2014届高考数学一轮复习教学案函数的单调性与最值(含解析)

第三节函数的单调性与最值

[知识能否忆起]

一、函数的单调性

1．单调函数的定义

增函数 减函数

定义 设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2

当x1f(x2) ，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数

图象描述

自左向右看图象逐渐上升 自左向右看图象逐渐下降

2．单调区间的定义

若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．

二、函数的最值

前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足

条件 ①对于任意x∈I，都有f(x)≤M；

②存在x0∈I，使得f(x0)＝M ①对于任意x∈I，都有f(x)≥M；

②存在x0∈I，使得f(x0)＝M

结论 M为最大值 M为最小值

[小题能否全取]

1．(2012·陕西高考)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )

A．y＝x＋1 B．y＝－x3

C．y＝1x D．y＝x|x|

解析：选D 由函数的奇偶性排除A，由函数的单调性排除B、C，由y＝x|x|的图象可知此函数为增函数，又该函数为奇函数，故选D.

2．函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则( )

A．k>12 B．k<12

C．k>－12 D．k<－12

解析：选D 函数y＝(2k＋1)x＋b是减函数，

则2k＋1<0，即k<－12.

3．(教材习题改编)函数f(x)＝11－x1－x的最大值是( )

A.45 B.54

C.34 D.43

解析：选D ∵1－x(1－x)＝x2－x＋1＝x－122＋34≥34，∴0<11－x1－x≤43.

4．(教材习题改编)f(x)＝x2－2x(x∈[－2,4])的单调增区间为________；f(x)max＝________.

解析：函数f(x)的对称轴x＝1，单调增区间为[1,4]，f(x)max＝f(－2)＝f(4)＝8.

答案：[1,4] 8

5．已知函数f(x)为R上的减函数，若m

解析：由题意知f(m)>f(n)；

1x>1，即|x|<1，且x≠0.

故－1

答案：> (－1,0)∪(0,1)

1.函数的单调性是局部性质

从定义上看，函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调．

2．函数的单调区间的求法

函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等；如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间．

[注意] 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．

函数单调性的判断

典题导入

[例1] 证明函数f(x)＝2x－1x在(－∞，0)上是增函数．

[自主解答] 设x1，x2是区间(－∞，0)上的任意两个自变量的值，且x1

则f(x1)＝2x1－1x1，f(x2)＝2x2－1x2，

f(x1)－f(x2)＝2x1－1x1－2x2－1x2

＝2(x1－x2)＋1x2－1x1

＝(x1－x2)2＋1x1x2

由于x10，

因此f(x1)－f(x2)<0，

即f(x1)

故f(x)在(－∞，0)上是增函数．

由题悟法

对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法：

(1)结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)证明；

(2)可导函数则可以利用导数证明．对于抽象函数单调性的证明，一般采用定义法进行．

以题试法

1．判断函数g(x)＝－2xx－1在 (1，＋∞)上的单调性．

解：任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1

则g(x1)－g(x2)＝－2x1x1－1－－2x2x2－1

＝2x1－x2x1－1x2－1，

由于1

所以x1－x2<0，(x1－1)(x2－1)>0， 因此g(x1)－g(x2)<0，即g(x1)

故g(x)在(1，＋∞)上是增函数．

求函数的单调区间

典题导入

[例2] (2012·长沙模拟)设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数k，定义函数fk(x)＝ fx，fx≤k，k，fx＞k，取函数f(x)＝2－|x|.当k＝12时，函数fk(x)的单调递增区间为( )

A．(－∞，0) B．(0，＋∞)

C．(－∞，－1)

D．(1，＋∞)

[自主解答] 由f(x)>12，得－1

所以f12(x)＝ 2－x，x≥1，12，－1＜x＜1，2x，x≤－1.

故f12(x)的单调递增区间为(－∞，－1)．

[答案] C

若本例中f(x)＝2－|x|变为f(x)＝log2|x|，其他条件不变，则fk(x)的单调增区间为________．

解析：函数f(x)＝log2|x|，k＝12时，函数fk(x)的图象如图所示，由图示可得函数fk(x)的单调递增区间为(0，2 ]．

答案：(0，2 ]

由题悟法

求函数的单调区间的常用方法

(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．

(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义．

(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．

(4)导数法：利用导数的正负确定函数的单调区间．

以题试法 2．函数f(x)＝|x－2|x的单调减区间是( )

A．[1,2] B．[－1,0]

C．[0,2] D．[2，＋∞)

解析：选A 由于f(x)＝|x－2|x＝ x2－2x，x≥2，－x2＋2x，x<2.

结合图象可知函数的单调减区间是[1,2]．

单调性的应用

典题导入

[例3] (1)若f(x)为R上的增函数，则满足f(2－m)

(2)(2012·安徽高考)若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a＝________.

[自主解答] (1)∵f(x)在R上为增函数，∴2－m

∴m2＋m－2>0.∴m>1或m<－2.

(2)由f(x)＝ －2x－a，x<－a2，2x＋a，x≥－a2，可得函数f(x)的单调递增区间为－a2，＋∞，故3＝－a2，解得a＝－6.

[答案] (1)(－∞，－2)∪(1，＋∞) (2)－6

由题悟法

单调性的应用主要涉及利用单调性求最值，进行大小比较，解抽象函数不等式，解题时要注意：一是函数定义域的限制；二是函数单调性的判定；三是等价转化思想与数形结合思想的运用．

以题试法

3．(1)(2013·孝感调研)函数f(x)＝1x－1在[2,3]上的最小值为________，最大值为________．

(2)已知函数f(x)＝1a－1x(a>0，x>0)，若f(x)在12，2上的值域为12，2，则a＝__________.

解析：(1)∵f′(x)＝－1x－12<0，∴f(x)在[2,3]上为减函数，∴f(x)min＝f(3)＝13－1＝12，f(x)max＝12－1＝1.

(2)由反比例函数的性质知函数f(x)＝1a－1x(a>0，x>0)在12，2上单调递增， 所以 f12＝12，f2＝2，即 1a－2＝12，1a－12＝2，解得a＝25.

答案：(1)12 1 (2)25

1．(2012·广东高考)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )

A．y＝ln(x＋2) B．y＝－x＋1

C．y＝12x D．y＝x＋1x

解析：选A 选项A的函数y＝ln(x＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．

2．若函数f(x)＝4x2－mx＋5在[－2，＋∞)上递增，在(－∞，－2]上递减，则f(1)＝( )

A．－7 B．1

C．17 D．25

解析：选D 依题意，知函数图象的对称轴为x＝－－m8＝m8＝－2，即 m＝－16，从而f(x)＝4x2＋16x＋5，f(1)＝4＋16＋5＝25.

3．(2013·佛山月考)若函数y＝ax与y＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是( )

A．增函数 B．减函数

C．先增后减 D．先减后增

解析：选B ∵y＝ax与y＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，∴a<0，b<0，∴y＝ax2＋bx的对称轴方程x＝－b2a<0，∴y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上为减函数．

4．“函数f(x)在[a，b]上为单调函数”是“函数f(x)在[a，b]上有最大值和最小值”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：选A 若函数f(x)在[a，b]上为单调递增(减)函数，则在[a，b]上一定存在最小(大)值f(a)，最大(小)值f(b)．所以充分性满足；反之，不一定成立，如二次函数f(x)＝x2－2x＋3