伯德图练习题(学习资料)

例如：甲、乙两车同时从A 、B 两地相向而行.设两车行驶时间为t （小时），两车离A 地的距离为s （千米），s （千米）与t （小时）的关系如图所示.若A 、B 两地相距300千米，请回答下列问题：（1）甲、乙两车几小时后相遇？（2）甲车行驶多长时间后两车相距100千米？（3）如果乙车到达A 地后立刻按照原速度返回，那么乙车能在甲车到达B 地前追上甲车吗？请说明理由.分析：（1）此题用ST 图表示两个运动关系，可以求出甲乙两车的速度，即可求出两车相遇的时间（两条线的交点代表两车相遇）；（2）根据题意可知两车相距100米有两种情况：相遇前和相遇后，分情况求解；（3）追及问题，要通过图像分析出甲车到达的时间与乙车到达的时间关系.解答：（1）3003100÷=（千米/时），300560÷=（千米/时），7300(10060)18÷+=（小时） （2）相遇前：1(300100)(10060)14-÷+=（时），相遇后：1(300100)(10060)22+÷+=（时）（3）532-=（小时），追及时间360(10060) 4.5=⨯÷-=（小时）＞2（小时） 答：（1）甲、乙两车718小时后相遇；（2）行驶114或122小时后两车相距100千米； （3）乙车不能在到达B 地前追上甲车.s （千米）4003002001006543210知识剖析模块一 复杂相遇与追及例1某天早晨，张强从家跑步去体育场锻炼，同时妈妈从体育场晨练结束回家，途中两人相遇，张强跑到体育场后发现要下雨，立即按原路返回，遇到妈妈后两人一起回到家（张强和妈妈始终在同一条笔直的公路上行走）．如图是两人离家的距离y（米）与张强出发的时间t（分钟）之间的关系图像．根据图像信息解答下列问题：（1）求张强返回时的速度．（2）妈妈比按原速返回提前多少分钟到家？（3）请直接写出张强与妈妈何时相距1000米？练一练小明从家骑自行车出发，沿一条直路到相距2400米的邮局办事，小明出发的同时，他的爸爸以96米/分速度从邮局沿同一条道路步行回家，小明在邮局滞留2分钟后沿原路以原速返回，求小明从家出发后，经过多长时间在返回途中追上爸爸？这时他们距离家还有多远？一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，两车之间的距离与慢车行驶的时间关系如下图所示，根据图像可知快车比慢车每小时多走_________千米．新新驾驶一列快车从甲地匀速驶往乙地，状状驾驶一列慢车从乙地匀速驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x （小时），两车之间的距离为y （千米）图中的折线表示y 与x 之间的关系，根据图像进行以下探究： （1）甲、乙两地之间的距离为多少千米？ （2）解释图中点B 的实际意义？ （3）求慢车的速度． （4）求快车的速度．/h例2练一练已知：A、B两地之间的距离为900km，C地介于A、B两地之间，海绵宝宝驾车从A地驶往C地，派大星驾车从B地经C地驶往A地，已知两车同时出发，相向而行，结果两车同时到达C地后，海绵宝宝因故在C地须停留一段时间，然后返回A地，派大星继续驶往A 地，设派大星行驶时间x（h），他们之间的距离为y（km），如图的折线表示y与x之间的关系．（1）海绵宝宝的速度是多少千米/小时？（2）派大星的速度是多少千米/小时？（3）如果它们开始出发时间是早上8：00，那么D点所表示的时间是几点？（4）从D点的时间开始，又过了多少个小时它们相距90千米？此时的时间是几点？熊大、熊二现在驾车要从M地沿同一公路前往N地，熊二比熊大先行1小时，设熊大与熊二之间的路程为y（km），熊大行驶的时间为t（h），y与t之间的关系如图所示．结合图像解答下列问题（假设熊大、熊二驾车的速度始终保持不变）：（1）熊二的速度是多少？（2）求熊大的速度和a的值．例3练一练例如：张大伯带上若干自产的土豆进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后，又降价出售，售出的土豆千克数与他手中持有的钱数（含备用零钱）的关系如图所示，结合图像回答下列问题.（1）求降价前每千克土豆价格是多少？（2）降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完，这时他手中的钱（含备用零钱）是26元，试问他一共带了多少千克土豆？点拨：本题研究是是售出货物的重量与钱数之间的关系，我们可以把它当做变形的ST 图来做.解答：（1）(205)300.5-÷=（元/千克） （2）(2620)0.415-÷=（千克） 一共带了153045+=（千克）答：降价前每千克土豆的价格是0.5元/千克，他一共带了45千克土豆. 总结：用两点之间对应的钱数除以对应的重量，即可得到对应的单价.知识剖析模块二 生活中的“速度与图形”某农民在批发市场按每千克1.8元批发了若干千克的西瓜进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用．他先按市场价售出一些后，又降价出售．售出西瓜千克数x与他手中持有的钱数y元(含备用零钱)的关系如图所示，结合图像回答下列问题：（1）自带的零钱是多少？（2）降价前他每千克西瓜出售的价格是多少？（3）随后他按每千克下降0.5元将剩余的西瓜售完，这时他手中的钱（含备用的钱）是450元，问他一共批发了多少千克的西瓜？（4）这个农民一共赚了多少钱？例4王奶奶在菜市场出售自己种的甜瓜共9千克，为了方便，她带了一些零钱备用，按市场价售出一些后，又降价出售，售出的甜瓜千克数与她手中持有的钱数（含备用零钱）的关系如图所示，结合图像回答下列问题．（1）求降价前每千克的甜瓜价格是多少？（2）降价后她按每千克2元将剩余甜瓜售完，这时她手中的钱（含备用零钱）是多少元？如图1，在底面积为100cm²、高为20cm的长方体水槽内放入一个长方体烧杯，以恒定不变的流量速度先向烧杯中注水，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽为止，此过程中，烧杯本身的质量、体积忽略不计，烧杯在大水槽中的位置始终不改变．水槽中水面上升的高度h （厘米）与注水时间t（秒）之间的关系如图2所示．（1）图2中点______表示烧杯中刚好注满水，点______表示水槽中水面恰与烧杯中水面平齐；（2）求烧杯的底面积；（3）求注水的速度及注满水槽所用的时间．练一练例5练一练由于地震某国核电站发生了爆炸，反应堆需要注水冷却，铀棒却被放在底面积为100平方米，高为20米的长方体水槽的一个圆柱体桶内，如图（1）所示，向桶内注入流量一定的水，注满桶后，继续注水，直至注满水槽为止（假设圆柱体桶在水槽中的位置始终不变），水槽中水面上升的高度h与注水时间t之间的关系如图（2）（铀棒体积忽略不计）．（1）求圆柱体的底面积；（2）若圆柱体高为9米，求注满水槽所用时间．图2图1练习1.周六早晨，小亮和小华相约去滨河大道上训练跑步，他们从A路口出发，沿滨河大道跑到B路口再原路返回．因为体力的原因，他们返回的平均速度都是各自出发时速度的45．图中折线表示小亮在跑步过程中，他距A路口的距离y（米）与出发时间x（分）之间的关系图．（1）求小亮返回时的平均速度；（2）求a的值；（3）如果从A路口到B路口小华的平均速度是小亮平均速度的710，那么两人出发后多长时间第一次相遇？练习2.海绵宝宝从家出发，骑自行车前往1200米之外的蟹堡王餐厅，与此同时，派大星以1米每秒的速度沿同一条路从蟹堡王餐厅回家，海绵宝宝到餐厅买了一个汉堡后沿原路返回，路上再次遇到派大星，于是邀请派大星到自己家玩．下图为他们与海绵宝宝家的距离以及时间的关系，那么海绵宝宝从家出发，经过多长时间在返回途中追上派大星，此时距离海绵宝宝家还有多远？随堂练习练习3.小王从A地前往B地，到达后立即返回，他与A地的距离y（km)和所用时间x(h)之间的图像关系如图所示．（1）小王从B地返回到A地用了多少小时？（2）求小王出发6小时后距离A地多远？（3）在A、B之间有一C地，小王从去时到返回时路过C地，共用了2小时20分，求A、C两地相距多远？练习4.有一个装有进，出水管的容器，每单位时间进，出水量都是一定的，设从某时刻开始5分钟内只进不出水，在随后的15分钟内既进水又出水，得到时间x（分）和水量y（升）之间的关系如图所示：（1）水管在前4分钟内，每分钟进水多少升？（2）在20分钟后只放水不进水，容器内的水多少分钟可以放完？分)练习5.水平放置的容器内原有一些水，将若干个球逐一放入该容器中，先放大球再放小球．每放入一个大球水面就上升2毫米．已知一个大球的体积是一个小球体积的3倍，小球个数是大球的2倍．假定放入容器中的所有球完全浸没水中，且水不会溢出，设水面高度y（mm）与放入球的个数x（个）的关系如图所示．求a、b、c的值分别是多少？思维提升提升1.如图表示一条船从点A到河的上游点B往返的情形，从A点出发20分钟后，发动机坏了一段时间，船顺着河水倒着走了一段，之后发动机修好，继读前进到达点B，接着立即向点A返回．假设河水的流速、船行驶时在静水中的速度是不变的，这艘船在静水中的速度是多少？倒行了多远？提升2.甲、乙两车从A地将一批物品匀速运往B地，甲出发0.5小时后，乙才开始出发，结果比甲早1小时到达B地．如图，线段OP、MN分别表示甲、乙两车离A地的距离s（千米）与时间t（小时）之间的关系，a表示A、B两地之间的距离．请结合图中的信息解决如下问题：（1）求甲、乙两车的速度；（2）求a的值；（3）乙车到达B地后以原速度立即返回，请问甲车到达B地后以多大的速度立即匀速返回，才能与乙车同时回到A地？提升3.黄岩岛是我国南山群岛的一个小岛，渔产丰富．一天某渔船离开港口前往该海域捕鱼，捕捞一段时间后，发现一外国舰艇进入我国水域向黄岩岛驶来，渔船向渔政部门报告，并立即返航，渔政船接到报告后，立即从该港口出发赶往黄岩岛．渔政船及渔船与港口的距离s和渔船离开港口的时间t之间的关系如图所示．（假设渔船与渔政船同一航线航行）（1）求渔政船从港口出发赶往黄岩岛的速度．（2）求渔船与渔政船相遇时，两船与黄岩岛的距离．（3）求渔政船驶往黄岩岛的过程中，求渔船从港口出发经过多长时间与渔政船相距30海里？极限挑战挑战1.某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙行驶，快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用45分钟，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与货车相遇．已知货车的速度为60千米/小时，两车之间的距离y（千米）与货车行驶的时间x（小时）之间的图像如图所示.（1）快递车从甲地到乙地的速度是多少？（2）甲、乙两地之间的距离是多少千米？（3）快递车从乙地返回时的速度是多少？挑战2.甲开汽车，乙骑自行车都从M地出发沿一条公路匀速前往N地，乙先出发1h，设乙行驶的时间为t（h），甲、乙两人之间的距离为y（km），y与t的关系如图所示.（1）C点和D点的实际意义分别是什么？（2）求甲、乙两人的速度分别是多少？（3）求M、N之间的距离.。

【练习1】【解析】 取BC 中点O 及点O 关于AC 的对称点O ′，分别以O 、O ′为圆心，OC 、O C ′长度为半径作圆，两圆与直线EF 有两个交点（如图），一个是点B ，另外一个是线段AB 的中点，所以满足条件的P 点一定在线段AB 上，应选B ．【练习2】【解析】1212DACDBC K BDC CAB∠∠==∠∠【练习3】【解析】 以A 为圆心，以AB 为半径作圆，并在优弧上任取一点E ，连接EB 、ED ．∵150BCD ∠=°，∴30E ∠=°， ∴260BAD E ∠=∠=°．此题直接用等腰三角形的内角关系也很简单，只是为了让学生练习一下辅助圆思想，该方法在这里 并不是最直接的．第八讲四点共圆初步D C B AE DC B A【练习4】⑴ ⑵ ⑶ 【解析】 ⑴因为AD 是⊙O 的直径，所以090,ABD ∠=又0128,C ∠=且、、、A B C D 四点共圆，所以052,A ∠=故038.ADB ∠=⑵因为AB 是⊙O 的直径，所以090.ACB ∠=又030,BAC ∠=所以060.B ∠=由、、、A B C D 四点共圆，故0120.D ∠= ⑶如图，在 AC 上任取E 点，则由、、、A B C E 四点共圆有0,E n ∠=故022.AOC E n ∠=∠=【练习5】【解析】 ∵AB AC =，∴B C ∠=∠， ∵CD DE =，∴C CED ∠=∠， ∴B CED ∠=∠， ∴A B D E 、、、四点共圆．【练习6】(a)FED C BA(b)F E DCBA【解析】 如图(a)，∵A B F E 、、、四点共圆，∴DEF B ∠=∠，∵AB CD ∥，∴180B C∠+∠=°，∴180DEF C ∠+∠=°， ∴C D E F 、、、四点共圆，即CDEF 是圆内接四边形．如图(b)，∵A B F E 、、、四点共圆，∴180DEF B ∠+∠=°， ∵AB CD ∥，∴B DCF ∠=∠，∴180DEF DCF ∠+∠=°， ∴C D E F 、、、四点共圆，即CDEF 是圆内接四边形．EDBA【练习7】【解析】 连接CD ，∵BF AB ⊥，∴90BAF F ∠+∠=°，∵AB 是直径，∴90ACD BAD∠+∠=°， ∴ACD F ∠=∠， ∴C D F E 、、、四点共圆．【练习8】【解析】 连接PQ ，∵TA TB 、是切线，∴TAB AQP ∠=∠，TBA BQP ∠=∠， ∵180TAB TBA T∠+∠+∠=°， ∴180AQP BQP T∠+∠+∠=°， 即180AQB T∠+∠=°． ∴T A Q B 、、、四点共圆．。

光路图练习题大全光路图是光学研究中重要的实验工具，通过绘制和分析光线的传播路径，可以帮助我们理解光的传播规律和光学器件的工作原理。

下面是一些光路图的练习题，帮助读者巩固对光学知识的理解。

一、单透镜光路图1. 在纸上绘制一个坐标系，坐标原点处放置一个凸透镜，透镜的焦距为20厘米。

一束平行光射向透镜，绘制光线的入射和折射路径，并标出入射和折射光线的角度。

2. 绘制一个双凸透镜光路图，两个透镜的焦距分别为10厘米和15厘米。

一束平行光射向第一个透镜，绘制光线的入射、折射、与第二个透镜的折射路径，并标出所有光线的角度。

二、光的衍射和干涉1. 利用光栅进行干涉。

绘制一个光栅的光路图，光栅的间距为0.1毫米，入射光的波长为500纳米。

标出入射角、反射角、衍射角和干涉级数。

2. 利用单缝衍射实验测量光波长。

绘制一个单缝衍射的光路图，入射光的波长为600纳米，单缝的宽度为0.02毫米。

标出入射角、衍射角和观察屏上的干涉条纹。

三、光的偏振1. 观察和解释偏振片的工作原理。

绘制一个偏振片的光路图，入射光是非偏振光，偏振片的透光方向为垂直于入射光的方向。

标出入射光和透射光的偏振方向。

2. 利用偏振片测量光的偏振方向。

绘制一个测量光的偏振方向的光路图，入射光是非偏振光，透射光通过一个偏振片。

标出入射光、透射光和偏振片的偏振方向。

四、光的散射1. 利用散射测量液体的浓度。

绘制一个散射测量浓度的光路图，入射光是单色光，经过一个散射样品后，被一个探测器接收。

标出入射光、散射光和探测器的位置。

2. 解释为什么天空是蓝色的。

绘制一个天空的散射光路图，太阳光经过大气层散射后形成的天空光，标出入射光和散射光的路径。

以上是一些光路图的练习题，通过绘制和分析光线的传播路径，我们可以加深对光学现象和光学器件的理解。

希望这些练习题能够帮助读者巩固光学知识，并且提升解决实际问题的能力。

如果读者对光学知识还有其他问题，可以进一步深入学习和研究，拓宽自己的知识领域。

2024-2025学年度八年级数学上册探索三角形全等的条件（HL ）专项练习一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（八年级下·山西晋中·期中）如图，已知，，若用“”判定和AB AC ⊥CD AC ⊥HL Rt ABC △全等，则需要添加的条件是（ ）Rt CDA △A ．B ．C ．D ．B D ∠=∠ACB CAD ∠=∠AB CD =AD CB=2．（八年级上·湖北随州·期末）如图，于P ，，添加下列一个条件，能利用“”AC BD ⊥AP CP =HL 判定的条件是（ ）ABP CDP △≌△A ．B ．与互余C ．D ．AB CD B ∠C ∠BP DP =AB CD =3．（八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在和中，，，ABC CDE 90ACB CED ∠=∠=︒AB CD =，则下列结论不一定成立的是（）BC DE =A ．B ．C ．D ．ABC CDE △△≌CE BE =AB CD ⊥CAB ECD=∠∠4．（八年级上·江西抚州·期中）如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知，AC DF AB DE ==，则这两个滑梯与地面夹角与的度数和是（ ）ABC ∠DFE ∠A ．B ．C ．D ．60︒90︒120︒150︒5．（八年级上·湖北十堰·阶段练习）如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯水AC 平方向的长度相等，若，则（ ）DF 32CBA ∠=︒EFD ∠=A ．B ．C ．D ．42︒58︒52︒48︒6．（20-21八年级上·天津红桥·期中）如图，△ABC 中，点D 是BC 边上一点，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥BC ，且BD =FC ，BE =DC ，∠AFD =155°，则∠EDF 的度数是（ ）A ．50°B ．55°C ．60°D ．65°7．（八年级上·江苏南京·期末）如图，，垂足为，是上一点，且，EC BD ⊥C A EC AC CD =．若，，则的长为（ ）AB DE = 3.5AC =9BD =AEA ．2B ．2.5C ．3D ．5.58．（八年级上·河北张家口·期中）如图，，，，，则CD AD ⊥CB AB ⊥CD CB =100BCD ∠=︒（ ）BAC ∠=A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°9．（14-15八年级上·江苏盐城·课后作业）如图，在△ABC 中，∠C =90°，点D 在AB 上，BC =BD ，DE ⊥AB 交AC 于点E ，△ABC 的周长为12，△ADE 的周长为6，则BC 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．610．（八年级下·河南平顶山·期中）如图，的高与相交于点，，的延长线ABC BD CE O OD OE =AO 交于点，则图中共有全等的直角三角形（ ）BC MA ．3对B ．4对C ．5对D ．6对二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（八年级上·甘肃平凉·期末）如图，在中，分别是边上的高，已知ABC AD BE 、BC AC 、；若，则的度数为 ．AE BD =60CAB ∠=︒CBE ∠12．（八年级上·河南南阳·期中）如图，在中，，点在上，，ABC 90C ∠=︒D AB BC BD =交于点，的周长为，的周长为，则边的长为 ．DE AB ⊥AC E ABC 12cm ADE 6cm BC cm13．（八年级上·河北保定·阶段练习）如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯AC水平方向的长度相等，两个滑梯的倾斜角和的数量关系是 ．DF ABC ∠DFE ∠14．（八年级上·新疆伊犁·期中）如图，于E ，于F ，若，，则下DE AB ⊥DF AC ⊥BD CD =BE CF =列结论：①；②平分；③；④，中正确的是 ．DE DF =AD BAC ∠AE AD =2AC AB BE -=15．（八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，E 是的中点，平分，90B C ∠=∠=︒BC DE ADC ∠，则 ．35CED ∠=︒EAB ∠=16．（八年级上·重庆渝中·阶段练习）如图，在四边形中，、为对角线，且，ABCD AC BD AC AB =，于点．若，，则的长度为 ．ACD ABD ∠=∠AE BD ⊥E 3BD =2CD =DE17．（18-19七年级下·黑龙江·期末）如图，为的中线，点在的延长线上，连接，CD ABC E DC BE 且，过点作于点，连接，若，，则的长为 ．BE AC =B BH CD ⊥H AH CE BH =18ABH S = DH18．（七年级下·山西临汾·期末）如图，在中，，垂足为D ，E 为外一点，连接ABC BD AC ⊥ABC ，且，．若，则的长为 ．BE CE ，AB BE =180BAD BEC ∠+∠=︒4,3CD CE ==AC三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（八年级上·浙江温州·期中）已知，如图，在中，是的中点，于点，ABC D BC DE AB ⊥E 于点，且．求证：．完成下面的证明过程．DF AC ⊥F BE CF =B C ∠=∠证明：，，DE AB ∵∵DF AC ⊥__________．BED ∴∠=90=︒是的中点，D BC __________，BD ∴=又，BE CF = __________．Rt RtBDE CDF ∴△≌△．B C ∴∠=∠20．（8分）（八年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）如图，相交于点O ，，AD BC ，AD BC =．90C D ∠=∠=︒（1）求证：；ACB BDA △≌△（2）若，求的度数．28ABC ∠=︒CAO ∠21．（10分）（八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，已知，，点在边的延长ABC 108ACB ∠=︒D BC 线上，连接，的平分线交于点，过点作，垂足为，且．AD ABC ∠AD E E EH BD ⊥H 54CEH ∠=︒（1）求的度数；ACE ∠（2）请判断是否平分，并说明理由．AE CAF ∠22．（10分）（八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，在中，，在的上方作ABC 90CAB ∠=︒BC ，使，且，与交于点，连接．BDC BD CD ==90BDC ∠︒AC BD E AD （1）若平分，求证：．CA BCD ∠2CE AB =（2）求的度数．DAC ∠23．（10分）（21-22八年级上·山东聊城·期末）如图，在△ABC 中∠ABC =45°，AD ⊥BC 于点D ，点E 为AD 上的一点，且BE =AC ，延长BE 交AC 于点F ，连接FD ．（1）求证：△BED ≌△ACD ；（2）若FC =c ，FB =b ，求的值．(用含a ，b 的式子表示)FCDFBD S S ∆∆24．（12分）（20-21七年级下·辽宁朝阳·期末）已知：两个等腰直角三角板△ACB 和△DCE （AC ＝BC ，DC ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝90°）如图所示摆放，连接AE 、BD 交于点O ．AE 与DC 交于点M ，BD 与AC 交于点N ．（1）如图1（两个等腰直角三角板大小不等），试判断AE 与BD 有何关系并说明理由；（2）如图2（两个等腰直角三角板大小相等，即AC ＝DC ），在不添加任何辅助线的情况，请直接写出图2中四对全等的直角三角形．参考答案：1．D【分析】本题考查了直角三角形全等的判定定理的应用，根据垂直定义得出，根据90BAC DCA ∠=∠=︒图形可知是公共直角边，根据直角三角形全等的判定得出需要添加的条件是斜边相等，能熟记全AC HL 等三角形的判定定理是解题的关键．【详解】解：∵，，AB AC ⊥CD AC ⊥∴，90BAC DCA ∠=∠=︒在和中，Rt ABC △Rt CDA △，AC CA AD CB =⎧⎨=⎩∴，()Rt Rt HL ABC CDA ≌故选：．D 2．D【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握“”是解答本题的关键．根据“”所需HL HL 的条件分析即可．【详解】解：∵，AC BD ⊥∴，90APB CPD ∠=∠=︒∵，AP CP =∴要利用“”判定的条件是．HL ABP CDP △≌△AB CD =故选D ．3．B【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于基础题．首先证明，推出，，由，推出ABC CDE △△≌,CE AC D B =∠=∠CAB ECD =∠∠90D DCE ∠+∠=︒，推出，即可一一判断．B ∠+90DCE ∠=︒CD AB ⊥【详解】解：在和中，Rt ABC Rt CDE AB CD BC DE=⎧⎨=⎩,ABC CDE ∴ ≌，,,CE AC D B ∴=∠=∠CAB ECD =∠∠90,D DCE ∠+∠=︒ 90,B DCE ∴∠+∠=︒,CD AB ∴⊥故A 、C 、D 正确，故选：B ．4．B【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，利用证明HL 得到，由可得．Rt Rt ABC ADEF △≌△2314∠=∠∠=∠，3490∠+∠=°90∠+∠=︒ABC DFE 【详解】解：由题意得，，90BAC EDF ∠=∠=︒∵，BC EF AC DF ==，∴，()Rt Rt HL ABC ADEF △≌△∴，2314∠=∠∠=∠，∵，3490∠+∠=°∴，即．2490∠+∠=︒90∠+∠=︒ABC DFE 故选：B．5．B【分析】先根据证明，再根据全等三角形的性质得出，最HL Rt Rt ABC DEF △≌△32CBA DEF ∠=∠=︒后根据直角三角形两锐角互余即可求解．【详解】解：在和中，Rt ABC △Rt DEF △，BC EF AC DF =⎧⎨=⎩∴，()Rt Rt HL ABC DEF ≌△△∴，32CBA DEF ∠=∠=︒∴，9058EFD DEF ∠=︒-∠=︒故选：B ．【点拨】本题主要考查了用证明三角形全等，解题的关键掌握有一条直角和斜边相等的两个直角三角HL 形全等．6．D【分析】证明Rt △FDC ≌Rt △DEB （HL ），由全等三角形的性质得出∠DFC ＝∠EDB ＝25°，即可得出答案．【详解】解：∵∠AFD ＝155°，∴∠DFC ＝25°，∵DF ⊥BC ，DE ⊥AB ，∴∠FDC ＝∠DEB ＝90°，在Rt △FDC 和Rt △DEB 中，，CF BD CD BE =⎧⎨=⎩∴Rt △FDC ≌Rt △DEB （HL ），∴∠DFC ＝∠EDB ＝25°，∴∠EDF ＝180°−∠BDE −∠FDC ＝180°−25°−90°＝65°．故选：D ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．7．A【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，根据题意，利用直角三角形全等的判定定理得到，求出相关线段长度，由图中线段关系表示出，代值求()Rt Rt HL EDC BAC ≌EA EC AC BC AC =-=-解即可得到答案，熟练掌握两个三角形全等的判定与性质是解决问题的关键．【详解】解：，3.5AC = ，∴ 3.5CD AC ==，EC BD ⊥，ECD BCA ∴∠=∠在和中，Rt EDC Rt BAC AC CD AB ED=⎧⎨=⎩，∴()Rt Rt HL EDC BAC ≌，EC BC ∴=，9 3.5 5.5BC BD CD BD AC =-=-=-= ，5.5 3.52EA EC AC BC AC ∴=-=-=-=故选：A ．8．B【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，直角三角形中两个锐角互余，根据条件证明出两个直角三角形全等是解题的关键．【详解】解：，，CD AD ⊥ CB AB ⊥，90ADC ABC ∴∠=∠=︒在和中，Rt ADC Rt ABC ，CD CB AC AC =⎧⎨=⎩，()Rt ADC Rt ABC HL ∴ ≌，ACD ACB ∴∠=∠，100BCD ∠=︒ ，111005022ACB BCD ∴∠=∠=⨯︒=︒．90905040BAC ACB ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒故选：B ．9．A【分析】先根据角平分线的性质得到ED ＝EC ，再证明Rt △BED ≌Rt △BEC 得到DE ＝CE ，接着利用三角形周长和等线段代换得到AD ＋AC ＋2BC ＝12和AD ＋AC ＝6，所以6＋2BC ＝12，从而得到BC 的长．【详解】解：连接BE，∵DE ⊥AB∴∠BDE =90°，在Rt △BED 和Rt △BEC 中，，BE BE BD BC =⎧⎨=⎩∴Rt △BED ≌Rt △BEC （HL ），∴DE ＝CE ，∵△ABC 的周长为12，∴AB ＋AC ＋BC ＝12，即AD ＋AC ＋2BC ＝12，∵△ADE 的周长为6，∴AD ＋DE ＋AE ＝6，即AD ＋EC ＋AE ＝6，∴AD ＋AC ＝6，∴6＋2BC ＝12，∴BC ＝3．故选：A ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握HL 证明全等是解答此题的关键．10．D【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定方法，判定两个直角三角形全等的一般方法有：．熟练掌握运用全等三角形的判定方法是解题关键．SSS SAS ASA AAS HL 、、、、，，利用全等ADO AEO ≌,,,,DOC EOB COM BOM ACM ABM ADB AEC BCE CBD ≌≌≌≌≌三角形的判定可证明，做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证．【详解】解：，ADO AEO ≌．理由如下：,,,,DOC EOB COM BOM ACM ABM ADB AEC BCE CBD ≌≌≌≌≌在与中，，ADO AEO 90ADO AEO ∠∠==︒，OA OA OD OE =⎧⎨=⎩∴，()ADO AEO HL ≌∴，,DAO EAO AD AE ∠∠==在与中，DOC EOB90ODC OEB OD OE DOC EOB ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴，()DOC EOB ASA ≌∴，,DC EB OC OB ==∴，即，DC AD EB AE +=+AC AB =∵，DAO EAO ∠∠=∴．AM BC CM BM ⊥=，在与中，，COM BOM 90OMC OMB ∠∠==︒，OC OB OM OM =⎧⎨=⎩∴．()COM BOM HL ≌在与中，，ACM ABM 90AMC AMB ∠∠==︒，AC AB AM AM =⎧⎨=⎩∴．()ACM ABM HL ≌在与中，ADB AEC ，AD AE DAB EACAB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴．()ADB AEC SAS ≌在与中，，BCE CBD 90BEC CDB ∠∠==︒BC CB BE CD=⎧⎨=⎩∴．()BCE CBD HL ≌故选：D11．/度30︒30【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证即可求解．AEB BDA ≌△△【详解】解：∵分别是边上的高，AD BE 、BC AC 、∴90AEB BDA ∠=∠=︒∵，60CAB ∠=︒∴30EBA ∠=︒∵，AE BD =AB BA=∴()Rt AEB Rt BDA HL ≌∴，60DBA EAB ∠=∠=︒∴30CBE DBA EBA ∠=∠-∠=︒故答案为：30︒12．3【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，如图所示，连接，利用证明BE HL 得到，根据三角形周长公式推出，再由Rt Rt EBC EBD △≌△CE DE =6cm AD AC +=，可得．12cm BC BD AD AC +++=3cm BC =【详解】解：如图所示，连接，BE ∵，，DE AB ⊥90C ∠=︒∴，90C BDE ∠=∠=︒在和中，Rt EBC Rt EBD △，BC BD BE BE =⎧⎨=⎩∴，()Rt Rt HL EBC EBD △≌△∴，CE DE =∵的周长为，的周长为，ABC 12cm ADE 6cm ∴，12cm 6cm AB AC BC AD DE AE ++=++=，∴，即，6cm AD AE CE ++=6cm AD AC +=∵，12cm BC BD AD AC +++=∴，26cm 12cm BC +=∴，3cm BC =故答案为：3．13．90∠+∠=︒ABC DFE 【分析】由条件信息可得，与均是直角三角形，由已知可根据判定两三角形全等，再根ABC DEF HL 据全等三角形的对应角相等，不难求解．【详解】解：，证明如下：90∠+∠=︒ABC DFE 由题意可得：与均是直角三角形，且．ABC DEF BC EF AC DF ==，在和中，Rt ABC △Rt DEF △ ，BC EF AC DF =⎧⎨=⎩∴，()Rt Rt HL ABC DEF ≌ ∴，ABC DEF ∠=∠∵，90DEF DFE ∠+∠=︒∴．90∠+∠=︒ABC DFE 故答案为：90∠+∠=︒ABC DFE 【点拨】此题考查了全等三角形的应用．做题时要注意找已知条件，根据已知选择方法得出全等三角形是解题关键．14．①②④【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．利用证明全等，根据全等三角形HL Rt Rt BED CFD △≌△对应边相等可得，再证明，判断出平分，可得，DE DF =()Rt Rt HL AED AFD ≌△△AD BAC ∠AE AF =再根据图形即可得到．2AC AB BE -=【详解】解：∵，DE AB ⊥DF AC⊥∴，90E DFC ∠=∠=︒又∵，，BD CD =BE CF =∴，()Rt Rt HL BED CFD ≌∴，①正确，符合题意；DE DF =又∵，，90E DFC ∠=∠=︒AD AD =∴，()Rt Rt HL AED AFD ≌△△∴，，即平分，②正确，符合题意；AE AF =∠∠E A D FA D =AD BAC ∠∴，④正确，符合题意；2AC AB BE CF BE -=+=在中，，∴，③错误，不符合题意；Rt ADE △90E ∠=︒AD AE >综上所述，正确的是①②④．故答案为：①②④．15．35︒【分析】过点E 作，垂足为F ．由三角形的内角和定理求得，由角平分线的定义可EF AD ⊥55CDE ∠=︒知，由平行线的判定定理可知，由平行线的性质可求得，由角平分线110CDA ∠=︒AB CD ∥70DAB ∠=︒的性质可知，则，根据可证明，从而得到EF EC =EF BE =HL Rt Rt AEF AEB ≌ ．1352EAB DAB ∠=∠=︒【详解】解：过点E 作，垂足为F ．EF AD ⊥∵，9035C CED ∠=︒∠=︒，∴．55CDE ∠=︒∵平分，DE ADC ∠∴．55EDF ∠=︒∴．110CDA ∠=︒∵，90B C ∠=∠=︒∴．AB CD ∥∴．180CDA DAB ∠+∠=︒∴．70DAB ∠=︒∵平分，，DE CDA ∠EF AD EC DC ⊥⊥，∴．EF EC =∵E 是的中点，BC∴．EF BE =在和中，Rt AEF Rt AEB ，EF BE AE AE =⎧⎨=⎩∴．Rt Rt AEF AEB ≌ ∴．EAF EAB ∠=∠∴．11703522EAB DAB ∠=∠=⨯︒=︒故选答案为．35︒【点拨】本题主要考查的是角平分线的性质、全等三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、三角形的内角和定理等知识点，由角平分线的性质证得是解题的关键．EF EC =16．12【分析】过点A 作交的延长线于点F ，根据证明，得到，AF CD ⊥CD AAS AFC AEB ≌△△AF AE =，再根据证明，得到，最后根据线段的和差即可求解．CF BE =HL Rt Rt AFD AED ≌ DF DE =【详解】解：过点A 作交的延长线于点F ，AF CD ⊥CD，90AFC ∴∠=︒，AE BD ⊥ ，90AFC AED AEB ∴∠=∠=∠=︒在和中，AFC △AEB ∵，90AFC AEB ABE ACDAC AB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS AFC AEB ∴≌ ∴，，AF AE =CF BE =在和中，Rt AFD △Rt AED △，AF AE AD AD =⎧⎨=⎩，()Rt Rt HL AFD AED ∴≌ ，DF DE ∴=，，，CF CD DF =+ BE BD DE =-CF BE =，CD DF BD DE ∴+=-，2DE BD CD ∴=-，，3BD = 2CD =，21DE ∴=，12DE ∴=故答案为：．12【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解答此题的关键．17．3【分析】过点作于点，证明，，得出，A AF EF ⊥F ()AAS ADF BDH ≌Rt Rt (HL)CAF EBH ≌2BH HD DF DH =+=再由为的中线及，根据的面积列出关于的方程，求解即可．CD ABC BH CD ⊥BHD S HD 【详解】解：如图，过点作于点A AFEF ⊥F为的中线，CD ABC BH CD⊥，AD BD ∴=90AFD BHD ∠=∠=︒又ADF BDH∠=∠()AAS ADF BDH ∴ ≌，AF BH ∴=FD HD=在和中Rt CAF △Rt EBH △AF BH AC BE=⎧⎨=⎩Rt Rt (HL)CAF EBH ∴ ≌EH CF∴=，即EH CH CF CH ∴-=-EC HF=，，BH EC = EC HF HD DF ==+HD DF=2BH HD DF DH∴=+=为的中线，CD ABC BH CD ⊥1118922BHD ABH S S ∴==⨯= 又11222BHD S HD HB HD HD ==⨯ ∴1292HD HD ⨯=解得：3HD =故答案为：3．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、等底同高三角形的面积关系及直角三角形的面积公式，属于中档题．18．5【分析】如图，过作的延长线于，证明，则，，证B BF CE ⊥F ()AAS ABD EBF ≌AD EF =BD BF =明，则，，，根据，计算求()Rt Rt HL BCD BCF ≌4CF CD ==1EF CF CE =-=1AD =AC AD CD =+解即可．【详解】解：如图，过作的延长线于，B BF CE ⊥F∵，，180BAD BEC ∠+∠=︒180BEF BEC ∠+∠=︒∴，BAD BEF ∠=∠∵，，，BAD BEF ∠=∠90ADB EFB ∠=∠=︒AB BE =∴，()AAS ABD EBF ≌∴，，AD EF =BD BF =∵，，BD BF =BC BC =∴，()Rt Rt HL BCD BCF ≌∴，4CF CD ==∴，，1EF CF CE =-=1AD =∴，5AC AD CD =+=故答案为：5．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质．解题的关键在于明确线段之间的数量关系．19．，，CFD ∠CD ()HL 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质知识；证明，得出即()Rt Rt HL BDE CDF △≌△B C ∠=∠可．证明三角形全等是解题的关键．【详解】解：，，DE AB ∵∵DF AC ⊥90BED CFD ∴∠=∠=︒是的中点，D BC BD CD∴=又，BE CF = ()Rt Rt HL BDE CDF ∴ ≌．B C ∴∠=∠20．(1)见详解(2)34CAO ∠=︒【分析】（1）由“”可证；HL Rt ACB Rt BDA ≌（2）由全等三角形的性质可得，即可求解．BAD ABC ∠=∠=28︒【详解】（1）证明：∵，90C D ∠=∠=︒∴和都是直角三角形，ACB △BDA △在和中，Rt ACB Rt BDA ，,AD BC AB BA ==AD BC AB BA=⎧⎨=⎩∴；()Rt ACB Rt BDA HL ≌（2）在中，Rt ACB ∵，28ABC ∠=︒902862,CAB ∴∠=︒-︒=︒由（1）可知，ACB BDA △≌△28,BAD ABC ∴∠=∠=︒622834.CAO CAB BAD ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明是本题的关键．ACB BDA △≌△21．(1)36ACE ∠=︒(2)平分，理由见解析AE CAF ∠【分析】（1）由平角的定义可求解的度数，再利用三角形的内角和定理可求解，进ACD ∠36ECH ∠=︒而可求解；（2）过点分别作于点，于点，根据角平分线的性质可证得E EM BF ⊥M EN AC ⊥N ，进而可证明结论．EM EN =【详解】（1），108ACB ∠=︒ ．18010872ACD ∴∠=︒-︒=︒，EH BD ⊥ ．90CHE ∴∠=︒，54CEH ∠=︒，905436ECH ∴∠=︒-︒=︒；723636ACE ∴∠=︒-︒=︒（2）平分AE CAF∠理由：如图，过点分别作于点，于点E EM BF ⊥M EN AC ⊥N平分BE ABC∠FBE DBE∴∠=∠,,EM BF EH BD EN AC⊥⊥⊥ 90CHE ENA EMB ∴∠=∠=∠=︒在和中EMB EHB 90CHE EMB BE EBFBE DBE ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩（AAS ）EMB EHB ∴ ≌EM EH∴=36ACE ECH ∠=∠=︒同理可得：∴EN EH=EM EN∴=在和中，NAE MAE 90EM EN EMA ENA AE EA =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩（HL ）NAE MAE ∴ ≌AEN AEM∴∠=∠平分．AE ∴CAF∠【点拨】本题主要考查角平分线的判定与性质，三角形的内角和定理，掌握角平分线的判定与性质是解题的关键．22．(1)见解析(2)45︒【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质即角平分线性质，（1）延长，交于点，由题意得，有，由垂直得，证得BA CD F CAB CAF ≌AB AF =DBF DCE ∠=∠，有即可证明结论；BDF CDE ≌BF CE =（2）过点分别作于点，于点，有，得到，可得D DN BF ⊥N DM AC ⊥M DBNDCM △≌△DN DM =，即可求得角度．≌D A N D A M 【详解】（1）证明：延长，交于点，如图，BA CD F，，，BCA FCA ∠=∠ CA CA =90CAB CAF ∠=∠=︒，()ASA CAB CAF ∴ ≌，AB AF ∴=．2BF AB ∴=，，90DBF F ∠+∠=︒ 90DCE F ∠+∠=︒．DBF DCE ∴∠=∠，，90BDF CDE ∠=∠=︒ BD CD =，()ASA BDF CDE ∴ ≌，BF CE ∴=．2CE AB ∴=（2）解：过点分别作于点，于点，如图，D DN BF ⊥N DM AC ⊥M．90DNB DMC ∴∠=∠=︒，，DBN DCM ∠=∠ BD CD =，()AAS DBN DCM ∴ ≌，DN DM ∴=∵，DA DA =∴，()HL DAN DAM ≌．1452DAC DAF FAC ∴∠=∠=∠=︒23．(1)见解析(2)FCD FBD S c S b∆∆=【分析】（1）利用得，又BE =AC ，，因此可以通过HL45BAD ABC ==︒∠∠BD AD =90ADB ADC ∠=∠=︒定理证明；Rt Rt BED ACD ∆≅∆（2）作于点，作于点，由可得，利用DG BE ⊥G DH AC ⊥H BED ACD S S ∆∆=DG DH =即可求解．1212FCDFBD FC DH S S FB DG ∆∆⋅=⋅【详解】（1）证明：在△ABC 中∠ABC =45°，AD ⊥BC ，，，90ADB ADC ∴∠=∠=︒45BAD ABC ==︒∠∠，BD AD ∴=在和中，Rt BED ∆Rt ACD ∆，BD AD BE AC =⎧⎨=⎩，Rt ΔRt Δ()BED ACD HL ∴≅即．BED ACD ∆≅∆（2）解：如图所示，作DG ⊥BE 于点G ，作DH ⊥AC 于点H，由（1）知BED ACD∆≅∆，BED ACD S S ∆∆∴=，1122BE DG AC DH ∴⋅=⋅，BE AC = ，DG DH ∴=．1212FCDFBD FC DH S FC c S FB b FB DG ∆∆⋅∴===⋅【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，以及三角形的面积公式，解题的关键是正确作出辅助线，由可得．BED ACD S S ∆∆=DG DH =24．（1）AE ＝BD 且AE ⊥BD ．理由见解析；（2）△ACB ≌△DCE ，△EMC ≌△BCN ，△AON ≌△DOM ，△AOB ≌△DOE【分析】（1）证明△ACE ≌△BCD ，可得AE ＝BD ，∠CEA ＝∠BDC ，由∠CME ＝∠DMO ，根据三角形内角和定理即可得∠DOM ＝∠ECM ＝90°，进而可证AE ⊥BD ．（2）根据三角形全等的判定找出相等边和角，进而找出全等三角形．【详解】解：（1）结论；AE ＝BD 且AE ⊥BD ．理由如下：∵∠ACB ＝∠DCE ，∴∠ACB +∠DCA ＝∠DCE +∠DCA ，即∠DCB ＝∠ACE ，∵AC ＝BC ，CD ＝CE ，在△ACE 与△BCD 中，，AC BC ACE DCBCD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACE ≌△BCD （SAS ），∴AE ＝BD ，∠CEA ＝∠BDC ，∵∠CME ＝∠DMO ，，∴180()180()CEA CME DMO BDC ︒-∠+∠=︒-∠+∠即∠DOM ＝∠ECM ＝90°，∴AE ⊥BD ，∴AE ＝BD 且AE ⊥BD ；（2）∵AC ＝DC ，∴AC ＝CD ＝EC ＝CB ，在△ACB 与△DCE 中，，AC DC ACB DCECB CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACB ≌△DCE （SAS ）；由（1）可知：∠AEC ＝∠BDC ，∠EAC ＝∠DBC ，∴∠DOM ＝90°，∵∠AEC ＝∠CAE ＝∠CBD ，∴△EMC ≌△BCN （ASA ），∴CM ＝CN ，∴DM ＝AN ，∴△AON ≌△DOM （AAS ），∵DE ＝AB ，AO ＝DO ，∴△AOB ≌△DOE （HL ）．【点拨】本题考查了三角形全等的性质与判定，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．。