复合函数的单调性

复合函数单调区间
复合函数的单调性可以通过分析各个函数的单调性来得到。

如果函数f(x) 和g(x) 都是在某个区间上单调递增或单调递减的，则复合函数 h(x) = f(g(x)) 在该区间上也是单调递增或单调递减的。

具体来说，设函数 f(x) 在区间 I 上是单调递增或单调递减的，
函数 g(x) 在区间 J 上是单调递增或单调递减的。

如果区间 J 的值域是区间 I 的子集，则复合函数 h(x) = f(g(x)) 在区间 J 上也
是单调递增或单调递减的。

举个例子，假设函数 f(x) = x^2，在区间I = [0, ∞) 上是单调递
增的；函数 g(x) = x+1，在区间 J = (-∞, ∞) 上是单调递增的。

由于区间 J 的值域 (-∞, ∞) 包含了区间 I，所以复合函数 h(x) =
f(g(x)) = (x+1)^2 在整个区间 J 上都是单调递增的。

需要注意的是，这里的结果只适用于两个函数的单调性相互影响的情况。

如果函数 f(x) 和 g(x) 的单调性没有明显的关系，
那么复合函数的单调性也很难确定。

在这种情况下，可以考虑绘制函数图像或利用导数分析来判断复合函数的单调性。

本文首先回顾了函数单调性的定义，即对于给定区间上的函数，若任意两个值x1,x2（x1<x2）满足f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)，则称该函数在此区间内为增函数或减函数。接着阐述了证明函数单调性的五个步骤：取值、作差、变形、定号和判断下结论。文档通过多个经典例题详细解析了复合函数单调性的判断方法，如利用已知函数的单调性来判断复合函数的单调性。例如，在例1中，通过判断内层函数和外层函数的单调性，得出了复合函数在指定区间上的单调性。此外，文档还总结了若干关于复合函数单调性的重要结论，如y=f(x)与y=kf(x)的单调性关系、f(x)+g(x)的单调性以及复合函数f[ห้องสมุดไป่ตู้(x)]的单调性由f(x)和g(x)的单调性共同决定等规则。这些结论和例题为用户提供了深入理解复合函数单调性的有力工具。

复合函数的概念及复合函数的单调性1．复合函数的概念如果y 是ω的函数，ω又是x 的函数，即)(ωf y =，)(x g =ω，那么y 关于x 的函数)]([x g f y =叫做函数)(ωf y =和)(x g =ω的复合函数，其中ω是中间变量，自变量为x ，函数值y 。

例如：函数x x y 22)31(-=是由μ)31(=y ，x x 22-=μ复合而成立。

函数)43lg(2x x y -+=是由ωlg =y ，243x x -+=ω复合而成立，μ、ω是中间变量。

2．复合函数单调性一般地，定理：设函数)(x g =ω在区间M 上有意义，函数)(ωf y =在区间N 上有意义，且当M x ∈时，N ∈ω 有以下四种情况：（1）若)(x g =ω在M 上是增函数，)(ωf y =在N 上是增函数，则)]([x g f y =在M 上也是增函数；（2）若)(x g =ω在M 上是增函数，)(ωf y =在N 上是减函数，则)]([x g f y =在M 上也是减函数；（3）若)(x g =ω在M 上是减函数，)(ωf y =在N 上是增函数，则)]([x g f y =在M 上也是减函数；（4）若)(x g =ω在M 上是减函数，)(ωf y =在N 上是减函数，则)]([x g f y =在M 上也是增函数。

即：同增异减注意：内层函数)(x g =ω的值域是外层函数)(ωf y =的定义域的子集。

例1、讨论下列函数的单调性（注意：要求定义域）（1）x x y 22)31(-= （2）)43lg(2x x y -+= 解：练习1：1．求下列函数的单调区间。

（1）2522+-=x x y （2）)32(log 221-+=x x y（3）12--=x x y （4）212)3(--=x x y例2、已知)(x f y =，且)3lg(3lg lg lg x x y -+=。

（1）求)(x f y =的表达式及定义域；（2）讨论)(x f y =的单调性。

关于复合函数的单调性问题函数单调性是函数的核心内容之一，也是高考中重点考查的知识，又多以考查复合函数的单调性居多. 复合函数的单调性的复合规律为：若函数y=f(u)与u=g(x)的增减性相同(相反)，则y=f[g(x)]是增(减)函数，可概括为“同增异减” .为了帮助学生对复合函数的单调性进一步有一个全面的认识，本文结合几道例题，对复合函数的单调区间的求法及单调性的应用加以归纳总结，供学生在学习中参考.一、外函数与内函数只有一种单调性的复合型：例1已知函数y=loga(2-ax)在[0,1]上是x的减函数，则a的取值范围是( )(A).(0,1) (B).(1,2)(C).(0,2) (D). 2，+∞)解：设y= logau，u=2-ax，∵a是底数，所以a>0，∵函数y=loga u在u∈[0,1]上是减函数，而u=2-ax在区间x∈[0,1]上是减函数，∴y= logau是u∈(0, +∞)上的增函数，故a>1，还要使2-ax>0在区间上总成立，令g(x)= 2-ax，由{g(0)=2-a·0>0g(1)=2-a·1>0 ，解得a0知函数的定义域为x ＜1或x＞3因y=㏑u在u∈(0,+∞)上是增函数，而u= x2－4x+3在x∈(-∞，1)上是减函数，在(3，+ ∞)上是增函数，根据复合规律知，函数y=㏑(x2－4x+3) 在x∈(-∞，1)上是减函数，在(3，+ ∞)上是增函数。

例3讨论函数y=0.8x2-4x+3的单调性。

解：函数定义域为R。

令u=x2-4x+3，y=0.8u。

指数函数y=0.8u在(-∞，+∞)上是减函数，u=x2-4x+3在(-∞，2]上是减函数，在[2，+∞)上是增函数，∴函数y=0.8x2-4x+3在(-∞，2]上是增函数，在[2，+∞)上是减函数。

三、外函数有两种单调性，而内涵数只有一种单调性的复合型：例4 在下列各区间中，函数y=sin(x+π4)的单调递增区间是( )(A).[π2，π](B).[0，π4] (C).[-π，0](D). [π4，π2]解：令y=sinu，u=x+π4，∵y=sinu在u ∈[2kπ- π2，2kπ+ π2](k∈Z)上单调递增，在u ∈[2kπ- π2，2kπ+π2](k∈Z)上单调递增，而u=x+π4在R上是增函数，根据函数单调性的复合规律，由2kπ- π2≤x+π4≤2kπ+ π2得2kπ- 3π4≤x≤2kπ+π4，当k=0时，- 3π4≤x≤π4，故选(B) .例5讨论函数y=(log2x)2+log2x的单调性。