线性代数知识点归纳(同济_第五版)

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标准文案线性代数复习要点

第一部分行列式

1. 排列的逆序数

行列式按行（列）展开法则

3. 行列式的性质及行列式的计算

行列式的定义

1. 行列式的计算：

① (定义法)1212121112121222()1212()nnnnnjjjnjjnjjjjnnnnaaaaaaDaaaaaaLLLLLMMML1

②（降阶法）行列式按行（列）展开定理：

行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.

推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.

1122,,0,.ijijinjnAijaAaAaAijL 实用文档

标准文案

③ (化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.

11221122***0**0*00nnnnbbAbbbbLMOL

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标准文案 ④ 若AB与都是方阵（不必同阶）,则==()mnAOAAOABOBOBBOAAABBOBO1

例计算 2-100-1300001100-25

解 2-100-1300001100-25=2-1115735-13-25

⑤ 关于副对角线：(1)211212112111()nnnnnnnnnnnaOaaaaaaaOaOKNN1

⑥ 范德蒙德行列式：1222212111112nijnjinnnnnxxxxxxxxxxxLLLMMML111

例计算行列式

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标准文案 ⑦ ab型公式：1[(1)]()nabbbbabbanbabbbabbbbaLLLMMMOML

⑧ (升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法.

⑨ (递推公式法) 对n阶行列式nD找出nD与1nD或1nD,2nD之间的一种关系——称为递推公式，其中

nD,1nD,2nD等结构相同，再由递推公式求出nD的方法称为递推公式法.

(拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，

使问题简化以例计算.

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标准文案

⑩ (数学归纳法)

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标准文案

2. 对于n阶行列式A，恒有：1(1)nnknkkkEAS，其中kS为k阶主子式；

3. 证明0A的方法：

①、AA；

②、反证法；

③、构造齐次方程组0Ax，证明其有非零解；

④、利用秩，证明()rAn；

⑤、证明0是其特征值.

4. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)ijijijijijijMAAM 实用文档

标准文案第二部分矩阵

1. 矩阵的运算性质

2. 矩阵求逆

3. 矩阵的秩的性质

4. 矩阵方程的求解

1. 矩阵的定义由mn个数排成的m行n列的表111212122212nnmmmnaaaaaaAaaaLLMMML称为mn矩阵.

记作：ijmnAa或mnA

 同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等.

 矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等.

 矩阵运算

a. 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）.

b. 数与矩阵相乘：数与矩阵A的乘积记作A 或A，规定为()ijAa.

c. 矩阵与矩阵相乘：设()ijmsAa, ()ijsnBb,则()ijmnCABc，

其中

12121122(,,,)jjijiiisijijissjsjbbcaaaabababbLLM

注：矩阵乘法不满足：交换律、消去律, 即公式00ABBAABA或B=0不成立.

a. 分块对角阵相乘：11112222,ABABAB11112222ABABAB,1122nnnAAA

b. 用对角矩阵○左乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○行向量；实用文档

标准文案 11112111111211221222221222221212000000nnnnmmmmnmmmmmmnabbbababababbbabababBabbbabababLLLLLLMMOMMMOMMMOMLLL

c. 用对角矩阵○右乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○列向量.

11121111121212122221212222121122000000nmnnmnmmmnmmmmmnbbbaabababbbbaabababBbbbaabababLLLLLLMMOMMMOMMMOMLLL

d. 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.

④ 方阵的幂的性质：mnmnAAA， ()()mnmnAA

⑤ 矩阵的转置：把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作TA.

a. 对称矩阵和反对称矩阵: A是对称矩阵 TAA.

A是反对称矩阵 TAA.

b. 分块矩阵的转置矩阵：TTTTTABACCDBD

⑥ 伴随矩阵： 1121112222*12nTnijnnnnAAAAAAAAAAALLMMML，ijA为A中各个元素的代数余子式.

**AAAAAE,1*nAA, 11AA.

分块对角阵的伴随矩阵：***ABABAB *(1)(1)mnmnAABBBA

矩阵转置的性质： ()TTAA ()TTTABBA TAA 11()()TTAA ()()TTAA

矩阵可逆的性质： 11()AA 111()ABBA 11AA 11()()kkkAAA

伴随矩阵的性质： 2()nAAA ()ABBA 1nAA 11()()AAAA ()()kkAA

()

()1 ()10 ()1 nrAnrArAnrAn若若若 ABAB kkAA AAAAAE（无条件恒成立）实用文档

标准文案 2. 逆矩阵的求法方阵A可逆 0A.

①伴随矩阵法 1AAA ○注： 1abdbcdcaadbc1 LL主换位副变号

② 初等变换法 1()()AEEAMM初等行变换

例求122212221的逆矩阵.

解

32322121232313213219221210203312210012210021212010036210012033221001033011009221122100999212010999221001999rrrrrrrrrrrrrr1122999122212,212999221221999所以

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标准文案 ③ 分块矩阵的逆矩阵：111AABB 111ABBA

1111ACAACBOBOB 1111AOAOCBBCAB

④ 1231111213aaaaaa , 3211111213aaaaaa

⑤ 配方法或者待定系数法（逆矩阵的定义1ABBAEAB）

例设方阵A满足矩阵方程220EAA, 证明A及2EA都可逆, 并求1A及12EA.

解由220EAA得12EEAA, 故A可逆, 且112EAA.

由220EAA也可得(2)(3)4EEEAA或1(2)(3)4EEEAA, 故2EA可逆, 且

12EA1(3)4EA.

3. 行阶梯形矩阵可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖

线后面的第一个元素非零. 当非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都是0时，

称为行最简形矩阵

4. 初等变换与初等矩阵对换变换、倍乘变换、倍加（或消法）变换

初等变换初等矩阵初等矩阵的逆初等矩阵的行列式

ijrr(ijcc) (,)Eij 1(,)(,)EijEij (,)Eij1

irk(ick) (())Eik 11[()][()]kEikEi [()]Eikk

ijrrk(ijcck) (,())Eijk 1[,()][,()]EijkEijk [,()]Eijk1

☻矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：

 对A施行一次初等○行变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○左乘A；

 对A施行一次初等○列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○右乘A.

注意：初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵.

线性代数知识点总结

第一章行列式

行列式是线性代数中的重要概念之一。行列式的定义包括二三阶行列式和N阶行列式。其中，N阶行列式是由行列式中所有不同行、不同列的n个元素的乘积的和构成的。

行列式的计算需要用到奇偶排列、逆序数和对换等概念。行列式还具有多种性质，如行列式行列互换其值不变，行列式中某两行（列）互换，行列式变号等。通过这些性质，我们可以推论出行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零等结论。

行列式还有一些特殊的形式，如转置行列式、对称行列式、反对称行列式、三线性行列式和上（下）三角形行列式等。

行列式在解线性方程组中应用广泛，如克莱姆法则。非齐次线性方程组的系数行列式不为零时，有唯一解；而齐次线性方程组的系数行列式为1时，只有零解。

第二章矩阵

矩阵是线性代数中另一个重要概念。矩阵是由数个数排成的矩形阵列，其中包括零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n阶方阵和相等矩阵等。

矩阵的运算包括加法、数乘和乘法。其中，加法和数乘都满足交换律和结合律。而矩阵的乘法需要满足行数等于列数的规则。矩阵的乘法运算需要用到矩阵的元素之间的乘积和求和。

在矩阵的运算中，我们需要注意矩阵的类型和是否有意义。

一般情况下，矩阵乘法不满足消去律。即使已知AB=0，也不能得到A=0或B=0.

对于矩阵A，它的转置等于A乘以A加B。即transpose(A)=A(A+B)。

对于标量k和矩阵A，有(kA)=kA和(AB)=BA（反序定理）。

对于方幂A^k，有(A^k)=(A^1+k/2)+(A^2+k/2)。

有几种特殊的矩阵，如对角矩阵、数量矩阵、单位矩阵、上下三角形矩阵、对称矩阵、反对称矩阵、阶梯型矩阵和分块矩阵。对于分块矩阵，加法、数乘和乘法的规则类似，而转置需要对每个子块进行转置。

矩阵的逆矩阵指的是存在一个N阶矩阵B，使得AB=BA=I。如果矩阵A是可逆的，则称它是非奇异矩阵，否则称为奇异矩阵，其行列式为0.初等变换不会改变矩阵的可逆性，而初等矩阵都是可逆的。

线性代数知识点总结 2

1.aj：向量α的第j个分量。

2.n维实向量空间：全体n维实列向量构成的集合及其上定义的向量。的加法和数乘运算的合称。

Ps：1.全体n维行向量构成的集合记为R1*n；

2.R2即2维空间。

3.Rn的子集：多个n维实向量构成的一个集合。

4.V是Rn的子空间：V具有下列性质的Rn的子集。

设V⊆Rn是一个非空集合，V满足：

（1）若α、β∈V，则α+β∈V;

（2）若γ∈V，k∈R，则kγ∈V；

5.齐次线性方程组的解空间：齐次线性方程组的全部解向量构成的合。

6.向量组：多个相同维数的向量组成的集合。

7.线性组合：给定Rn中向量组A：α1，α2，…，αm，以及数k1，k2，…，km，称向量β=k1α1+k2α2+…+kmαm（k∈R）为向量组A的一个线性组合。

8.张成：给定Rn中向量组A：α1，α2，…，αm，由A的全体线性组合构成的集合。

Ps；（1）记为Span（α1，α2，…，αm）={k1α1+k2α2+…+kmαm}；

（2）张成是一Rn的一个子空间；

9.向量β能由向量组A线性表示：给定n维向量组A：α1，α2，…，αm和n维向量β，若存在m个数k1，k2，…，km，使β=k1α1+k2α2+…+kmαm（k∈R）

10.线性方程的三中表示：

（1）矩阵方程Ax=b；

（2）向量方程x1α1+x2α2+…+xnαn=β；

（3）一般式方程；

11.线性相关；k1α1+k2α2+…+knαn=0（k不全为0）；

线性无关；k1α1+k2α2+…+knαn=0（k全为0）；

12.线性相关的几何解释；

（1）若向量组A：α1，α2线性相关，则它们共线：

（2）若向量组A：α1，α2，α3线性相关，则它们共面。

13.向量组A线性相关的充要条件为R（A）＜n（即齐次线性方程组有非零解）；

向量组A线性无关的充要条件为R（A）=n（……只有零解）。

线性代数知识点全归纳

2 线性代数知识点

1、行列式

1. n行列式共有2n个元素，展开后有!n项，可分解为2n行列式；

2. 代数余子式的性质：

①、ijA和ija的大小无关；

②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；

③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A；

3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)ijijijijijijMAAM

4. 设n行列式D：

将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D，则(1)21(1)nnDD；

将D顺时针或逆时针旋转90o，所得行列式为2D，则(1)22(1)nnDD；

将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D，则3DD；

将D主副角线翻转后，所得行列式为4D，则4DD；

3 5. 行列式的重要公式：

①、主对角行列式：主对角元素的乘积；

②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2(1)nn；

③、上、下三角行列式（◥◣）：主对角元素的乘积；

④、◤和◢：副对角元素的乘积(1)2(1)nn；

⑤、拉普拉斯展开式：AOACABCBOB、(1)mnCAOAABBOBCg

⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；

⑦、特征值；

6. 对于n阶行列式A，恒有：1(1)nnknkkkEAS，其中kS为k阶主子式；

7. 证明0A的方法：

①、AA；

②、反证法；

③、构造齐次方程组0Ax，证明其有非零解；

④、利用秩，证明()rAn；

⑤、证明0是其特征值；

2、矩阵

1. A是n阶可逆矩阵：

0A（是非奇异矩阵）；

()rAn（是满秩矩阵）

4 A的行（列）向量组线性无关；

齐次方程组0Ax有非零解；

nbR，Axb总有唯一解；

A与E等价；

A可表示成若干个初等矩阵的乘积；

A的特征值全不为0；

线性代数知识点总结 3

一、行列式

1. 排列：由个不同数码1,2，……，组成的有序数组12……n。

2. 逆序：在一个级排列12……n中，如果有较大的数t排在较小的数s前面，则称与构成一个逆序。一个级排列中逆序的总数称为它的逆序数，逆序数是奇数称为奇排列，是偶数或0称为偶排列。

3. 定理1：任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变。定理2：个数码（>1）共有！个级排列，其中奇偶排列各占一半。

4. 用2个元素(=1,2, ……)组成的记号

称为阶行列式，其中横排称为行，纵排称为列。称为第行第列的元素，阶行列式表示所有可能取自不同的行，不同的列的个元素乘积的代数和，一般项可以写为

其中12…n构成一个级排列，当12…n取遍所有的级排列时，则得到阶行列式表示的代数和中所有的项。

5. 主对角线：行列式中从左上角到右下角的对角线。

6. 主对角线右上方元素全为0的行列式为下三角行列式，左下方元素全为0为上三角行列式，主对角线左上方和右上方元素全为0，主对角线上元素不全为0的行列式为对角行列式，它们的值均等于主对角线上元素的乘积。

7. 行列式性质1 行列式转置，值不变，即DT=D 8. 性质2 交换行列式的两行（列），行列式的值变号，即D1=D。

9. 性质3 用数乘行列式的某一行（列），等于数乘此行列式 ,即D1=D。

10. 性质4 若将行列式中某一行（列）的每一个元素写成两个数的和，则此行列式可以写成两个行列式的和，这两个行列式分别以这两个数为所在行（列）对应位置的元素，其他位置的元素与原行列式相同，即D=D1+D2

11. 推论：①若行列式中有两行（列）的对应元素相同，则此行列式值为0。

②若行列式中有两行（列）的对应元素成比例，则此行列式值为0。

③若行列式某行（列）的所有元素有公因子，则公因子可提到行列式外面。 ④将行列式某一行（列）的所有元素同乘以数后加到另一行（列）对应位置的元素上，行列式值不变。

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