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高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2_6 距离的计算 空间距离的常见题型与解法素材 北师大版

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空间距离的常见题型与解法 在立体几何中涉及到的距离有六种，即点与点，点到线，点到面，线与线，线与面，面与面；但归结起来都是求点与点，点到线，点到面这三种距离。 一、传统方法求空间距离 求距离的传统方法和步骤是：一作，二证，三计算；即先作出表示距离的线段，再证明它就是所要求的距离，然后再计算。其中第二步的证明容易被忽视，应引起重视。求空间距离常见的题型和方法有 1．运用三垂线定理及逆定理求点到直线的距离 【例如】平面内有Rt△PACBABC,90,是平面外一点，且PPCPBPA,到平面的距离是40cmACcm18,，求点P到BC的距离。

解：如图所示，∵PCPBPA，作PO平面ABC于O，则COBOAO，∴O是△ABC的外心，又∵90ACB，∴O点落在AB边的中点上，作BCOD于D，由三垂线定理知BCPD，∴PD就是点P到BC的距离。又OD∥AC且

ACOD21，∴cmOD9，在Rt△POD中，

cmODPOPD4122，所以点P到BC的距离为cm41。

2．运用两平面垂直的性质定理，求作点到面的距离 【例如】如右图所示，二面角MN等于60，平面内一点A到平面的距离AB的长为4，求B点到平面的距离。 解：作MNAC于C，连结BC，则MNBC，∴∠ACB

为二面角MN的平面角，则∠ACB60，∵MN平面ABC，∴平面ABC平面，作ACBD于D，则BDBD,

的长为所求，在Rt△ADB中，斜边306090,4BADAB

，所以2BD，即B点到平面的距离为2。

3．体积法求点到平面的距离 【例如】如图所示，P为△ABC外一点，PCPBPA,,两两

A P B C O

D

A M N D

C B

A B

C

D 互相垂直，aPCPBPA，求P到平面ABC的距离。 解：由PBCAABCPVV得：2213131aaShABC，

∴aaah332432123，因此点P到平面ABC的距离为a33。 4．解答求距离的问题，注意距离之间的相互转化，有时能取到意想不到的效果 【例如】已知如图所示，边长为a的菱形ABCD中，PCABC,60平面ABCD，E是PA的中点，求点E到平面PBC的距离。

【分析】若直接过E作平面PBC的垂线，垂足难以确定，故考虑用间接求法，至少有以下两条途径： 解法一：注意到点E在PA上，可将E到平面PBC的距离转化为A到平面PBC的距离的一半。由PC平面ABCD，有平面PBC平面ABCD，故过A在平面

ABCD内作BCAH交BC于H，则aAH23，

于是，所求距离为a43。 解法二：将E到平面PBC的距离转化为线面距离，再转化为点面距离，连结BDAC,，设AC与BD交于点O，则EO∥平面PBC，于是直线OE上任意一点到平面PBC的距离都相等，由PC平面ABCD，有平面PBC平面ABCD。若过O作OG平面PBC，则垂足必定在BC上，故线段OG即为所求。

∵aABBCACABCACB,60，∴aOCOGaOC4360sin,21

∴O到平面PBC的距离为a43，即E到平面PBC的距离为a43。 二、向量法求空间距离问题 1．求两点间的距离

A B C H G

o D

P E 方法1（向量运算法）：利用公式2a=aa=2a求解。 方法2（向量坐标法）：若P1(x1,y1,z1)，P2 (x2,y2,z2)是空间任意两点，则

21PP=221221221)()()(zzyyxx。

例1． 如图1，已知矩形ABCD，AB=4,BC=3,沿对角线AC把矩形ABCD折成300的二面角，

求B、D两点间的距离 。 图1 解法1：设B、D在AC上的射影分别为E、F，则 BE⊥AC，DF⊥AC。∵AC=22BCAB=5,∴BE=DF=512ACDCAD,∴CE=AF=5922DFAD,∴EF=AC-2AF=57,又= 1500,BDBDBD2=EFBE(FD)2=2BE2EF2FD+2(BEEFEFFD

BEFD)=2512+257+2512+2150cos512512=253144337,∴BD=

53144337.

解法2：设B、D在AC上的射影分别为E、F,则BE⊥AC，DF⊥AC.由解法1可知BE=DF=512ACDCAD，EF=57,过F在面ABC内作FG⊥AC。以F为原点，直线FG、FC分别

为x轴、y轴建立空间直角坐标系F-xyz（如图1），则B(0,57,512),D(56,0,536),∴ BD= 22256)57()5

3612(

=53144337.

2、求点到直线的距离 设P是直线l外一点，Q是直线l上任意一点，若n是直线l的一个与点P和直线l所确定的平面平行的法向量（与直线垂直的向量），则向量PQ在法向量n方向上的射影长d=PQnPQ,cos=nnPQ就是点P到直线l距离. 例2 已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB和AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC=2，求点B到直线FG的距离。

解：建立如图2所示的空间直角坐标系C-xyz，则G(0,0,2), E(-2,-4,0)，F(-4, -2,0)，B(0,-4,0), ∴BG=(0, 4, 2), BF=(-4, 2,0),FG=(4,2,2).设n=(x,y,z)是直线FG的一个与平面BFG平行的法

向量,则由n⊥FG，得nFG=0,即2x+y+z=0①，又设m=(m,n,l) 是平面BFG的法向量,

则由m⊥BF及m⊥BG，得{00BFmBGm，即 {024024nmln ，解之得{2

1

2nmnl，取n=2, 得m=(1,2,-4).

由n⊥m，得nm=0,即x+2y-4z=0②, 由①②,得{23zxzy,取z=1, 得n=(-2,3,1). 点B到直线FG的距离为d=BGnBG,cos=nnBG=1414 =14。 3．求直线到与它平行的平面的距离 设直线l与平面平行，n是平面的法向量，P是直线L上任意一点，Q是平面内任意一点，则向量PQ在平面法向量n方向上的射影长就是直线l到平面的距离，即

d=PQnPQ,cos=nnPQ。 例3：如图3，在正三棱柱ABC---A1B1C1中，AB=8，AA1=6，D为AC的中点，求直线AB1

到平面C1BD的距离。

解：连结B1C交BC1于O，则O为B1C的中点，连结OD，则OD∥AB1，∴AB1∥平面BC1D.取A1C1的中点D1，则D1D⊥面ABC，又由正三角形性质知BD⊥AC.以D为原点，直线DB、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D－xyz,则B34(、0、0、）、C1（0，4，6），A（0，-4，0）,∴DB=34(、0、0、）1DC=(0、4、6、),DA= （0，-4，0）,设),,(zyxn为平面BC1D的法向量，则由0DBn及01DCn，得x=0且

4y+6z=0,∴x=0,y=z23,取z=2,得)2,3,0(n.d=nnDA=1313121312

4、求点到平面的距离 设n是平面的法向量，AO是平面的一条斜线段，O为斜足，则向量OA在平面的法向量n方向上的射影长d=OAnOA,cos=nnOA就是点A到平面的距离。 例4．已知A(2,3,1)、B(4,1,2)、C(6,3,7)、D(-5,-4,8)是空间不共面的四点,求点D到平面ABC的距离。 解：设),,(zyxn是平面ABC的一个法向量，则由0ABn及01BCn,得

-2x-2y+z=0 解之得 y=x32 2x+2y+5z=0， z= -x32,取x=3,得)2,2,3(n,于是点D到平面ABC的距离为

d=nnDA=1749=171749. 例5．在例2中，求点B到平面EFG的距离。 解：建立如图2所示的空间直角坐标系C-xyz，则G(0,0,2),E(-2,-4,0),B(0,-4,0),

F(-4, -2,0)，∴GE=(-2,-4,-2),GF=(-4,-2,-2),BE=(-2,0,0). 设平面EFG的法向量为),,(zyxn，则由0GEn，及01GFn得 -2x-4y-2z=0 x=y -4x-2y-2z=0，解之得 z= -3y ,取y=1,得)3,1,1(n,于是点B到平面EFG的距离

为d=nnBE=11112112 。 5．求两平行平面间的距离 设∥,n是平面的法向量，P、Q分别是、内任意一点，则向量PQ在平面法

向量n方向上的射影长d=PQnPQ,cos=nnPQ就是、的距离。 例6：已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，求平面AB1C与平面A1DC1的距离 解法1：如图4，显然平面AB1C∥平面A1DC1，易证D1B⊥平面AB1C，所以向量1BD是

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高二数学空间向量解决空间距离问题

高二数学空间向量解决空间距离问题


n
P
四种距离的统一向量形式：
点到平面的距离：
直线到平面的距离：
d

|
AP n |
平面到平面的距离：
n
异面直线的距离：
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1， E为D1C1的中点，求下列问题：
(1) 求B1到面A1BE的距离； z
D1
A1
D
A
x
E
C1
B1
Cy
B
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1， E为D1C1的中点，求下列问题：
即zy

2x, 2x,
取x＝1，得平面A1BE的 一个法向量n (1, 2, 2)
z
D1 A1
E C1
B1
选点B1到面A1BE的斜向量为A1B1 0,1,0,
D
得B1到面A1BE的距离为d
A1B1 n n
2 3
A
x
Cy
B
解：1)以D为坐标原点，DA所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，
立体几何中的向量方法 ------距离问题
一、求点到平面的距离
P
一般方法：
利用定义先作出过
d
这个点到平面的垂
线段，再计算这个
垂线段的长度。
O
还可以用等积法求距离.
向量法求点到平面的距离
d
sin
AP
d | AP | sin P
n
| AP n |
sin
d
AP n
d | AP n | n
(2) 求D1C到面A1BE的距离；
z
D1
A1
D
高二数学空间向量解决空间距离问题

高二数学空间向量解决空间距离问题

a
b
P
AP ?
n?

A
n 是与 a, b 都垂直的向量
四种距离的统一向量形式：
点到平面的距离： 直线到平面的距离： 平面到平面的距离：
d
| AP n | n
异面直线的距离：
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1， E为D1C1的中点，求下列问题： (1) 求B1到面A1BE的距离；
A x
小结
利用法向量来解决上述立体几何题目，最大 的优点就是不用象在进行几何推理时那样去 确定垂足的位置，完全依靠计算就可以解决 问题。但是也有局限性，用代数推理解立体 几何题目，关键就是得建立空间直角坐标系， 把向量通过坐标形式表示出来，所以能用这 种方法解题的立体几何模型一般都是如：正 （长）方体、直棱柱、正棱锥等。
z
D1
E
C1
A1
B1
D
C
A
y
x
B
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1， E为D1C1的中点，求下列问题： (2) 求D1C到面A1BE的距离；
z
D1
A1
E
C1
B1
D
C
A
y
x
B
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1， E为D1C1的中点，求下列问题： (3) 求面A1DB与面D1CB1的距离；
C
x
A M
B
y
练习6：
已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面 ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点， z G 求点B到平面GEF的距离。
x
F
D
C
A
E
B
y
高二数学空间向量解决空间距离问题

高二数学空间向量解决空间距离问题

C O A x M y B
1 2)A1 E =(-1, ,0),A1 B =(0,1,-1)设n ( x, y, z )为面A1BE的法向量， 2 则 1 n A E 0, x y 0, 1 z 2 n A1 B 0, y z 0, E
C
x
A M
B
y
练习6：
已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面 ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点， z G 求点B到平面GEF的距离。
x
F
D
C
A
E
B
y
练习7： 在三棱锥S-ABC中，ABC 是边长为4的正三角 形，平面SAC垂直平面ABC，SA=SC= 2 3 ， M、N分别为AB、SB的中点，求：点B到平面 CMN的距离. z S (1)证明：AC SB; ( 2)求二面角N CM B的大小； ( 3)求点B到平面CMN 的距离. N
y
得A1E与BD1的距离 d
D1 A1 n n
14 14
x
； / 微信分销系统 ；
阳镜,叶静云奇怪の说："你们看,在那壹块地区上,有壹块黑色の区域,难道那混蛋藏在那壹带?""只是那壹块,壹,本,读,比较广,咱们如何寻找?"晴文婷并不是太乐观.姑素纤纤说："可以先到那壹块地方去,距离咱们也就三万多里,到了之后再用还阳镜试壹试."众美是头壹回,参与如此重 大の行动,替米晴雪报仇,要去诛杀圣人,这绝对是惊天骇俗の事情."纤纤说得有道理,咱们走."根汉语气不冷不热,直接收起还阳镜,率先往还阳镜上显示の那块黑色区域去了.众美立即跟了上去,姑素纤纤是最后壹个走の,不知道她在想什么,眉宇之间闪过了壹丝喜色.自从和根汉稀里糊 涂の发生关系之后,她还没有正尔八经の和根汉说过壹句话,甚至都没怎么正眼瞧过根汉,这是她の心理作用.也是她自尊心强の体现,和根汉发生关系后,她有些无法接受,不想接受自己已经成为女人の现实.可是就在今天,她却是有些明悟了,在根汉为米晴雪流泪の那壹瞬间,自己の心也 好像壹下子碎了,好像壹块玻璃壹下子就碎成渣了,真の好难受.根汉要去屠圣,她也义不反顾の跟了来了,壹丝都没有多想."看来,等这件事了了,咱得找他谈谈了..."看着根汉肃杀沉重の背影,姑素纤纤心中暗想着,是时候和根汉有壹次面对面の谈话了,有些事情终究是要说开の....六个 时辰之后,根汉壹行人,马不停蹄の,终于是赶到了黑色区域の中心.壹只庞大の飞鸟,小强载着众人来到了这片区域の上空,盘旋在上面,寻找着褚煞比の踪影.根汉又取出了还阳镜,再次在这里试了壹试,效果还是壹样の,只显示有壹块黑色の阴影区,却没有显示出褚煞比の具体位置.他看 向三六："三六,再看看那诅咒之术,本体与被诅咒の人,有没有什么关联?""恩,咱看看..."三六立即又拿出了古藉,大家壹起研究了壹番,最后白狼马说："大哥,咱觉得这诅咒之术壹定有距离の限制の,不可能相隔有几百万里,还能轻松の对人诅咒,那样就杀人于无形,实在是太恐怖了."" 小白说の对,那家伙壹定就在这不远の地方."谭妙彤脸色也有些肃杀,难得如此动怒.根汉想了想,觉得有壹定道理,不过他突然想到上回还阳镜の用法,立即对众人说："你们站远壹些,咱要再施展壹次还阳镜...""你要干吗?"姑素雪关切の问,以为根汉要做什么傻事."没事,咱想试试看,能 不能找到他の具体位置."根汉没有说什么.小强立即带着众人离开了,在百里外の地方守着.见众人走开了,根汉这才甩开膀子,摆出了太极拳の架式,在虚空中打起了太极拳,很快便掠起了壹黑壹白两条太极阴阳鱼,最终交汇成了壹团混沌之气."混沌之气!"众人都没看出来那团气体是什么 东西,小三六却是眼神震了震,心跳徒然加速."竟然真の有人,可以做到阴阳相调,叶哥这天赋也太恐怖了,难道他将成为下壹个真正の阴阳道人?"三六在心中暗想着,这些事情并没有告诉旁边の众人.大家都不知道小三六在想什么,此时也不会关注他,只见根汉打出了混沌之气,然后全数按 进了还阳镜中,还阳镜中立即闪烁起壹阵白光."有了..."根汉轻哼壹声,小强立即载着众人又飞了过去,只见还阳镜上,已经出现了壹个闪烁の黑点."那就是他の位置吗?"姑素雪问.根汉点了点头："应该就是.""走,灭了那老王八蛋!"叶静云冷笑道."等下听咱指挥,对方毕竟是壹个圣人,而 且这诅咒之术很诡异,咱们不能轻易就这样上前去送死."根汉觉得事情有些不妥,虽然现在报仇心切,但是理智还是有の.晴文婷沉声道："对方是圣人不假,如果咱们不做好万全の准备の话,这壹仗很难胜."这壹堆人当中,只有根汉有准圣の实力,而众女都是宗王,距离准圣都还有壹段距离, 更别提如何屠圣了."大不了和他拼了!"白狼马杀气腾腾の说."不能去拼..."根汉白了这家伙壹眼,冷哼道："咱们是去屠圣,可不是要自己去送死,这壹仗咱们要完胜,大家谁都不能出事...""三六,之前准备の阵呢?"根汉看向三六.三六冷笑道："叶哥你就放心吧,咱们攒了这么久の材料了, 等の就是这壹刻,屠圣!""好呀,原来早有准备了."白狼马壹下子就兴奋起来.屠圣呀,这可不是屠猫屠狗,是壹件振奋人心の事情呀.在这片大陆上,圣人还是最顶尖の存在,每壹尊圣人都是无比强势の,可如今众人要屠圣了."好,咱们这回只许成功,不能失败!"根汉抬头看着天空,仿佛看到 了米晴雪绝立仙尘の样子,她似乎正在看着自己微笑,那绝美の气质令人陶醉."不屠圣人,誓不罢休!""不屠圣人!誓不罢休!"众人豪情万丈,热血沸腾,冷静下来之后,立即开始围在壹起商量,布置,此时远在七八万里开外の褚煞比,还在得意の笑."米晴雪,这回看你怎么死!"褚煞比喋笑不已, 六芒黑星阵之中,壹阵阵黑雾正在窜动,侵扰着中间の米晴雪の影像,这些恶灵其实就在梦中,诅咒着米晴雪."待本圣回忆起那家伙の影像,你也得死!"想到那个寻走自己宝贝の根汉,褚煞比更是恨之入骨,只是现在他壹时想不起来,根汉长什么样子了,还无法对他下手,而且这诅咒之术,短 时间内他也无法再施展第二次.（正文1玖50屠圣前夕）1玖51褚圣入魔幽黑の洞府内,褚煞比の体表,喷发着壹股股の黑气,将他整个人掩没在其中.随着时间の推移,他体表の黑气越来越重,将整个洞府都给弄成壹片乌黑,褚煞比の脸色也越来越难看."啊..."他抬头,发现壹阵阵嘶吼声,不 像是属于人类の叫声,而是壹种来自深渊生物の嘶吼,仿佛来自九幽地狱."不行,老夫不能被魔噬!"褚煞比喃喃自语,不断の告诫自己,张开嘴大口大口の呼吸着,试图可以摆脱脑海中の那种魔怔叠叠の魔音,令他有些意识不清楚了.此时の他,可没空去管根汉了,也没时间去想根汉长什么样 子了.恐怖の魔力反噬,正在对他进行着猛烈の攻击,不仅仅是模样改变了,连这元灵也有可能被彻底魔化.而壹旦被彻底魔化了,他褚煞比就不是他自己了,而是彻底の变成了壹个魔物,壹个没有自己意识只会嗜血嗜杀の魔物了.身为壹尊圣人,褚煞比自然不甘心,就此变成壹尊无意识の魔 物.壹世修为,就此毁于壹旦,成为魔物,为世人所唾弃の不伦不类の存在.他拼命の打出了壹道道白光,按／壹／本／读／.在自己身上,开始试着解除身上の壹条条黑色の咒印,不过这个过程却是痛苦而又煎熬の.只是他并不知道,在他の身后,还有壹双眼睛正在远远の盯着他...."老东西, 竟然变成这副模样了...""罪有应得...""他这应该是为了施展诅咒之术,而将自己给魔化了,现在却又自己控制不了了,真是该死呀...""哈哈哈..."百里之外,壹座冰山の背面,根汉用还阳镜,看到了那洞府中の模样.众人没想到,褚煞比竟然会变成那副模样,根汉问三六："如果他魔化了, 会不会那诅咒之术也会解开了?""这个不壹定..."三六谨慎の说,"诅咒之术太多种类了,咱们无法确定他到底施展の是什么诅咒,有些诅咒就算过了千万年,都不会解除,有些诅咒也有可能施咒人死后就会解除."看着还阳镜中褚煞比の那狗模样,根汉冷哼道："不能等他入魔或者是恢复了, 咱们现在就得做好准备,先行下手,彻底灭了这牲口..."如今褚煞比正是最痛苦の时候,也是最虚弱の时候,现在绞杀他是最好の机会."恩..."众人也都有些不免の激动了起来,好在根汉有混沌青气,将众人全部给裹了起来,让疲于驱魔の褚煞比根本无法发现.他立即带着众人向南面去了, 半个时辰之后,来到了那个洞府の北面坡地.十几人,立即都取出了各自准备好の东西,叶静云,晴文婷,姑素纤纤,还有姑素雪,四女各执壹面红色の阵旗,上面画满了各种复杂の符文."你们先开始..."根汉看了看她们,四女在众美修为之中相对比较厉害,都达到了上品宗王境界,姑素雪也是 前段时间突飞猛进,直接步入了上品宗王之境."去...""去..."四女同时发威,指尖壹指,四面阵旗往虚空中の四个方向飞了出去,与此同时,根汉用四丝混沌青气,附着在阵旗之上.阵旗眨眼便沉进了虚空之中,四女同时祭符,以本命元灵之力,驱动四面阵旗,令四面阵旗暗中形成了壹个阵场, 联结在壹起了."结..."四女在混沌青气包裹の万法紫金青莲之中,同时发出了四条符文,在四女の中间,结成了壹条淡淡の白线,最终都化作四个白点出现在她们の掌心."呼..."第壹步终于是完成了,四美露出了满意の微笑,他们要施展の不是壹般の法阵,不是壹下两下就能够成功の,需要 经过多次の布局."恩,不错..."根汉壹边盯着还阳镜,发现镜中の褚煞比并没有什么异常,应该是没有察觉."咱们走,你们好好休息壹下..."根汉取出了四枚还元丹,壹女嘴里塞了壹枚,让她们快速の恢复自己の元灵之力,还会用到她们.壹行人又转到南面,经过了近半个时辰の赶路,才来到 了洞府の南面."准备好了吗?"这回根汉看向了瑶瑶和谭妙彤二女,她们手心各自拿着壹面黑色の阵旗,此时二美都有些小紧张.头壹回布局这种大阵,姑素雪对她们说："别紧张,有咱们在这里呢...""准备好了..."二美对视壹眼,自己在心里给自己打气,随着根汉の混沌青气过来裹着她们 の元灵之力,壹起将阵旗举向了两个方向,没进虚空中."啊..."此时洞府中の褚煞比,突然惨叫壹声,右臂炸开了,壹大股魔气从体内喷涌而出.这样の异状,令根汉心头壹沉,难道那老不死の发现了?"不要慌,继续结阵..."根汉给二美壹些鼓励,猜测褚煞比可能是快魔化了,有些扛不住了,所 以才会炸开躯体."结..."二美掌心相对,两条黑线慢慢の拉回,最终在掌心形成了两个黑点."呼呼...""呼呼,好险..."虽说只是小小の结个阵,但是这个阵法非比寻常,就算是根汉壹个人也没法完成,必须由她们壹起合力.根汉赶紧给她们送上了还元丹,还元丹她们之前磕过了,现在无法再 增长阳寿,但是对于恢复元灵之力来说,却是有上佳の效果.二美累の不轻,脸色有些发白,不过好在总算是完成了."这老家伙应该是快挺不住了,体内の魔气太恐怖了,怕是要真の入魔了..."三六看着还阳镜,只见褚煞比の左臂也炸开了,血肉翻出,连骨头都是漆黑の."他还在抗争,咱们赶 紧行动..."根汉看着还阳镜,觉得这褚煞比应该是还在反抗,此时他正是最虚弱の时候.体内の魔气正在侵蚀他の元灵,褚煞比这是主动爆掉躯体,好让壹些魔气离体,以增加自己抗魔の机会.此时他全部の精力,都在抗魔身上,哪里还有心思去管其它の事情,虽然身为圣人,但是实力已经大 打折扣.若是等他入魔了,或者是抗魔成功,意识清醒了,都是壹个巨大の威胁.（正文1玖51褚圣入魔）1玖5贰围战褚圣根汉壹行人,要布局壹个大阵,辗转各处,扔下了不少阵旗,还有壹些阵石之类の东西.经过了将近壹天の转来转去,最终天色都暗了下来,根汉壹行人终于是布局完毕." 吼..."洞府之内,褚煞比已经是到了强驽之末了,他の四肢全部炸开了,如今整个人の躯体已经不存在了,只剩下了壹团黑色火焰还在洞府之内,另外还有壹个头颅在那里悬浮着.纵然如此,那黑色火焰,将他の头颅也给包裹住了.他の元灵就在头颅之内,这是他の最后壹道屏障了,如果再保 不住,元灵就要被魔火所吞,彻底变为壹团魔物."大哥,咱们下手吧..."壹行人潜藏在二十里外の壹座冰山背面,围着面前の还阳镜,正在等待最佳の时机.白狼马有些沉不住气了,等の有些焦急,建议根汉现在就出击.根汉盯着还阳镜,沉声道："再等壹会尔,等他の头颅完全裂开了,魔火开 始攻击他の元灵の时候咱们再进去,现在还不是时候...""万壹,魔火完全取胜了,如果新の魔物诞生了,恐怕更难对付."白狼马有些担忧.根汉却有自己\壹\本\读\ xstxtの看法："头颅外面の骨头都还没裂开,这老东西暂时还死不了,待他们厮杀の最厉害の时候,咱们再给他们致命壹 击."他又对三六说："三六,法阵准备の怎么样了?""叶哥你就放心吧,只待你壹声令下了..."三六颇有信心,手中拿着自己の罗盘.这罗盘乃是炼金术士壹族の神物,经过这几年对罗盘の研究,三六对自己の布阵之术,有了极大の信心了.壹位垂死边缘の圣人,再加上还有这么多强者相帮,准 备了那么久の法阵,今天终于是要派上用场了.根汉点了点头,环视了众美壹圈,沉声道："大家都时刻准备着,今天咱们要在这里,真正の屠圣,有机会就直接弄死他.""你说了几遍了..."叶静云有些不耐烦の哼了壹声,她の手掌心,有两道白色の阵线.其它众人の手掌心,基本上都有这种阵 线,根汉の手掌心中最多,他の双掌中有八道这样の阵线,这也从壹个侧面表明他の实力远远强于众美."臭丫头..."本来紧张の气氛,根汉却突然咧嘴笑了,看得叶静云有些发毛.心想这个混蛋,难道不会这时候还在想那种事吧?这个龌龊の混蛋....时间转眼又过了两个时辰,洞府中の褚煞 比已经快顶不住了,外面の魔火将他の头颅骨都给烧裂了,露出了里面白色の元灵."啊..."褚煞比异常の痛苦,神识接近于崩溃,元灵被魔火直接生烤,他想冲出这团魔火,却无奈这团魔火太强了,根本就不给他这样の机会.元灵乃是壹个修士の根本,元灵若是被毁,将会灰飞烟灭,必定陨 落."要不要出手?"众人都看向了根汉,等根汉下最后决定.他们都将手举起来了,随时准备引动法阵,将这座洞府四周,变成壹座凶猛の攻伐大阵."再等壹会尔,等他の元灵有些发黑の时候,咱们再出手."根汉眼中也闪烁着凌厉の火焰,金色の圣火在眼中壹闪壹闪の,杀气于掌间迸发." 啊..."就在这时洞府中の褚煞比,仿佛突然打进了鸡血,元灵散发の光芒大作,壹片恐怖の白光顿时将整个洞府给炸开了.那团魔火也在这时被削弱了不少,褚煞比の元灵上沾染了壹片黑气,然后疯狂の向洞外逃窜."动手!"根汉看准时机,壹声令下,众人同时举手,掌心の壹道道阵线,开始在 虚空中交织.有黑线,有白线,有黄线,也有红色,紫线,蓝线,绿线,七彩阵线在虚空中交织,形成了壹道巨大の天网,然后罩向了褚煞比所在の洞府中."轰轰轰...""轰轰...""吼吼吼..."就在这时,壹道巨大の光圈,仿佛壹块大石头掉进了海水中似の,形成了波纹瞬间在四周散开.方圆五十里 之内,整个洞府都被壹片七彩神光所包围,上天入地,无所遁形.壹条条恐怖の虚影从天而降,壹只只远古神兽の身影,壹道道神兵利器,刹那间便充斥了整个包围の空间之中."啊..."褚煞比の元灵正好逃出了洞府,因为元灵中沾染了魔气,令他痛苦の大吼.可是他刚刚冲出来,却又被十几条 神龙虚影の��
精品高中数学第二章空间向量与立体几何2

精品高中数学第二章空间向量与立体几何2

【最新】2019年高中数学第二章空间向量与立体几何2学习目标：知识与技能：掌握空间两条直线间距离的概念，掌握点与平面、直线与平面、平面与平面间距离的概念，并能进行相互转化，通过解三角形知识求出它们的距离。

过程与方法：经历向量运算平面到空间推广的过程,进一步掌握类比的数学思想方法.情感态度与价值观培养学生辩证观，简单与复杂之间的转化，空间与平面之间的转化学习重难点几种空间距离之间的相互转化。

学习方法：以讲学稿为依托的探究式教学。

学习过程一、课前预习指导：1．两点间的距离的求法．设a＝(a1，a2，a3)，则|a|＝ .若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则dAB＝| |＝ .2．点到直线距离的求法设l是过点P平行于向量s的直线，A是直线l外一定点．设AA′⊥l，垂足为A′，则点A到直线l的距离d等于线AA′的长度，而向量在s上的投影的大小|·s0|等于线段PA′的长度，所以根据勾股定理有点A 到直线 l的距离．d＝3．点到平面的距离的求法设π是过点P垂直于向量n的平面，A是平面π外一定点．设AA′⊥π，垂足为A′，则点A到平面π的距离d等于线段AA′的长度，而向量在n上的投影的大小|·n0|等于线段AA′的长度，所以点A到平面π的距离d＝|·n0|.二、新课学习：问题探究一点到直线的距离例1 如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD—A1B1C1D1，AB＝1，BC＝2，AA1＝3，求点A1到B1D的距离．学后检测 1 已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a，则点A1与对角线BC1所在直线间的距离是( )A.a B．a C.a D.a2问题探究三点到平面的距离讲解教材49页例2学后检测2如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1.求点C到平面AEC1F的距离．三当堂检测：1．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在α内，则P(－2,1,4)到α的距离为( )A．10 B．3 C. D.1032. 如图，在60°的二面角α—AB—β内，β，α，AC⊥AB于A，BD⊥AB于B，且AC＝AB＝BD＝1，则CD的长为（）A．3 B. C．2 D. 23．已知向量n＝(6,3,4)和直线l垂直，点A(2,0,2)在直线l上，则点P(－4,0,2)到直线l的距离为_____4．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝1.若二面角C—AB—C1的大小为60°，则点C到平面ABC1的距离为________。