2016年北京市西城区高三一模数学(文)试题及答案

北京市西城区2015年高三一模（文）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合0,1{}A =，集合{|}B x x a =>，若A B =∅，则实数a 的范围是（ ）A.1a ≤B.1a ≥C.0a ≥D.0a ≤3．关于函数3()log ()f x x =-和()3x g x -=，下列说法中正确的是（ ） A.都是奇函数B.都是偶函数C.函数()f x 的值域为RD.函数()g x 的值域为R4. 执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为3，则输出的n 的值为______.A.4B.5C.6D.75. 设,P Q 分别为直线0x y -=和圆22(6)2x y +-=上的点，则||PQ 的最小值为（ ）A.B.2．复数z 满足i 3i z ⋅=-，则在复平面内，复数z 对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限C. D.46．设函数()f x 的定义域为R ，则“x ∀∈R ，(1)()f x f x +>”是“函数()f x 为增函数”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7． 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是（ ）A.7B.152C.233D.476 8. 已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和小于20元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是（ ） 第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 已知平面向量,a b 满足(1,1)=-a ，()()+⊥-a b a b ，那么|b |= ____. 10．函数22()sin cos f x x x =-的最小正周期是____.A.2枝玫瑰的价格高B.3枝康乃馨的价格高C.价格相同D.不确定11．在区间[2,1]-上随机取一个实数x ，则x 使不等式1|1|x -≤成立的概率为____. 12．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点是抛物线28y x =的焦点，且双曲线 C的离心率为2，那么双曲线C 的方程为____；渐近线方程是____.13. 设函数20,1,()4,0.x x x f x x x x -⎧+>⎪=⎨⎪-<⎩则[(1)]f f -=____；函数()f x 的极小值是____. 14. 某赛事组委会要为获奖者定做某工艺品作为奖品，其中一等奖奖品3件，二等奖奖品6件. 制作一等奖和二等奖奖品所用原料完全相同，但工艺不同，故价格有所差异. 现有甲、乙两家工厂可以制作奖品（一等奖、二等奖奖品均符合要求)，甲厂收费便宜，但原料有限，最多只能制作4件奖品，乙厂原料充足，但收费较贵，其具体收费情况如下表：则组委会定做该工艺品的费用总和最低为 元.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，且4AD DC =.（Ⅰ）求BD 的长； （Ⅱ）求sin CBD ∠的值.16．（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足32a =，57S a =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a 及n S ；（Ⅱ）若444,,m n a a a ++（*,m n ∈N ）成等比数列，求n 的最小值．17．（本小题满分14分）如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为正方形，//EF AD ， 平面ADEF ⊥平面ABCD ，且2BC EF =,AE AF =，点G 是EF 的中点.（Ⅰ）证明：AG ⊥CD ； （Ⅱ）若点M 在线段AC 上，且13AM MC=，求证：GM //平面ABF ；（Ⅲ）已知空间中有一点O 到,,,,A B C D G 五点的距离相等，请指出点O 的位置. (只需写出结论)18．（本小题满分13分）2014年12月28日开始，北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价. 具体如下表.（不考虑公交卡折扣情况）已知在北京地铁四号线上，任意一站到陶然亭站的票价不超过5元，现从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选出120人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示．（Ⅰ）如果从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中任选1人，试估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率；（Ⅱ）已知选出的120人中有6名学生，且这6人乘坐地铁的票价情形恰好与按票价从这120人中分层抽样所选的结果相同，现从这6人中随机选出2人，求这2人的票价和恰好为8元的概率；（Ⅲ）小李乘坐地铁从A地到陶然亭的票价是5元，返程时，小李乘坐某路公共电汽车所花交通费也是5元，假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为s公里，试写出s的取值范围．(只需写出结论)19．（本小题满分14分）设点F为椭圆22221(0)x yE a ba b+=>>：的右焦点，点3(1,)2P在椭圆E上，已知椭圆E的离心率为12.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设过右焦点F 的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，记ABP ∆三条边所在直线的斜率的乘积为t ，求t 的最大值.20．（本小题满分13分）设*n ∈N ，函数ln ()n x f x x =，函数e ()xn g x x=，(0,)x ∈+∞.（Ⅰ）判断函数()f x 在区间(0,)+∞上是否为单调函数，并说明理由；（Ⅱ）若当1n =时，对任意的12,(0,)x x ∈+∞， 都有12()()g x f x t ≤≤成立，求实数t 的取值范围；（Ⅲ）当2n >时，若存在直线l y t =：（t ∈R ），使得曲线()y f x =与曲线()y g x =分别位于直线l 的两侧，写出n 的所有可能取值. (只需写出结论)北京市西城区2015年高三一模试卷参考答案及评分标准（文）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．C 3．C 4．B 5．A 6．B 7．D 8．A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.910．π11．13 12．2213y x -=y =13．1032 14．4900 注：第12，13题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为 90=∠ABC ，4=AB ，3=BC ，所以3cos 5C =，4sin 5C =，5=AC ， ……………… 3分 又因为DC AD 4=，所以4=AD ，1=DC . ……………… 4分 在BCD ∆中，由余弦定理，得2222cos BD BC CD BC CD C=+-⋅ ……………… 7分223323123155=+-⨯⨯⨯=，所以 5104=BD . ……………… 9分 （Ⅱ）在BCD ∆中，由正弦定理，得sin sin CD BDCBD C=∠，所以154sin 5CBD=∠， ……………… 12分所以sin 10CDB ∠= ……………… 13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设公差为d ，由题意，得11122,15546,2a d a d a d +=⎧⎪⎨+⨯⨯=+⎪⎩……………… 4分 解得12a =-，2d =， …………………5分 所以2(1)224n a n n =-+-⨯=-， ………………… 6分212(1)232n S n n n n n =-+-⨯=-． ………………… 7分（Ⅱ）解：因为444,,m n a a a ++成等比数列，所以2444m n a a a ++=，………………… 9分 即2(24)4(24)m n +=+， ………………… 10分化简，得21(2)22n m =+-， ………………… 11分考察函数21()(2)22f x x =+-，知()f x 在(0,)+∞上单调递增，又因为5(1)2f =，(2)6f =，*n ∈N ，所以当2m =时，n 有最小值6． ……………… 13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为AE AF =，点G 是EF 的中点，所以 AG EF ⊥. …………………1分 又因为 //EF AD ，所以 AG AD ⊥. …………………2分因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，且平面ADEF 平面ABCD AD =，AG⊂平面ADEF ，所以 AG ⊥平面ABCD . …………………4分 因为 CD⊂平面ABCD ，所以 AG ⊥CD . ………………5分（Ⅱ）证明：如图，过点M 作MN //BC ，且交AB 于点N ，连结NF ， 因为13AM MC=，所以14MN AM BCAC==， ………………6分因为 2BC EF =，点G 是EF 的中点， 所以 4BC GF =，又因为 //EF AD ，四边形ABCD 为正方形， 所以 GF //MN ，GF MN =. 所以四边形GFNM 是平行四边形.所以 //GM FN . ……………8分 又因为GM ⊄平面ABF ，FN ⊂平面ABF ，所以 GM //平面ABF . ………………11分18．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：记事件A 为“此人乘坐地铁的票价小于5元”， ………………1分 由统计图可知，得120人中票价为3元、4元、5元的人数分别为60，40，20（人）. 所以票价小于5元的有6040100+=（人）． ………………2分 故120人中票价小于5元的频率是10051206=． 所以估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率5()=6P A ． ………………4分 （Ⅱ）解：记事件B 为“这2人的票价和恰好为8元”， ………………5分由统计图，得120人中票价为3元、4元、5元的人数比为60:40:203:2:1=，则6名学生中票价为3元、4元、5元的人数分别为3，2，1（人）. ………6分 记票价为3元的同学为,,a b c ，票价为4元的同学为,d e ，票价为5元的同学为f ， 从这6人中随机选出2人，所有可能的选出结果共有15种，它们是：(,),(,)c a b a ，(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,(,)d ef c d e f d e f e a a a b b b b c c c d ,(,),(,)f f d e . ………………8分 其中事件B 的结果有4种，它们是： (,),(,),(,),(,)f f f e a b c d . ………9分所以这2人的票价和恰好为8元的概率为4()15P B =.……………… 10分（Ⅲ）解： (20,22]s ∈． ………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：设22b a c -=，由题意，得21=a c ， 所以 2a c =，b =. …………………2分则椭圆方程为2222143x y c c +=， 又点)23,1(P 在椭圆上， 所以2213144c c+=，解得21c =， 故椭圆方程为 22143x y +=. ……………… 5分 （Ⅱ）解：由题意，直线l 的斜率存在，右焦点(1,0)F ， ……………… 6分 设直线l 的方程为(1)y k x =-，与椭圆的交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ……… 7分由 22(1),1,43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，得 2222(34)84120k x k x k +-+-=. ……………… 8分由题意，可知0>∆，则有 2221438kk x x +=+，212241234k x x k -=+， ……… 9分 所以直线PA 的斜率11321PAy kx -=-，直线PB 的斜率22321PB y k x -=-， ………… 10分 所以PA PB t k k k =⨯⨯1212332211y y k x x --=⨯⨯-- 12121233[(1)][(1)]22()1k x k x k x x x x --⨯--=⨯-++2121212121239[()1](2)24()1k x x x x k x x k x x x x -++-+-+=⨯-++122121239(2)24[]()1k x x k k x x x x -+-+=+⨯-++ 233()44k k k k =--⨯=--. ……………… 12分 即 22339()4864t k k k =--=-++， 所以当38k =-时，ABP ∆三条边所在直线的斜率的乘积t 有最大值964. ……14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：结论：函数()f x 在区间(0,)+∞上不是单调函数. …………………1分求导，得 11ln ()n n xf x x +-'=， …………………2分 令 ()0f x '=，解得1e nx =.当x 变化时，()f x '与()f x 的变化如下表所示：所以函数()f x 在区间1(0,e )n上为单调递增，区间1(e ,)n+∞上为单调递减.所以函数()f x 在区间(0,)+∞上不是单调函数. …………………4分（Ⅱ）解：当1n =时，函数ln ()xf x x =，e ()xg x x=，0x >.由题意，若对任意的12,(0,)x x ∈+∞， 都有12()()g x f x t ≤≤恒成立， 只需当(0,)x ∈+∞时，max min ()()g f x t x ≤≤. …………………5分 因为 21ln ()xf x x -'=. 令()0f x '=，解得e x =.当x 变化时，()f x '与()f x 的变化如下表所示：所以max 1()(e)ef x f ==. …………………7分 又因为2e (1)()x x g x x -'=.令 ()0g x '=，解得1x =.当x 变化时，()g x '与()g x 的变化如下表所示：所以min ()(1)e g x g ==. …………………9分 综上所述，得1e et ≤≤. …………………10分 （Ⅲ）解：满足条件的n 的取值集合为{3,4}. …………………13分。

北京市西城区2011 年高三一模试卷数学（文科）2011.4第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分 .在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项 .1. 已知全集U{1,2,3,4,5} ，会合 A{2,5} ， B{4,5} ，则e U( A B) 等于（ A）{1,2,3,4}（ B）{1,3}（ C）{2,4,5}（ D）{5}2. 函数y2x lg x 的定义域是（ A）0,2（ B）(0, 2)（ C）0,2（ D）1,2 3. 为了获得函数y sin x cos x 的图像，只要把y sin x cos x 的图象上全部的点（ A）向左平移个单位长度（ B）向右平移个单位长度44（ C）向左平移个单位长度（ D）向右平移个单位长度2124. 设a log2 3， b log 4 3 ，c，则2（ A）a c b（ C）b ca[ 来（ D）c b a （ B）c a b源: 学&科&网]5．一个棱锥的三视图如下图，则这个棱锥的体积是（A）6（B）12（C）24（D）363343正 (主 )视图侧(左)视图34俯视图6．关于平面和异面直线 m,n ，以下命题中真命题是（ A）存在平面，使 m， n（ B）存在平面，使 m， n（ C）存在平面，知足 m， n //（ D）存在平面，知足 m //， n //7. 右边茎叶图表示的是甲、乙两人在5 次综合测评中的甲成绩，此中一个数字被污损. 则甲的均匀成绩超出乙9 8 8 3 3 7乙的均匀成绩的概率为2 1 099（A ）2（B ）7（C ）4（D ）95105108．某次测试成绩满分为150 分，设 n 名学生的得分分别为 a 1 ,a 2 , , a n （ a i N ，1 i n ），b k （ 1 k150 ）为 n 名学生中得分起码为 k 分的人数 . 记 M 为 n 名学生的均匀成绩 . 则 b 1 b 2 b 150 b 1 b 2 b 150（A ） Mn（B ） M 150b 1 b 2b150b 1 b 2b150 （C ） Mn（D ） M150第Ⅱ卷（非选择题共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分.9. 若复数 (1 i)(1 ai) 是纯虚数，则实数 a 等于 ______.10. 设向量 a(1,sin) ， b (1,cos ) ，若 a b3 ______.，则 sin 2511. 双曲线 C :x 2y21的离心率为 ______；若椭圆x 2y 2 1(a 0) 与双曲线 C 有同样2a 2的 焦点，则 a ______.12. 设不等式组2 x 2,2y 表示的地区为 W ,2圆 C : ( x2)2 y 24 及其内部地区记为D .若向地区 W 内投入一点，则该点落在地区 D内的概率为 _____.13. 阅读右边程序框 图，则输出的数据 S 为 _____.14. 已知数列 { a n } 的各项均为正整数， S n 为其前 n 项和，关于 n 1,2,3,，有3a n 5, a n为奇数，an 1a n,，2k a n 为偶数 . 此中 k 为使 a n 1为奇数的正整数当 a 3 5时， a 1 的最小值为 ______；当 a1 1 时， S1S2S20______.三、解答题：本大题共6小题，共 80 分。

2016北京市通州区高三（一模）数 学（理）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．复数1ii+在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．右面的程序框图输出S 的值为（ ） A ．16 B ．32C ．64D ．1283．若非空集合,,A B C 满足A B C =，且A 不是B 的子集，则“x C ∈”是“x A ∈”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A ．24 B ．2042+ C ．28D ．2442+5．已知{}n a 是首项为2且公差不为0的等差数列，若136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前9项和等于（ ） A ．26B ．30C ．36D ．406．若不等式组3403400x y x y x +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩所表示的平面区域被直线43y kx =+分为面积相等的两部分，则k 的值是（ ）A ．37B ．73C ．34D ．437．已知点()3,0A ，点P 在抛物线24y x =上，过点P 的直线与直线1x =-垂直相交于点B ，PB PA =，则cos APB ∠的值为（ ）A ．12B ．13C ．12-D ．13-8．若定义域均为D 的三个函数()()(),,f x g x h x 满足条件：x D ∀∈，点()(),x g x 与点()(),x h x 都关于点()(),x f x 对称，则称()h x 是()g x 关于()f x 的“对称函数”。

已知()()21,3g x x f x x b =-=+，()h x 是()g x 关于()f x 的“对称函数”，且()()h x g x ≥恒成立，则 实数b 的取值范围是（ ） A ．(,10⎤-∞-⎦B ．10,10⎡⎤-⎣⎦C ．3,10⎡⎤-⎣⎦D ．)10,⎡+∞⎣第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题，每题5分，满分30分．）9．621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中含3x 项的系数为______．（用数字作答）10．在ABC ∆中，60,1A AC ∠=︒=，ABC ∆的面积为3，则BC 的长为______．11．如图，圆O 的直径4AB =，直线CE 和圆O 相切于点C ，AC CE ⊥于D ，若30ABC ∠=︒，则AD 的长为______．12．若,,a b c 是单位向量，且0⋅=a b ，则()()-⋅-a c b c 的最大值为______．13．已知函数()2log f x x =。

2016年北京市海淀区高三一模文科数学试卷含答案DA ．－1B ．1C ．－ID ．i 4．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则12z x y =+的最大值为（ ）A ．52B ．3C ．72D ．4 5．某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为（ ）A ．33B ．32C ．233D ．2636、已知点P 0(,)x y 在抛物线W ：24yx=上，且点P 到W的准线的距离与点P 到x 轴的距离相等，则0x的值为（ ）A ．12B ．1C ．32D ．2 7．已知函数sin(),0()cos(),0x a x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩，则“4πα=”是“函数()f x 是偶函数“的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示．若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列叙述正确的是（ ）A ．甲只能承担第四项工作B ．乙不能承担第二项工作C ．丙可以不承担第三项工作D ．获得的效益值总和为78二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分． 9．函数22x y =-_________10．已知数列{}na 的前n 项和为nS ，且24nS n n=-，则21aa -＝_______．11．已知l 为双曲线C ：22221x y a b -=的一条渐近线，其倾斜角为4π，且C 的右焦点为（2,0），点C 的右顶点为_________，则C 的方程为_______． 12．在1331,2.log 22这三个数中，最小的数是_______．13．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，若5()()21212f f ππ--=，则函数()f x 的单调增区间为_________14．给定正整数k ≥2，若从正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的8个顶点中任取k 个顶点，组成一个集合M ＝{}12,,,k X X X ，均满足,,,ijs t X XM X X M∀∈∃∈，使得直线i j s tX X X X ⊥，则k 的所有可能取值是_________三、解答题共6 小题，共80 分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13 分）在△ABC 中，∠C ＝23π，6a =．（Ⅰ）若c ＝14，求sinA 的值； （Ⅱ）若△ABC 的面积为3c 的值．16．（本小题满分13 分）已知数列{}na 是等比数列，其前n 项和为nS ，满足210S a +=，312a=。