第19讲 正弦量与相量法的基本概念

电工学━

知识点

1正弦量相量表示

1、基本概念

（1）正弦电路相量表示方法。正弦量的相量表示实质上就是用复

数表示正弦量。为与一般的复数相区别，将表示正弦量的复数称为相

量。正弦量的相量表示如表1所示。

表1正弦量的相量式

三角函数式相量的极坐标式相量的直角坐标式

电压tUusin2o0UU）（oo0sinj0cosUU

电流)30sin(2o

tIi

o30II）（oo30sinj0cos3II

电动势)30sin(2o

tIeo30EE）（oo30sinj0cos3EE

（2）相量的实质与目的。相量表示的实质上就是用复数表示正弦

量。正弦量可用三角函数式、波形图等表示，但以此方法分析正弦交

流电路比较困难，引入相量的目的是为了简化正弦交流电路的分析方

法，即将正弦交流电路的计算变成复数式的代数运算。

2、正弦交流电路的相量分析方法

正弦交流电路引入相量后，正弦交流电路就有相量式法和相量图

法两种分析方法。

（1）相量式法

1）将电路中已知的正弦量电压、电流、电动势用相量表示；

2）将电路中无源元件用阻抗表示，如R、jX

L、-jX

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知识点

23）用各种电路分析方法求解，所有方程均为相量方程。一般加

减运算用代数式；乘除运算用指数式或极坐标式。

（2）相量图法

1）选取参考相量，一般并联电路选电压

U

、串联电路选电流

I

，

复联电路要视具体情况而定；

2）以参考相量为基础，根据元件上电压与电流的相位关系画出电

路的相量图；

3）根据相量的几何关系（平行四边形法则）求解待求物理量。

2、注意事项

（1）正弦量与相量间为对应关系，不是“相等”或“等效”关系。

（2）相量法是分析计算正弦交流电路的一种辅助数学工具，可使

正弦量的数学运算更为简便，且只适应于同频率的正弦量的分析计算。

（3）分析和计算正弦交流电路时，必要时可借助相量图的几何关

系，同一相量图中各正弦量必须频率相同。

电路知识：正弦交流电路与其分析方法“相量法”（上）

“相量是什么？它和向量、矢量有什么区别？”，相信不少电工朋友都有着这样的疑问。正如标题所示，相量是用于正弦交流电路分析的，换言之，离开正弦交流电路，相量将毫无意义。而它与向量、矢量的区别，在看完本文后，你将能给出自己的答案。

掌握相量法，我们就可以快速并简单地对正弦交流电路进行分析、计算并理解其各种特性，包括电压电流、阻抗、有功功率以及无功功率等。基于相量法的便捷性，本文将给大家详细讲解相量的含义以及运算，让大家学以致用，在交流电路分析中得心应手。

相量用于表示正弦交流电路中的各种正弦量，如电压、电流、磁通等。所谓正弦量，是指电路中按正弦规律变化的各种物理量。所以在理解相量前，我们有必要指定什么是正弦交流电路以及正弦量。

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正弦交流电路与正弦量

电路有交流和直流之分，如下图1-1所示为不同形式的交流量和直流量波形图。

图1-1 图（1）所示为恒定直流量的波形，例如电池的电压，在一定情况下就保持为恒定值。而图（2）就是本文的主角，正弦交流量，即正弦量。比较图1-1中的几种波形，可以发现，所谓直流量，不仅仅是指恒定直流量，还包括大小变化的各种时变量，如图（3）、图（6）的锯齿波，它们大小随时间变化，但方向保持不变，所以它们是直流量。

而交流，区别于直流，是指电路中的电压、电流等物理量方向发生变化，但大小不一定变化，例如图（4）的矩形波，该电流方向作周期变化，但其大小保持不变。

含有正弦电源且电路中各部分产生的电压、电流均按正弦规律变化的电路，就是正弦交流电路。所谓正弦规律变化，正如图1-1中的图（2）所示。

在这里要说明一点，“正弦规律”不一定指正弦函数，其实余弦函数也是按正弦规律变化的，因为余弦函数可以由正弦函数左移90°得到。所以上文提到的“正弦规律”指的是一种变化规律，而不是指正弦函数。

例如图1-2所示的电流和电压，都属于正弦量。但在同一个电路中，一旦确定所用的函数，那么所有正弦量都应该用同一种函数表示，例如确定用sine正弦函数，就不能出现consine余弦函数，即使有，也应该根据三角函数换算转化为sine函数表示，这也是为了便于它们进行相位的比较。

第九讲 正弦量的相量表示法

一、相量法的引入

1、相量法的概念：的用一个称为相量的向量或复数来表示正弦电压和电流。2、正弦量的复数表示法：

假设正弦电压为 )sin()(mtUtu

复数的形式：m22YeYabarctgbabiaYjm

复数的模：表示电压的振幅；

复数的幅角：表示电压的初相。

正弦波电压的相量表示法：mjmmeUUU

二、相量

1、概念：在复数平面上表示正弦电压和电流的复数的方有向线段。

3-2-1 正弦电压和电流的相量

2、正弦电压相量与正弦电压的关系

（1）正弦电压量的实质：电压的旋转相量在坐标轴（实轴或虚轴）上的投影。

（2）电压的旋转相量：当电压相量以角速度沿反时针方向旋转，即为旋转相量。

实轴上的投影：)cos(mtU 属于时间函数

虚轴上的投影：)sin(mtU 属于时间函数

图3-2-1 旋转相量及其在实轴和虚轴上的投影

（3）正弦量与相量表示法的相互关系

三、实例分析

【例3-2-1】正弦电流A)60314sin(5)(1tti， A)120314cos(10)(2tti，求电流相量，画出相量图，并求出i(t)=i1(t)+i2(t)。

解：表示正弦电流A)60314sin(5)(1tti的相量为

A605Ae560jm1I

用相量法分析电路时，各正弦量的瞬时表达式用正弦函数(余弦函数)表示。

将电流相量A6051m＝I和A15010m2I画在一个复数平面上，就得到相量图3-2-2。从相量图上容易看出各正弦电压电流的相位关系。

immimummum) cos()() cos()(IItItiUUtUtuA15010A)150314sin(10 A)18090120314sin(10A )120314cos(10)(m22Itttti

正弦量和相量的关系

好嘞，咱来聊聊正弦量和相量这对有点奇妙的“组合”。

正弦量就像是一个调皮的小波浪，总是在那里上上下下地跳动。你看那交流电，一会儿高一会儿低，就像正弦量在电源这个大舞台上表演蹦跶舞。它有着自己的节奏，幅度、频率和相位就像是它舞蹈的三个秘密武器。幅度决定了它蹦跶的高低，频率就是它蹦跶的速度，相位呢，就像是它在舞台上起始的位置，不同的起始位置那跳起来的花样可就不一样喽。

相量就像是正弦量的一个超级简笔画。想象一下，正弦量这个复杂的小波浪要把它完整地画出来多麻烦啊，相量就很聪明，它就像是把正弦量这个活泼的孩子拍成了一张快照。只取了它的关键信息，幅度和相位，就像只记录了这个孩子蹦跶的高度和起始位置，把频率这个大家都知道的蹦跶速度默认了。这就好比我们知道一个人跑步的速度，然后只记录他每次起跑的位置和能跑多远，多省事啊。

正弦量要是一场盛大的交响乐，那相量就是音乐会的节目单。交响乐里有各种各样复杂的旋律，就像正弦量有复杂的变化。而节目单呢，简单明了地告诉我们有哪些关键的信息，相量也是这样，用简洁的方式呈现出正弦量的精髓。

正弦量好比是一个活力四射的小怪兽，在电路的世界里横冲直撞，带着自己的幅度、频率和相位这些超能力。相量就像是驯兽师，把小怪兽的主要特点抓住，把它变成一个乖乖听话的小宠物，方便我们去研究和处理电路里的各种问题。

如果正弦量是一个活蹦乱跳的小兔子，在时间的草原上跑来跑去，那相量就是给兔子画的一幅简笔画像。虽然没有把兔子奔跑的每一个动作都画出来，但是关键的特征都有了，比如兔子的大小（幅度）和它最初在草原上的位置（相位）。

正弦量像个爱打扮的姑娘，幅度是她的裙摆长度，频率是她走路的速度，相位是她出门的时间。相量呢，就像是姑娘的一张小卡片，上面写着裙摆多长，啥时候出门，至于走路速度嘛，大家心里有数就行啦。

正弦量像一场变幻莫测的魔术表演，在电路这个大舞台上变来变去。相量则像是魔术揭秘手册，简单直接地告诉我们魔术的关键部分，让我们不用去纠结那些眼花缭乱的表演过程。