高中数学第二章平面向量2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1平面向量基本定理学案新人教A版必修4

1 2.3.1 平面向量基本定理 学习目标：1.了解基底的含义，理解并掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面内任一向量．(重点)2.掌握两个向量夹角的定义以及两向量垂直的定义．(难点)3.两个向量的夹角与两条直线所成的角．(易混点) [自 主 预 习·探 新 知] 1．平面向量基本定理 条件 e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量

结论 对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2 基底 不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 思考：(1)0能与另外一个向量a构成基底吗？ (2)平面向量的基底是唯一的吗？ [提示] (1)不能．基向量是不共线的，而0与任意向量是共线的． (2)不是．平面内任何不共线的两个向量都可以作为基底，基底一旦确定，平面内任何一向量都可以用这一基底唯一表示． 2．向量的夹角 条件 两个非零向量a和b

产生 过程

作向量OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角

范围 [0，π] 特殊 情况

θ＝0° a与b同向

θ＝90° a与b垂直，记作a⊥b θ＝180° a与b反向

[基础自测] 1．思考辨析 (1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底．( ) (2)若e1，e2是同一平面内两个不共线向量，则λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2为实数)可以表示该平面内所有向量．( ) (3)若ae1＋be2＝ce1＋de2(a，b，c，d∈R)，则a＝c，b＝d.( ) [解析] (1)错误．根据基底的概念可知，平面内不共线的向量都可以作为该平面内向2

量的基底． (2)正确．根据平面向量基本定理知对平面内任意向量都可以由向量e1，e2线性表示． (3)错误．当e1与e2共线时，结论不一定成立． [答案] (1)× (2)√ (3)×

2．若△ABC是等边三角形，则AB→与BC→的夹角的大小为________． 120° [由向量夹角的定义知AB→与BC→的夹角与∠B互补，大小为120°.] 3．如图2­3­1所示，向量OA→可用向量e1，e2表示为________．

图2­3­1 4e1＋3e2 [由图可知，OA→＝4e1＋3e2.] [合 作 探 究·攻 重 难] 用基底表示向量

(1)D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB上的中点，且BC→＝a，CA→＝b，给出下列结论：

①AD→＝－12a－b；②BE→＝a＋12b；

③CF→＝－12a＋12b；④EF→＝12a. 其中正确的结论的序号为________． (2)如图2­3­2，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分别是DC，AB的中点，设

AD→＝a，AB→＝b，试用a，b表示DC→，EF→，FC→.

图2­3­2 [思路探究] 用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则．

(1)①②③ [(1)如图，AD→＝AC→＋CD→＝－b＋12CB→＝－b－12a，①正确； 3

BE→＝BC→＋CE→＝a＋12b，②正确；

AB→＝AC→＋CB→＝－b－a，CF→＝CA→＋12AB→＝b＋12(－b－a)

＝12b－12a，③正确； ④EF→＝12CB→＝－12a，④不正确．] (2)因为DC∥AB，AB＝2DC，E，F分别是DC，AB的中点， 所以FC→＝AD→＝a，DC→＝AF→＝12AB→＝12b.

EF→＝ED→＋DA→＋AF→

＝－12DC→－AD→＋12AB→ ＝－12×12b－a＋12b＝14b－a. [规律方法] 用基底表示向量的三个依据和两个“模型” (1)依据：①向量加法的三角形法则和平行四边形法则； ②向量减法的几何意义； ③数乘向量的几何意义． (2)模型：

[跟踪训练] 1．在△ABC中，AE→＝15AB→，EF∥BC，EF交AC于F，设AB→＝a，AC→＝b，则BF→等于( )

图2­3­3 A．－a＋15b B．a－15b 4

C．23a－13b D．13a＋23b A [∵AE→＝15AB→，∴BE→＝－45AB→. 又∵EF∥BC，∴EF→＝15BC→＝15(AC→－AB→)， ∴BF→＝BE→＋EF→＝－45AB→＋15(AC→－AB→) ＝15AC→－AB→＝－a＋15b.] 向量的夹角 (1)已知向量a，b，c满足|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，c⊥a，则a，b的夹角等于________． (2)若a≠0，b≠0，且|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b的夹角. [思路探究] 可作出平面图形利用向量夹角定义及平面几何知识来解决．

(1)120° [作BC→＝a，CA→＝b，则c＝a＋b＝BA→(如图所示)， 则a，b夹角为180°－∠C. ∵|a|＝1，|b|＝2，c⊥a， ∴∠C＝60°， ∴a，b的夹角为120°.] (2)[解] 由向量运算的几何意义知a＋b，a－b是以a，b为邻边的平行四边形两条对角线． 如图，∵|a|＝|b|＝|a－b|， ∴∠BOA＝60°.

又∵OC→＝a＋b，且在菱形OACB中，对角线OC平分∠BOA， ∴a与a＋b的夹角是30°. [规律方法] 两向量夹角的实质与求解方法： 两向量夹角的实质：从同一起点出发的两个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识加以解决. 求解方法：利用平移的方法使两个向量起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出. 提醒：寻找两个向量的夹角时要紧扣定义中“共起点”这一特征，避免出现错误. [跟踪训练]

2．在△ABC中，若∠A＝120°，AB＝AC，则AB→与BC→夹角的大小为________． 5

150° [如图所示，因为∠A＝120°，AB＝AC，所以∠B＝30°，所以AB→与BC→的夹角为180°－∠B＝150°.] 平面向量基本定理的唯一 性及其应用 [探究问题] 若存在实数λ1，λ2，μ1，μ2及不共线的向量e1，e2，使向量a＝λ1e1＋λ2e2，a＝μ1e1

＋μ2e2，则λ1，λ2，μ1，μ2有怎样的大小关系？

提示：由题意λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，即(λ1－μ1)e1＝(μ2－λ2)e2，由于e1，e2

不共线，故λ1＝μ1，λ2＝μ2.

如图2­3­4所示，在△OAB中，OA→＝a，OB→＝b，点M是AB上靠近B的一个三等分点，点N是OA上靠近A的一个四等分点．若OM与BN相交于点P，求OP→.

图2­3­4 [思路探究] 可利用OP→＝tOM→及OP→＝ON→＋NP→＝ON→＋sNB→两种形式来表示OP→，并都转化为以a，b为基底的表达式．根据任一向量基底表示的唯一性求得s，t，进而得OP→.

[解] OM→＝OA→＋AM→＝OA→＋23AB→

＝OA→＋23(OB→－OA→)＝13a＋23b. 因为OP→与OM→共线， 故可设OP→＝tOM→＝t3a＋2t3b.

又NP→与NB→共线，可设NP→＝sNB→，OP→＝ON→＋sNB→＝34OA→＋s(OB→－ON→)＝34(1－s)a＋sb，

所以 34－s＝t3，s＝23t，解得 t＝910，s＝35， 所以OP→＝310a＋35b. 母题探究：1.将本例中“M是AB上靠近B的一个三等分点”改为“M是AB上靠近A的一个三等分点”，“点N是OA上靠近A的一个四分点”改为“N为OA的中点”，求BP∶PN6

的值． 图2­3­5 [解] BN→＝ON→－OB→＝12a－b，

OM→＝OA→＋AM→＝OA→＋13AB→＝OA→＋13(OB→－OA→)＝23OA→＋13OB→＝23a＋13b，

因为O，P，M和B，P，N分别共线， 所以存在实数λ，μ使BP→＝λBN→＝λ2a－λb，

OP→＝μOM→＝2μ3a＋μ3b，

所以OB→＝OP→＋PB→＝OP→－BP→＝2μ3－λ2a＋μ3＋λb，

又OB→＝b，所以 2μ3－λ2＝0，μ3＋λ＝1，解得 λ＝45，μ＝35， 所以BP→＝45BN→，即BP∶PN＝4∶1. 2．将本例中点M，N的位置改为“OM→＝12MB→，N为OA中点”，其他条件不变，试用a，b表示OP→.

图2­3­6 [解] AM→＝OM→－OA→＝13OB→－OA→＝13b－a，

BN→＝ON→－OB→＝12OA→－OB→＝12a－b，

因为A，P，M三点共线，所以存在实数λ使得AP→＝λAM→＝λ3b－λa， 所以OP→＝OA→＋AP→＝(1－λ)a＋λ3b. 7

因为B，P，N三点共线，所以存在实数μ使得BP→＝μBN→＝μ2a－μb， 所以OP→＝OB→＋BP→＝μ2a＋(1－μ)b.

即 1－λ＝μ2，λ3＝1－μ，解得 λ＝35，μ＝45， 所以OP→＝25a＋15b. [规律方法] 1.任意一向量基底表示的唯一性的理解： 条件一 平面内任一向量a和同一平面内两个不共线向量e1，e2 条件二 a＝λ1e1＋μ1e2且a＝λ2e1＋μ2e2

结论 

 λ1＝λ2，

μ1＝μ2

2.任意一向量基底表示的唯一性的应用： 平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线向量e1，e2的线性组合λ1e1＋λ2e2.在具体求λ1，λ2时有两种方法：

(1)直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理． (2)利用待定系数法，即利用定理中λ1，λ2的唯一性列方程组求解． [当 堂 达 标·固 双 基] 1．已知平行四边形ABCD，则下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是( )

A.AB→，DC→ B.AD→，BC→ C.BC→，CB→ D.AB→，DA→ D [由于AB→，DA→不共线，所以是一组基底．] 2．已知▱ABCD中∠DAB＝30°，则AD→与CD→的夹角为( ) A．30° B．60° C．120° D．150°

D [AD→与CD→的夹角与∠DAB互补，其大小为180°－30°＝150°.] 3．设D为△ABC所在平面内一点，若BC→＝3CD→，则( ) A.AD→＝－13AB→＋43AC→