2。2。2 对数函数及其性质
疱丁巧解牛
知识·巧学·升华
一、对数函数及其性质
1.对数函数
一般地，函数y=logax（a>0，a≠1）叫对数函数，其中x是自变量,函数的定义域是（0,+∞）。
因为对数函数是由指数函数变化而来的,对数函数的自变量x恰好是指数函数的函数值y，所以对数函数的定义域是（0，+∞）,指数函数与对数函数的定义域和值域是互换的。
只有形如y=logax（a>0，a≠1，x>0)的函数才叫对数函数。像y=loga(x+1）,y=2logax，y=logax+3等函数，它们是由对数函数变化而得到的，都不是对数函数。对数函数同指数函数一样都是基本初等函数，它来自于实践.
2.对数函数的图象和性质
（1）下面先画指数函数y=log2x及y=log1/2x图象
列出x，y的对应值表，用描点法画出图象：
X … 1/8
1/4 1/2 1 2 4 8 …
y=log2x -3 —2 -1 0 1 2 3
y=log1/2x 3 2 1 0 —1 —2 —3
描点即可完成y=log2x,y=x21log的图象，如下图.
0 1 2 4 8 x
—1
—2 y=log1/2x
-3s
由表及图可以发现:
我们可以通过函数y=log2x的图象得到函数y=log0。5x的图象．利用换底公式可以得到：y=log0。5x=-log2x，点（x,y)与点(x,-y）关于x轴对称，所以y=log2x的图象上任意一点(x，y）关于x轴对称点(x，-y）在y=log0。5x的图象上，反之亦然．根据这种对称性就可以利用函数y=log2x的图象画出函数y=log0.5x的图象．
方法点拨 注意此处空半格①作对数函数图象,其关键是作出三个特殊点（a1,-1),（1，0)，(a，1）．一般情况下，作对数函数图象有这三点就足够了.不妨叫做“三点作图法。"②函数y=logax与y=xa1log的图象关于x轴对称。
2．2.2 对数函数及其性质(一)
课时目标 1.掌握对数函数的概念、图象和性质.2.能够根据指数函数的图象和性质得出对数函数的图象和性质，把握指数函数与对数函数关系的实质．
1．对数函数的定义：一般地，我们把______________________叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是________．
2．对数函数的图象与性质
定义 y＝logax (a>0，且a≠1)
底数 a>1 0
图象
定义域 ________
值域 ________
单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
共点性 图象过点________，即loga1＝0
函数值
特点 x∈(0,1)时，
y∈________；
x∈[1，＋∞)时，
y∈________ x∈(0,1)时，
y∈________；
x∈[1，＋∞)时，
y∈________
对称性 函数y＝logax与y＝1logax的图象关于____对称
3.反函数
对数函数y＝logax (a>0且a≠1)和指数函数__________________互为反函数．
一、选择题
1．函数y＝log2x－2的定义域是( )
A．(3，＋∞) B．[3，＋∞)
C．(4，＋∞) D．[4，＋∞)
2．设集合M＝{y|y＝(12)x，x∈[0，＋∞)}，N＝{y|y＝log2x，x∈(0,1]}，则集合M∪N等于( )
A．(－∞，0)∪[1，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(－∞，1] D．(－∞，0)∪(0,1)
3．已知函数f(x)＝log2(x＋1)，若f(α)＝1，则α等于( )
A．0 B．1 C．2 D．3
一、选择题
1．如果对数函数y=log2x的图象经过点（a，–2），则a的值为
A．14
B．14
C．4 D．–4
【答案】A
【解析】因为对数函数y=log2x的图象经过点（a，–2），所以log2a=–2，解得2124a．故选A．
2．函数y=lg（|x|+1）的单调性为
A．在（–∞，+∞）单调递增 B．在（–∞，+∞）单调递减
C．在（0，+∞）单调递增 D．在（0，+∞）单调递减
【答案】C
3．如图所示曲线是对数函数y=logax的图象，已知a的取值为43133510，，，，则相应图象C1，C2，C3，C4中的a的值依次为
A．43133510，，， B．41333105，，，
C．43133510，，， D．41333105，，，
【答案】C
【解析】函数y=logax的图象过（a，1），在平面直角坐标系内作直线y=1，可知在第一象限不同底数的图象逆时针按其底数从大到小排列，则图象C1，C2，C3，C4中的a的值由大到小应为C2，C1，C3，C4，
又∵a的取值为43133510，，，，故C1，C2，C3，C4中的a的值分别为43133510，，，，故选C．
4．函数21log21yx的反函数的定义域为
A．（–∞，+∞）
B．（0，+∞）
C．（–∞，0）
D．（–∞，0）∪（0，+∞）
【答案】A
【解析】反函数的定义域即为原函数的值域，由1021x得21log21xR，所以函数21log21yx的值域为R，由于反函数的定义域即为原函数的值域，∴反函数的定义域为R，故选A．
5．函数y=log2x与y=x–2的图象的交点个数为
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】C
6．函数f（x）=log（2x–1）（2–x）的定义域是
A．12， B．（–2，2）
ruize
2．2.2 对数函数及其性质
第二课时 对数函数及其性质的应用(习题课) ruize
[例1] 比较下列各组数中两个值的大小：
(1)log23.4，log28.5；
(2)log0.31.8，log0.32.7；
(3)loga5.1，loga5.9(a＞0，且a≠1)．
[解](1)考察对数函数y＝log2x，因为它的底数2＞1，所以它在(0，＋∞)上是增函数，于是log23.4＜log28.5.
(2)考察对数函数y＝log0.3x，因为它的底数0＜0.3＜1，所以它在(0，＋∞)上是减函数，于是log0.31.8＞log0.32.7.
(3)当a＞1时，y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，于是loga5.1＜loga5.9；
当0＜a＜1时，y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，于是loga5.1＞loga5.9.
比较对数值大小时常用的4种方法
(1)同底的利用对数函数的单调性． 比较对数值的大小 ruize
(2)同真的利用对数函数的图象或用换底公式转化．
(3)底数和真数都不同，找中间量．
(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．
[活学活用]
1．比较下列各题中两个值的大小：
(1)lg 6，lg 8；
(2)log0.56，log0.54；
(3)log132与log152; (4)log23与log54.
解：(1)因为函数y＝lg x在(0，＋∞)上是增函数，且6＜8，所以lg 6＜lg 8.
(2)因为函数y＝log0.5x在(0，＋∞)上是减函数，且6＞4，所以log0.56＜log 0.54.
(3)由于log132＝1log213，log152＝1log215.
又∵对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且13＞15，
∴0＞log2
13＞log2 15，∴1log213＜1log215.
