应用随机过程试题及答案

1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。

2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<ωΦ∞∞ 其中ω为正常数，A 和Φ是相互独立的随机变量，且A 和Φ服从在区间[]0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为 。

3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为 的同一指数分布。

4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从 分布。

5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t 对应随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果时取得红球如果t t t e tt X ,,3)(，则 这个随机过程的状态空间 。

6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)(n)ijP (p )=，二者之间的关系为 。

7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为 。

8．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t 则{(5)6|(3)4}______P X X ===9．更新方程()()()()0tK t H t K t s dF s =+-⎰解的一般形式为 。

10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t +a 。

二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分）P(BC A)=P(B A)P(C AB)。

2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。

3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1<n l ≥≤和i,j I ∈，n 步转移概率(n)()(n-)ij ik kjk Ip p p l l ∈=∑ ，称此式为切普曼—科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意义。

2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。

证明：当12n 0t t t t <<<<<L 时，1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x ,X(t )=x )≤L =n n 1122n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )-X(0)=x ,X(t )-X(0)=x ,X(t )-X(0)=x )≤L =n n P(X(t)-X(t )x-x )≤，又因为n n P(X(t)x X(t )=x )=≤n n n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤，故1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x ,X(t )=x )≤L =n n P(X(t)x X(t )=x )≤3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1<n l ≥≤和i,j I ∈，n 步转移概率(n)()(n-)ij ik kjk Ip p pl l ∈=∑ ，称此式为切普曼—科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意义。

证明：{}(n)ij k IP P X(n)=j X(0)=i P X(n)=j,X(l)=k X(0)=i ∈⎧⎫==⎨⎬⎩⎭U ={}k I P X(n)=j,X(l)=k X(0)=i ∈∑ ={}{}k IP X(l)=k X(0)=i P X(n)=j X(l)=k,X(0)=i ∈∑g =(l)(n-l)ik kjPP ∑，其意义为n 步转移概率可以用较低步数的转移概率来表示。

4.设{}N(t),t 0≥是强度为λ的泊松过程，{}k Y ,k=1,2,L 是一列独立同分布随机变量，且与{}N(t),t 0≥独立，令N(t)k k=1X(t)=Y ,t 0≥∑，证明：若21E(Y <)∞，则[]{}1E X(t)tE Y λ=。

1、设在底层乘电梯的人数服从均值5λ=的泊松分布，又设此楼共有N+1层。

每一个乘客在每一层楼要求停下来离开是等可能的，而且与其余乘客是否在这层停下是相互独立的。

求在所有乘客都走出电梯之前，该电梯停止次数的期望值。

2、设齐次马氏链{(),0,1,2,}X n n = 的状态空间{1,2,3}E =，状态转移矩阵1102211124412033P=（1）画出状态转移图；（2）讨论其遍历性；（3）求平稳分布；（4）计算下列概率： i ）{(4)3|(1)1,(2)1};P X X X === ii ）{(2)1,(3)2|(1)1}P X X X ===.3、设顾客以泊松分布抵达银行，其到达率为λ，若已知在第一小时内有两个顾客抵达银行，问：（1）此两个顾客均在最初20分钟内抵达银行的概率是多少？ （2）至少有一个顾客在最初20分钟抵达银行的概率又是多少？4、设2()X t At Bt C ++，其中A , B , C 是相互独立的标准正态随机变量，讨论随机过程{(),}X t t −∞<<+∞的均方连续、均方可积和均方可导性.5、设有实随机过程{(),}X t t −∞<<+∞，加上到一短时间的时间平均器上作它的输入，如下图所示，它的输出为1(),()()d tt TY t Y t X u u T −=∫，其中t 为输出信号的观测时刻，T 为平均器采用的积分时间间隔。

若()cos X t A t =，A 是（0, 1）内均匀分布的随机变量。

（1）求输入过程的均值和相关函数，问输入过程是否平稳？ （2）证明输出过程()Y t 的表示式为sin 2()cos()22T T Y t A t T=⋅−.（3）证明输出的均值为sin 12[()]cos()222T T E Y t t T =−，输出相关函数为12(,)R t t = 2sin 1232T T12cos()cos()22T Tt t −−，问输出是否为平稳过程？6、甲、乙两人进行比赛，设每局比赛甲胜的概率为p ，乙胜的概率为q ，和局的概率为R ，1p q r ++=，设每局比赛后胜者记“1”，分负者记“-1”分，和局记“0”分。

应用随机过程习题随机过程是概率论和统计学中的一种数学模型，用来描述随机事件在时间上的演化。

应用随机过程的习题有很多，可以涵盖多个领域，例如通信、金融、电力系统等。

下面我将给出一些应用随机过程的习题，并进行详细的解答。

习题1：航空公司的每小时飞行延误时间服从均值为2小时的指数分布。

计算飞行延误时间小于等于3小时的概率。

解答：首先，我们知道指数分布的概率密度函数为f(x)=λe^(-λx)，其中λ为参数。

延误时间小于等于3小时的概率可以表示为P(X≤3)，其中X为随机变量表示延误时间。

由于题目已经给出了参数λ=1/2小时^-1，我们可以直接代入计算概率。

P(X ≤ 3) = ∫[0, 3] λe^(-λx) dx= ∫[0, 3] (1/2)e^(-(1/2)x) dx=[-e^(-x/2)]，0,3=-(e^(-3/2)-1)≈0.7769所以飞行延误时间小于等于3小时的概率约为0.7769习题2：染料厂制造的染料每小时以恒定速率泄漏。

设染料从泄漏口出来的间隔时间服从均值为30分钟的指数分布。

求在1小时内泄漏从未中断的概率。

解答：设泄漏从未中断的概率为P(X>1)，其中X为随机变量表示泄漏中断的时间。

由于题目已经给出了参数λ=1/30分钟^-1，我们可以直接代入计算概率。

P(X>1)=1-P(X≤1)= 1 - ∫[0, 1] λe^(-λx) dx= 1 - ∫[0, 1] (1/30)e^(-(1/30)x) dx=1-[-e^(-x/30)]，0,1=1-(e^(-1/30)-1)≈0.0335所以在1小时内泄漏从未中断的概率约为0.0335习题3：商店的顾客到达服从均值为10分钟的指数分布，服务时间服从均值为8分钟的指数分布。

求平均每分钟服务完的顾客数。

解答：设顾客到达和服务完的速率为λ和μ，分别表示单位时间内到达和服务完的顾客数。

根据泊松过程的理论，平均每分钟服务完的顾客数为λ/μ。

应用随机过程熊德文答案一、哎呀，这“应用随机过程熊德文答案”可有点难搞呢。

我就先说说我对这门课的感受吧。

这应用随机过程啊，就像一个神秘的魔法世界，里面的各种概念和公式就像魔法咒语一样，让人眼花缭乱。

不过呢，要是能掌握好，就像学会了魔法一样厉害。

二、如果这是一份试卷的话，那我就来出出题目。

1. 什么是随机过程的基本定义呢？（10分）2. 请列举出三种常见的随机过程类型。

（15分）3. 对于泊松过程，它的重要特性有哪些？（15分）4. 马尔可夫链的状态转移矩阵怎么构建？（15分）5. 解释一下平稳随机过程的含义。

（10分）6. 随机过程中的期望和方差有什么重要意义？（10分）7. 如何判断一个随机过程是否是独立增量过程？（10分）8. 维纳过程在实际应用中有哪些例子？（5分）答案和解析：1. 随机过程是一族随机变量的集合，每个随机变量对应一个特定的时刻或者事件。

2. 比如泊松过程、马尔可夫链、维纳过程。

3. 泊松过程的重要特性包括独立增量性、平稳增量性等。

4. 马尔可夫链的状态转移矩阵是根据状态之间的转移概率构建的。

5. 平稳随机过程的统计特性不随时间的平移而改变。

6. 期望反映了随机过程的平均水平，方差反映了随机过程的波动程度。

7. 主要看不同增量之间是否相互独立。

8. 例如在股票价格的波动模型中可能会用到维纳过程。

三、要是从学习这门课的角度来说呢，就像是在黑暗中摸索着前进。

有时候一个概念要琢磨好久才能有点感觉。

老师上课讲的时候，就像在讲一个超级复杂的故事，我们得努力跟上节奏。

而且课后的作业也特别考验人，就像一个个小怪兽，得一个个打败它们才能真正掌握知识。

这门课虽然难，但是如果能把答案都弄明白，就像打开了通往宝藏的大门，能收获满满的知识财富呢。

2. （1） 求参数为的()b p ,分布的特征函数，其概率密度为Γ()()是正整数p b x x e x p b x p bx p p ,0 000,1>⎪⎩⎪⎨⎧≤>Γ=−−（2）求其期望和方差。

（3）证明对具有相同参数的b Γ分布，关于参数具有可加性。

p 函数有下面的性质：解 （1） 首先，我们知道Γ()()! 1−=Γp p根据特征函数的定义，有()[]()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()pp p x jt b p p xjt b p p x jt b p p xjt b p p xjt b p p bxp p jtxjtxjtXX jt b b jt b p p b dxe x jt b p p b dx e x jt b p p b dx e x jt b p p b e x jt b p b dx e x p b dx e x p b edx x p e e E t f ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−−Γ=−−Γ==−−Γ=−−Γ+−−Γ=Γ=Γ===∫∫∫∫∫∫∞−−−∞−−−∞−−−∞−−−∞−−−−−∞∞∞−!1!11110010202010110L所以()pX jt b b t f ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=（2）根据期望的定义，有[]()()()()()()()bpdx x p b p dx e x p b b p dx e x bp p b e x bp b dx e x p b dx e x p b x dx x xp X E m bx p p bx p p bxp p bx p p bx p p X ==Γ=Γ+−Γ=Γ=Γ===∫∫∫∫∫∫∞∞−∞−−∞−−∞−∞−∞−−∞∞−010100011类似的，有[]()()()()()()()()()()()()()2201200010101222111111b p p dx x p b p p dx e x p b b p p dx e x b p p b dx e x bp p b e x bp b dx e x p b dx e x p b x dx x p x XE bxp p bxp p bxp p bxp p bx p p bx p p +=+=Γ+==+Γ=+Γ+−Γ=Γ=Γ==∫∫∫∫∫∫∫∞∞−∞−−∞−∞−∞−+∞−+∞−−∞∞−L的方差为X 所以，[]()222221b pb p b p p mXE D XX =⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+=−=（3）()()()jt jnt jt e n e e t f −−=115. 试证函数为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。

湖南科技学院二○一 年 学期期末考试数学与应用数学 专业 年级 应用随机过程试题考试类型：闭卷 试卷类型：C 卷 考试时量： 120分钟F一 、填空题（每空4分共24分）1、过程12{()cos sin ;0}X t Z at Z at t =+≥，其中1Z ，2Z 独立同分布，其共同分布为2(0,)N σ，a 为常数，则均值函数(())E X t = ，方差函数(())Var X t = ，协方差函数(,)s t γ= ．2、计数过程{}(),0N t t ≥为参数为2的泊松过程，则{}(20)(18)2P N N -== ，((3))=E N ．3、()1()N t i i S t Y ==∑是复合Poisson 过程，其中{}(),0N t t ≥为参数为3的泊松过程，1Y 服从正态分布(1,4)N ，则[(5)]E S = ．二 、判断题（小题2分，共16分）1、 设{}(),0N t t ≥是强度为λ的Poisson 过程，n T 为第n 次泊松事件发生的等待时间，则{}{}()n N t n T t <⇔>． （ ） 2、{}(),0N t t ≥是更新过程，则对0t≤<+∞，有()EN t <+∞． （ ）3、Poisson 过程具有独立增量性． （ ）4、{}n Z 是马尔可夫链，则202(,)()n n n n P X j X i X k P X j X i ++======．题 号 一二三四五总分 统分人得 分 阅卷人复查人（ ）5、Brown 运动的样本路径()B t ，0t T ≤≤具有连续性． （ ）6、{}n Z 是有限状态的马尔可夫链，其一步转移矩阵为P ，则其n 步转移矩阵()n n PP =．（ ）7、Brown 运动不是平稳增量过程． （ ） 8、{}(),0N t t ≥是Poisson 过程，n T 为第n 次泊松事件发生的等待时间，则当t →+∞时，()1()N t r t T t +=-与()()N t s t t T =-有相同的极限分布． （ ）三 、计算题（共46分）1、（12分）设{}(),0N t t ≥是强度为3的Poisson 过程， 求（1）{}(1)2,(3)4,(5)6P N N N ===； （2）{}(5)6(3)4P N N ==；（3）求协方差函数(),s t γ，写出推导过程．2、（10分）设{}(),0N t t ≥是更新过程，第k 次更新与第1k -次更新的时间间隔k X 服从分布2(2)3k P X ==，1(3)3k P X ==．计算((1))P N n =，((2))P N n =，((3))P N n =，0,1,2,n =．3、（12分）设1{(),0}N t t≥，2{(),0}N t t ≥是强度分别为1λ，2λ 且相互独立的Poisson 过程，记k T 为1{(),0}N t t≥的第k 次事件发生的等待时间，1V 为2{(),0}N t t ≥第1次事件发生的等待时间．求1()k P T V <．4、(12分){,1,2,}n X n =为独立同分布的随机变量序列，具有如下分布1(1)(1)2n n P X P X ===-=1,2,n =令1nni i S X ==∑．（1）求随机过程{,1,2,}n S n =的均值函数和自相关函数；（2）判断{,1,2,}n S n =是否为宽平稳过程．四 、证明题（共14分）1、设{}(),0i N t t ≥，1,2,,in =是n 个相互独立的Poisson 过程，参数分别为i λ，1,2,,i n =，试证{}1()=(),0ni i N t N t t =≥∑是Poisson 过程．。

第一章习题解答1． 设随机变量X 服从几何分布，即：(),0,1,2,k P X k pq k ===L 。

求X 的特征函数，EX 及DX 。

其中01,1p q p <<=-是已知参数。

解 0()()jtxjtkk X k f t E eepq ∞===∑Q()k jtkk p q e∞==∑ =0()1jt kjtk pp qe qe ∞==-∑又200()kkk k q qE X kpq p kq p p p ∞∞======∑∑Q222()()[()]q D X E X E X P =-=（其中 00(1)nnn n n n nxn x x ∞∞∞====+-∑∑∑）令 0()(1)n n S x n x ∞==+∑则 1000()(1)1xxnn k n xS t dt n t dt x x∞∞+===+==-∑∑⎰⎰202201()()(1)11(1)1(1)xn n dS x S t dt dxx xnx x x x ∞=∴==-∴=-=---⎰∑同理 2(1)2kkkk k k k k k x k x kx x ∞∞∞∞=====+--∑∑∑∑令20()(1)k k S x k x ∞==+∑ 则211()(1)(1)xkk k k k k S t dt k t dt k xkx ∞∞∞+====+=+=∑∑∑⎰）W2、（1） 求参数为(,)p b 的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为1,0()0,0()0,0p p bxb x e x p x b p p x --⎧>⎪=>>Γ⎨⎪≤⎩（2） 其期望和方差；（3） 证明对具有相同的参数的b 的Γ分布，关于参数p 具有可加性。

解 （1）设X 服从(,)p b Γ分布，则10()()p jtxp bxX b f t ex e dx p ∞--=Γ⎰ 1()0()p p jt b x b x e dx p ∞--=Γ⎰101()()()()(1)p u p p p p p b e u b u jt b x du jt p b jt b jt b∞----==Γ---⎰ 1(())x p p e x dx ∞--Γ=⎰Q （2）'1()(0)X p E X f j b∴== 2''221(1)()(0)X p p E X f j b +== 222()()()PD XE X E X b∴===（4） 若(,)i i X p b Γ: 1,2i = 则121212()()()()(1)P P X X X X jt f t f t f t b-++==-1212(,)Y X X P P b ∴=+Γ+:同理可得：()()iiP X b f t b jt∑=∑- W3、设X 是一随机变量，()F x 是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。