2018版高中数学33-2几何概型(2)试题苏教版必修3 精品

3.3 几何概型自我检测 基础达标 一、选择题1．圆内有一内接正方形，今投射1镖，则落入正方形内的概率是（ ）A ．2π B ．π2 C ．π1D ．π21答案：B2．在线段［0，3］上任取一点，则此点坐标不小于2的概率是（ ）A ．31 B ．21 C ．32D ．97答案：A3．两根相距 6 m 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2m 的概率为（ ）A ．31 B ．32 C ．21D ．65答案：A4．有1杯10升的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1升水，则小杯水中含有这个细菌的概率为（ ） A ．0.1B ．0.01 C ．0.001D ．0 答案：B 二、填空题5．公交车30 min 一班，在车站停2min ，某乘客到达站台立即乘上车的概率是________. 答案：151 6．某人午觉醒来，发觉表停了，他打开收音机，想听电台报时，假定电台每小时报时一次，则他等待的时间短于10min 的概率为__________. 答案：61 解析：设A={等待的时间不多于10分钟}.我们所关心的事件A 恰好是打开收音机的时刻位于［50，60］时间段内，因此由几何概型的概率公式得，P （A ）=605060-=61． 三、解答题7．现向如右图所示的正方形内随机地投掷飞镖，求飞镖落在阴影部分的概率.解：由⎩⎨⎧-==--．，10436y y x得A （61，-1）. ∵B(1,-1),∴|AB|=1-61=65． 同理，由⎩⎨⎧=--=，，04361y x x 得y=32.∴C(1,32), ∴|BC|=32-(-1)= 35.∴S △ABC =21×65×35=3625．而正方形面积为2×2=4．因此所求概率为1442543625=．8．设A 为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点与A 连结，求弦长超过半径的概率.解：如右图所示，|AB|=|AC|=OB （半径），则弦长超过半径，相当于动点落在阴影部分所在的扇形圆弧上.由几何概型的概率计算公式，得P=32234=OB OBππ.答：弦长超过半径的概率为32.9．设有一均匀的陀螺，其圆周的一半上均匀地刻上区间［0，1］上的诸数字，另一半均匀地刻上区间［1，3］上的诸数字.旋转这陀螺，求它停下时，其圆周上触及桌面的刻度位于［0.5,1.5］上的概率.解析：如右图，旋转陀螺，其圆周上任一点与桌面的接触是等可能的，因此只要接触点落在阴影部分，就表示圆周上触及桌面的刻度位于［0.5,1.5］，由几何概型求概率公式得P=83)8141(22=+=rr S S ππ圆阴更上一层1．一个服务窗口每次只能接待一名顾客，两名顾客将在8小时内随机到达.顾客甲需要1小时服务时间，顾客乙需2小时.求两人都不需要等待的概率. 解：设顾客甲到达的时间为x ，顾客乙到达的时间为y.则 0≤x ≤8 0≤y ≤8无人需要等待所包含的基本事件为y-x ≥1 x-y ≥2试验的每个结果都是等可能的，由几何概型的条件知，只要在阴影部分就表示无人需要等待.∴P=2228621721⨯+⨯=正阴SS=66.4%．2．把长度为a的木棒任意折成三段，求它们可以构成一个三角形的概率.分析：要构成三角形，则必须满足三角形中任意两边之和大于第三边，关键在于确定它所包含的基本事件.解：设其中两段的长为x、y，则所有基本事件：x>0,y>0 x+y<a而构成三角形所包含的基本事件：x<2a,y<2a,x+y>2a.P=4121)22(212=⨯⨯aaa=0.25．答：可构成三角形的概率是0.25．3．从甲地到乙地有一班车在9：30到10：00到达，若某人从甲地坐该班车到乙地转乘9：45到10：15出发的汽车到丙地去，问他能赶上车的概率是多少？思路分析：到达乙地的时间是9.5时到10时之间的任一时刻，汽车从乙地出发的时间是9.75时到10.25时之间的任一时刻，如果在平面直角坐标系内以x轴表示到达乙地的时间，y轴表示汽车从乙地出发的时间，因为到达乙地时间和汽车从乙地出发的时间是随机的，则随机试验的所有结果（x,y)是正方形内等可能的任一点，事件A（他能赶上车）发生的充要条件是x≤y，即对应正方形内阴影部分，事件A发生的概率只与阴影部分的面积有关，适用于几何概型.解析：在平面直角坐标系内，以x和y分别表示到达乙地和汽车从乙地出发的时间，则能赶上汽车的充要条件是x≤y.而（x,y）的所有可能结果是边长为0.5的正方形，而可能赶上车的时间由上图中的阴影所表示.这是一个几何概率问题.由公式得P（A）=2225.021 25.05.0⨯-=0.875．答案：能赶上车的概率为0.875．。

3.3 几何概型第2课时导入新课设计思路一：〔问题导入〕以下图是卧室与书房地砖示意图，图中每一块地砖除颜色外完全一样，小猫分别在卧室与书房中自由地走来走去.在哪个房间里，小猫停留在黑砖上概率大？卧室〔书房〕设计思路二：〔情境导入〕在概率论开展早期，人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果随机试验是不够，还必须考虑有无限多个试验结果情况.例如一个人到单位时间可能是8：00 至9：00之间任何一个时刻；往一个方格中投一个石子，石子可能落在方格中任何一点……这些试验可能出现结果都是无限多个.推进新课新知探究对于导入思路一：由于地砖除颜色外完全一样，小猫自由地走来走去，因此，小猫可能会停留在任何一块地砖上，而且在任何一块地砖上停留可能性一样，对于这样一个随机事件概率，有如下结论：对于一个随机试验，如果我们将每个根本领件理解为从某特定几何区域内随机地抽取一点，而该区域内每一点被取到时机都一样，这样就可以把随机事件与几何区域联系在一起.如果每个事件发生概率只与构成该事件区域长度〔面积或体积〕成比例，那么称这样概率模型为几何概率模型，简称几何概型.几何概型与古典概型一样也是一种等可能事件概率模型，它特点是：〔1〕试验中所有可能出现结果，也就是根本领件有无限多个. 〔2〕根本领件出现可能性相等.实际上几何概型是将古典概型中有限性推广到无限性，而保存等可能性，这就是几何概型.几何概型概率计算方法如下：一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d 内〞为事件A ，那么事件A 发生概率为P(A)= .这里要求D 测度不为0，其中“测度〞意义依D 确定，当D 分别是线段、平面图形与立体图形时，相应“测度〞分别是长度、面积与体积等.对于导入思路二：〔1〕几何概率模型：如果每个事件发生概率只与构成该事件区域长度〔面积或体积〕成比例，那么称这样概率模型为几何概率模型.〔2〕几何概型概率公式：P 〔A 〕=)()(面积或体积的区域长度试验的全部结果所构成面积或体积的区域长度构成事件A . 〔3〕几何概型特点：1°试验中所有可能出现结果〔根本领件〕有无限多个.2°每个根本领件出现可能性相等.应用例如思路1例1 取一个边长为2a 正方形及其内切圆〔如下图〕，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内概率.分析：由于是随机丢豆子，故可以认为豆子落入正方形内任意一点都是时机均等，这符合几何概型条件，可以看成几何概型.于是利用几何概型求概率公式，豆子落入圆中概率应该等于圆面积与正方形面积比.解：记“豆子落入圆内〞为事件A ，那么 P(A)=4422ππ==a a 正方形面积圆的面积. 答：豆子落入圆内概率为4π.点评：在解题时，首先要区分是古典概型还是几何概型，这两种随机事件概率类型虽然每一个事件发生都是等可能，但是几何概型是有无数个根本领件情形，古典概型是有有限个根本领件情形.此外，本例可以利用计算机模拟，过程如下：〔1〕在Excel 软件中，选定A1，键入“=〔rand 〔〕-0.5〕*2”. 〔2〕选定A1，按“ctrl+C〞.选定A2～A1 000，B1～B1 000，按“ctrl+V〞.此时，A1～A1 000，B1～B1 000均为［-1，1］区间上均匀随机数.〔3〕选定D1，键入“=power 〔A1，2〕+ power 〔B1，2〕〞；再选定D1，按“ctrl+C〞；选定D2～D1 000，按“ctrl+V〞，那么D列表示A2+B2.〔4〕选定F1，键入“=IF〔D1＞1，1，0〕〞；再选定F1，按“ctrl+C〞；选定F2～F1 000，按“ctrl+V〞，那么如果D列中A2+B2＞1，F列中值为1，否那么F列中值为0.〔5〕选定H1，键入“FREQUENCY〔F1：F10，0.5〕〞，表示F1～F10中小于或等于0.5个数，即前10次试验中落到圆内豆子数；类似，选定H2，键入“FREQUENCY〔F1：F20，0.5〕〞，表示前20次试验中落到圆内豆子数；选定H3，键入“FREQUENCY 〔F1：F50，0.5〕〞，表示前50次试验中落到圆内豆子数；选定H4，键入“FREQUENCY〔F1：F100，0.5〕〞，表示前100次试验中落到圆内豆子数；选定H5，键入“FREQUENCY〔F1：F500，0.5〕〞，表示前500次试验中落到圆内豆子数；选定H6，键入“FREQUENCY〔F1：F1 000，0.5〕〞，表示前1 000次试验中落到圆内豆子数.〔6〕选定I1，键入“H1*4/10〞，表示根据前10次试验得到圆周率π估计值；选定I2，键入“H2*4/10〞，那么I2为根据前20次试验得到圆周率π估计值；类似操作，可得I3为根据前50次试验得到圆周率π估计值，I4为根据前100次试验得到圆周率π估计值，I5为根据前500次试验得到圆周率π估计值，I6为根据前1 000次试验得到圆周率π估计值.如图：例2 如图，在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM小于AC概率.分析：在线段AB上取一点C′，使得线段AC′长度等于线段AC长度.那么原问题就转化为求AM小于AC′概率.所以，当点M 位于以下图中线段AC′上时，AM＜AC，故线段AC′即为区域d.区域d测度就是线段AC′长度，区域D测度就是线段AB长度.解：在AB上截取AC′=AC.于是P(AM<AC)=P(AM<AC′)=.2.答：AM小于AC′概率为2变式训练：假设将例2改为：如以下图，在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM小于AC概率.解：此时，应该看作射线CM落在∠ACB内部是等可能.公式中区域D是∠ACB〔内部〕，而区域d求法应该与原题是一样，即在线段AB上取一点C′，使得线段AC′长度等于线段AC长度〔如图〕，那么区域d就是∠ACC′〔内部〕.从而区域d测度就是∠ACC′度数，区域D测度就是∠ACB度数.∠ACC′==67.5°，所以所求事件概率为.点评：由此可见，背景相似问题，当等可能角度不同时，其概率是不一样.此题可参考习题3.3第6题.例3 (会面问题)甲、乙二人约定在12 点到下午5 点之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去.设二人在这段时间内各时刻到达是等可能，且二人互不影响.求二人能会面概率.分析：两人相约时间都是5小时，设X ,Y 分别表示甲、乙二人到达时刻，因此，0≤X≤5,0≤Y≤5，这样两人到达时刻就构成一个正方形，而两人能会面必须满足|X －Y|≤1，而这个不等式所表示是一个带状，位于正方形内图形，由于两人到达时刻是随机，而且，在每一个时刻到达可能性是一样，因此，符合几何概型所具有特点，可以运用几何概型概率计算方法来计算.解：记A={二人能会面}.以 X ,Y 分别表示甲、乙二人到达时刻，于是0≤X≤5,0≤Y≤5,即点M 落在图中阴影局部.所有点构成一个正方形，即有无穷多个结果.由于每人在任一时刻到达都是等可能，所以落在正方形内各点是等可能，符合几何概型条件.二人会面条件是：|X －Y|≤1,故正方形面积为5×5=25，阴影局部面积为5-2×21×42259. 点评： 建立适当数学模型，是解决几何概型问题关键.对于“碰面问题〞可以模仿此题建立数学模型.例4 如图，随机投掷一个飞镖扎在靶子上，假设飞镖既不扎在黑色靶心，也不扎在两个区域之间，更不会脱靶，求飞镖扎在以下区域概率：(1)编号为25区域；(2)编号在6到9之间区域；(3)编号为奇数区域.〔每一个小区域面积一样〕分析：由于飞镖是随机投掷到靶子上，并且落在靶子每一个位置可能性一样，因此，符合几何概型特点.解： 假设靶子每一个区域面积为1个单位，那么靶子所在圆面积为28个单位.〔1〕记事件A 为“飞镖扎在编号为25区域〞，那么P(A)= 281. 〔2〕记事件B 为“飞镖扎在编号为6到9之间区域〞，那么P(B)= .〔3〕记事件C 为“飞镖扎在编号为奇数区域〞，那么P(C)=.答：〔1〕飞镖扎在编号为25区域概率为281；(2)飞镖扎在编号在6到9之间区域概率为71；(3)飞镖扎在编号为奇数区域概率为21. 点评：仔细研读题目，从题目提供信息进展分析，寻找适当解题方法，是解决此题要害所在.思路2例1 在1 L 高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病种子，从中随机取出10 mL ，含有麦诱病种子概率是多少分析：病种子在这1 L 种子中分布可以看作是随机，取得10 mL 种子可视为区域d ，所有种子可视为区域D.解：取出10 mL 麦种，其中“含有病种子〞这一事件记为A ，那么 P(A)=1001100010==所有种子的体积取出种子的体积. 答：含有麦诱病种子概率为1001. 点评：由于病种子是随机地处在容器中，它可以位于容器任何一个位置，而且在每一个位置可能性一样，符合几何概型特点，所以运用几何概型概率计算方法来解决此题.例2 假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6:30～7:30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作时间在早上7:00～8:00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)概率是多少？分析：由于两人到达与离开时刻是随机，而且，在每一个时刻到达或离开可能性是一样，因此，符合几何概型所具有特点，可以运用几何概型概率计算方法来计算.解：如图，以横坐标x表示报纸送到时间，纵坐标y表示父亲离家时间建立平面直角坐标系，假设随机试验落在方形区域内任何一点是等可能，所以符合几何概型条件.根据题意，只要点落到阴影局部，就表示父亲在离开家前能得到报纸，即事件A发生，所以P(A)==87.5%.点评：建立适当数学模型，该模型符合几何概型特点，这是解答此题关键所在.另外我们还可以运用计算机产生随机数来模拟该试验.设X是0到1之间均匀随机数，Y也是0到1之间均匀随机数.如果Y+7＞X+6.5，即Y＞X-0.5，那么父亲在离开家前能得到报纸.计算机模拟方法：〔1〕选定A1，键入函数“=rand〔〕〞；〔2〕选定A1，按“ctrl+C〞，选定A2～A50，B1～B50，按“ctrl+V〞.此时，A1～A50，B1～B50均为［0，1］区间上均匀随机数.用A列数加7表示父亲离开家时间，B列数加6.5表示送报人送到报纸时间.如果A+7＞B+6.5，即A-B＞-0.5，那么表示父亲在离开家前能得到报纸.〔3〕选定D1，键入“=A1-B1”；再选定D1，按“ctrl+C〞，选定D2D50，按“ctrl+V〞.〔4〕选定E1，键入函数“=FREQUENCY〔D1：D50，-0.5〕〞，E1表示统计D列中小于或等于-0.5数个数，即父亲在离开家前不能得到报纸频数.〔5〕选定F1，键入“=〔50-E1〕/50.F1表示统计50次试验中，父亲在离开家前能得到报纸频率.下面是我们在计算机上做50次试验，得到结果是P(A)=0.88，如图：例3 假设一个直角三角形两直角边长都是0到1之间随机数，试求斜边长小于34事件概率.分析：由于直角边长是0到1之间随机数，因此设两直角边长分别为x,y，而x,y满足0≤x≤1,0≤y≤1，斜边长=，x,y可以落在0≤x≤1,0≤y≤1所表示图形任何一个位置，而且在每个位置可能性一样，满足几何概型特点.解：设两直角边长分别为x,y，那么0≤x≤1,0≤y≤1，斜边长=，如右图，样本空间为边长是1正方形区域，而满足条件事件所在区域面积为.因此，所求事件概率为P=.点评：根据条件，构造满足题目条件数学模型，再运用几何概型概率计算方法来计算某个事件发生概率，是一种常用求解概率问题方法.例4 甲、乙两人相约于中午12点到13点之间在某一个地方碰面，并约定先到者等候20分钟后可以离开，试设计模拟方法估计两人能碰面概率.分析：当两人到达碰面地点时间相差在20分钟之内时，两人能碰面.我们可以用两个转盘来模拟两人到达碰面地点时间.解： 运用转盘模拟方法.具体步骤如下：〔1〕做两个带指针〔分针〕转盘，标上刻度在0到60来表示时间，如右图；〔2〕每个转盘各转m 次，并记录转动得到结果，以第一个转盘结果x 表示甲到达碰面地点时间，以第二个转盘结果y 表示乙到达碰面地点时间；〔3〕统计两人能碰面〔满足|x －y|<20〕次数n ；〔4〕计算m n 值，即为两人能碰面概率近似值〔理论值为95〕. 点评：实施模拟方法除了转盘模拟方法外，还可以运用现代信息技术即计算机来模拟，具体操作如下：〔1〕新建一个电子表格文件，在A1位置输入：=RAND( )60，产生一个0到60随机数x ；〔2〕将A1位置处表达式复制到B1处，这样又产生一个0到60随机数y ；〔3〕在C1位置处输入：=IF 〔A1-B1<=-20，0，IF 〔A1-B1<20，1，0〕，判断两人能否碰面〔即是否满足|x －y|<20〕，如果是，就返回数值1，否那么返回数值0；〔4〕将第一行三个表达式复制100行，产生100组这样数据，也就是模拟了100次这样试验，并统计每次结果；〔5〕在C101处输入：=SUM(C1:C100)/100统计这100次重复试验中正好两人能碰面频率，即事件“两人能碰面〞发生概率近似值.知能训练课本本节练习4、5.解答:4.设A={射线OA落在∠xOT内}.因为射线OA落在∠xOT内是随机，也就是射线OA可以落在∠xOT内任意一个位置，这符合几何概型条件，区域d测度是60，区域D测度是360，根据几何概型概率计算公式，得P(A)=.5.运用计算机模拟结果大约为2.7左右.点评：根据实际问题背景，判断是否符合几何概型特点，如是那么选择符合题意“测度〞，运用求几何概型概率方法来解决问题，此外我们还可以设计符合问题模拟方法来模拟得到问题近似解.课堂小结在这节课上我们主要是运用几何概型求解一些问题概率，以及运用模拟方法求某一个事件概率近似值.结合上节课内容可以知道，几何概型概率问题仍然是随机事件概率，与古典概型区别是古典概型所含根本领件个数是有限个，而几何概型所包含根本领件个数是无限.对于几何概型我们着重研究如下几种类型：〔1〕与长度有关几何概型；〔2〕与面积有关几何概型；〔3〕与体积有关几何概型；(4)与角度有关几何概型.其中我们对与面积有关几何概型与与体积有关几何概型要求重点掌握.作业课本习题3.3 4、5、6.设计感想几何概型是区别于古典概型又一随机事件概率模型，在解决实际问题时首先根据问题背景，判断该事件是属于古典概型还是几何概型，这两者区别在于构成该事件根本领件个数是有限个还是无限个.在使用几何概型概率计算公式时，一定要注意其适用条件：每个事件发生概率只与构成该事件区域长度成比例.随机数在日常生活中，有着广泛应用，我们可以利用计算器或计算机来产生均匀随机数，从而来模拟随机试验，其具体方法是：建立一个概率模型，它与某些我们感兴趣量〔如概率值、常数〕有关，然后设计适当试验，并通过这个试验结果来确定这些量.这种方法也是我们研究问题常用方法.习题详解1.记A={灯与两端距离都大于2 m}.因为把一盏灯挂在绳子上位置是随机，也就是说灯挂在绳子上位置可以是绳子上任意一点，这符合几何概型条件，根据P=，得P(A)= .答：灯与两端距离都大于2 m概率为13.2.记A={所投点落入小正方形内}.由于是随机投点，故可以认为所投点落入大正方形内任意一点都是时机均等，这符合几何概型条件，可以看成几何概型.于是利用几何概型求概率公式，所投点落入小正方形内概率应该等于小正方形内面积与大正方形面积比，即 P(A)=943222==大正方形面积小正方形面积. 答：所投点落入小正方形内概率为94.3.记A={所投点落在梯形内部}.由于是随机投点，故可以认为所投点落入矩形内任意一点都是时机均等，这符合几何概型条件，可以看成几何概型.于是利用几何概型求概率公式，所投点落入梯形内部概率应该等于梯形面积与矩形面积比，即 P(A)=125)2131(21=⨯⨯+⨯=b a b a a 矩形面积梯形面积. 答：所投点落在梯形内部概率为125. 4.设A={该点落在正方形内}.因为该点落在正方形内是随机，也就是该点可以落在正方形内任意一个位置，这符合几何概型条件，根据几何概型求概率计算公式，得P(A)=. 答：乘客到达站台立即乘上车概率为π21. 5.分析：直接求“硬币落下后与格线有公共点〞概率比拟困难，可以考虑先求“硬币落下后与格线无公共点〞概率，再求“硬币落下后与格线有公共点概率〞.解：因为直径等于2 cm 硬币投掷到正方形网格上是随机，也就是硬币可以落在正方形网格上任意一个位置，这符合几何概型条件.要求“硬币落下后与格线无公共点〞概率，根据几何概型求概率计算公式：P(A)=，因为每个小正方形边长都等于6 cm ，硬币直径为2 cm ，设有n 个小正方形，那么区域d 测度为n·π·12，区域D 测度n·62，故“硬币落下后与格线无公共点〞概率为，而事件“硬币落下后与格线有公共点〞是“硬币落下后与格线无公共点〞对立面，所以事件“硬币落下后与格线有公共点〞概率为1－36π.答：硬币落下后与格线有公共点概率为1－36π.6.贝特朗算出了三种不同答案，三种解法似乎又都有道理.人们把这种悖论称为概率悖论，或贝特朗奇怪论.贝特朗解法如下：解法一：任取一弦AB ，过点A 作圆内接等边三角形〔如图1〕.因为三角形内角A 所对弧，占整个圆周31.显然，只有点B 落在这段弧上时，AB 弦长度才能超过正三角形边长a ，故所求概率是31.解法二：任取一弦AB ，作垂直于AB 直径PQ.过点P 作圆内接等边三角形，交直径于N ，并取OP 中点M 〔如图2〕.容易证明QN=NO=OM=MP.我们知道，弦长与弦心距有关.一切与PQ 垂直弦，如果通过MN 线段，其弦心距均小于QN ，那么该弦长度就大于等边三角形边长，故所求概率是21.解法三：任取一弦AB.作圆内接等边三角形内切圆〔如图3〕，这个圆是大圆同心圆，而且它半径是大圆21，它面积是大圆4141. 图1 图2 图3细细推敲一下，三种解法前提条件各不一样：第一种假设了弦端点在四周上均匀分布；第二种假设弦中点在直径上均匀分布；第三种假设弦中点在小圆内均匀分布.由于前提条件不同，就导致三种不同答案.这是因为在那时候概率论一些根本概念〔如事件、概率及可能性等〕还没有明确定义，作为一个数学分支来说，它还缺乏严格理论根底，这样，对同一问题可以有不同看法，以致产生一些奇谈怪论.。

第6课时7.3.1 几何概型(1)分层训练1、在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是（）A．0.5 B．0.4 C．0.004 D．不能确定2、在长为10cm的线段AB上任取一点M,并以线段AM为边作正方形,则正方形的面积介于236cm与281cm之间的概率是( )A．0.3 B.0.6 C．0.7 D．0.93、水面直径为0.5米的金鱼缸的水面上飘着一块面积为20.02米的浮萍,则向缸里随机洒鱼食时,鱼食掉在浮萍上的概率约为 ( )A. 0.1019B.0.2038C.0.4076D.0.02554、以假设△ABC为圆的内接三角形,AC=BC,AB 为圆的直径,向该圆内随机投一点,则该点落在△ABC内的概率是 ( )A. 1πB.2πC.4πD.12π5、设标靶的半径为10cm，则中弹点与靶心的位置小于5cm的概率为．拓展延伸6、一海豚在水池中自由游弋,水池为长30m,宽20m的长方体.求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率.7、如果在一个5万平方公里的海域里有表面积达40平方公里的大陆架贮藏着石油,假如在这海领域里随意选定一点钻探,问钻到石油的概率是多少? 8、平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r<a的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率．本节学习疑点：7.3.1 几何概型(1)M1、C （提示：由于取水样的随机性，所求事件A ：“在取出2ml 的水样中有草履虫”的概率等于水样的体积与总体积之比5002=0.004） 2、A 3、A 4、A 5、2251104P ππ⋅==⋅ 6、整个区域面积为30×20=600(2m ), 事件A 发生的区域面积为30×20-26×16=184(2m ), 所以18423()0.3160075P A ==≈. 7、如果在一个5万平方公里的海域里有表面积7、由于选点的随机性,可以认为该海域中各点被选中的可能性是一样的,因而所求概率自然认为等于贮油海域的面积与整个海域面积之比,即等于40/50000=0.0008.8、解：把“硬币不与任一条平行线相碰”的事件记为事件A ，为了确定硬币的位置，由硬币中心O 向靠得最近的平行线引垂线OM ，垂足为M ，如图所示，这样线段OM 长度（记作OM ）的取值范围就是[o,a]，只有当r ＜OM ≤a 时硬币不与平行线相碰，所以所求事件A 的概率就是P （A ）=的长度的长度],0[],(a a r =a ra -。

求几何概型概率的关键有二：(1)明确类型，即要明确是 长度型、面积型，还是体积型，判断的方法是看基本事件发生 在一个几维空间内；(2)准确求出相应的几何度量.
题型一 与角度有关的几何概型问题 【例1】 在Rt△ABC中，∠A＝30°，过直角顶点C作射线C
M交线段AB于点M，求使AM＞AC的概率． [思路探索] 图中因为过一点作射线是均匀的，因而应把 在∠ACB内作射线CM看做是等可能的，基本射线CM落在∠ACB内 任一点，使AM＞AC的概率只与∠BCC′的大小有关，这符合几何
第2课时 几何概型(2) 【课标要求】
1．正确理解几何概型的概念，掌握几 何概型的概率公式；
2．通过模拟试验，感知应用数字解决 问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好
习惯； 3．感知用图形解决概率问题的方法， 掌握数形结合数学思想与逻辑推理的数学
自学导引 1．几何概型的概率是用几何测度来表示的，首先 根据几何概型的特点判断其为几何概型，然后利用长 度比，面积比，体积比来表示其发生的可能性的大
试验的全部结果可构成集合 Ω＝{(x，y)|0＜x＜l,0＜y＜l,0＜x＋y＜l}． 3 段的长度能构成三角形，当且仅当任意两段的长度之和大于第 3 段长度， 即 x＋y＞l－x－y⇒x＋y＞2l ， x＋l－x－y＞y⇒y＜2l ， y＋l－x－y＞x⇒x＜2l . 故所求事件的结果构成的集合：
成三角形的概率． [思路分析] 可以考虑先将三段的长度用两个字母x、y表示 出来，然后找出x、y应该满足的关系式，从而找出x与对应的y 构成的点的坐标．根据其满足的关系，点(x，y)构成的集合是平 面图形，从而我们可以利用几何概型求得其概率．
解 设事件 A 为“3 段的长度能构成三角形”，x、y 分别表 示其中两段的长度，则第 3 段的长度为 l－x－y.