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高中数学数列典型6类例题

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1 / 9 数学数列典型6类例题 1.形如)(1nfaann型（累加法） （1）若f(n)为常数,即：daann1,此时数列为等差数列，则na=dna)1(1. （2）若f(n)为n的函数时，用累加法.

例 1. 已知数列｛an｝满足)2(3,1111naaannn,证明213nna 例2.已知数列na的首项为1，且*12()nnaannN写出数列na的通项公式.

例3.已知数列}{na满足31a，)2()1(11nnnaann，求此数列的通项公式.

2.形如)(1nfaann型（累乘法）

（1）当f(n)为常数，即：qaann1（其中q是不为0的常数），此数列为等比且na=11nqa. （2）当f(n)为n的函数时,用累乘法. 例1、在数列}{na中111,1nnannaa )2(n，求数列的通项公式。答案：12nan 练习： 1、在数列}{na中1111,1nnannaa )2(n，求nnSa与。答案：)1(2nnan

2、求数列)2(1232,111nannaann的通项公式。 3.形如)(1nfpaann型（构造新的等比数列） （1）形如dcaann1的数列求通项，可以通过xacxann1的形式，利用待定

系数法求出x的值，转化为公比是c的等比数列求解。 例3．已知数列na满足23,111nnaaa，求通项na；

解：∵231nnaa,∴设xaxann31，则1x ∴1311nnaa ∴1na是公比为3的等比数列，首项是211a ∴1321nna ∴*,1321Nnann (2)形如n

nndmcaa1的数列求通项，当dc时，可以通过2 / 9

nnnndxacdxa1

1的形式，利用待定系数法求出x的值，转化为公比是c的等比

数列求解；当dc时，转化为等差数列求解。 例2． ①已知数列na满足nnnaaa23,111，求通项na；

∵nnnaa231 ∴设nnnnxaxa23211，则1x ∴nnnnaa23211， n

na2

是公比为3的等比数列，首项是3211a

∴nnnna33321 ∴*,23Nnannn∴ ②已知数列na满足nnnaaa243,111，求通项na； ∵nnnaa2431 ∴设nnnnxaxa23211，则4x ∴nnnnaa2432411，92411a n

na24

是公比为3的等比数列，首项是92411a，

∴1133924nnnna ∴*,2431Nnannn∴ ③已知数列na满足nnnaaa33,111，求通项na； ∵nnnaa331

∴313311nnnnaa ∴nna3是公差为31的等差数列，首项是31 ∴33nann 3 / 9

∴13nnna （3）形如edncaann1的数列求通项，可以通过

yxnacynxann)1(

1的形式，利用待定系数法求出x、y的值，转化为公比

是c的等比数列求解。 例3．已知数列na满足naaann23,111，求通项na；

解：∵naann231

∴设ynxaynxann3)1(1，则211yx ∴21321)1(1nanann ∴21nan是公比为3的等比数列，首项是252111a ∴132521nnna ∴213251nann。 （4）形如11nnnqapaa的数列求通项，可以通过11nnnnxaayxaa的形式，

利用待定系数法求出x、y的值，转化为nnnzyaa1的数列求解问题。 例4、已知数列na满足2,32,2,51121naaaaannn，求通项na； （见课本必修5第69也复习参考题B组第6题） 解法一：,3211nnnaaa 11nnnnxaayxaa设

则133132yxyxxyxy或 113nnnnaaaa

1nnaa是公比为3的等比数列，721aa 4 / 9

1137nnnaa

令11313nnnnxaxa，与1137nnnaa对照可得x=47 

113471347nnnnaa

1347nna是公比为-1的等比数列，首项是413471a

111413347nn

na

*,347141311Nnannn

解法二：同上得：1137nnnaa ∴97331311nnnnaa ∴设xaxannnn113313与97331311nnnnaa对照可得：127x ∴127331127311nnnnaa ∴1273nna是公比为31的等比数列，121312731a。 13112131273nnna

*,347141311Nnannn

。

解法三：同解法一得：nnnnaaaa33112 ∴nnaa31是公比为-1的等比数列，13312aa ∴nnnaa11331 ∴nnnaa11331 5 / 9

∴设nnnnxaxa13111与nnnaa11331对照可得：413x ∴nnxa1是公比为3的等比数列，∴474131a ∴13471nnnxa *,347141311Nnannn

解法四：同解法三得：nnnaa11331 ∴1313111nnnnaa

∴设xaxannnn13111与1313111nnnnaa对照可得413x ∴41313413111nnnnaa ∴4131nna是公比为-3的等比数列，47413111a ∴13474131nnna *,347141311Nnannn

解法五：同解法三得：nnnaa11331 同解法一得nnnaa371 



②①..............................37.................113311nnnnnnaaaa

②-①得：11371134nnna *,347141311Nnannn 6 / 9

例5． 已知、是方程02qpxx的两个根，,,221qpapa 2,11nqapaannn,求通项na。

解：qp, 111nnnnnaaqapaa

11nnnnaaaa

1nnaa是公比为的等比数列，首项是

222

12qppaa

nnnnaa221…………………….①

又11nnnnaaaa 同理可得：nnnaa1……………………②

当时，nnnaa1

111nnnnaa，nnnnnana,

当时，由①②得 ：11nnna 综上，,,,11nnnnna 说明：本例和例4基本相同，请读者自己考虑其它解法。 （5）n

nnqapa1，后面的待定系数法也用指数形式。

(05 江西理) 已知数列:,}{且满足的各项都是正数na.),4(,21,110Nnaaaannn

（1）证明;,21Nnaann （2）求数列}{na的通项公式an.

解：（1）方法一 用数学归纳法证明： 1°当n=1时，,23)4(2

1,10010aaaa

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高中数学数列的求和公式及相关题目解析

高中数学数列的求和公式及相关题目解析

高中数学数列的求和公式及相关题目解析在高中数学中，数列是一个非常重要的概念，它是数学中的一种序列，由一系列按照一定规律排列的数所组成。

数列的求和是数学中常见的问题之一，本文将介绍数列的求和公式及相关题目解析，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和掌握这一知识点。

一、等差数列的求和公式及相关题目解析1. 等差数列的求和公式等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。

对于等差数列，我们可以使用求和公式来快速计算其前n项的和。

设等差数列的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，则等差数列的求和公式为：Sn = (n/2)[2a1 + (n-1)d]其中，n为项数，a1为首项，d为公差。

2. 题目解析例题1：已知等差数列的首项为3，公差为4，求前10项的和。

解析：根据等差数列的求和公式，代入a1=3，d=4，n=10，可以得到：S10 = (10/2)[2*3 + (10-1)*4] = 5[6 + 9*4] = 5[6 + 36] = 5*42 = 210因此，前10项的和为210。

例题2：已知等差数列的首项为-2，公差为5，前n项和为100，求n的值。

解析：根据等差数列的求和公式，代入a1=-2，d=5，Sn=100，可以得到：100 = (n/2)[2*(-2) + (n-1)*5] = (n/2)[-4 + 5n - 5] = (n/2)(5n - 9)化简得到5n^2 - 9n - 200 = 0，解这个二次方程可以得到n≈13.2或n≈-3.8。

由于n必须是正整数，所以n≈13.2不符合题意。

因此，n≈-3.8也不符合题意。

综上所述，n的值为13。

二、等比数列的求和公式及相关题目解析1. 等比数列的求和公式等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。

对于等比数列，我们可以使用求和公式来快速计算其前n项的和。

设等比数列的首项为a1，公比为r，前n项和为Sn，则等比数列的求和公式为：Sn = a1(1 - r^n)/(1 - r)其中，n为项数，a1为首项，r为公比。

高中数列经典题型_大全

高中数列经典题型_大全

高中数学：《递推数列》经典题型全面解析类型1 )(1n f a a n n +=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。

例:已知数列{}n a 满足211=a ，nn a a n n ++=+211，求n a 。

类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。

例:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。

例:已知31=a ，n n a n n a 23131+-=+ )1(≥n ，求n a 。

类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。

例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a . 变式:递推式：()n f pa a n n +=+1。

解法：只需构造数列{}n b ，消去()n f 带来的差异． 类型 4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。

（1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数） 。

例:已知数列{}n a 中，651=a ,11)21(31+++=n n n a a ，求n a 。

类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。

解法一（待定系数——迭加法）:数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,，求数列{}n a 的通项公式。

解法二（特征根法）：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， ba a a ==21,的特征方程是：02532=+-x x 。

32,121==x x Θ,∴1211--+=n n n Bx Ax a 1)32(-⋅+=n B A 。

高中常见数列的公式及经典例题

高中常见数列的公式及经典例题

⾼中常见数列的公式及经典例题⾼中常见数列的公式及经典例题等差数列1．等差数列：⼀般地，如果⼀个数列从第⼆项起，每⼀项与它前⼀项的差等于同⼀个常数，即n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常⽤字母“d ”表⽰）2．等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+= =n a d m n a m )(-+或 n a =pn+q (p 、q 是常数))3．有⼏种⽅法可以计算公差d ① d=n a －1-n a ② d =11--n a a n ③ d =mn aa m n -- 4．等差中项：,,2b a ba A ?+=成等差数列 5．等差数列的性质： m+n=p+q ?q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N ) 等差数列前n 项和公式 6.等差数列的前n 项和公式（1）2)(1n n a a n S +=（2）2)1(1d n n na S n -+= （3）n )2da (n 2d S 12n -+=，当d ≠0，是⼀个常数项为零的⼆次式 8.对等差数列前项和的最值问题有两种⽅法:（1）利⽤n a ：当n a >0，d<0，前n 项和有最⼤值可由n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n 的值当n a <0，d>0，前n 项和有最⼩值可由n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n 的值（2）利⽤n S ：由n )2d a (n 2dS 12n -+=⼆次函数配⽅法求得最值时n 的值等⽐数列1．等⽐数列：如果⼀个数列从第⼆项起，每⼀项与它的前⼀项的⽐等于同⼀个常数，那么这个数列就叫做等⽐数列.这个常数叫做等⽐数列的公⽐；公⽐通常⽤字母q 表⽰（q ≠0），即：1-n na a =q （q ≠0） 2.等⽐数列的通项公式: )0(111≠??=-q a q a a n n ，)0(1≠??=-q a q a a m n m n3．｛n a ｝成等⽐数列?nn a a 14．既是等差⼜是等⽐数列的数列：⾮零常数列． 5．等⽐中项：G 为a 与b 的等⽐中项. 即G =±ab （a ,b 同号）.6．性质：若m+n=p+q ，q p n m a a a a ?=?7．判断等⽐数列的⽅法：定义法，中项法，通项公式法 8．等⽐数列的增减性：当q>1, 1a >0或01, 1a <0,或00时, {n a }是递减数列;当q=1时, {n a }是常数列; 当q<0时, {n a }是摆动数列; 等⽐数列前n 项和等⽐数列的前n 项和公式：∴当1≠q 时，q q a S n n --=1)1(1 ①或qq a a S n n --=11 ②当q=1时，1na S n =当已知1a , q, n 时⽤公式①；当已知1a , q, n a 时，⽤公式②.数列通项公式的求法⼀、定义法直接利⽤等差数列或等⽐数列的定义求通项的⽅法叫定义法，这种⽅法适应于已知数列类型的题⽬．例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等⽐数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式. 解：设数列{}n a 公差为)0(>d d∵931,,a a a 成等⽐数列，∴9123a a a =，即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=?∵0≠d ，∴d a =1………………………………①∵255a S = ∴211)4(2455d a d a +=??+…………②由①②得：531=a ，53=d∴n n a n 5353)1(53=?-+=点评：利⽤定义法求数列通项时要注意不⽤错定义，设法求出⾸项与公差（公⽐）后再写出通项。

高中常见数列的公式及经典例题

高中常见数列的公式及经典例题

数列 知识点及解题技巧1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示）2．等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+= =n a d m n a m )(-+或 n a =pn+q (p 、q 是常数))3．有几种方法可以计算公差d ① d=n a －1-n a ② d =11--n a a n ③ d =mn a a mn -- 4．等差中项：,,2b a ba A ⇔+=成等差数列 5．等差数列的性质： m+n=p+q ⇒q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N ) 等差数列前n 项和公式6.等差数列的前n 项和公式 （1）2)(1n n a a n S +=（2）2)1(1d n n na S n -+= （3）n )2da (n 2d S 12n -+=，当d ≠0，是一个常数项为零的二次式8.对等差数列前项和的最值问题有两种方法:（1） 利用n a ：当n a >0，d<0，前n 项和有最大值可由n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n 的值当n a <0，d>0，前n 项和有最小值n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n 的值（2） 利用n S ：由n )2da (n 2d S 12n -+=二次函数配方法求得最值时n 的值 等比数列1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：1-n na a =q （q ≠0） 2.等比数列的通项公式: )0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n ， )0(1≠⋅⋅=-q a qa a mn m n 3．｛n a ｝成等比数列⇔nn a a 1+=q （+∈N n ,q ≠0） “n a ≠0”是数列｛n a ｝成等比数列的必要非充分条件 4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．5．等比中项：G 为a 与b 的等比中项. 即G =±ab （a ,b 同号）. 6．性质：若m+n=p+q ，q p n m a a a a ⋅=⋅7．判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法8．等比数列的增减性：当q>1, 1a >0或0<q<1, 1a <0时, {n a }是递增数列; 当q>1, 1a <0,或0<q<1, 1a >0时, {n a }是递减数列; 当q=1时, {n a }是常数列; 当q<0时, {n a }是摆动数列; 等比数列前n 项和等比数列的前n 项和公式：∴当1≠q 时，qq a S n n --=1)1(1 ① 或q q a a S n n --=11 ②当q=1时，1na S n =当已知1a , q, n 时用公式①；当已知1a , q, n a 时，用公式②.数列通项公式的求法一、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式. 解：设数列{}n a 公差为)0(>d d∵931,,a a a 成等比数列，∴9123a a a =，即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=⇒∵0≠d ， ∴d a =1………………………………①∵255a S = ∴211)4(2455d a d a +=⋅⨯+…………② 由①②得：531=a ，53=d∴n n a n 5353)1(53=⨯-+=点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。