2017-2018学年人教A版必修 3.3.2 几何概型的应用与均匀随机数的产生 课时作业

均匀随机数的产生知识点均匀随机数的产生：我们常用的是[0，1]上的均匀随机数，如果试验的结果是区间[0，1]内的任何一个数，而且出现任何一个实数是等可能的，因此就可以用计算器来产生0～1之间的均匀随机数进行随机模拟，我们常用随机模拟的方法来计算不规则图形的面积。

均匀随机函数：均匀随机函数且只能产生[0，1]区间上均匀随机数。

产生[a,b]区间上均匀随机数：产生[a,b]区间上均匀随机数，如果x是[0,1]区间上的均匀随机数，则x(b-a)+a就是[a,b]区间上的均匀随机数。

计算机通过产生均匀随机数进行模拟实验的思路：(1)根据影响随机事件结果的量的个数确定需要产生的随机数的个数，如长度、角度型只用一组即可;而面积型需要两组随机数，体积型需要三组随机数;(2)根据总体对应的区域确定产生随机数的范围;(3)根据事件A发生的条件确定随机数所应满足的关系式。

均匀随机数的产生的例题与解析例1 在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油，假设在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是多少?分析：石油在1万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是随机的而40平方千米可看作构成事件的区域面积，有几何概型公式可以求得概率。

解：记“钻到油层面”为事件A，则P(A)= = =0.004.答：钻到油层面的概率是0.004.例2 在1升高产小麦种子中混入了一种带麦诱病的种子，从中随机取出10毫升，则取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是多少?分析：病种子在这1升中的分布可以看作是随机的，取得的10毫克种子可视作构成事件的区域，1升种子可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算其概率。

解：取出10毫升种子，其中“含有病种子”这一事件记为A，则P(A)= = =0.01.答：取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是0.01.例3 取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大?分析：在任意位置剪断绳子，则剪断位置到一端点的距离取遍[0，3]内的任意数，并且每一个实数被取到都是等可能的。

4.用随机模拟的方法计算图形的面积
例2.在正方形中随机撒一把豆子，用随机模拟的方法估计圆周 率的值．
y
用计算器或计算机模拟上述过程，步骤如下：
（1)产生两组0～1之间的均匀随机数，
o
x
a1=RAND,b1=RAND;
（2）经平移和伸缩变换，a=2(a1-0.5),b=2(b1-0.5);
（3）数出落在圆内x2+y2<1的点(a,b)的个数N1，
注意：每次结果会有不同.
(1)计算器上产生区间[0,1]上的均匀随机数的函数是__R_A_N_D__.
(2)Excel软件产生区间[0,1]上的均匀随机数的函数为_=_R_A_N_D_(___)_.
演示
(3)利用计算器或计算机产生0～1之间的均匀随机数x1=RAND , 然后利用伸缩和平移变换，x=x1·(b-a)+a就可以得到[a,b] 内的均匀随机数，试验的结果是[a,b]上的任何一个实数， 并且任何一个实数的出现都是等可能的.
部分的面积.所以 S 2 N1 N
演示
【总结提升】
根据几何概型计算概率的公式，概率等于面积之比， 如果概率用频率近似表示，在不规则的图形外套上一个规 则图形，则不规则图形的面积近似等于规则图形的面积乘 频率.
1.下列说法与均匀随机数特点不符的是( D )
A.我们常用的是[0,1]内的均匀随机数 B.它是一个随机数 C.出现每一个实数是等可能的 D.是随机数的平均数
率是（ A ）
A． 1 2
B． 1 1 2
2
1
C．
D．


产生方法
计算器 计算机
均
匀 随
用随机模拟方法求几何概型的概率

3.3.2 均匀随机数的产生 教学目标分析：知识目标：（4）了解均匀随机数的概念；（5）掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法； （6）会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题． 1、 过程与方法：（1）发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；（2）通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。

情感目标：本节课的主要特点是随机试验多，学习时养成勤学严谨的学习习惯。

重难点分析：重点：利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中．难点：利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中． 互动探究：一、课堂探究：我们常用的是[0,1]上的均匀随机数.可以利用计算器来产生[0,1]之间的均匀随机数（实数）试验的结果是区间[0,1]内的任何一个实数，而且出现任何一个实数是等可能的，因此，就可以用上面的方法产生的[0,1]之间的均匀随机数进行随机模拟.探究：如果试验的结果是区间[,]a b 上的任何一点，而且是等可能的，如何产生[,]a b之间的均匀随机数？例1、如图，在正方形中随机撒一大把豆子，计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比.解：随机撒一把豆子，每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比，即≈圆的面积落在圆中的豆子数正方形的面积落在正方形中的豆子数假设正方形的边长为2，则==224ππ⨯圆的面积正方形的面积由于落在每个区域的豆子数是可以数出来的，所以4π≈⨯落在圆中的豆子数落在正方形中的豆子数；这样就得到π的近似值．另外，我们也可以用计算器或计算机模拟，步骤如下：（1）产生两组0～1区间的均匀随机数，1a RAND =，1b RAND =；（2）经平移和伸缩变换，11(0.5)2,(0.5)2a a b b =-⨯=-⨯； （3）数出落在圆内221a b +<的豆子数1N ，计算14N Nπ=（N 代表落在正方形中的豆子数）．可以发现，随着试验次数的增加，得到π的近似值的精度会越来越高．本例启发我们，利用几何概型，并通过随机模拟法可以近似计算不规则图形的面积．变式：用随机模拟的方法估计圆周率π的值的程序框图如图所示，P 表示输出的结果，则图中空白框处应填（ ）（A ）100M P =（B ）600MP =（C ）100NP =（D ）600NP =答案：A.例2、已知地铁列车每10min 一班，在车站停1min ，求乘客到达站台立即乘上车的概率. 解：由几何概型知，所求事件A 的概率为1()11P A =； 变式：某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求此人等车时间不多于10分钟的概率． 分析：假设他在0～60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,但在0到60分钟之间有无穷多个时刻,不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率.因为客车每小时一班,他在0到60分钟之间任何一个时刻到站等车是等可能的,所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件.解:设A={等待的时间不多于10分钟},我们所关心的事件A 恰好是到站等车的时刻位于[50,60]这一时间段内,因此由几何概型的概率公式,得60501()606P A -==，即此人等车时间不多于10分钟的概率为16． 小结：到站等车的时刻x 是随机的，可以是0到60之间的任何一刻，并且是等可能的，我们称x 服从[0,60]上的均匀分布，x 为[0,60]上的均匀随机数．例3、节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在接通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是（ ） （A ）14 （B ）12 （C ）34 （D ）78答案：C.二、课堂练习：教材第140页例4和练习第2题1、如图30-4，如果你向靶子上射200镖，你期望多少镖落在黑色区域．2、利用随机模拟方法计算图30-5中阴影部分（1y =和2y x =围成的部分）的面积反思总结：1、 本节课你学到了哪些知识点？2、 本节课你学到了哪些思想方法？3、 本节课有哪些注意事项？ 课外作业：（一）教材第142页习题3.3 B 组第1、2题1、甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，试求这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率.2、若()()()1P AB P A P B =+=，则事件A 与B 的关系是（ ）. . . . A B C D 互斥不对立对立不互斥互斥且对立以上都不对（二）补充3、甲、乙两人相约在上午9:0010:00至之间在某地见面，可是两人都只能在那里停留5分钟.问两人能够见面的概率有多大？ 答案：23144. 4、假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6:307:30之间把报纸送到你家，而你父亲离开家去工作的时间在早上7:008:00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A ）的概率是多少．分析：我们有两种方法计算事件的概率． （1）利用几何概型的公式． （2）利用随机模拟的方法．解法1：如图，方形区域内任何一点的横坐标表示送报人送到报纸的时间，纵坐标表示父亲离开家去工作的时间．假设随机试验落在方形内任一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．根据题意，只要点落到阴影部分，就表示父亲在离开家前能得到报纸，即事件A 发生，所以2223060-2()==87.5%60P A 解法2：设,x y 是0～1之间的均匀随机数． 6.5x +表示送报人送到报纸的时间，7y +表示父亲离开家去工作的时间．如果7 6.5y x +>+，即0.5y x >-，那么父亲在离开家前能得到报纸．用计算机做多次试验，即可得到()P A ．5、现向如右图所示的正方形随机地投掷镖，求飞镖落在阴影部分的概率． 解：由63401x y y --=⎧⎨=-⎩，116A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，又(11)B -，∵，15166AB =-=∴． 同理，由16340x x y =⎧⎨--=⎩，得23y =．213C ⎛⎫⎪⎝⎭，∴．25(1)33BC =--=∴．1552526336ABCS =⨯⨯=△∴．而正方形的面积为224⨯=．故所求的概率为2525364144=． 说明：几何概型为新增内容，预测今后高考考查的主要对象是几何概型的概率公式的应用，题目应以中，低档题为主，题型主要以选择题、解答题形式出现．6、设有关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=．（1）若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2中任取的一个数，求上述方程无实根的概率；（2）若a 是从区间[]0,3中任取的一个数，b 是从区间[]0,2中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（1）利用坐标系（横轴为a ，纵轴为b ）列举基本事件如下：共计12个基本事件；又方程2220x ax b ++=无实根，所以22440a b ∆=-<，考虑,a b 取值非负，化简上式得：a b <，那其中有()()()0,1,0,2,1,2三个点满足a b <，所以()31124P =方程无实根＝； （2）利用坐标系（横轴为a ，纵轴为b ）列举基本事件如下（图中的矩形区域）：其面积为326S =⨯=；又方程2220x ax b ++=有实根，所以22440a b ∆=-≥，考虑,a b 取值非负，化简上式得：a b ≥，表示的区域是直角梯形（阴影部分），其面积：()1'13242S =⨯+⨯=，所以427、双流县某幼儿园在“六.一儿童节”开展了一次亲子活动，此次活动由宝宝和父母之一（后面由家长代称）共同完成，幼儿园提供了两种游戏方案：方案一：宝宝和家长同时各抛一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别是1,2,3,4,5,6），宝宝所得的点数记为x ，家长所得的点数记为y ；方案二：宝宝和家长同时按下自己手中一个计算器的按钮（此计算器只能产生区间[1,6]的随机实数），宝宝的计算器产生的随机实数记为m ，家长的计算器产生的随机实数记为n . （1）在方案一中，若12x y +=，则奖励宝宝一朵小红花，求抛掷一次后宝宝得到一朵小红花的概率；（2）在方案二中，若2m n >，则奖励宝宝一本兴趣读物，求按下一次按钮后宝宝得到一本兴趣读物的概率.12321答案：（1）112；（2）425.课后反思：。

课时跟踪检测（十七） 几何概型 均匀随机数的产生[层级一 学业水平达标]1.如图，一颗豆子随机扔到桌面上，则它落在非阴影区域的概率为( ) A.19 B.16 C.23D.13解析：选C 试验发生的范围是整个桌面，其中非阴影部分面积占整个桌面的69＝23，而豆子落在任一点是等可能的，所以豆子落在非阴影区域的概率为23，故选C.2.如图所示，在一个边长为a ，b (a ＞b ＞0)的矩形内画一个梯形，梯形上、下底长分别为a 3与a2，高为b .向该矩形内随机地投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为( )A.112B.14C.512D.712解析：选C S 矩形＝ab ，S 梯形＝12⎝⎛⎭⎫13a ＋12a b ＝512ab . 故所投的点在梯形内部的概率为P ＝S 梯形S 矩形＝512ab ab＝512.3．已知函数f (x )＝log 2x ，x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，在区间⎣⎡⎦⎤12，2上任取一点x 0，则使f (x 0)≥0的概率为________．解析：欲使f (x )＝log 2x ≥0， 则x ≥1，而x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，∴x 0∈[1,2]，从而由几何概型概率公式知所求概率P ＝2－12－12＝23.答案：234．已知正三棱锥S -ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P -ABC<12V S -ABC 的概率是________． 解析：由V P -ABC <12V S -ABC知，P 点在三棱锥S -ABC 的中截面A 0B 0C 0的下方，P ＝1－VS -A 0B 0C 0V S -ABC＝1－18＝78.答案：78[层级二 应试能力达标]1.如图，在平面直角坐标系中，射线OT 为60°角的终边，在任意角集合中任取一个角，则该角终边落在∠xOT 内的概率是( )A.16B.23C.13D.160解析：选A ∵在任意角集合中任取一个角，则该角终边落在∠xOT 内对应的角度为60度，而整个角集合对应的角度为圆周角，∴该角终边落在∠xOT 内的概率P ＝60360＝16，故选A.2.如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于( )A.14B.13C.12D.23解析：选C △ABE 的面积是矩形ABCD 面积的一半，由几何概型知，点Q 取自△ABE 内部的概率为12.3.如图所示，一半径为2的扇形(其中扇形中心角为90°)，在其内部随机地撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为( )A.2πB.1πC.12D ．1－2π解析：选D S 扇形＝14×π×22＝π，S 阴影＝S 扇形－S △OAB ＝π－12×2×2＝π－2，∴P ＝π－2π＝1－2π.4.如图，A 是圆O 上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A ′，连接AA ′，它是一条弦，它的长度小于或等于半径长度的概率为( )A.12B.32 C.13D.14解析：选C 如图，当AA ′的长度等于半径长度时，∠AOA ′＝60°，由圆的对称性及几何概型得P ＝120360＝13.故选C.5．方程x 2＋x ＋n ＝0(n ∈(0,1))有实根的概率为________． 解析：由于方程x 2＋x ＋n ＝0(n ∈(0,1))有实根， ∴Δ≥0，即1－4n ≥0，∴n ≤14，又n∈(0,1)，∴有实根的概率为P＝1 41－0＝1 4.答案：1 46．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为________．解析：大肠杆菌在400毫升自来水中的位置是任意的，且结果有无限个，属于几何概型．设取出2毫升水样中有大肠杆菌为事件A，则事件A构成的区域体积是2毫升，全部试验结果构成的区域体积是400毫升，则P(A)＝2400＝0.005.答案：0.0057．在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1内任取一点P，则点P到点A的距离小于等于a的概率为________解析：点P到点A的距离小于等于a可以看做是随机的，点P到点A的距离小于等于a可视作构成事件的区域，棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1可视做试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算概率．P＝18×43πa3a3＝16π.答案：1 6π8.如图，射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环．从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色．金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122 cm，靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m外射箭．假设运动员射的箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？解：记“射中黄心”为事件B ，由于中靶点随机地落在面积为14×π×1222 cm 2的大圆内，而当中靶点落在面积为14×π×12.22 cm 2的黄心时，事件B 发生，于是事件B 发生的概率为P (B )＝14×π×12.2214×π×1222＝0.01.即“射中黄心”的概率是0.01.9．已知圆C ：x 2＋y 2＝12，直线l ：4x ＋3y ＝25. (1)求圆C 的圆心到直线l 的距离；(2)求圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率． 解：(1)由点到直线l 的距离公式可得d ＝2542＋32＝5.(2)由(1)可知圆心到直线l 的距离为5，要使圆上的点到直线的距离小于2，设与圆相交且与直线l 平行的直线为l 1，其方程为4x ＋3y ＝15.则符合题意的点应在l 1：4x ＋3y ＝15与圆相交所得劣弧上，由半径为23，圆心到直线l 1的距离为3可知劣弧所对圆心角为60°.故所求概率为P ＝60°360°＝16.。