高一数学周末测试卷(第13周)
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高一数学周末测试卷（第12周）
时量：90分钟分数：100分
班级：_____ 姓名：_____ 分数：______
一、选择题：（每小题4分，共40分）
1.若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是(D)
A．e1－e2，e2－e1B．2e1＋e2，e1＋1
2e2
C．2e2－3e1,6e1－4e2D．e1＋e2，e1－e2
2.下列说法正确的有(A)
①方向相同的向量叫相等向量；②零向量的长度为0；③共线向量是在同一条直线上的
向量；④零向量是没有方向的向量；⑤共线向量不一定相等；⑥平行向量方向相同．
A．2个B．3个C．4个D．5个
解析：[②与⑤正确，其余都是错误的．
3.已知向量a＝(4,2)，b＝(x,3)，且a∥b，则x的值是(B)
A．－6 B．6 C．9 D．12
4. 如图所示，在平行四边形ABCD中，BC→＋DC→＋BA→等于(C)
A. BD→
B. DB→
C. BC→
D. CB→
5.已知向量a、b，且AB→＝a＋2b，BC→＝－5a＋6b，CD→＝7a－2b，则一定共线的三点是(C)
A．B、C、DB．A、B、CC．A、B、DD．A、C、D
解析：∵BD→＝BC→＋CD→＝2a＋4b＝2AB→，∴A、B、D三点共线．
6.向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c等于(B)
A．－1
2a＋3
2bB.1
2a－3
2b C.3
2a－1
2bD．－3
2a＋1
2b
解析：令c＝λa＋μb，则λ＋μ＝－1
λ－μ＝2，∴λ＝1
2
μ＝－3
2，∴c＝1
2a－3
2b.
7.等边△ABC中，AB→与BC→的夹角是(D)
A．30°B．45°C．60°D．120°
8. 若cos(π＋α)＝－1
2，3
2π
A.1
2B．±3
2C.3
2D．－3
2
解析：由cos(π＋α)＝－1
2，得cos α＝1
2，∴sin(2π＋α)＝sin α＝－1－cos2α＝－3
2(α为
第四象限角)．
9. 定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈
－π
2，0时，f(x)＝sin x，则f－5π
3的值为(A)
A．3
2B.1
2C．－3
2D. －1
2
解析：f－5π
3＝fπ
3＝－f－π
3＝－sin－π
3＝sin π
3＝3
2
10.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与
CD交于点F.若AC→＝a，BD→＝b，则AF→等于(B)
A.1
4a＋1
2bB.2
3a＋1
3C.1
2a＋1
4bD.1
3a＋2
3b
解析：如图所示，∵E是OD的中点，∴OE→
＝1
4BD→
＝1
4b.
又∵△ABE∽△FDE，∴AE
EF＝BE
DE＝3
1.∴AE→＝3EF→，∴AE→＝3
4AF→
.
在△AOE中，AE→＝AO→＋OE→＝1
2a＋1
4b.∴AF→＝4
3AE→＝2
3a＋1
3b.
二、填空题：（每小题4分，共20分）
11.在四边形ABCD中，AB→＝DC→且|AB→
|＝|AD→
|，则四边形的形状为________．菱形
12. 已知平面上三点A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)，则1
2AC→－1
4BC→的坐标是________．(－3,6)
13. 函数y＝sinωｘ＋π
4（ω>0）的最小正周期是2π
3，则ω＝______.3
14. 函数y＝2sin(2x＋π
3)(－π
6≤x≤π
6)的值域是________．[0,2]
解析∵－π
6≤x≤π
6，∴0≤2x＋π
3≤2π
3.∴0≤sin(2x＋π
3)≤1，∴y∈[0,2]
15.．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD上的一点，
且AF
FD＝1
5，连结CF并延长交AB于E，则AE
EB等于_______ 1
10
解析：设AB→＝a，AC→＝b，AE
EB＝λ.∵AF
FD＝1
5，∴CF→＝CA→＋AF→
＝CA→＋1
6AD→＝1
12(AB→＋AC→)－AC→＝1
12AB→－11
12AC→＝1
12a－11
12b.
CE→
＝CA→
＋AE→
＝CA→
＋λ
1＋λAB→
＝λ
1＋λAB→
－AC→
＝λ
1＋λa－b.
∵CF→∥CE→，∴λ
1＋λ
1
12＝1
11
12.∴λ＝1
10
三、解答题：（共5个题，每题10分）
16.如图所示，以向量OA→＝a，OB→＝b为边作?AOBD，又BM→＝1
3BC→，CN→＝1
3CD→，用a，b表
示OM→、ON→、MN→
.
解BA→＝OA→－OB→＝a－b.∴OM→＝OB→＋BM→＝OB→＋1
3BC→＝OB→＋1
6BA→＝1
6a＋5
6b.
又OD→
＝a＋b.ON→
＝OC→
＋CN→
＝1
2OD→
＋1
6OD→
＝2
3OD→
＝2
3a＋2
3b，序号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案D A B C C B D D A
B
∴MN→
＝ON→
－OM→
＝2
3a＋2
3b－1
6a－5
6b＝1
2a－1
6b.
17.已知函数f(x)＝sinπ
3－2x(x∈R).
(1)求f(x)的单调减区间；
(2)经过怎样的图象变换使f(x)的图象关于y轴对称？(仅叙述一种方案即可)．
解(1)由已知函数化为y＝－sin2x－π
3.欲求函数的单调递减区间，只需求y＝sin2x－π
3的
单调递增区间．
由2kπ－π
2≤2x－π
3≤2kπ＋π
2(k∈Z)，
解得kπ－π
12≤x≤kπ＋5
12π (k∈Z)，
∴原函数的单调减区间为kπ－π
12，kπ＋5
12π(k∈Z)．
(2)f(x)＝sinπ
3－2x＝cosπ
2－π
3－2x＝cos2x＋π
6＝cos2x＋π
12.
∵y＝cos 2x是偶函数，图象关于y轴对称，
∴只需把y＝f(x)的图象向右平移π
12个单位即可．
18.如图所示，已知△AOB中，点C是以A为中点的点B的对称点，OD→＝2DB→，DC和OA
交于点E，设OA→＝a，OB→＝b.
(1)用a和b表示向量OC→、DC→；
(2)若OE→＝λOA→，求实数λ的值．
解(1)由题意，A是BC的中点，且OD→＝2
3OB→，
由平行四边形法则，OB→＋OC→＝2OA→.
∴OC→＝2OA→－OB→＝2a－b，
DC→
＝OC→
－OD→
＝(2a－b)－2
3b＝2a－5
3b.
(2)EC→∥DC→
.又∵EC→＝OC→－OE→＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，DC→＝2a－5
3b，
∴2－λ
2＝1
5
3，∴λ＝4
5.
19.已知曲线y＝Asin(ωｘ＋φ) (A>0，ω>0)上的一个最高点的坐标为π
8，2，此点到相邻最
低点间的曲线与x轴交于点3
8π，0，若φ∈－π
2，π
2.
(1)试求这条曲线的函数表达式；
(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π］上
的图象．
解(1)由题意知A＝2，T＝4×3
8π－π
8＝π，ω＝2π
T＝2，∴y＝2sin(2x＋φ)．
又∵sinπ
8×2＋φ＝1，∴π
4＋φ＝2kπ＋π
2，k∈Z，∴φ＝2kπ＋π
4，k∈Z，
又∵φ∈－π
2，π
2，∴φ＝π
4.∴y＝2sin2x＋π
4
(2)列出x、y的对应值表：
x －π
8π
83
8π5
8π7
8π
2x＋π
40π
2π3
2π2π
y 020－20
描点，连线，如图所示：
20.已知线段PQ过△OAB的重心G，且P、Q分别在OA、OB上，设OA→＝a，OB→＝b，OP→＝
ma，OQ→＝nb.求证：1
m＋1
n＝3.
证明如右图所示，
∵OD→＝1
2(OA→＋OB→
)＝1
2(a＋b)，
∴OG→＝2
3OD→＝1
3(a＋b)．
∴PG→
＝OG→
－OP→
＝1
3(a＋b)－ma＝(1
3－m)a＋1
3b.
PQ→
＝OQ→
－OP→
＝nb－ma.
又P、G、Q三点共线，所以存在一个实数λ，使得PG→＝λPQ→.
∴(1
3－m)a＋1
3b＝λｎb－λｍa，∴(1
3－m＋λｍ)a＋(1
3－λｎ)b＝0.
∵a与b不共线，∴1
3－m＋λｍ＝0，①
1
3－λｎ＝0，②由①②消去λ得：1
m＋1
n＝
3.
