(x-1)×(y-2)=0,而(x-1)(y-2)=0(x-1)2+(y-2)2=0,∴p是q的充分不必要条件.19.(10分)设命题p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,其中a>0,命题q:实数x满足{x2-x-6≤0, x2+2x-8>0.(1)若a=1,且p∧q为真,求实数x的取值范围;(2)若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.解:(1)由x2-4ax+3a2<0,得(x-3a)(x-a)<0.又因为a>0,所以a<x<3a.当a=1时,1<x<3,即p为真命题时,实数x的取值范围是1<x<3.由{x 2-x -6≤0,x 2+2x -8>0,解得{-2≤x ≤3,x <-4或x >2.即2<x ≤3.所以q 为真时实数x 的取值范围是2<x ≤3.若p ∧q 为真,⇔2<x<3,则{1<x <3,2<x ≤3故实数x 的取值范围是(2,3).(2)p 是q 的充分不必要条件,即p ⇒q ,且q p.设A={x|x ≤a 或x ≥3a },B={x|x ≤2或x>3},则A ⫋B.所以0<a ≤2,且3a>3,即1<a ≤2.故实数a 的取值范围是(1,2].20.(10分)设命题p :函数f (x )=l R ;命题q :不等g (ax 2-x +116a )的定义域为式2x +1<1+ax 对一切正实数x 均成立.如果p 或q 为真命题,p 且q 为假命题,求实数a 的取值范围.解:命题p 为真命题⇔函数f (x )=l R ⇔ax 2-x x 均成立.g (ax 2-x +116a )的定义域为+116a >0对任意实数当a=0时,-x>0,其解集不为R ,所以a ≠0,a>2.则{a >0,1-14a 2<0,得所以命题p 为真命题⇔a>2.命题q 为真命题⇔x 均成立⇔a2x +1‒1<ax 对一切正实数x 均成立.>2x +1-1x =2x x (2x +1+1)=22x +1+1对一切正实数因为x>0,所以2x +1>1.所以2x +1+1>2.所以22x +1+1<1.所以命题q 为真命题⇔a ≥1.根据题意,知命题p 与q 有且只有一个为真命题,当命题p 为真命题且命题q 为假命题时,a 不存在;当命题p 为假命题且命题q 为真命题时,a 的取值范围是[1,2].综上所述,命题p 或q 为真命题,命题p 且q 为假命题时,实数a 的取值范围是[1,2].。
