高中数学函数解题技巧方法总结(高考)-学生版

高中数学函数知识点总结 一、. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备) 二、. 求函数的定义域有哪些常见类型？ 例：函数的定义域是yxxx4

32lg

函数定义域求法：  分式中的分母不为零；  偶次方根下的数（或式）大于或等于零；  指数式的底数大于零且不等于一； 对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。

 正切函数xytan 



kkxRx,2,且

当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。 三、. 如何求复合函数的定义域？

的定，则函数，，的定义域是如：函数)()()(0)(xfxfxFabbaxf 义域是_____________。 复合函数定义域的求法：已知)(xfy的定义域为nm,，求)(xgfy的定义域，可由nxgm)(

解出x的范围，即为)(xgfy的定义域。

例 若函数)(xfy的定义域为2,21，则)(log2xf的定义域为 。 四、函数值域的求法 1、直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例 求函数y=x1的值域 2、配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例、求函数y=2x-2x+5，x[-1，2]的值域。 3、判别式法 对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面 2 / 14

.112..22222222ba y型：直接用不等式性质k+xbxb. y型,先化简，再用均值不等式xmxnx1 例：y1+xx+xxmxnc y型 通常用判别式xmxnxmxnd. y型 xn 法一：用判别式 法二：用换元法，把分母替换掉xx1（x+1）（x+1）+1 1 例：y（x+1）1211x1x1x1

















4、反函数法 直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

例 求函数y=6543xx值域。

5、函数有界性法 直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。

例 求函数y=11xxee，2sin11siny，2sin11cosy的值域。

6、函数单调性法 通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容

例求函数y=25xlog31x（2≤x≤10）的值域

7、换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角 函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发 挥作用。

例 求函数y=x+1x的值域。

8 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这 类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。 例：已知点P（x.y）在圆x2+y2=1上，

2,(2),2(,20, (1)的取值范围 (2)y-2的取值范围 解:(1)令则是一条过(-2,0)的直线. d为圆心到直线的距离,R为半径) (2)令y-2即也是直线d d yxxykykxxRdxbyxbR



例求函数y=)2(2x+)8(2x的值域。

例求函数y=1362xx+ 542xx的值域

9 、不等式法

利用基本不等式a+b≥2ab，a+b+c≥3abc3（a，b，c∈R），求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。 例：

33()13()32x(3-2x)(0



10.倒数法 有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况

例 求函数y=32xx的值域

33

2(0)11113333222x =xx (应用公式a+b+c时，注意使者的乘积变成常数）xxxxxxabc

4 / 14

2320121112202222012时，时，=00xyxxxxyyxxxyy









 多种方法综合运用 总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。

五、. 如何用定义证明函数的单调性？ （取值、作差、判正负） 判断函数单调性的方法有三种： (1)定义法： 根据定义，设任意得x1,x2，找出f(x1),f(x2)之间的大小关系

可以变形为求1212()()fxfxxx的正负号或者12()()fxfx与1的关系 (2)参照图象： ①若函数f(x)的图象关于点(a，b)对称，函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间具有相同的单调性； （特例：奇函数） ②若函数f(x)的图象关于直线x＝a对称，则函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间里具有相反的单调性。（特例：偶函数） (3)利用单调函数的性质： ①函数f(x)与f(x)＋c(c是常数)是同向变化的 ②函数f(x)与cf(x)(c是常数)，当c＞0时，它们是同向变化的；当c＜0时，它们是反向变化的。 ③如果函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)＋f2(x)和它们同向变化；（函数相加） ④如果正值函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化；如果负值函数f1(2)与f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们反向变化；（函数相乘）

⑤函数f(x)与1()fx在f(x)的同号区间里反向变化。

⑥若函数u＝φ(x)，x[α，β]与函数y＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ(β),φ(α)]同向变化，则在[α，β]上复合函数y＝F[φ(x)]是递增的；若函数u＝φ(x),x[α，β]与函数y＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ(β)，φ(α)]反向变化，则在[α，β]上复合函数y＝F[φ(x)]是递减的。（同增异减）

f(g) g(x) f[g(x)] f(x)+g(x) f(x)*g(x) 都是正数 增 增 增 增 增 增 减 减 / / 减 增 减 / / 减 减 增 减 减 5 / 14

如：求的单调区间yxxlog1222

六、.如何利用导数判断函数的单调性？ 在区间，内，若总有则为增函数。（在个别点上导数等于abfxfx'()()0

零，不影响函数的单调性），反之也对，若呢？fx'()0 如：已知，函数在，上是单调增函数，则的最大afxxaxa013()值是（ ）

七、 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？ （f(x)定义域关于原点对称）

若总成立为奇函数函数图象关于原点对称fxfxfx()()()

若总成立为偶函数函数图象关于轴对称fxfxfxy()()() 注意如下结论： （1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

（）若是奇函数且定义域中有原点，则。2f(x)f(0)0

如：若·为奇函数，则实数fxaaaxx()2221

又如：为定义在，上的奇函数，当，时，，fxxfxxx()()()()1101241 求在，上的解析式。fx()11

八.判断函数奇偶性的方法

1、定义域法 一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数.

2、奇偶函数定义法 在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算)(xf，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性. 6 / 14

这种方法可以做如下变形f(x)+f(-x) =0 奇函数f(x)-f(-x)=0 偶函数f(x)1 偶函数 f(-x)f(x)1 奇函数f(-x)

 3、复合函数奇偶性

九、. 你熟悉周期函数的定义吗？ （若存在实数（），在定义域内总有，则为周期TTfxTfxfx0()() 函数，T是一个周期。） 如：若，则fxafx()

我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况：告诉你f(x)+f(x+t)=0,我们要马上反应过来，这时说这个函数周期2t. 推导：()()0()(2)()(2)0fxfxtfxfxtfxtfxt， 同时可能也会遇到这种样子：f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思：函数f(x)关于直线对称， 对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。比如，f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线x=a对称。 如：

()()()()()()(2)(2)(2)()(2)2,222,()(22)()(22),()2||(,,,fxxaxbfaxfaxfbxfbxfxfaxfaxfbxfxfbxtaxbxtbaftftbafxfxbafxbaab又如：若图象有两条对称轴，即，

令则即所以函数以为周期因不知道的大小关系为保守起见我加了一个绝对值

十. 你掌握常用的图象变换了吗？

fxfxy()()与的图象关于轴对称 联想点（x,y）,(-x,y)

f(g) g(x) f[g(x)] f(x)+g(x) f(x)*g(x) 奇 奇 奇 奇 偶 奇 偶 偶 非奇非偶 奇

偶 奇 偶 非奇非偶 奇 偶 偶 偶 偶 偶