10级 - 华南师范大学数学科学学院

两类条件不等式的三角证法刘海槐，张俊杰，陈泽桐(华南师范大学数学科学学院，广州，510631)文[1]给出条件为1ab bc ca ++=的一类不等式的代数证法.本文给出类似的两类条件不等式的三角证法.第一类不等式的已知条件为a b c abc ++=，其中,,a b c R +∈，我们可利用常见的正切函数恒等式tan tan +tan tan tan tan A B C A B C +=，其中,,A B C 是锐角ABC ∆的三个内角.先对题目进行三角代换，设=tan ,=tan ,=tan a A b B c C ，再对不等式进行转化证明.例 1 已知,,0a b c >,且a b c abc ++=,证明:32≤. (1998年韩国数学奥林匹克试题)证明 设=tan ,=tan ,=tan a A b B c C ,其中,,A B C 是三角形的三个内角,且由,,0a b c >知0,,2A B C π<<.原不等式⇔3cos cos cos 2A B C ++≤. ()cos f x x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为凸函数,由琴生不等式可得3cos cos cos 3cos =32A B C A B C ++++≤,等式成立当且仅当=3A B C π==，即ABC∆为等边三角形.故原不等式得证.例2 设,,a b c R +∈,且a b c abc ++=,证明不等式:222111a b c a b c ++≤+++ 证明 设=tan ,=tan ,=tan a A b B c C ,其中,,A B C 是三角形的三个内角,且由,,a b c R +∈知0,,2A B C π<<.原不等式⇔sin 2sin 2sin 2A B C ++≤. ()sin f x x=在()0,π上为凸函数,由琴生不等式可得222sin 2sin 2sin 23sin3A B C A B C ++++≤=,等式成立当且仅当=3A B C π==，即ABC ∆为等边三角形.故原不等式得证.第二类不等式的已知条件为1ab bc ca ++=,其中,,a b c R +∈,我们可利用常见的余切函数恒等式cot cot cot cot +cot cot 1A B B C C A +=，其中,,A B C 是锐角ABC ∆的三个内角.先对题目进行三角代换,设=cot ,=cot ,=cot a A b B c C ,再对不等式进行转化证明.例3设,,a b c R +∈,且1ab bc ca ++=,证明不等式:111ab bc ca a b b c c a a b b c c a++≥++++++++. (2005年法国数学奥林匹克试题)证明 设=cot ,=cot ,=cot a A b B c C ,其中,,A B C 是三角形的三个内角,且由,,a b c R +∈知0,,2A B C π<<.原不等式⇔111cot cot cot cot cot cotcot cot cot cot cot cot cot cot cot cot cot cot A B B C C AA B B C C A A B B C C A++≥++++++++,⇔cot cot cot A B C ++≥()cot f x x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为凹函数,由琴生不等式可得cot cot cot 3cot 3A B C A B C ++++≥等式成立当且仅当=3A B C π==，即ABC∆为等边三角形.故原不等式得证.例 4 设0,,1a b c <<,且1ab bc ca ++=,求证:2221112a b c a b c ++≥---. (2004年新加坡国家队选拔考试试题)证明 设=cot ,=cot ,=cot a A b B c C ,其中,,A B C 是三角形的三个内角,且由0,,1a b c <<知,,42A B C ππ<<.于是2221(tan 2tan 2tan 2)1112a b c A B C a b c ++=-++---,因此,只需证明tan 2tan 2tan 2A B C ++≤-由()tan f x x =在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上为凸函数知, 222tan 2tan 2tan 23tan 3A B C A B C ++++≤=-当且仅当=3A B C π==时等式成立.故原不等式成立.例5 已知,,0a b c >,且1ab bc ca ++=,求证:22111(1)(1)8a b abc a b ≤+++∑∑.证明 设=cot ,=cot ,=cot a A b B c C ,其中,,A B C 是三角形的三个内角,且由,,0a b c >知0,,2A B C π<<.⇔22111(1cot )(1cot )8cot cot cot cot cot A B A B C A B ≤+++∑∑⇔ 22sin sin A B ∑sin sin sin sin sin 8cos cos cos sin A B C A B A B C C ≤∑⇔1cos cos cos 8A B C ≤. 由AG -GM 不等式得, 3cos cos cos cos cos cos 3A B C A B C ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,又3cos cos cos 2A B C ++≤,故1cos cos cos 8A B C ≤,等式成立当且仅当=3A B C π==，即ABC ∆为等边三角形.故原不等式得证.参考文献[1] 张宏.条件为1ab bc ca ++=的一类不等式的证明[J].中等数学,2009(05).。

解成为 n 个一次因式的乘积，而这在实数集内是无法实现的．
（四）注意共轭的性质
x 2 = x 仅 在实 数中成 立， 在复数 中不 成立． 复数 z =a ib 的 共轭 复数 定义为 ：
2 2 b z 2 z． 特 别 地 ， 实 数 x 的 共 轭 是 其 本 身 ， 所 以 z =a ib ， 于 是 z z a 2 x x x = x ．于是虚根成对存在只适用于实系数方程，复系数方程不再成立．另外，容易 2 2
[1]
为此，本文试图深入探究实数集与复数集的相异性质，并分析其
失效原因之根本，以期加深读者对两数集性质的理解．
（一） “ ” 的意义
实数集中的 x r x r 在复数集中不一定成立． 在复数集中称为模，在实数集中称为绝对值，它在两个数集上的几何意义都是距 “ ”
离．如 z 表示复数 z 对应复平面上的点到原点的距离．但实数集中的 z r z r 在复 数集中不一定成立．虽其几何意义都是“到原点的距离为 r ” ，但两数集对应的“形”不一 样了，满足条件的点也不一样了．实数集与一条数轴上的点一一对 应， “到原点的距离为 r ”的点只有两个 z r ．复数集则维度升 高，与一个复平面上的点一一对应． “到原点的距离为 r ”的点就 在以原点为圆心 r 为半径的圆上，有无数个．如右图，在复平面上 由 z r 有 z r (cos i sin ) ， [0, 2 ) ． 但 上 式 包 括 了
z r ．因为若在实数集上，则 0 或 ， z r ．
（二） i 2 1 所引起的
2 在数扩充到复数集的过程中，定义了 i 1 的运算，这导致
实数的许多性质在复数中不再成立，具体体现在： （1） z 恒大于等于 0 不成立. 比 如 在 实 数 集 中 ， 由 x2 y 2 0 易 得 x y 0 ． 而 在 复 数 集 中 ， x2 y 2 0 有

这时第二个容器里充满了 3 的水. 问小容器与大容器的容积 4
之比是多少?
解: 设第一、二个容器的容积分别为 V1 和 V2, 依题意有
5 6 V1 =
3 4 V2,
从而
V1 V2
=
3 4 5 6
=
9 , 故 (D) 正确. 10
2. Consider the statement, ”If n is not prime, then n − 2 is
√ 由垂线段最短知, m2 + n2
|√am + bn|
=
√ 5.
当且仅当
a2 + b2
OA 与直线 ax + by = 5 垂直即 an = bm 时取最小值.
解法 2 由柯西不等式, (a2 +b2)(m2 +n2) (am+bn)2,
即 5(m2 + n2) 等号成立.
√ 25, m2 + n2
6 ter and the second was empty. She poured all the water from the
first container into the second container, at which point the sec3
ond container was full of water. What is the ratio of the volume 4
解: 反例是指符合命题的条件但不符合命题的结论的例
子, 即满足“若 n 不是素数, 则 n − 2 是素数. ”选项中只有 27
满足, 故 (E) 正确.
评注 运用柯西不等式关键是“配凑”形式, 充分利用已
知条件. 当出现分式和的形式时, 一般构造分式分母和作为

华南师范大学计算机学院、软件学院学年评优细则（2012年修订）第一章总则第一条为了规范学年评优和奖学金的发放，调动广大学生成才发展的积极性，促进学风建设，根据《华南师范大学全日制本科学生学年评优奖励方法》，制定本细则。

第二条学年评优每年进行一次。

其中：第一、二、三学年的评优活动在每年的九月份进行，第四学年的评优活动在每年三月份进行。

第三条实行精神奖励和物质奖励相结合的办法。

评奖的对象为上一学年度在学习、工作等方面取得显著成绩的全日制本科学生（学院国防生及国家奖学金获得者不适用于本条例）。

第四条学生在学年评优中应当坚持正当竞争，实事求是，遵守诚信原则，不得弄虚作假，不得为自己或者他人谋取不正当的权益。

第二章学年评优种类的设定第五条学年评优设立如下个人奖：（一）优秀学生标兵奖，评一等奖学金；（二）优秀学生和优秀学生干部奖，评二等奖学金；（三）单项积极分子将，包括：学习积极分子、科研积极分子、社会工作积极分子、文娱活动积极分子、体育活动积极分子、社团活动积极分子、社会实践活动积极分子，评三等奖学金；第六条先进个人评选的比例控制在年级或专业学生总人数的25％以内。

其中：（一）优秀学生标兵奖控制在年级或专业学生总人数的2％以内；（二）优秀学生和优秀学生干部奖的总数控制在年级或专业学生总人数的10％以内；（三）单项积极分子奖总数控制在年级或专业总人数的13％以内。

第七条第一至三学年度的先进个人奖学金按照如下标准发放：（一）一等奖学金，计算机学院的获得者按2000元的标准发放，软件学院的获得者按4000元的标准发放；（二）二等奖学金，计算机学院的获得者按1000元的标准发放，软件学院的获得者按2000元的标准发放；（三）三等奖学金，计算机学院的获得者按500元的标准发放，软件学院的获得者按1000元的标准发放；第四学年度的先进个人的奖学金按上述标准的50%发放。

第三章学年评优的条件第八条有下列情形之一者，不得评选为优秀学生标兵、优秀学生和优秀学生干部：（一）有违反四项基本原则的言论或行为者；（二）在素质测评、评优、各种形式的考试、申报奖助学金中违反诚信原则、弄虚作假者，或者为自己及他人谋取不正当利益者；（三）受过学校、院系通报批评或处分以及公安机关处罚者；（四）有旷课记录达三次以上者；（五）在宿舍管理中有违规记录者；（六）不参加体育达标测试或者体育达标测试不达标者，但残疾人以及因身体有病经批准不参加达标测试者例外；（七）有重修课程者。