魏尔斯特拉斯逼近定理的证明及推广

函数逼近论题目学院专业班级学生姓名摘要函数逼近问题是函数论的一个主要组成部分, 它涉及的主要问题是函数的近似表示. 在数学的理论研究中经常遇到以下问题: 在选定的一些函数中寻找到某个函数g,使它是已知函数f在一定意义下的近似表示, 并求出用g近似表示f产生的误差. 这就是函数逼近问题.本课题采用理论和实例相结合的方法进行研究. 首先, 对Weierstrass魏尔斯特拉斯逼近定理及其推广进行介绍; 其次, 介绍了一致逼近定理与证明, 给出一直逼近定理在函数逼近中的应用；最后, 对Lagrange插值、Newton插值、Herimte插值等研究.关键词：函数逼近; 一致逼近; 插值AbstractFunction approximation function theory is a key component of the involved, it is the main problem of function approximation said. In the study of the theory of the mathematics always met in the following problem: some of the function of the selected for to a certain function, make it is known g ƒ function in certain significance of the approximate, and get the use "to approximate the ƒ produce error. This is the f unction approximation problem.This subject adopts the theory and practical method of combining the research. First of all, to Weierstrass Weierstrass las approximation theorem is introduced and its extension; Secondly, this paper introduces uniform approximation theorem are given, and proof has been approximation theorem in the application of the function approximation; Finally, the Lagrange interpolation, Newton interpolation, Herimte interpolation.Key words:The function approximation：Uniform approximation；Interpolation目录摘要 (I)Abstract (II)绪论 (1)第1章Weierstrass逼近定理 (2)1.1 Weierstrass第一定理 (2)1.2 Weierstrass第二定理 (5)1.3 Weierstrass定理的推广 Stone定理 (7)第2章一致逼近的研究 (11)2.1Borel存在定理 (11)2.2 最佳逼近定理 (12)2.3 Kolmogorov最佳逼近定理 (15)第3章多项式插值方法的研究 (17)3.1 Lagrange差值公式 (17)3.2 Newton插值公式 (20)3.2.1 差商的概念与性质 (20)3.2.2 Newton插值公式的导出 (22)3.3Hermite插值公式 (24)结论 (28)参考文献 (29)致谢 (30)绪 论Weierstrass 逼近定理是函数逼近论中的重要定理之一, 定理阐述了闭区间上的连续函数可以用一多项式去逼近. 将该定理进行推广: 即使一个函数是几乎处处连续的,也不一定具有与连续函数相类似的逼近性质, 但是一个处处不连续的函数却有可能具有这样的性质. 证明了定义在闭区间上且与连续函数几乎处处相等的函数具有类似的逼近性质[]1.随着对于数学研究的不断深入, 正交多项式在数学问题中得到了广泛的应用, 尤其在数值计算方面更显示出它的优越性. 研究一直逼近的性质及应用问题,阐述一直逼近的定义、性质及最佳逼近定理的定义与证明. 主要对最佳逼近定理的最佳逼近多项式的性质与特征进行分析研究[]2[]3.在给定f 并且选定了逼近函数类之后, 如何在逼近函数类中确定作为f 的近似表示函数g 的方法是多种多样的. 例如插值就是用以确定逼近函数的一种常见方法. 所谓插值就是要在逼近函数类中找一个()x g , 使它在一些预先指定的点上和()x f 有相同的值, 或者更一般地要求()x g 和()x f 在这些指定点上某阶导数都有相同的值[]4. 利用插值方法来构造逼近多项式的做法在数学中已有相当久的历史. 微积分中著名的泰勒多项式便是一种插值多项式[]5.本文共分三章, 在第一章中我们给出了并给出了Weierstrass 逼近定理的证明与Weierstrass 逼近定理的一个推广应用. 在第二章中, 我们主要介绍了最佳逼近定理的研究. 给出了最佳逼近定理的介绍与证明. 在第三章中我们主要介绍了Lagrange 差值公式, Newton 差值公式以及Hermite 差值公式, 在函数逼近中的应用.第1章 Weierstrass 逼近定理1.1 Weierstrass 第一定理在实变函数的数学分析中, 最重要的函数类实连续函数类[],C a b 与连续的周期函数类2C π.[],C a b 是定义在某一闭区间[],a b 上的一切连续函数所成的集合; 2C π是定义在整个实轴(,)-∞+∞上的以2π为周期的连续函数全体所成的整体.定理1.1 （Weierstrass 第一定理） 设[](),f x C a b ∈, 那么对于任意给定的0ε>, 都存在这样的多项式()p x , 使max ()()a x bp x f x ε≤≤-<关于这个著名的定理, 现在已经有很多种不同的证法, 下面我们将介绍Bernstein 的构造证法.Bernstein 证法：不妨假设函数的定义区间是[][],0,1a b ≡. 事实上, 通过下面的线性代换()t b a x a =-+就能将x 的区间01x ≤≤变换成t 的区间a t b ≤≤. 同时, 可以轻易得出多项式将变成t 的多项式, x 的连续函数将变成t 的连续函数. 因此只须就连续函数类[],C a b 来证明Weierstrass 定理就行了.对于给定的[]()0,1f x C ∈, 作如下多项式(1,2,3,)n =()0()1nn k fknk n k B x f x x k n -=⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑ （1-1）显然()f n B x 是一个n 次多项式. 下面我们证明极限关系式lim ()()f n n B x fx x →∞=换而言之, Weierstrass 定理中提及的()p x , 只要取()f n B x （其中x N ≥）就可以了.为证明上述命题, 只需要用到一个初等恒等式()()20()11nn k kk n nx k x x nx x k -=⎛⎫--=- ⎪⎝⎭∑ （1-2） 这个恒等式是很容易证明. 事实上, 由于()()0111nnn kk k n x x x x k -=⎛⎫-≡+-≡⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭∑. 可知左端()()222021nn kk k n n x k nkx x x k -=⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭∑()()22200121nnn k n kk k k k n n n x k x x nx x x k k --==⎛⎫⎛⎫=+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑()()()()220011121nnn k n kk k k k n n n x k k x x nx x x k k --==⎛⎫⎛⎫=+--++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑()()()22222211122n n kk k n n x n n xk x k nx nx k --=-⎛⎫=+--++ ⎪-⎝⎭∑()()222112n x n n x n x n x =+-+-=右端对于[]0,1中的每一个固定的x 及任一固定的正整数n , 令()()max n k x f x f n ε⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 上式右端代表当k 取所有合乎条件1/41k x n n ⎛⎫-< ⎪⎝⎭, 的正整数式所得的最大差数. 根据()f x 在[]0,1上的一致连续性, 可知比存在一组0n ε>, 使()0n n x εε<↓ ()n →∞记()()()()()()12,,f n n k n k x k k f x B x f x f x f x f n n λλ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦∑∑, 其中1∑,2∑分别代表对满足如下条件的一切k 所取的和3/43/4,k nx n k nx n -<-≥而()(),1n kk n k n x x x k λ-⎛⎫=- ⎪⎝⎭令()max M f x =, 则显然有()()()()123,,,2f n n n k n k n n k f x B x xM x M x ελλελ-<+<+∑∑∑,而且利用恒等式（1-2）可知()()()()23/23,,04nn k n k k n nx k nx x nx x λλ=≤-=≤∑∑.因此()1/22,114n k x n λ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑()1/212f n n M f x B n ε⎛⎫-<+ ⎪⎝⎭上述的不等式的右端与x 无关, 而且随着x 的无线增大而趋向0, 这就证明了多项式f n B 对于()f x 上的一致连续性.Weierstrass 的第一定理实际上正好解决了如何利用多项式作成的函数项级数来表示连续函数的问题. 因此任意取定一个单调下降于0的列n δ, 则对每个n δ都可以找到一个多项式()n p x 使得：()()n n p x f x δ-<. 于是令()()()()()111,,1n n n Q x p x Q x p x p x n -==->可知级数()1n n Q x ∞=∑的前n 项之和恰好与()n p x 相合, 因而该级数也就一致的收敛于()f x .在Bernstein 的证明中, 不仅证明了近似多项式序列()n p x 的存在性, 而且还给出了构成()n p x 的一个具体方法. 事实上, ()()1,2,3,f n B x n =便构成了连续函数()f x ()01x ≤≤的一个近似多项式序列. 这样的证法通常称之为构造性的证明方法. 他要比一般数学上的纯粹存在性的证明方法更具有价值[]6.1.2 Weierstrass 第二定理周期连续函数（我们设周期为#）的最简单逼近工具具有如下三角多项式()()1cos sin nk k k T x A a kx x kx ==++∑.如果其中的系数,k k a b 不全为0, 则称()T x 为n 阶三角多项式.相应Weierstrass 第一定理, 有如下的定理定理1.2（Weierstrass 第二定理） 设()2f x C π∈, 则对任意给定的0ε>, 都有三角多项式()T x 存在, 使得()()max x f x T x ππε-≤≤-< （1-3）这个定理可以从Weierstrass 第一定理, 通过诱导函数来证明. 此处直接采用Vallee-Poussin 算子[]()()()22!!11;cos 221!!2x n x x V f x f t dt n ππ--=-⎰ 来证明, 其中()()()()()()2!!22242,21!!212331n n n n n n =-⋅-=--⋅作平移, 显然有220cos 2cos 2xx nn n xt xI dt dt --==⎰⎰在做变换#, 可算得上述积分为()()11/2012121xnn I v dt v dv v v -=-=-⎰⎰()()()112221!!2212!!n n n n π⎛⎫⎛⎫ΓΓ+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭==Γ+ 从而()[]()()21;cos 2n n nt x f x V f x f x f t dt I ππ---=-⎡⎤⎣⎦⎰ 因为()f x 2C π∈, 所以()f x 一致连续, 即对任意给定的0ε>存在, 使得当x x δ'''-<时,()()/2.f x f x ε'''-<现在将()[];n f x V f x -分成两部分()[];n f x V f x -()()21cos 2nn t x t xf x f t dt I δ-<-=-⎰()()211cos 1222nn t x t x C f x f t dt I δεε-≥-=-<=⎰12C C =+ （1-4）下面估计12,C C()()211cos 1222nn t x t x C f x f t dt I δεε-≥-≤-<=⎰（1-5） 记()max ,cos12x M f x q ππδ-≤≤==<, 则()()211cos 2nn t x t xC f x f t dt I δ-≥-≤-⎰212c o s 22n n M I δπ≤⋅⋅⋅()()22!!221!!n n M q n =⋅-24nM n q <⋅⋅因此存在自然数N 使得当n N >时2/2C ε< （1-6）综合（1-4）（1-5）和（1-6）, 即可知Weierstrsaa 第二定理成立.1.3 Weierstrass 定理的推广-Stone 定理1948年, Stone 拓宽了Weierstrass 定理的推广, 使其和现代函数分析形成了紧密的联系, 因此成为了逼近论与分析数学中的重要定理之一, 在这一节中我们会将Stone 定理来进行重点介绍.下面的定理虽然在叙述形式上就是Weierstrass 定理, 但是其证明方法和证明过程完全不同, 因此我们将在证明之后说明其证明的特点, 然后给出一个一般定理. 因此可以得到多种逼近定理. 这个证明方法是属于Stone 的.定理1.3 任何一个在[],a b 上的连续函数都能再闭区间上被多项式一直逼近. 证明 设()f x 在∈c [],a b , 因此有M =max ()a x bf x <<, min ()a x bm f x <<=在这里我们设M m >, 否则()f x M m ==, 它就一定可以被一个多项式逼近. 在这里我们设1M =, 0m =, 考虑函数(())/()f x m M m --.有 0()1f x ≤≤, [],x a b ∈ (1-7) 取任意的0ε>, 取自然数n , 满足2()nε<, 令[]{},0()/k M x ab f x k n =∈≤≤, 0,1,2,1k n =-[]{},(1)/()1k Q x a b k n f x =∈+≤≤, 0,1,2,1k n =- (1-8)由于[](),f x a b ∈, 我们可以得到,M Q 都是闭集, 显然, 他们互不相交. 0,1,2,1k n =-,并且有,k k M nQ ϕ=1k k M M +⊂, 1k k Q Q +⊃ (1-9)有定理：闭集,Q M [],a b ⊂互不相交, 则有在[],a b 上的连续函数()g x , 他满足()g x =1,0,x Qx M∈⎧⎨∈⎩ 且0≤()g x 1≤, []0,1x ∈, 他在[],a b 上能被多项式一直逼近, 可以得到对于0,1,2,1k n =-在区间[],a b 上都存在连续函数()f x 他满足1,()0,1,,10,kk kx Q f x k n x M ∈⎧==-⎨∈⎩ (1-10)01k f x ≤≤≤, a x b ≤≤ (1-11)在[],a b 上能被多项式一直逼近.令11()()n k x F x f x n -==∑ (1-12)对于人一点x ∈[],a b , 由(4-1)可知, 存在k , 01k n ≤≤-, 可以得到/()(1)/k n f x k n ≤≤+ (1-13)因此由(1-12)(1-13)得到121,,,k k n x M M M ++-∈ (1-14)比较(1-10)(1-11)(1-12)可以得到011()()k k x k F x f x n n∞+=≤∑ (1-15) 比较(1-9)(1-10)(1-11)可以得到01()()k k x kF x f x n n∞=≤∑ (1-16)由(1-11)(1-12)(1-13)得, 对于任意的x ∈[],a b 有1()()2x f x F x n ε-≤< (1-17) 由()k f x , 0,1,2,1k n =-及()F x 的构造可以知道, ()F x 在[],a b 上可以被多项式一致逼近, 即有多项式()p x 使()()2n F x p x ε-<(1-18)比较(1-17)(1-18)就可以得到()()f x p x ε-<定理证毕.如果我们仔细检查这个定理的证明过程, 我们会发现, 在证明过程中只用到了下面的几个事实1. 实现逼近的区间[],a b 可以控成任何一个距离的空间. 我们称一个集合x 为距离空间. 如果对于任意两个元素,x y x ∈, 都对应一个在非负实数(,)D x y , 称为这两个元素,x y 之间的距离, 他满足以下条件[]7(1) (,)D x y 0=, 当且仅当x y =时； (2) (,)D x y =(,)D y x(3) (,)D x z ≤(,)D x y +(,)D y z , ,,x y z x ∈ 这个距离空间中至少包含有两个元素的子集E , 且对此集合成立有限覆盖定理.2.实现逼近的多项式可以换成定义在E 上的某个实函数空间Y 他具有以下性质(1)Y 包含常数1.(2)Y 关于加法及乘法是封闭的, 因此Y 是一个子环.(3)对于E 中任意两个不同的元素1x 与2x , 在子环Y 中必存在函数()p x , 使12()()p x p x ≠这样一来就有了下面的定理.定理1.4 设E 是某个质量空间的任意子集, 它至少包有两个不同的元素, 并且在E 上成立有覆盖定理. 设定义在E 上的实函数{}()p x 组成一个线性空间, 且构成一个环Y , 这0ε>. Y 上存在元素()p x , 使得有()(),f x p x x E ε-<∈利用Stone 定理可以得到很多有用的逼近定理[]8.定理1.5 设F 是K 维空间R 中的有界闭集. 则对于任何一个在F 上的实连续函数1,2()(,,)x x x x →=⎰⎰, 对于任意的0ε>. 将在k 维空间中代数多项式11111110()()()ni n n n k k nk i i p x p n x x ix x →-====∑∑ (1-19)使得()()f x p x ε→→--<, x F →∈证明 显然, 对R 中任意一个有界闭集F 成立Borel 有限覆盖定理. 此外, 如(4.13)()10,1,,0,1,n n ==的全体多项式构成线性空间及环, 又对于任何两个不同点()111,y hx x x→=, ()2221,y h x xx →=, 令()12111(,)x p x x xx ∞=∑它是形如(4-13)的多项式, 且有()2211(,,)0,,y p x x p x x ''=≠因此, 这就满足了Stone 定理的一切条件.定理1.5证毕.第2章 一致逼近的研究2.1 Borel 存在定理定理2.1（Borel 存在定理） 对任何给定的()f x ∈[],a b , 总是存在()p x ∈n p , 使得,()()n p E f ∆=.证明 因为()n E p ∆的下确界, 因此对任何给定的0ε>, 必有()n p x p ε∈, 使得()n n E p E εεε≤∆+.在这里我们取1mε=, 存在()m n p x p ∈, 使 1()n m n E p E m≤∆≤+(2-1) 所以, 如果能证明{}m p 或他的某个子序列一致收敛于某*n p p ∈, 则上式中令m →∞, 即可证明*()()n p E f ∆=.以下集中于从{}()m p x 中选取收敛的子序列. 首先, 按()m p x 的选取方法可知()m p x 有界. 即可得出()()()()()1max ()m m n a x bp x p x f x f x E f x ≤≤≤-+≤++进而可得出0,1,,,()n m m m x m n m p x a a x a x a x =++++中的各系数0,1,,,,,,,m m x m n m a a a a 皆有界, 为此, 在[],a b 中任意取定1n +个互异点01n x x x <<<. 由0,1,02,0,000,1,2,,()#()m m m n m m m m n m n n m n m n a a x a x a x p x a a x a x a x p x ++++=⎧⎨++++=⎩可推出000,01()1()1()1()1n m n nm n i m m j j i n j t s i si nnnp x x p x x a p x Q x x x x x x =>==-∑∏其中j Q 为多项式在确定点上的值, 从而得,i m a 有界.由Weierstrass 定理, 可逐一选出1n +同时收敛得子序列{},,0,,j i m a i n =. 使得,lim ,0,,j i m i j a a i n →∞==做多项式01()n n p x a a x a x =+++ (2-2)显然当j →∞时, 多项式()mj p x 在[],a b 上一致收敛到()p x .证明 ()p ∆=n E =inf np p ∈()p ∆, 由于()n p x p ∈按定义()p ∆>n E 下面只需证明()p ∆n E ≤. 由()mj p x 得取法可知1()m a x()()m nmj mj n p p p f x p x E mj∈∆=-<+ 但()max ()()max ()()max ()()mj mj mj a x ba x ba x bp f x p x f x p x p x p x ≤≤≤≤≤≤∆=-≤-+-1n E j mjε<++ 令j →∞得到, ()p ∆≤n E , 从而()p ∆=n E .证毕.2.2 最佳逼近定理由Borel 存在定理, 对任意给定的()f x ∈[],a b , 均有多项式()p x n p ∈, 使得()mj p ∆=max ()()inf max ()()n n q p a x ba x bp x f x E q x f x ∈≤≤≤≤-==-, 这样的多项式()p x 成为n p 中的最佳逼近多项式. 显然, n E 0=等价于()f x ∈n p , 即出()f x ∈n p 外, n E 均取正值.下面我们来讨论最佳逼近多项式的本质特征：()()()x p x f x ε=-. 由于()x ε∈[],a b , 所以存在[]0,x a b ∈, 使得0()max ()()a x bx x p εε≤≤==∆, 我们称这样的0x 为()p x 关于()f x 的偏离点. 如果0()()x p ε=∆或()p -∆, 则称0x 为()p x 关于()f x 的正或负偏离点10.如果()p x 不是()f x 的最佳逼近多项式, 则()p x 关于()f x 的正, 负偏离点必须同时存在, 但如果()p x 是()f x 的最佳逼近多项式. 则它关于()f x 的正, 负偏离点必然都存在. 事实上, 我们不妨假设最佳逼近多项式()p x 无负偏离点存在, 则可证明()p x 不是()f x 的最佳逼近多项式. 按以上的反证法假定, 必然存在一个足够小的整数h , 使得()(),n n E h p x f x E a x b -+≤-≤≤≤于是在[],a b 上有/2(()/2)()/2n n E h p x h f x E h -+≤--≤-(/2)()p h p ∆-<∆ 矛盾.定理2.2(Poussin 定理——最佳逼近误差下界的估计） 设n p p ∈且()()()x p x f x ε=-于[],a b 中的点列：12N x x x <<<. 取异于0的正负相间值11,,,(1)N N λλλ---,Q 且2N n ≥+, 则对任意()n q x p ∈, 均有1()min(,,)N q λλ∆≥. (2-3)证明 设有某()n q x p ∈, 使1()min(,,)N q λλ∆< (2-4)考虑到：[][]()()()()()()()x p x q x p x f x q x f x η=-=---. 因此有：()1,()max ()()min N a x bq q x f x λλ≤≤∆=-<所以：s i ()s i (()(j j j g n x g n p x f xη=- 即()x η于点列1,2,,N x x x 上交错变号, 由连续函数的介值定理, ()x η于[],a b 内至少有11N n -≥=个零点, 但()n x p η∈所以()x η0=, 即()()p x q x =, 与(2-3)的反证法 矛盾, 定理即得证[]11.定理 2.3（Tchebyshev 定理） ()f x 于n p 中的最佳逼近多项式是存在的, 且()p x 是()f x 于n p 中的最佳逼近多项式, 必须且只须()p x -()f x 在[],a b 上点数不少于2n +的列12N x x x <<<, 2N n ≥+以上正负交错的符号取得()p ∆的值.证明 充分性：假定()p x -()f x 于[],a b 中点列12N x x x <<<, 2N n ≥+上以正负交错的符号取到()p ∆, 由Poussin 定理, 对任意()n q x p ∈, 均有()q ∆≥()p ∆所以()p x 是()f x 于n p 中的最佳逼近多项式.必要性：假定()p x 是正负交错的偏离点数1N n '≤+, 接下来证明()p x 不是()f x 的最佳逼近多项式. 显然：()q x -()f x =()p x -()f x +[]()()q x p x -, 将[],a b 分成N '个子区间[]1,a ξ,, []1,n b ξ-. 使在该区间上的轮流满足下面两个不等式中的一个.()p x -∆≤()p x -()f x ()p a <∆-, ()p x a -∆+<()p x -()f x ()p ≤∆其中a 是某一充分小的整数, 引入n p 中的多项式121()()()()N x x x x ϕξξξ'-=---并作()q x =()p x -()f x ()x ωϕ+, 则()q x -()p x =()p x -()f x ()x ωϕ+取足够小的ω, 并选出正负号, 即可使下列不等式成立.()()n q p E ∆=∆=他们相互的正负交错偏离点组中点数2,2p q N n N n ≥+≥+. 我们设q p N N ≥, 并设()q x 的正负交错偏离点组为12q N βββ<<< (2-5)在这里我们考虑：()x η=()q x -()p x =[][]()()()()q x f x p x f x ---, 并考虑()x η于点(2-4)上的符号, 注意()j B η可能为零, 也可能不为零, 但若()0j B η≠, 则必有()(),()j j j sign B sign q B f B η⎡⎤=⎣⎦ (2-6)若1()0j B η-≠1()0,()0i k ik ηβηβ+++===≠ (2-7) 因为：[]111()(),()i i i sign B sign q B f B η---=, 且[]111()(),()i k i k i k sign B sign q B f B η++++++=, 而()q x -()f x 于12q N βββ<<<上正负交错变号, 即[]1111(1)()(),()i i i i sign B q B f B -----与[]1111(1)()(),()i k i k i k i k sign B q B f B ++++++++-同号, 即11(1)()i i B η---与11(1)()i k i k B η++++-同号. 从而有：1()i B η-与1(1)()k i k B η++-, (2-8)若K 为偶数, 则1()i B η-与1()i k B η++同号, 所以期间必有偶数的跟, 但是（2-6）中已有1k +（偶数）个根, 所以必定还有一个根, 及至少有2k +个根.总之, ()x η于[],a b 中根的个数11q N n ≥-≥+, 从而()0x η=, 与假设矛盾 定理证毕.2.3 Kolmogorov 最佳逼近定理1948年, Kolmogorov 给出了另一种形式的最佳逼近定理下面我们叙述与证明仅在实多项式中该定理的应用.定理2.4（Kolmogorov 定理） ()p x n p ∈是()f x [],c a b ∈在n p 中的最佳逼近多项式, 必须且只须对所有的()q x n p ∈均有[]{}0m a x ()()()0x A f x p x q x ∈-≥ (2-9) []{}0,()()A def x a b f x p x =∈-由(2-8)可得出关系式：[]()()()0f x p x q x -<, 不能对一切0x A ∈都成立. 即()()f x p x -与()q x 不能对一切0x A ∈都相反的符号.证明 假设()p x 是()f x 在n p 中的最佳逼近多项式, 如(2-8)不成立, 则有多项式()q x n p ∈存在, 使得对其某一0ε>, 有[]{}0max ()()()2x A f x p x q x ε∈-=-根据()f x 的连续性, 存在[],a b 的一个开子集G , 0A G ∈, 使对一切的x G ∈均有[]()()()f x p x q x -ε<-对于充分小的0λ>, 构造一个新的多项式1()()()p x p x q x λ=-. 若x G ∈, 则[]221()()()()()f x p x f x p x q x λ-=-+=2()()f x p x -[][]222()()()f x p x q x λλ+-+[]222()2p M λελ<∆-+ 其中max ()a x bM q x ≤≤=, 若取2M λε<, 则21()()f x p x -[]2(),p x G λε<∆-∈ (2-10)我们考虑到G 的余集是闭集[],H a b ⊂, 且()()f x p x -(),p x H <∆∈因此存在0∂>, 使得1()()()()()f x p x f x p x q x λ-≤-+1()2p ≤∆-∂+∂1()2p =∆-∂, x H ∈. (2-10)由(2-9)(2-10)可知, 对充分小的整数λ, 1()p x 比()p x 更好的逼近()f x , 从而(2-8)是必须的.继续证明(2-8)也是充分的, 假设(2-8)对任何()n q x p ∈, 皆成立. 于是对任意制定的1()n p x p ∈, 构造1()()()n q x p x p x p =-∈必存在点00x A ∈, 使得[]000()()()0f x p x q x -≥注意到点O A 的定义可知[][]222010000000()()()()2()()()()f x p x f x p x f x p x q x q x -=-+-+[]200()()f x p x ≥- []2()p =∆ 从而1()p ∆≥()p ∆, 证毕.第3章 多项式插值方法的研究插值法是函数逼近的重要方法之一, 有着广泛的应用, 在生产和实验中, 函()f x 或者其表达式不便于计算或者无表达式而只有函数在给点的函数值（或其导数值）, 此时我们希望建立一个简单的便于计算的()x ϕ, 使其近似的代替()f x , 有很多种的差值法, 其中以Lagrange （拉格朗日）插值和Newton （牛顿）插值为代表的多项式插值最有特点. 常用的还有Hermit 差值, 分段差值, 和样条差值. 在本章中我们主要介绍Lagrange 差值, Newton 差值, 与Hermit 差值[]12.3.1 Lagrange 差值公式设y =()f x 是实变量x 的点值函数, 且已知()f x 在给定的1n +各互异点01,,,nx x x 处得值01,,,n y y y 即(),0,,i i y f x i n ==差值的基本问题是, 寻求多项式()p x , 使得(),0,,i i p x y i n == (3-1) 设()p x 是一个m 次多项式()p x =2012m m a a x a x a x ++++, 0m a ≠则差值问题是, 如何确定()p x 中的系数01,,,m a a a , 使得(3-1)式满足, 所以该问题等价于求解下述的线性方程组20102000211121112012mm m m m mm m m na a x a x a x y a a x a x a x y a a x a x a x y ⎧++++=⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩ (3-2)上述的线性方程组的系数矩阵为200021112111m m m nnm x x x x x x A x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦他是一个()()11n m +⨯+的矩阵.当m A >时, A 的列数大于行数, 不难证明矩阵A 的秩数为1n +. 因为A 的前1n +列所组成的行列式为()2000211101211,,,1m mn n m nnmx x x x x x w x x x defx x x -=我们有：()01,,,n n w x x x -()j i j ix x >--∏ (3-3)为了证明(3-3), 我们考虑n 此多项式()01,,,n w x x x -=2002111211121111n nnn n n nx x x x x x x x x xx x ---显然01,,n x x -村委它的零点, 且它的n x 系数恰为()01,,,n w x x x -.()01,,,n w x x x -()()()0101,,n n w x x x x x x --=-- 可以得出下面的递进关系式()01,,,n n w x x x -()()()0101,,n n n n w x x x x x x --=--运用他便可证明(3-3)式.根据(3-3)并注意到诸01,,,n x x x 互异, 从而线性方程组(3-2)的系数矩阵的秩数1n +它表明(3-2)的解是不唯一的, 即差值问题(3-1)的解是不唯一的.当m n <时, 矩阵A 的行数大于列数, 按照(3-3)式, 线性方程组(3-2)的每1m +个程组成的方程组均有唯一一组解. 01,,,m a a a , 但是一般来说, 这样求出的各组01,,,m a a a 不一定相同, 即此时(1-2)可能是矛盾方程组.鉴于上述情况, 看来取m n =是最为适合的, 现在我们从提多项式插值问题：给定1n +个互异点, 01,,,n x x x 对任意组数01,,,n y y y , 是否尊在唯一的()()f x p x ∈, 使之满足下面差值条件.(),0,,i i p x y i n == (3-4)上述问题的答案是肯定的, 现在采用构造性方法把所要求的多项式()p x 求出来, 试想：如果可求出具有下面性质的特殊的差值多项式：(),(0,,)i n l x p i n ∈=0,,0,,()1,i j i i n l x j i ≠=⎧=⎨=⎩ (3-5)则多项式0()()ni i i p x y l x ==∑ (3-6)必满足(3-4)的多项式, 但(3-5)中上面的等式, 之处01,,,n x x x 中出i x 外, 均为()i l x 的零点, 因此()i l x 011()()()()i i n c x x x x x x x x -+=----, 其中c 为常数, 但(3-5)中的等式指出()()()()0111i i i i i i n c x x x x x x x x -+=----所以：()()()()()()()()011011()i i n i i i i i i i n x x x x x x x x l x x x x x x x x x -+-+---------记做0()()()n w x x x x x =--, 则()i l x 还可表示更加简单的形式：()i l x ()()()i w x x x w x ='-.总之n 次多项式:()()()()nii i w x p x y x x w x =='-∑ (3-7)满足差值条件(3-4).若()n q x p ∈也满足差值条件(3-4), 则()()()n x q x p x p η=-∆必以01,,,n x x x 为零点.即()0,0,,i x i n η==, 这样一来, n 次多项式()x η依然有1n +个不同的零点, 所以()()q x p x =, 所以有(3-7)表示的n 次多项式是n p 中满足差值条件的唯一多项式, 他被称作为Lagrange 差值多项式, 并记做0()()()()nn ii i w x L x y x x w x =='-∑ (3-8)按上面的推理可得Lagrange 差值多项式()n L x 也可看做是从下面的行列式方程中解出来的220000211112()11011n n nnnnnn nL x x xxy x x x y x x x y x x x = (3-9)由(3-1)所示的条件成为差值条件, 点组01,,,n x x x , 称为差值结点, 上面所得到的结果可以从集合上解释为, 有且仅有一条n 次代数曲线, 通过平面上事先给定的1n +个点(,),0,,i i x y i n =, 其中,()i j x x i j ≠=.Lagrange 差值公式(3-8)具有结构清晰, 紧凑的特点, 因此适合于工作理论分析和应用.3.2 Newton 插值公式3.2.1 差商的概念与性质Newton 插值公式的导数是非常不好记的, 因此有必要另寻方法来确定它们, 为此我们引进差商的概念, 并指出Newton 插值公式中的各导数01(,,,)n f x x x , 1,,i n =,即是()f x 的i 阶差商, 设已知不同的自变量01,,,n x x x 上的函数值()i f x , 1,,i n =, 我们称()()(,)i j i j i jf x f x f x x x x -=-, ()i j ≠为()f x 的一阶差商（或均差）, 一阶差商的一阶差商[]13()()(,,)i j j k i j k i kf x x f x x f x x x x x ---=-, ()i k ≠叫做()f x 的二阶差商, 一般来说我们称(1)n -阶差商的一阶差商10120110(,,)(,,)(,,)n n n n n n n f x x x f x x x f x x x x x -----=-为函数()f x 的n 阶差商.差商有以下几个性质1.若()(),F x cf x c =为常数, 则：1010(,,,)(,,,)n n n n F x x x cf x x x --=.2.若()()()F x f x g x =+, 则：101010(,,,)(,,,)(,,,)n n n n n n F x x x f x x x g x x x ---=+.3.若(),m f x x m =为自然数, 则：100,(,,,)1,n n in m f x x x n m x m n n m ->⎧⎪==⎨⎪-<⎩诸的次得齐次函数,4.差商10(,,,)n n f x x x -是01,,,n x x x 的堆成函数, 即当任意调换, 01,,,n x x x 的位置,差商的值均不变.5.差商可以表示成两行列式之商注：规定, 当0n =, 时0()1n i j l l i x x =≠⎧⎫-=⎨⎬⎩⎭∑1010111111101010101111111(,,,)()()()nnn n n n n n n nn n nn n nx x x x x x f x x x x x x x x x f x f x f x x x x ------=∙性质1和性质2由定义可以直接退出, 接下来我们证明性质3m x 的一阶差商可根据定义直接计算出来1210101210(,)m mm m m x x f x x x x x x x ---∂∂-==+++- 上面的式子是10,x x 的1m -次齐次函数.相继作出各阶差商并依照完全归纳法, 可证的下列公式011001(,,,)nn n nf x x x x x x γγγ-=∑ 10n n m n γγγ-+++=-上面的式子求和运算所有可能出现的形式如：11n n nn n nx x x γγγ--的10,,,n n x x x -的m n -次齐次项, 这样性质3的证.接下来证明性质4, 作出想继续的各阶差商之后, 我们不难看出他们是由形如0,()/()ni ijl l if x x x =≠-∏的(1)n +个项的和表示出来的. 由完全归纳法可求出：01(,,,)n f x x x 可由(2-1)式中的右端表出, 使用前面的记号, 01()()()()n w x x x x x x x =---, 也可将它写成010()(,,,)()ni n i i f x f x x x w x =='∑如此便证明了性质4.最后用完全归纳法同样可以证明性质5.由性质4得知Newton 插值公式(2-2)中的系数001(),(,)f x f x x 01(,,,)n f x x x 恰标出.因此当已知(),(0,1,,)i i y f x i n ==, 时利用差商表可以很容易算出()f x 的各阶差商值,而不必去刻意的记忆公式(2-1).因为在(1)n +个不同点01,,,n x x x 上取给定值的次数不超过n 的多项式使唯一的,所以次数相同的Newton 差值多项式与Lagrange 差值多项式使恒等的, 他们的差异仅仅是书写形式不同. 但是这差异却为计算实践带来了很大的方便. 实际上, 对于Newton 差值公式来说, 当需要增加一个差值结点时, 只需在原插值多项式的后面在添加一个新项就可以了.3.2.2 Newton 插值公式的导出Lagrange 插值公式的却是在于, 当差值结点的个数有所变动时, Lagrange 因子()(0,1,,)i l x i n =就要随之发生变化, 从而整个公式的结构也要发生变化, 这在计算实践中是不方便的, 为了克服这个缺点, 在这一节中我们引进了Newton 形势的差值公式.虽然1n +个结点01,,,n x x x 上的n 次Lagrange 差值多项式也可以写成下列形式010011()()()()()n n n p x a a x x a x x x x x x -=+-++--- (3-10)下面我们确定上式的01,,,n a a a . 令1()n p x -表示n 个结点011,,,n x x x -上的(1)n -次Lagrange 差值多项式. 因为：1()(),(0,,1)n i n i i p x p x y i n -===-, 所以：1011()()()()()n n n p x p x c x x x x x x ---=---,c 为常数. 由条件()n n p x y =可以得出1011()()()()n n n n n n n y p x c x x x x x x ---=---又因为：110()()n n n i i n i p x y l x --==∑, 所以有011011()()()()()()()nin n n n i i i i i i n y y c x x x x x x x x x x x x x x --+=+-------∑100,()n ni i j i l l i y x x -==≠⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭∑∏引进记号10100,(,,,)()n nn i i l i l l i f x x x c y x x -==≠⎧⎫==-⎨⎬⎩⎭∑∏得()n p x 与1()n p x -之间的关系101011()()(,,)()()()n n n n p x p x f x x x x x x x x x --=+---同理得:12011012()()(,,)()()()n n n n p x p x f x x x x x x x x x ----=+---一直写下去, 最后得到001001011()()(,)()(,,)()()()n n n p x f x f x x x x f x x x x x x x x x -=+-++--- (3-11)公式(3-11)就是Newton 型差值公式, 系数00101(),(,)(,,,)n f x f x x f x x x 由(3-11)式来确定.3.3 Hermite 插值公式为了理论和应用上的需求, 我们在这里介绍一类具有重结点的多项式差值方法, 即Hermite 差值方法, 因为此类差值问题要求点处满足相应的导数条件, 所以也被称为切触差值.设 12s x x x <<< (3-12)()1(0,,,1,,)h k k y h a k s -==为事先指定的实数, 其中1,,s a a 为正整数121,1(1,,)s k a a a n a k s +++=+≥= (3-13)现构造一个n 次多项式()n p x p ∈, 使之满足差值条件()()1()(0,,;1,,)h h k k k p x y h a k s -=== (3-14) 为解决(3-14), 最直接的办法就是采用代定系数法, 或者求解由(3-3)所确定的线性方程组.此处我们采用构造基本多项式的办法来解决Hermite 差值问题(3-3), 构造一批n 次多项式()1,,,0,,1ik i j i L x l s k a ==-使之满足()()0,(;0.1)h ik m m L x m i h a =≠=- (3-15)和()0,()(0,1)1,h ik i k h k L x h a h k≠⎧==-⎨=⎩ (3-16)显然, 只要上述问题解决, 则n 次多项式()10()()sa s h i ih i h p x y L x ===∑∑(3-17)就必满足差值条件(3-14).以下集中来构成()k L x , 由(3-15)和(3-16)可知111111()()()()()()()i i a a a k as ik i i i s ik L x x x x x x x x x x x l x -+-+=--⋅-⋅--其中1i ik a k l p --∈是满足1i k a --次多项式. 若令11()()()s a a s w x x x x x =--则上式了缩写成()()()()ik ik i i kw x L x l x x x a -=- (3-18)为确定()ik L x 还需要利用条件(3.5)和Taylor 展开式可得()ik L x ()1()!()i a k i i i x x a x x k w x δ--'=⋅+-+ (3-19)其中δ和2δ为确定的常数, ()ik L x ∈1i k a p --所以必定是函数()1!()i i x x a k w x -⋅于i x x =处Taylor 展开的前i k a -项和, 若把这i k a -项和记为()ik L x 1()()1!()i k i a i i x x x a k w x --⎧⎫-=⎨⎬⎩⎭ 则(3-18)式, 有()ik L x =1()()()()()()!()i k i a i i i i i x x x k x x a w x x x a k w x --⎧⎫--=⎨⎬-⎩⎭从而有11()22110()()()()()()!()i k i i a a si i k i x x x n x x k w x p x y x x k w x ---==⎡⎤⎧⎫--=⎢⎥⎨⎬-⎢⎥⎩⎭⎣⎦∑∑ (3-20) 若于(3-14)中取()()1(),(0,,),(1,,)h h k k c y fx h a k s -===, 则相应的Hermite差值多项式为11()()210()()()()()()()!()i k i ii a a sk i i ia i k i x x x a x x k w x p x f x x x k w x ---==⎡⎤⎧⎫--=⎢⎥⎨⎬-⎢⎥⎩⎭⎣⎦∑∑ (3-21) 例 3.1 设121a a q ξ====, 则差值问题(3-3)就是通常多项式差值问题, 此时, 按定义有1()()1()()i i ix x x w x w x ⎧⎫-=⎨⎬'⎩⎭其中()()()i s w x x x x x =--相应的Hermite 差值多项式恰为一般Lagrange 差值多项式.1()()()()()si i i i w x p x f x x x w x =='-∑ 例 3.2 设仅有一个a 重的结点x a =, 则()()n w x x a =-, 而相应的Hermite 差值多项式恰为()f x 于x a =点, x a =点附近Taylor 展开式的部分和.1()()()()!k n k k k a p x fa k -=-∑ 例 3.3 设122s a a q ====, 则相应的Hermite 差值问题为求21n s =-次多项式.()p x 使之满足()()i i p x f x = (1,,)i s = ()()i i p x f x ''= (3-22)这个H e r m i t e 差值问题的集合意义在于使得曲线()y p x =不仅通过给定的点(,())(1,,i i x f x s , 而且在,(1,,)i x x x s ==处与曲线()y f x =有相同的切线.为推导相应的Hermite 插值公式, 记1()()()s x x x x x δ=--则[]2()()w x x δ=, 222()()()i x x x x w x x δ⎡⎤--=⎢⎥⎣⎦又因为[][]222()1()()()()i i i i i x x x x x x x x δδδδ''⎡⎤-=--+⎢⎥''⎣⎦[]2()()11()()()2()i i i i x x x x x w x x x δδδ''-=--+'故由(3-21)式, 有21()()()()()(1()()()()()()si i i i i i m i i x x p x f x x x f x x x x x x x δδδδ=⎡⎤'''=⨯--+-⎢⎥''-⎣⎦∑特别的，当2s =, 且12a a =时, 相应插值公式为下面的3次多项式2121212()()(12)()i x x x x p x f x x x x x --=--- 2221112122121()()()()(12)()x x x x x x f x x x f x x x x x x x ---'=-+---- 12221()()()x x f x x x x x -'+-- (3-23) 这是一个非常重要的Hermite 差值多项式, 他所刻画的曲线()y p x =是这样一条曲线其在区间[]12,x x 两个端点处, 不仅通过曲线()y p x =上的点11(,())x f x 与22(,())x f x , 而且与()y p x =有相同的切线.结论本文主要论述了Weierstrass逼近定理,一致逼近定理,以及几种常用的插值的性质、特征和证明. 并总结出其在函数逼近中的应用.Weierstrass逼近定理是函数逼近论中的重要结论之一, Weierstrass逼近定理是关于实变函数逼近定理, 第一章介绍了Weierstrass逼近定理的研究介绍以及推广Stone定理. Weierstrass逼近定理本身包含两个结论：Weierstrass第一逼近定理和Weierstrass第二逼近定理. 他们是互相独立的, 但又有关系的. 这两个定理都是1885年由Weierstrass 所得到的. Weierstrass-Stone是Weierstrass定理在抽象空间的推广[]15.函数逼近论不外乎研究下面三个问题：第一, 给定一个函数)(xf, 能否用更为简单的函数列近似逼近？第二, 如果能近似逼近？精确度又如何？第三. 逼近的结果是否最佳？在第一章中我们队第一、二两个问题给出了回答, 在第二章中我们研究了第三个问题—最佳逼近理论, 给出了最佳逼近的研究与证明, 以及最佳逼近多项式的性质与应用.插值法是函数逼近的重要方法之一, 在函数逼近中有着广泛的应用, 在一般插值问题中, 若选取φ为n次多项式类, 由插值条件可以唯一确定一个n次插值多项式满足上述条件. 从几何上看可以理解为：已知平面上1n个不同点, 要寻找一条n次多项式+曲线通过这些点. 插值多项式一般有两种常见的表达形式, 一个是拉格朗日插值多项式, 另一个是牛顿插值多项式. 在第三章中, 我们主要研究了Lagrange插值多项式, 牛顿插值多项式, 以及Hermite插值[]16.由于所学知识有限, 本文只在粗浅的层面上描述了做出了简单的研究, 矩函数逼近的根源还有待于深入研究, 我会在今后的学习工作中继续关注函数逼近的研究和发展.参考文献[1] 陈传璋, 金福临. 数学分析[M]. 上海: 上海科学技术出版社, 1962[2] 阎庆旭, 陈北斗, 刘慧芳.Weierstrass逼近定理的应用[J].数学实践与认识, 2004.[3] 周民强.实变函数[M].北京：北京大学出版社, 2001.[4] 聂铁军.计算方法[M].国防工业出版社,1982.[5] 张可村,赵英良.数值计算的算法与分析[M].北京:科学出版社2003.[6] 黄志远.随机分析学基础[M], 北京：科学出版社, 2001[7] 龙熙华.数值分析[M].西安：陕西科学技术出版社, 2005[8] 王仁宏.数值逼近[M].北京:高等教育出版社, 1999.[9]陈传璋, 金福临. 数学分析[M]. 上海: 上海科学技术出版社, 1962[10] 文世鹏, 张明.应用数值分析[M].北京:石油工业出版社, 2005.[11] W.Da.hmen, C.A.Micchelli. Recent, eprogress in multivariate splies, interpolat-ingcardinal splines as their degree rends to infinity, IsraelJ.Whrd(des.), AedaeePress, 1983, 27-29.[12] O.Davydov. On almost interpolation, J.Approx, Theory 91 1997,398-412.[13] O.VSeleznjev. Spline approximation of random processes and design problems, J. Statist.Plann Inference 84(2000), 249-252.[14] H.B.Curry, I.J.schoenberg. OnP6lya frequency functins, VI:The fundamental splinefunctions and their limits, J.analysis Math.171966, 71-75.[15] P.Sablonniere. A Family of Bernstein quasi-interpolants on[]1,0, Apprxo.Theory & itsAppl.(8)3(1992), 62-63[16] R.H.Wang. Multivariate spline and algebraic geometry, put.Appl.Math., 121(2000),153-155.。

第六章 函数逼近与函数插值本章介绍函数逼近与插值的有关理论和算法. 函数逼近问题与插值问题两者既有联系又有区别，它们都是用较简单的函数来近似未知的、或表达式较复杂的函数. 一般来说，函数逼近是要在整个区间、或一系列离散点上整体逼近被近似函数，而在进行插值时，则须保证在若干自变量点上的函数值与被近似函数相等.6.1 函数逼近的基本概念进行函数逼近一般是在较简单的函数类Φ中找一个函数p(x)来近似给定的函数f(x)，以使得在某种度量意义下误差函数p (x )−f(x)最小. 被逼近函数f(x)可能是较复杂的连续函数，也可能是只在一些离散点上定义的表格函数，而函数类Φ可以是多项式、分段多项式、三角函数、有理函数，等等. 函数逼近问题中度量误差的手段主要是函数空间的范数，下面先介绍函数空间的范数、内积等有关概念，然后讨论函数逼近问题的不同类型.6.1.1 函数空间线性空间的概念大家都很熟悉，其定义中包括一个元素集合和一个数域，以及满足一定运算规则的“加法”和“数乘”运算. 简单说，若这个元素集合对于“加法”和“数乘”运算封闭，则为一线性空间. 线性空间的元素之间存在线性相关和线性无关两种关系，进而又有空间的基和维数的概念.在这里我们先考虑连续函数形成的线性空间. 例如C [a,b ]按函数加法、以及函数与实数乘法，构成一个线性空间. 对于[a,b]区间上所有k 阶导数连续的函数全体C k [a,b ]，也类似地构成一个线性空间. 我们一般讨论实数函数，因此对应的是实数域ℝ，若讨论复数函数，则相应的是复数域ℂ. 另外，与线性代数中讨论的向量空间ℝn 不同，连续函数空间是无限维的.对线性空间可以定义范数的概念（见3.1.2节）. 针对实连续函数空间C [a,b ]，与向量空间类似，可定义如下三种函数的范数(function norm)：1) ∞-范数 设f (x )∈C [a,b ]，则‖f (x )‖∞=max x∈[a,b ]|f (x )| .其几何意义如图6-1所示，即函数值绝对值的最大值.2) 1-范数‖f (x )‖1=∫|f (x )|dx b a .其几何意义如图6-2所示，即函数曲线与横轴之间的面积总和.3) 2-范数‖f (x )‖2=[∫f 2(x )dx b a ]1/2. 2-范数也常称为平方范数，其几何意义与1-范数类似. 线性空间还有一个重要概念是内积，它定义了空间中两个元素的一种运算. 下面给出一般的复数域上线性空间内积的定义.定义6.1：设S为实数域ℝ上的线性空间，∀u,v∈S，定义值域为ℝ的二元运算〈u,v〉，若满足1)〈u,v〉=〈v,u〉, (可交换性)2)〈αu,v〉=α〈u,v〉, ∀α∈ℂ(线性性1)3)〈u+v,w〉=〈u,w〉+〈v,w〉, ∀w∈S(线性性2)4)〈u,u〉≥0，当且仅当u=O时①，〈u,u〉=0, (非负性)则称〈u,v〉为一种实内积运算(inner product). 定义了内积的线性空间称为实内积空间.应说明的是，将定义6.1加以扩展可在更一般的实数域ℂ上定义内积，区别只是将第1条性质改为共轭可交换性：〈u,v〉=〈v,u〉 .例如复向量的内积为: 〈u,v〉=u T v̅，可以验证它满足上述共轭可交换性. 下面只考虑实内积，但得到的结果都可以类似地推广到复内积空间. 另外，定义6.1的条件2还说明零元素与任意元素的内积均等于0.根据内积的线性性可推出：〈α1u1+α2u2,v〉=α1〈u1,v〉+α2〈u2,v〉,∀α1,α2∈ℂ,(6.1) 更一般地有：〈∑αj u j nj=1,v〉=∑αj〈u j,v〉nj=1,∀α1,⋯,αn∈ℂ.(6.2)这里主要考虑函数空间，则(6.2)式表明，线性组合函数(与另一函数作)内积等于(相应各个函数)内积的线性组合.可以规定一种依赖于内积运算的范数：‖u‖≡√〈u,u〉 .易知这种内积导出的范数满足范数定义的三个条件（见3.1.2节），详细证明过程留给读者思考. 应注意，在向量空间中，由内积导出的范数等同于向量的2-范数. 在实函数空间C[a,b]中，一般定义内积为〈u(x),v(x)〉=∫u(x)v(x)dxba,(6.3) 因此，由它导出的范数也等同于函数空间的2-范数.下面介绍与内积有关的两个重要定理.定理6.1：设S为实内积空间，∀u,v∈S，有：|〈u,v〉|2≤〈u,u〉∙〈v,v〉 .(6.4) 这是著名的柯西-施瓦茨不等式(Cauchy-Schwarz inequality).定理6.1的证明留给读者思考，若u,v为三维向量，也请思考该定理有什么几何含义？定理6.2：设S为实内积空间，u1,…,u n∈S，则格莱姆矩阵（Gram matrix）G=[〈u1,u1〉〈u2,u1〉⋯〈u n,u1〉〈u1,u2〉〈u2,u2〉⋯〈u n,u2〉⋮⋮⋱⋮〈u1,u n〉〈u2,u n〉⋯〈u n,u n〉](6.5)非奇异的充要条件是u1,…,u n线性无关.[证明] 首先要用到线性代数中的一个基本结论：矩阵G非奇异⟺det(G)≠0⟺齐次线性方程组Ga=0只有全零解.设向量a=[a1,…,a n]T，则方程Ga=0可写成：①这里用正体的字母O表示线性空间的零元素.∑a j 〈u j ,u k 〉nj=1=0,k =1,2,⋯,n (6.6)下面证明方程组(6.6)只有恒零解的充分必要条件是u 1,…,u n 线性无关. 先证必要性，即已知方程组(6.6)只有恒零解，要证u 1,…,u n 线性无关. 采用反证法，若u 1,…,u n 线性相关，即存在不全为0的一组系数{αj ,j =1,⋯,n}使∑αj u j n j=1=O ，则∑αj 〈u j ,u k 〉n j=1=〈∑αj u j nj=1,u k 〉=〈O,u k 〉=0,(k =1,…,n ),即这组{αj }是方程组(6.6)的解，与已知条件矛盾！再证明充分性，即已知u 1,…,u n 线性无关，要证方程组(6.6)只有全零解. 仍采用反证法，若方程组(6.6)存在不全为零的一组解{αj }，则∑αj 〈u j ,u k 〉n j=1=〈∑αj u j nj=1,u k 〉=0,k =1,…,n将上述方程中第k 个方程乘以αk ，累加所有方程得到，〈∑αj u j n j=1,∑αj u j nj=1〉=0 ,根据内积的定义，必有∑αj u j n j=1=O , 也就是说存在不全为0的一组{αj }j=1n 使∑αj u j n j=1=O ，这与u 1,…,u n 线性无关的已知条件矛盾！综上所述，完成了定理的证明.应注意，格莱姆矩阵是实对称矩阵，并且当u 1,…,u n 线性无关时，它是对称正定矩阵. 针对实函数空间C[a, b]，常常有权函数、加权内积的概念.定义6.2：若函数ρ(x )≥0,∀x ∈[a,b]，且满足1) ∫x k ρ(x )dx ba 存在，(k =0,1,…),2) 对非负连续函数g (x )，若∫g (x )ρ(x )dx =0b a 可推出g (x )≡0,则称ρ(x)为区间[a,b]上的权函数(weight function).关于权函数的定义，说明几点：● 定义中对连续性没有要求，即ρ(x )可能不是连续函数；第1个条件要求的是ρ(x )与多项式乘积为可积函数.● 定义中第2条件的意义不是很直观，较直观的一种等价形式为：不存在子区间(c,d )⊆[a,b]，使ρ(x )=0,∀x ∈(c,d )，即“权函数在[a,b]中任一子区间不恒为零”. ● 一般遇到的C [a,b ]中非负函数（一定有界、可积），若不在某一子区间恒为零，则都可作权函数.定义6.3：若ρ(x )为区间[a,b]上的权函数，则可定义C [a,b ]上的内积为：〈u (x ),v (x )〉=∫ρ(x )u (x )v (x )dx b a ,(6.7)并称其为加权内积(weighted inner product).容易验证加权内积满足一般内积的定义，并且常用的函数内积(6.3)式是加权内积的特例，其对应于权函数ρ(x )≡1的情况. 根据加权内积，也可以导出范数，这种范数可看成是广义的2-范数，其公式为：‖f(x)‖=[∫ρ(x )f 2(x )dx b a ]12⁄ .6.1.2 函数逼近的不同类型在函数逼近问题中，用简单函数p(x)来近似f(x)，并要求误差最小. 这里度量误差大小的标准是范数，采用不同范数时其问题的性质是不同的. 下面分两种情况作些讨论.1) ∞-范数考虑误差函数p (x )−f (x )的∞-范数，假设函数的定义域为[a, b]，则可设ε=‖p (x )−f (x )‖∞=max x∈[a,b ]|p (x )−f (x )| , 因此有−ε≤p (x )−f (x )≤ε,∀x ∈[a,b ]，即p (x )−ε≤f (x )≤p (x )+ε, ∀x ∈[a,b ]图6-3显示了函数p (x ),f (x ), 以及‖p (x )−f (x )‖∞之间的关系，从中可以看出，在∞-范数意义下的逼近要求使ε尽量小，也就是要p (x )在整个区间上“一致地”接近f (x ). 因此，采用∞-范数的函数逼近问题常称为最佳一致逼近.2) 1-范数和2-范数先看看误差函数p (x )−f (x )的1-范数，‖p (x )−f (x )‖1=∫|p (x )−f (x )|dx ba令A =‖p (x )−f (x )‖1，则它表示p (x )和f (x )两个函数曲线之间的面积（如图6-4所示）. 在1-范数意义下的逼近，要求使A 尽量小，也就是要p (x )与f (x )曲线之间的总面积尽量小，反映出这种逼近有整个区间上“平均”误差尽量小的含义（在某个子区间上误差可能很大）.2-范数的意义与1-范数大体上类似，由于它更容易处理，在实际的逼近问题中一般采用图6-3 函数p (x ),f (x ), 以及‖p (x )−f (x )‖∞之间的关系.图6-4 函数p (x ),f (x ), 以及‖p (x )−f (x )‖1之间的关系.2-范数. 这种逼近称为最佳平方逼近或最小二乘逼近(least squares fitting).从直观上看，采用∞-范数的最佳一致逼近效果更好一些，而最佳平方逼近具有平均误差最小的含义.除了度量误差函数可采用不同的范数，被逼近函数也可分为连续函数和表格函数两种情况. 表格函数就是仅在一系列离散自变量点上已知函数值的函数，可通过函数值组成的向量来刻画，有关逼近问题的求解有特殊的处理方法. 而在逼近函数类方面，多项式函数是最常用的一种. 下面给出魏尔斯特拉斯定理（Weierstrass Theorem ），它是用多项式函数进行逼近的一个重要依据.定理6.3：设f (x )∈C[a,b]，则对任何ϵ>0，总存在一个多项式P (x )，使‖P (x )−f (x )‖∞<ϵ在[a, b]上一致成立.该定理的证明已超出了本书的要求，因此不做讨论. 值得一提的是，若f (x )∈C[0,1]，伯恩斯坦多项式(Bernstein polynomial)②B n (f,x )=∑f (k )Q k (x )nk=0 , 其中Q k (x )=(n k)x k (1−x )n−k , 就是满足定理要求的多项式P (x ). 注意B n (f,x )为n 次多项式，并且可以证明，lim n→∞B n (f,x )=f(x)在[0, 1]上一致成立. 因此，C[0,1]中的任意函数都可以用伯恩斯坦多项式（一致）逼近到任意好的程度. 应注意，它一般不是多项式函数类ℙn 中的最佳一致逼近.最后说明一点，求最佳一致逼近多项式的方法比较复杂，感兴趣的读者请参考[4, 9]. 本章后面主要介绍求最佳平方逼近的方法，它有很广泛的应用.6.2 连续函数的最佳平方逼近为了记号的方便，在6.2节和6.3节的介绍中记函数的自变量为t.6.2.1 一般的法方程方法一. 问题描述假设对f (t )∈C [a,b ]进行函数逼近，逼近函数类Φ应是形式简单的函数类，比如多项式函数、三角函数、有理函数，等等，并且它是有限维的线性子空间. 设Φ=span {φ1(t ),…,φn (t )}，则Φ的任一元素可表示为：S (t )=Σj=1n x j φj (t ), (6.8)其中x 1,…,x n ∈ℝ.连续函数的最佳平方逼近问题就是求S (t )∈Φ，使 ‖S (t )−f (t )‖2达到最小值. 利用公式(6.8)以及2-范数的定义，上述问题等价于最小化F =‖S (t )−f (t )‖22=∫[Σj=1n x j φj (t )−f (t )]2dt b a .(6.9)F 是关于实系数x 1,x 2,…,x n 的多元函数，需求出F 的最小值对应的那组系数x 1,x 2,…,x n .二. 法方程方法下面推导如何求(6.9)式的最小值点. 为了记号简便，省略函数记号中的“(t )”，即直接② 由原苏联数学家伯恩斯坦（1880—1968）于1912年提出.f ̃=f (3)=f (2)−2v 2T f (2)v 2T v 2v 2=[ −4.2061330.399807−0.004750130.0009512830.00195269], 此时矩阵A 经变换为： R =A (3)=[ −2.236068−3.35410200.790569000000] . 根据算法6.3，需求解方程R 1x =b ，其中R 1=[−2.236068−3.35410200.790569],b =[−4.2061330.399807]. 解得：x =[1.12250.5057]T ，即拟合公式为y ̃=1.1225+0.5057t ，它与例6.6, 6.7得到的结果是一样的.根据表格函数与其函数值向量的对应关系可证明，算法6.3与通过Gram-Schmidt 正交化过程求最佳逼近函数的方法在数学上是等价的. 不同之处在于：前者不涉及正交函数族，直接得到原基函数对应的拟合系数；前者的主要计算是矩阵的QR 分解，它可通过Householder 变换或Givens 旋转变换等不同方法实现. 由于算法6.3直接利用矩阵的QR 分解的特点，它更易于实现和应用，而且稳定性比算法6.2好. 最后说明一点，若初始的表格函数φ1(t ),…,φn (t )线性相关，矩阵A 不是列满秩的，QR 分解也能进行，但得到的上三角阵R 1奇异. 可以证明，这种情况下有无穷多个最小二乘解，详细的讨论请参考[6].一. 问题背景1945年7月16日，美国科学家在新墨西哥州Los Alamos沙漠试爆了世界上第一颗原子弹，这一事件令全球震惊. 但在当时有关原子弹爆炸的任何资料都是保密的，而很多其他国家的科学家非常想知道这次爆炸的威力有多大.两年之后，美国政府首次公开了这次爆炸的录像带，而其他数据和资料仍然不被外界所知. 英国物理学家G. I. Taylor(1886 ~ 1975)通过研究原子弹爆炸的录像带，建立数学模型对爆炸所释放出的能量进行了估计，得到估计值与若干年后正式公布的爆炸能量21 kt 相当接近(1 kt 为1千吨TNT 炸药的爆炸能量). Taylor 是如何根据爆炸录像估计的呢？主要是通过测量爆炸形成的“蘑菇云”半径来进行估计的（如图(A)）. 因为爆炸产生的冲击波从中心点向外传播，爆炸的能量越大，在相同时间内冲击波传播得越远、蘑菇云的半径就越大. Taylor 通过图(A) 原子弹爆炸的蘑菇云.*t 的单位为ms, r 的单位为m.然后通过量纲分析法建立了蘑菇云半径r 与时间t 和爆炸能量E 的关系式，利用上述数据最后求出了爆炸的能量.二. 数学模型考虑到原子弹爆炸在极短的时间内释放出巨大的能量，蘑菇云半径r 主要与时间t 、爆炸能量E 、以及空气密度ρ等几个参数有关. 通过仔细分析这几个量的单位，采用量纲分析法得到如下的蘑菇云半径的近似表达式：r =(t 2E )15. 其中r , t , E 的单位分别为米(m), 秒(s)和焦耳，而空气密度ρ的值为1.25 (kg m 3⁄). 对这次原子弹爆炸来说，E 为一固定值，因此r 与t 2成正比. 图(B)是根据蘑菇云半径与对应时刻的数据画出的散点图，它大体反映了这个趋势. 接下来的问题是如何求未知的参数E .三. 求解过程首先，改写蘑菇云半径的公式为r =at b 的形式，通过测量数据拟合出参数a 和b ，来验证量纲分析法得到的公式. 要作线性最小二乘拟合，进一步改写公式为：lnr =lna +blnt . 根据测量数据我们得到lnr 和lnt 的数据，将它们的函数关系拟合为1次多项式，得到系数b =0.4094，其值与前面分析的结果2/5非常接近，从而验证了量纲分析得到的公式.为了更为准确地计算爆炸能量E ，将蘑菇云半径公式改写为：5lnr −2lnt =ln (E ) . 此时可根据测量数据得到5lnr −2lnt 对应的一组数据，将它拟合为0次多项式（常数），设得到拟合系数为c ，则E ≈ρ∙e c .根据此方法算出E ≈8.6418×1013，单位为焦耳，查表得知1kt=4.184×1012焦耳，因此爆炸能量约等于20.65 kt.6.4函数插值与拉格朗日插值法函数插值可看作一种“特殊”的函数逼近问题，其逼近采用的“度量”准则是要求在插值节点处误差函数的值为0. 本节先介绍关于插值(interpolation)的一些基本概念，然后讨论最简单的一种多项式插值——拉格朗日插值法.图(B) 蘑菇云半径与对应时刻的数据 rt个节点：x 0<x 1<⋯<x n 进行插值，只需将B −k k (x ),B −k+1k (x ),⋯,B n−1k (x )这n+k 个k 次B-样条函数进行组合. 可以证明，它们在区间[x 0,x n ]上的部分组成n+k 个线性无关的基函数. 因此，对于满足额外边界条件的[x 0,x n ]上的k 次样条函数，可唯一地用这些基函数的线性组合表示. 感兴趣地读者可以推导B i 3(x )的表达式，然后利用插值条件和边界条件列方程求这些基函数对应的系数，进而推导出三次样条插值函数的表达式. 这个计算过程将与上一小节的方法得到相同的结果.利用B-样条基函数，可得到确定和计算各阶样条插值的有效而稳定的方法. 此外，它在计算机图形学、几何建模，以及数值求解微分方程等领域都有广泛的应用.评述关于多项式逼近和插值问题的研究历史悠久，应用面也很广. 本章只讨论了一元函数的最佳平方逼近，更多的相关内容，包括多元函数的逼近、正交多项式等，可参考下述文献：● P . J. Davis, Interpolation and Approximation , Dover, 1975.● W. Cheney, Introduction to Approximation Theory , AMS Chelsea Publishing, 2nd edition,1998.● G. A. Baker, and P . R. Graves-Morris, Pade Approximations , Cambridge University Press,2nd edition, 1996.● W. Gautschi, “Orthogonal polynomials: Applications and computation,” Acta Numerica ,Vol. 5, pp. 45-119, 1996.最佳平方逼近的法方程方法在1795年由高斯提出. 格莱姆－斯密特正交化方法在1883年由格莱姆提出，1907年斯密特给出了现代算法. 在求解最小二乘问题中使用QR 分解方法，特别是使用Householder 变换的方法是在1965年由G. Golub ⑥提出的. 最小二乘方法是统计学的重要工具，也称为回归分析，很多常用的数据处理软件（比如微软公司的Excel 软件）都具有这个功能. 本章讨论的线性最小二乘问题实际上是一种最简化的形式，即假设待逼近函数是基函数的线性组合. 在实际应用中还常遇到非线性最小二乘问题，它属于非线性优化问题，见参考文献[6]及其中给出的更多文献. 另外，若考虑所有参量都带有随机误差的情形，则成为完全最小二乘问题，有关详细讨论见文献：● S. Van Huffel and J. Vandewalle, The Total Least Squares Problem , SIAM Press, 1991. 本章也没有讨论拟合的基函数可能线性相关的情况，这在实际中可能由于拟合模型的不合理或数值误差造成，它使得矩阵A 列不满秩. 此时最佳平方逼近解不唯一，要得到实际有用的一个逼近解，需采用列重排的QR 分解等技术，更多讨论参见文献[6]及其他文献.多项式插值问题历史非常悠久，牛顿、拉格朗日等都在这方法做出了很多贡献. 除了将函数值作为条件的插值问题，插值条件中包括各阶导数值的情况也常见于各种工程应用中. 目前，常用的文档编辑软件都已使用保形分段插值来绘制曲线，例如微软公司的Word 和Power Point 软件. 样条函数是1946年由Schoenberg 首先提出的，本章只讨论了一维数据的样条插值和B-样条函数，实际问题中还有高维的插值问题，尤其在计算机图形学中二维B-样条是一个重要的工具. 关于样条的参考文献主要有：● C. de Boor, A Practical Guide to Splines , Springer-Verlag, 2nd edition, 1984.● E. V. Shikin and A. I. Plis, Handbook on Splines for the User , CRC Press, 1995.最后，列表说明Matlab 中与本章讨论的函数逼近与插值有关的命令和功能.⑥ Gene H. Golub (1932-2007), 美国斯坦福大学计算机系教授，美国科学院、工程院、艺术与科学院三院院士，著名的数值计算专家，1996年出版的著作”Matrix Computations ” [21]被奉为矩阵计算领域的经典.线拟合与样条插值的功能.[本章知识点]: 连续函数的范数；内积及其性质；内积空间的格莱姆矩阵、及其非奇异的充要条件；权函数与加权内积；最佳一致逼近与最佳平方逼近的概念；法方程方法求连续函数的最佳平方逼近；最佳平方逼近的误差；正交函数族与Gram-Schimdit正交化过程；勒让德多项式；用正交函数族作最佳平方逼近；曲线拟合的线性最小二乘问题；线性最小二乘问题的矩阵描述；法方程方法解线性最小二乘问题；表格函数的线性无关性与相关性；利用矩阵的QR分解解线性最小二乘问题；插值的基本概念；范德蒙矩阵与多项式插值的存在唯一性；拉格朗日插值公式；拉格朗日插值余项公式；牛顿插值公式；差商的计算；牛顿插值余项公式；高次多项式插值的问题；分段线性插值；埃尔米特插值；分段三次埃尔米特插值；保形分段插值；三次样条插值及边界条件；三次样条插值的构造方法；三弯矩方程；几种插值的比较；B-样条函数的基本概念与性质.算法背后的历史：拉格朗日与插值法约瑟夫·路易斯·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange，1736年1月25日—1813年4月10日）是法国数学家、物理学家. 他在数学、力学和天文学三个领域中都有巨大的贡献，其中尤以数学方面的成就最为突出. 拉格朗日与同时代的勒让德（Legendre）、拉普拉斯（Laplace）并称为法国的3L.拉格朗日于1736年生于意大利西北部的都灵. 17岁时，开始专攻当时迅速发展的数学分析. 1756年，受欧拉的举荐，拉格朗日被任命为普鲁士科学院通讯院士. 1766年赴柏林任普鲁士科学院数学部主任，居住柏林达20年之久，这是他一生科学研究的鼎盛时期. 在此期间，他完成了著作《分析力学》. 1786年加入了巴黎科学院成立的研究法国度量衡统一问题的委员会，并出任法国米制委员会主任. 1795年建立了法国最高学术机构——法兰西研究院后，拉格朗。

Weierstrass逼近定理的一个证明方法
梁翠萍
【期刊名称】《殷都学刊》
【年(卷),期】1993(000)003
【总页数】2页(P52-53)
【作 者】梁翠萍
【作者单位】无
【正文语种】中 文
【中图分类】O174.41
【相关文献】
1.关于Gauss-Weierstrass算子线性组合Lp-同时逼近的一个相关定理 [J], 张海
芳;费秀海
2.Weierstrass逼近定理与Ascoli定理的推广 [J], 朱金才
3.Weierstrass逼近定理在回归分析建模中的应用 [J], 于霄;李崭;;
4.weierstrass多项式逼近定理的一个应用 [J], 李景廉
5.Weierstrass逼近定理的一个应用 [J], 艾斯卡尔·阿布力米提

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中值定理的证明及应用中值定理是微积分学中的重要定理之一，它具有广泛的应用。

本文将对中值定理进行证明，并介绍其在实际问题中的应用。

一、中值定理的证明中值定理有三种形式：拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理。

以下分别对这三种中值定理进行证明。

1. 拉格朗日中值定理证明拉格朗日中值定理是最经典的中值定理之一。

它的表述是：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，并在开区间(a,b)内可导，则存在一个点c∈(a,b)，使得f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)。

证明过程：通过利用泰勒展开和魏尔斯特拉斯逼近定理，可以得到f(x)的泰勒展开式为f(x)=f(a)+f'(c)(x-a)，其中c∈(a,b)。

由于f(x)在闭区间[a,b]上连续，在[a,b]上的最大值和最小值存在，设分别为M和m。

则有|f(x)-f(a)|≤M|c-a|，而|c-a|≤(b-a)，即|f(x)-f(a)|≤M(b-a)。

2. 柯西中值定理证明柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广形式。

它的表述是：若两个函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上连续，并在开区间(a,b)内可导，且g'(x)≠0，则存在一个点c∈(a,b)，使得[f(b)-f(a)]g'(c)=[g(b)-g(a)]f'(c)。

证明过程：将f(x)和g(x)分别代入拉格朗日中值定理的证明过程中，得到f(x)=f(a)+f'(c)(x-a)和g(x)=g(a)+g'(c)(x-a)。

将这两个式子相乘并移项整理，可以得到[f(b)-f(a)]g'(c)=[g(b)-g(a)]f'(c)。

3. 罗尔中值定理证明罗尔中值定理是中值定理中最简单的一种形式。

它的表述是：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，并且满足f(a)=f(b)，则存在一个点c∈(a,b)，使得f'(c)=0。

第五章 数值积分教学目的及要求：掌握Newton-Cotes 公式、Romberg 方法、Euler-Maclaurin 公式、Gauss 型求积公式等数值积分公式及方法。

§1．数值积分的一般概念本章讨论定积分的近似计算问题。

从微积分学中我们知道能够利用Newton-Leibni 公式()()[]b x ax b adx x f dx x f ==⎰⎰=去计算的定积分是很少的。

事实上，在实际问题中，我们常常无法利用初等函数去表出原函数()⎰.dx x f 例如，对于概率积分与椭圆积分和()()⎰≤≤+=tt dx x k t E 02220sin 1π来说，我们便遇到了上述的困难。

因此不能不考虑定积分的近似计算问题。

以下，我们所讨论的求积公式绝大多数具有如下形式： （1.1）其中k x 为求积公式的结点，k A 为求积系数。

通常，称右端的和为求积和； 又称为求积误差。

有时，也将求积公式写成()),0(202∞<≤=⎰-t dx e t P t x π()()()⎰∑=≈bank k k x f A dx x f x 1,ρ[]()()()⎰∑=-=bank k k x f A dx x f x f E 1ρ在（1.1）式中，[a,b]是实直线上的有限或无限的空间；函数()x ρ是已知的固定的函数且常常是()1≡x ρ，以后我们将称它为权函数。

此外，我们还假定积分()()()()Λ,2,1,0,=⎰⎰m dx x x dx x f x babam ρρ总是存在的，并且函数()x f 在点n x x ,,1Λ处是有定义的。

一般说来，求积公式（1.1）中的结点k x 和系数k A 可以按所希望的方式随意选取（除非是被积函数仅在一离散点集上是已知的，那时只好限制从离散点集中去选取k x 了）。

自然，我们总是希望通过k x 和k A 的选取使得在某种意义下求积误差尽可能地小。

概括来说，数值积分问题可分解为下述的三个主要问题：（1） 求积公式的具体构造问题； （2） 精确性程度的衡量标准问题；（3） 余项估计问题（亦即，误差估计问题）。

无穷级数等比数列：是一种特殊数列。

它的特点是：从第2项起，每一项与前一项的比都是一个常数。

例如数列。

这就是一个等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，都等于2，2198与2197的比也等于2。

我们把像2这样的后一项与前一项的比称之为公比，符号为q。

公比公式根据等比数列的定义可得：[O] 通项公式我们可以任意定义一个等比数列这个等比数列从第一项起分别是，公比为q，则有：a2 = a1q，a3 = a2q = a1q2，a4 = a3q = a1q3，，以此类推可得，等比数列的通项公式为：a n = a n− 1q = a1q n− 1，[O] 求和公式对于上面我们所定义的等比数列，即数列。

我们将所有项进行累加。

于是把称为等比数列的和。

记为：如果该等比数列的公比为q，则有：（利用等比数列通项公式）* 先将两边同乘以公比q，有：该式减去*式，有：(q− 1)S n = a1q n−a1★然后进行一定的讨论当时，而当q = 1时，由★式无法解得通项公式。

但我们可以发现，此时：= na1综上所述，等比数列的求和公式为：还有另一个求合公式：当q≠1时，[O] 当时,等比数列无限项之和由于当及n的值不断增加时,q n的值便会不断减少而且趋于0,因此无限项之和:[O] 性质如果数列是等比数列，那么有以下几个性质：•证明：当时，对于，若，则证明：∵∴等比中项：在等比数列中，从第二项起，每一项都是与它等距离的前后两项的等比中项。

即等比数列中有三项，，，其中，则有在原等比数列中，每隔k项取出一项，按原来顺序排列，所得的新数列仍为等比数列。

也成等比数列。

在数学中，一个有穷或无穷的序列的元素的形式和S称为级数。

序列中的项称作级数的通项。

级数的通项可以是固定的元素，比如说实数、矩阵或向量，也可以是关于其他变量的函数，不一定是一个数。

如果级数的通项是固定的元素，则称之为常数项级数，如果级数的通项是函数，则称之为函数项级数。

§6 近似最佳一致逼近多项式由韦尔斯特拉斯定理知存在最佳一致逼近多项式（伯恩斯坦多项式）一、截断切比雪夫级数利用切比雪夫多项式良好的逼近性质求近似最佳一致逼近多项式。

如果]1,1[)(-∈C x f ，按)}({x T k 展成广义富利叶级数，由正交多项式展开公式()~()()~()k k k k k k f x a g x f x C T x ∞∞==⇒∑∑可得)(x f ～).(2*10x T C k k k ∑=+此式称为函数)(x f 在]1,1[-上的切比雪夫级数。

由*(,)(0, 1,,)(,)k kk k f T C k n T T ==及110,()(),0;2,0.n m T x T x dx n m n m ππ-≠⎧⎪⎪==≠⎨⎪==⎪⎩⎰得到).,1,0(d 1)()(2211*=-=⎰-k x xx T x f C k kπ这里1),arccos cos()(≤=x x k x T k 。

若令πθθ≤≤=0,cos x ，则)(x f ～*1()2k k k C T x =+∑就是)(cos θf 的富利叶级数，其中),,1,0(d cos )(cos 20* ==⎰k k f C kθθθππ根据富利叶级数理论可知，只要)(x f '在]1,1[-上分段连续，则)(x f 的切比雪夫级数一致收敛于)(x f ，从而),(2)(*1*0x T C C x f k k k ∑∞=+= 取它的部分和),(2)(*1**x T C C x C k k nk n ∑=+= 其误差为**11()()().nn n f x C x C T x ++-≈由于1+n T 有2+n 个轮流为‘正、负’的偏差点1cos +=n k x k π)1,,1,0(+=n k ，所以)()(*x C x f n-近似地有2+n 个偏差点，由切比雪夫定理，)(*x C n可作为)(x f 在]1,1[-上的近似最佳一致逼近多项式，实际计算表明它与最佳一致逼近多项式)(*x P n非常接近，而计算较方便。