小学奥数圆与扇形

研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，通过变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积．

圆的面积2πr；扇形的面积2π360nr；

圆的周长2πr；扇形的弧长2π360nr．

一、跟曲线有关的图形元素：

①扇形：扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部分．我们经常说的12圆、14圆、16圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几分之几．那么一般的求法是什么呢？关键是360n．

比如：扇形的面积所在圆的面积360n；

扇形中的弧长部分所在圆的周长360n

扇形的周长所在圆的周长360n2半径(易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长)

②弓形：弓形一般不要求周长，主要求面积．

一般来说，弓形面积扇形面积-三角形面积．(除了半圆)

③”弯角”：如图： 弯角的面积正方形-扇形

④”谷子”：如图： “谷子”的面积弓形面积2

二、常用的思想方法：

①转化思想(复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的)

②等积变形(割补、平移、旋转等)

③借来还去(加减法)

④外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”)

板块一 平移、旋转、割补、对称在曲线型面积中的应用

【例 1】 下图中每一个小正方形的面积是1平方厘米，那么格线部分的面积是多少平方厘米？ 例题精讲

圆与扇形

【巩固】下图中每一个小正方形的面积是1平方厘米，那么格线部分的面积是多少平方厘米？

【例 2】 如图，在188的方格纸上，画有1，9，9，8四个数字．那么，图中的阴影面积占整个方格纸面积的几分之几？

【巩固】在4×7的方格纸板上面有如阴影所示的”6”字，阴影边缘是线段或圆弧．问阴影面积占纸板面积的几分之几？

【例 3】 (2007年西城实验考题)在一个边长为2厘米的正方形内，分别以它的三条边为直径向内作三个半圆，则图中阴影部分的面积为 平方厘米．

【巩固】如图，在一个边长为4的正方形内，以正方形的三条边为直径向内作三个半圆．求阴影部分的面积．

【例 4】 (人大附中分班考试题)如图，正方形边长为1，正方形的4个顶点和4条边分别为4个圆的圆心和半径，求阴影部分面积．(π取3.14)

【例 5】 图中的4个圆的圆心是正方形的4个顶点，它们的公共点是该正方形的中心．如果每个圆的半径都是1厘米，那么阴影部分的总面积是多少平方厘米？

【巩固】如图所示，四个全等的圆每个半径均为2m，阴影部分的面积是 ．

2m

【例 6】 如右图，有8个半径为1厘米的小圆，用它们的圆周的一部分连成一个花瓣图形，图中的黑点是这些圆的圆心．则花瓣图形的面积是多少平方厘米？ (π取3)

【例 7】 如图中三个圆的半径都是5cm，三个圆两两相交于圆心．求阴影部分的面积和．(圆周率取3.14)

【巩固】如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为1S，空白部分面积为2S，那么这两个部分的面积之比是多少？(圆周率取3.14)

【例 8】 计算图中阴影部分的面积(单位：分米)．

510A

【巩固】如图，阴影部分的面积是多少？

2224

【例 9】 请计算图中阴影部分的面积．

310

【例 10】 求图中阴影部分的面积． 1212DCBA

【例 11】 求如图中阴影部分的面积．(圆周率取3.14)

44

【巩固】如图，四分之一大圆的半径为7，求阴影部分的面积，其中圆周率π取近似值227．

【例 12】 求下列各图中阴影部分的面积．

(1)1010 (2)ba

【巩固】求下列各图中阴影部分的面积(图中长度单位为cm，圆周率按3计算)： ⑴3 ⑵4

⑶111⑷2

⑸2 ⑹456

【例 13】 如图，ABCD是正方形，且1FAADDE，求阴影部分的面积．(取π3)

FEDCBA

【巩固】求图中阴影部分的面积(单位：cm)．

432

【例 14】 如图，长方形ABCD的长是8cm，则阴影部分的面积是 2cm．(π3.14) 【例 15】 (2007年西城实验期末考试题)如图所示，在半径为4cm的图中有两条互相垂直的线段，阴影部分面积A与其它部分面积B之差(大减小)是 2cm．

21BBAA

【巩固】一块圆形稀有金属板平分给甲、乙二人．但此金属板事先已被两条互相垂直的弦切割成如图所示尺寸的四块．现甲取②、③两块，乙取①、④两块．如果这种金属板每平方厘米价值1000元，问：甲应偿付给乙多少元？

5cm7.5cm3cm2cm④③②①

【例 16】 求右图中阴影部分的面积．(π取3)

454520cm

【例 17】 (第四届走美决赛试题)如图，边长为3的两个正方形BDKE、正方形DCFK并排放置，以BC为边向内侧作等边三角形，分别以B、C为圆心，BK、CK为半径画弧．求阴影部分面积．(π3.14)

KFEDCBA

板块二 曲线型面积计算

【例 18】

如图，已知扇形BAC的面积是半圆ADB面积的34倍，则角CAB的度数是________．

DCBA

【例 19】 如下图，直角三角形ABC的两条直角边分别长6和7，分别以,BC为圆心，2为半径画圆，已知图中阴影部分的面积是17，那么角A是多少度(π3)

67CBA

【例 20】 如图，大小两圆的相交部分(即阴影区域)的面积是大圆面积的415，是小圆面积的35．如果量得小圆的半径是5厘米，那么大圆半径是多少厘米？

【例 21】 有七根直径5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆(如图)，此时橡皮筋的长度是多少厘米？(π取3)

【例 22】 如图，边长为12厘米的正五边形，分别以正五边形的5个顶点为圆心，12厘米为半径作圆弧，请问：中间阴影部分的周长是多少？(π3.14)

【例 23】 如图是一个对称图形．比较黑色部分面积与灰色部分面积的大小，得：黑色部分面积________灰色部分面积．

【例 24】 如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为1S，空白部分面积为2S，那么这两个部分的面积之比是多少？(圆周率取3.14)

【例 25】 用一块面积为36平方厘米的圆形铝板下料，从中裁出了7个同样大小的圆铝板．问：所余下的边角料的总面积是多少平方厘米？

【例 26】 如图，若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径都是1．求阴影部分的面积．

【例 27】 如图所示，求阴影面积，图中是一个正六边形，面积为1040平方厘米，空白部分是6个半径为10厘米的小扇形．(圆周率取3.14)

【例 28】 (09年第十四届华杯赛初赛)如下图所示，AB是半圆的直径，O是圆心，»»»ACCDDB，M是»CD的中点，H是弦CD的中点．若N是OB上一点，半圆的面积等于12平方厘米，则图中阴影部分的面积是 平方厘米．

MCDHNOBA

【巩固】如图，C、D是以AB为直径的半圆的三等分点，O是圆心，且半径为6．求图中阴影部分的面积．

DCBAO

【例 29】 如图，两个半径为1的半圆垂直相交，横放的半圆直径通过竖放半圆的圆心，求图中两块阴影部分的面积之差．(π取3)

【例 30】 如图，两个正方形摆放在一起，其中大正方形边长为12，那么阴影部分面积是多少？(圆周率取3.14) AFEDCB 【巩固】如右图，两个正方形边长分别是10和6，求阴影部分的面积．(π取3)

610GFEDCBA

【例 31】 如图，ABC是等腰直角三角形，D是半圆周的中点，BC是半圆的直径．已知10ABBC，那么阴影部分的面积是多少？(圆周率取3.14)

DBPCA

【例 32】 图中给出了两个对齐摆放的正方形，并以小正方形中右上顶点为圆心，边长为半径作一个扇形，按图中所给长度阴影部分面积为 ；(π3.14)

64

【例 33】 如图，图形中的曲线是用半径长度的比为2:1.5:0.5的6条半圆曲线连成的．问：涂有阴影的部分的面积与未涂有阴影的部分的面积的比是多少？

【例 34】 (2008年西城实验考题)奥运会的会徽是五环图，一个五环图是由内圆直径为6厘米，外圆直径为8厘米的五个环组成，其中两两相交的小曲边四边形(阴影部分)的面积都相等，已知五个圆环盖住的面积是77.1平方厘米，求每个小曲边四边形的面积．(π3.14)

【例 35】 已知正方形ABCD的边长为10厘米，过它的四个顶点作一个大圆，过它的各边中点作一个小圆，再将对边中点用直线连擎起来得右图．那么，图中阴影部分的总面积等于______方厘米．(π3.14)

【例 36】 如图，ABCD是边长为a的正方形，以AB、BC、CD、DA分别为直径画半圆，求这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积．(π取3)

DCBAa

【巩固】如图，正方形ABCD的边长为4厘米，分别以B、D为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆．求阴影部分面积．(π取3)

DCBA

【例 37】 (2008年四中考题)已知三角形ABC是直角三角形，4cmAC，2cmBC，求阴影部分的面积．