特征值与特征向量(高等代数课件)

特征值即为其主对角线元素。
2 1 1
【例
2】求
A
0 4
2 1
0 3
的特征值和特征向量.
2 1 1 【解】 f ( ) A E 0 2 0
4 1 3 (2 ) 2 1 (1 )(2 )2，
4 3 令 f ( ) 0，解得 A的特征值为
1 1, 2 3 2
1 0
0 4
0 1
0 1
x2 x3
0 0
,得非零解为
x
k2
0 4
k3
11,
即为 A的属于特征值2 3 2的所有特征向量,其中k2 , k3
为不全为零的常数。
1 1 0
【例
3】求
A
4 1
3 0
0 2
的特征值和特征向量.
【简解】⑴ A的特征值为1 2,2 3 1。
0
⑵对于1 =2,
⑴ 特征多项式 f ( ) | A E |； ⑵ 求特征方程 f ( ) | A E | 0的解1,2 , ,n， 则1,2 , ,n为 A的特征值（也称特征根）； ⑶ 对于每个i (i 1,2, , n)，求齐次线性方程组
（A i E）x 0 的（所有）非零解 x，即得 A的属于特征值i的（所有）
【定理 5.7】 设 A为n阶实对称阵，则必有正交阵 P ，使得
1
P 1 AP
，其中
1
,
n
,n为 A的特征值。
（一定要记住定理 5.7 的结论）
定理 5.7 表明n阶实对称阵一定有n个线性无关的特征向量。
求正交阵P的方法与步骤（一定要掌握）
①求出A的特征值与特征值对应线性无关的特征向量。
②如果特征值是单根,对应线性无关的特征向量只有 一个，将它单位化;

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1 0
~
4 0
1 0
1 0,
4 1 1 0 0 0
得基础解系为：
0 p2 1,
1
1 p3 0,
4
所以对应于 2 3 2的全部特征向量为 :
k2 p2 k3 p3 (k2 , k3不同时为0).
例8 证明：若 是矩阵A的特征值, x是A的属于 的特征向量，则
(1) m是Am的特征值m是任意常数.
3 A 2E 4
1 1
0 0
~
1 0
0 1
0 0
1 0 0 0 0 0
得基础解系
0 p1 0, 1
所以kp1(k 0)是对应于1 2的全部特征向量. 当 2 3 1时,解方程( A E)x 0.由
2 A E 4
1 2
0 0
~
1 0
0 1
1 2,
1 0 1 0 0 0
A* 3A 2E .
解 因A的特征值全不为0，知A可逆，故
A* A A1. 而 A 123 2, 所以
A* 3A 2E 2A1 3A 2E.
把上式记为( A),
有 ( ) 2＋3
2，
故 ( A) 的特征值为(1) 3，
(2) 3，于是 (1) 1， A* 3A 2E （ 1） (3) 3 9
一、特征值与特征向量的概念
定义6 设A是n阶矩阵,如果数和n维非零列向量
x使关系式
Ax x 成 立,那 末, 这 样 的 数称 为 方 阵A的 特 征 值, 非 零 向量x称为A的对应于特征值的特征向量 .
说明 1. 特征向量x 0, 特征值问题是对方阵而言的.
2. n阶方阵A的特征值,就是使齐次线性方程组
则 Ax1 p1 x2 p2 xm pm 0, 即

1 0 ,B 1 1 A 如 0 1 0 1

2
它们的特征多项式都是 ( 1) ，但A、B不相似.
第七章 线性变换 §4 特征值与特征向量
3. 哈密尔顿─凯莱（Hamilton─Caylay）定理
设 A P
nn
, f ( ) E A 为A的特征多项式, 则
注： ① 几何意义：特征向量经线性变换后方向保持
相同 (0 0) 或相反 (0 0). 0 0 时 , ( ) 0. ② 若 是 的属于特征值 0的特征向量，则
k ( k P , k 0) 也是 的属于0 的特征向量.

( k ) k ( ) k (0 ) 0 ( k )
x01 是线性方程组 (0 E A) X 0 的解， 即 x 0n x01 0, 又 0, x 0n
第七章 线性变换 §4 特征值与特征向量
从而 (0 E A) X 0 有非零解. 所以它的系数行列式 0 E A 0.
①
则， f ( ) E n E a1 n1 E
而 B( )( E A) n B0 n1 ( B1 B0 A) n 2 ( B2 B1 A)

( Bn1 Bn 2 A) Bn1 A
②
比较①、②两式，得
第七章 线性变换 §4 特征值与特征向量
dimV0 n 秩 ( 0 E A)
即特征子空间 V0的维数等于齐次线性方程组
(0 E A) X 0
(* )
的解空间的维数，且由方程组(*)得到的属于0 的 全部线性无关的特征向量就是 V0 的一组基.
第七章 线性变换 §4 特征值与特征向量