沪教版八年级数学下知识点汇总

沪教版八年级数学下知识点汇总

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沪科版八年级数学下知识点总结

3 沪科版八年级数学下知识点总结

二次根式知识点：

知识点一： 二次根式的概念

形如（）的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。

知识点二：取值范围

1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。

知识点三：二次根式（）的非负性

（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。

注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。

知识点四：二次根式（）的性质

（）

文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.

知识点五：二次根式的性质

文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

注：

1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；

2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；

3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。

知识点六：与的异同点 沪科版八年级数学下知识点总结

4 1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的， ，而

2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.

知识点七：二次根式的性质和最简二次根式

如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√2、√3、√a（a≥0）、√x+y 等；

含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√4、√9、√a^2、√（x+y）^2、√x^2+2xy+y^2等

（3）最终结果分母不含根号。

知识点八：二次根式的乘法和除法

1.积的算数平方根的性质

√ab=√a·√b（a≥0，b≥0）

2. 乘法法则

√a·√b=√ab（a≥0，b≥0）

二次根式的乘法运算法则，用语言叙述为：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。

3.除法法则

√a÷√b=√a÷b（a≥0，b>0）

二次根式的除法运算法则，用语言叙述为：两个数的算数平方根的商，等于这两个数商的算数平方根。 沪科版八年级数学下知识点总结

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4.有理化根式。

如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做有理化根式,也称有理化因式。

知识点九：二次根式的加法和减法

1 同类二次根式

一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。

2 合并同类二次根式

把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。

3二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。

知识点十：二次根式的混合运算

1确定运算顺序

2灵活运用运算定律

3正确使用乘法公式

4大多数分母有理化要及时

5在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化

知识点十一：分母有理化

分母有理化有两种方法

I.分母是单项式

如:√a/√b=√a×√b/√b×√b=√ab/b 沪科版八年级数学下知识点总结

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II.分母是多项式

要利用平方差公式

如1/√a＋√b=√a－√b/(√a＋√b)(√a－√b)=√a－√b/a－b

如图

注意：1.根式中不能含有分母 2.分母中不能含有根式。

一元二次方程知识点：

1. 一元二次方程的一般形式: a≠0时，ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a、

b、 c； 其中a 、 b,、c可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式.

2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用， 其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少.

3. 一元二次方程根的判别式: 当ax2+bx+c=0 (a≠0)时，Δ=b2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题： 沪科版八年级数学下知识点总结

7 Δ＞0 <=> 有两个不等的实根； Δ=0 <=> 有两个相等的实根；

Δ＜0 <=> 无实根； Δ≥0 <=> 有两个实根（等或不等）.

4. 一元二次方程的根系关系： 当ax2+bx+c=0 (a≠0) 时，如Δ≥0，有下列公式：

.acxxabxx)2(a2ac4bbx)1(212122,1，；

5. 一元二次方程的解法

（1） 直接开平方法 （也可以使用因式分解法）

①2(0)xaa 解为：xa

②2()(0)xabb 解为：xab

③2()(0)axbcc 解为：axbc

④22()()()axbcxdac 解为：()axbcxd

（2） 因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法

如：20(,0)()0axbxabxaxb 此类方程适合用提供因此，而且其中一个根为0

290(3)(3)0xxx 230(3)0xxxx

3(21)5(21)0(35)(21)0xxxxx

22694(3)4xxx 2241290(23)0xxx

24120(6)(2)0xxxx 225120(23)(4)0xxxx

（3） 配方法

①二次项的系数为“1”的时候：直接将一次项的系数除于2进行配方，如下所示：

2220()()022PPxPxqxq

示例：22233310()()1022xxx 沪科版八年级数学下知识点总结

8 ②二次项的系数不为“1”的时候：先提取二次项的系数，之后的方法同上：

22220 (0)()0 ()()022bbbaxbxcaaxxcaxacaaag

222224()()2424bbbbacaxcxaaaa

示例： 22221111210(4)10(2)2102222xxxxx

（4）公式法：一元二次方程20 (0)axbxca，用配方法将其变形为：

2224()24bbacxaa

①当240bac时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：21,242bbacxa

② 当240bac时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22bxa

③ 当240bac时，右端是负数．因此，方程没有实根。

备注：公式法解方程的步骤：

①把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：20 (0)axbxca，并确定出a、b、c

②求出24bac，并判断方程解的情况。

③代公式：21,242bbacxa（要注意符号）

※ 5．当ax2+bx+c=0 (a≠0) 时，有以下等价命题：

(以下等价关系要求会用公式 acxxabxx2121，；Δ=b2-4ac 分析，不要求背记)

（1）两根互为相反数  ab= 0且Δ≥0  b = 0且Δ≥0；

（2）两根互为倒数  ac=1且Δ≥0  a = c且Δ≥0；

（3）只有一个零根  ac= 0且ab≠0  c = 0且b≠0；

（4）有两个零根  ac= 0且ab= 0  c = 0且b=0； 沪科版八年级数学下知识点总结

9 （5）至少有一个零根  ac=0  c=0；

（6）两根异号  ac＜0  a、c异号；

（7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值 ac＜0且ab＞0 a、c异号且a、b异号；

（8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值 ac＜0且ab＜0 a、c异号且a、b同号；

（9）有两个正根  ac＞0，ab＞0且Δ≥0  a、c同号， a、b异号且Δ≥0；

（10）有两个负根  ac＞0，ab＜0且Δ≥0  a、c同号， a、b同号且Δ≥0.

6．求根法因式分解二次三项式公式：注意：当Δ＜ 0时，二次三项式在实数范围内不能分解.

ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 或 ax2+bx+c=a2ac4bbxa2ac4bbxa22.