幂级数展开

所以：
1⎞ ⎛ 1⎞ 1 1 ⎛ + +" ⎜ n + ⎟ ln ⎜1 + ⎟ = 1 + 2 4 2⎠ ⎝ n⎠ ⎝ 3 ( 2n + 1) 5 ( 2n + 1)
由此我们得到：
10.5
函数的幂级数展开
1⎞ ⎛ 1⎞ 1 1 ⎛ + +" 0 < ⎜ n + ⎟ ln ⎜1 + ⎟ − 1 = 2 4 2⎠ ⎝ n⎠ ⎝ 3 ( 2n + 1) 5 ( 2n + 1) < = 1 3 ( 2n + 1) 1 3 ( 2n + 1) 1 −
0 ≤θ ≤1
§2 简单函数的幂级数展开
上面讨论结果知，当 Rn ( x ) → 0 时函数可展开为幂级数，下面考虑基本初等函数之幂 级数展开，函数的幂级数展开式也称为 Taylor 级数，函数在 x0 = 0 点的 Taylor 级数也称为 Maclaurin 级数。 1.
ex = ∑
1 n 1 x ， x0 = 0 ， R = +∞ ； Rn ( x ) = eθ x x n +1 ， 0 < θ < 1 ， n + 1 ! n ! ( ) n =0
2 2
+
1 3 ( 2n + 1) 1 1
4
+" =
( 2n + 1)
2
⎡ ⎤ 1 1 + + "⎥ ⎢1 + 2 4 3 ( 2n + 1) ⎢ ⎥ ⎣ ( 2n + 1) ( 2n + 1) ⎦ 1 = 12n ( n + 1) 1
2
由此推出：
⎛ 1⎞ ⎜1 + ⎟ an n⎠ 1< =⎝ an +1 e
x0 x0 x x
' = − ( x − t ) Rn (t ) + ∫
x x0
( x − t ) Rn'' ( t ) dt = − ∫x x 2
0
x
1
x
0
'' Rn (t ) d ( x − t )
2
1 '' 2 = − Rn ( t )( x − t ) 2
x
+
x0
1 x 1 x ''' 2 3 ''' x − t ) Rn t ) dt = − ∫ Rn t)d (x −t) ( ( ( ∫ x x 2 0 3! 0
3.
ln (1 + x ) = ∑
n =1 n
∞
( −1)
x
n −1
xn
n
， x ∈ ( −1,1] ，
n n
( x − t ) dt = ( −1) x n +1 ，0 <θ <1。 Rn ( x ) = ( −1) ∫ n +1 0 n + 1 (1 + θ x )n +1 (1 + t )
4.
上式中将积分计算出来：
n +1
1
ln xdx < ln ( n + 1) !
∫
n +1
1
ln xdx = ( n + 1) ln ( n + 1) − n ，得到：
n ln ( n + 1) − n < ln n ! < ( n + 1) ln ( n + 1) − n
因而可令：
1⎞ 1 ⎛ ln n ! = ⎜ n + ⎟ ln ( n + 1) − n + α n ，其中： α n < ln ( n + 1) ； 2 2⎠ ⎝
1 ⎛1⎞ 因而对于任意正实数之自然对数均可用上式求得。如： ln 2 = 2∑ ⎜ ⎟ n =1 2n − 1 ⎝ 3 ⎠
∞
2 n −1
。
10.4
高等微积分讲义
2
n ! 的基本估计
首先，我们有： ln n ! = ln1 + ln 2 + " + ln n ，利用函数 ln x 的单调性，有：
ln n ! < ∫
n =0 n 0
∞
n
，
( x0 − R, x0 + R ) ，并且有 f ( n) ( x0 ) = n !an 。
n
反过来看，若 f ( x ) 在 x = x 0 之邻或内无穷次可微，是否一定可以表示为一个收敛幂级 数
∑ n! f ( ) ( x )( x − x )
n n =0 0 0
∞
1
呢？我们来看下面的例子：
这说明函数不能表示为幂级数的形式。 上面的例子说明并非所有的无穷次可微函数均可表示为幂级数的形式， 那么一个函数可 展为幂级数之条件是什么呢？由上面讨论知： 若可展，则必有 f ( x ) = 要条件为：
∑
n =0
∞
f ( n ) ( x0 ) n ( x − x0 ) ， x ∈ ( x0 − R, x0 + R ) ；因而可展的充 n!
x n +1
∞
e x ∀x ∈ R ， Rn ( x ) ≤ → 0。 ( n + 1)!
10.2
高等微积分讲义
∞ −1) x 2 n +1 −1) x 2 n ( ( ， x ， x ∈ R ，由于有： sin x = ∑ cos = ∑ ( 2n ) ! n = 0 ( 2 n + 1) ! n =0 ∞ n n
(n) Rn ( x ) = f ( n) ( x ) − f ( n ) ( x0 ) ， Rn( n) ( x0 ) = 0 ； ( n +1) Rn ( x ) = f ( n+1) ( x ) ；
因而：
' Rn ( x ) = Rn ( x0 ) + ∫ Rn ( t ) dt = − ∫ Rn' ( t ) d ( x − t )
从计算效率讲最后这个式子是较好的， 并且 ∀y ∈ ( 0, +∞ ) ，∃x =
y −1 ∈ ( −1,1) ， 使得： y +1
∞ ⎡ ⎤ 1+ x x3 x5 x 2 n −1 ， = 2 ⎢ x + + + "⎥ = 2∑ ln y = ln 1− x 3 5 n =1 2n − 1 ⎣ ⎦
ln (1 − x ) = − x −
因而有：
∞ x 2 x3 xn − − " = −∑ ， x ∈ [ −1,1) 2 3 n =1 n
ln
∞ ⎡ ⎤ 1+ x x3 x5 x 2 n −1 ， x ∈ ( −1,1) = 2 ⎢ x + + + "⎥ = 2∑ 1− x 3 5 n =1 2n − 1 ⎣ ⎦
高等微积分讲义
第10讲 函数的幂级数展开
§1 函数的幂级数展开
由上面讲到的幂级数的性质可以看出，幂级数有广泛的应用，那么就有另外一个问题， 一个函数是否可以展开为幂级数呢？ 我们先讨论必要条件。反复应用上一讲的定理 5，我们知：若 f ( x ) = 则 f ( x ) ∈C
∞
∑a (x − x )
n+
1 2
<e
1 12 n( n +1)
由上式，首先可得： an 单调下降，又因为 an > 0 ，所以 an 存在极限 lim an = a 。另一
n →∞
方面，由于：
1 − − − an 12 n ( n +1) 12 n 12( n +1) 12 n +1 12 n <e =e ，即： an e < an +1e ( ) an +1 − 1 12 n − 1 12 n
⎛n⎞ n n ! = 2π n ⎜ ⎟ e12 n ， 0 < θ n < 1 ⎝e⎠
n
θ
1
一个幂级数公式
∞ ( −1) x 2 x3 ln (1 + x ) = x − + + " = ∑ n 2 3 n =1 n −1
计算一个实数的自然对数之时，可以用如下的幂级数展开式：
xn
上述式子成立的范围是 x ∈ ( −1,1] ，即可以用它来计算 ( 0, 2] 上的自然对数值。对于其他点 的数，如何估计其自然对数值呢？ 另一方面，采用上式计算自然对数也是不方便的。理由有二，一是上述级数之收敛速度 较慢，其二是用一加一减来计算一个值的大小是不合理的，数值上不稳定。 一般地，上述公式可以有下面的对称形式：
n
( x0 − R, x0 + R ) 。为
f ( n +1) (ξ ) n +1 2. Lagrange 余项： Rn ( x ) = ( x − x0 ) ，其中： ξ ∈ ( x0 , x ) ； ( n + 1)!
10.1
函数的幂级数展开
3. Cauchy 余项： Rn ( x ) = Cauchy 余项之证明：
∞ ⎛n ⎞ ⎛0 ⎞ ⎛ n ⎞ α (α − 1)" (α − n + 1) ； = ∑ ⎜ ⎟ x n ，其中： ⎜ ⎟ = 1 ， ⎜ ⎟ = n! n=0 ⎝ α ⎠ ⎝α ⎠ ⎝α ⎠ ⎛n ⎞ x n α − n −1 Rn ( x ) = (α − n ) ⎜ ⎟ ∫ (1 + t ) x − t ) dt ；级数的收敛域为： ( ⎝α ⎠ 0 α ≤ −1 时， x ∈ ( −1,1) ； −1 < α < 0 时， x ∈ ( −1,1] ； α ≥ 0 时， x ∈ [ −1,1] 。