绝密★考试结束前
2010年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数学（理科）
本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分（共50分）
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。 参考公式
如果事件,A B 互斥 ，那么
()()()P A B P A P B +=+
如果事件,A B 相互独立，那么
()()()P A B P A P B ?=?
如果事件A 在一次试验中发生的概率为P ,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率
()(1)
(0,1,2,...,)k k n k
n n
P k C p p k n -=-=
台体的体积公式
11221
()3
V h S S S S =+
其中1S ,2S 分别表示台体的上、下面积，h 表示台体的高
柱体体积公式V Sh =
其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体
的高
锥体的体积公式1
3
V Sh =
其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式
24S R π=
球的体积公式
34
3
V R π=
其中R 表示球的半径
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
1．设}4|{},4|{2
<=<=x x Q x x P
（A ）Q P ? （B ）P Q ?
（C ）Q C P R ?
（D ）P C Q R ?
2．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为 （A ）?4>k （B ）?5>k
（C ）?6>k
（D ）?7>k
3．设n S 为等比数列}{n a 的前n 项和，0852=+a a ，则=2
5
S S （A ）11 （B ）5
（C ）-8
（D ）-11
4．设2
0π
< （A ）充分而不必不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 5．对任意复数i R y x yi x z ),,(∈+=为虚数单位，则下列结论正确的是 （A ）y z z 2||=- （B ）2 2 2 y x z += （C ）x z z 2||≥- （D ）||||||y x z +≤ 6．设m l ,是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 （A ）若αα⊥?⊥l m m l 则,, （B ）若αα⊥⊥m m l l 则,//, （C ）若m l m l //,,//则αα? （D ）若m l m l //,//,//则αα 7．若实数y x ,满足不等式组?? ? ??≥+-≤--≥-+,01,032,033my x y x y x 且y x +的最大值为9，则实数=m （A ）-2 （B ）-1 （C ）1 （D ）2 8．设F 1，F 2分别为双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的左、右焦点。若在双曲线右支上存在点P ，满足 ||||212F F PF =，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲的渐近线方程为 （A ）043=±y x （B ）053=±y x （C ）034=±y x （D ）045=±y x 9．设函数x x x f -+=)12sin(4)(，则在下列区间中函数)(x f 不．存在零点的是 （A ）[-4，-2] （B ）[-2，0] （C ）[0，2] （D ）[2，4] 10．设函数的集合}1,0,1;1,2 1,0,31 |)(log )({2-=-=++==b a b a x x f P ，平面上点的集合 }1,0,1;1,2 1 ,0,21|),{(-=-==y x y x Q ，则在同一直角坐标系中，P 中函数)(x f 的图象恰好．． 经过Q 中两个点的函数的个数是 （A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）10 非选择题部分（共100分） 注意事项： 1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。 2.在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。 11．函数x x x f 2sin 22)4 2sin()(-- =π 的最小正周期是 。 12．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积 是 cm 3. 13．设抛物线)0(22 >=p px y 的焦点为F ，点)2,0(A 。若线段FA 的 中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为 。 14．设n n x x N n n )31 3()212(,,2+-+∈≥=n n x a x a x a a K +++2210，将)0(n k a k ≤≤的最小值记为n T ， 则K K ,,,3 1 21,0,3121,055543332n T T T T T -==-==其=n T 。 15．设d a ,1为实数，首项为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足01565=+S S 则 d 的取值范围是 。 16．已知平面向量),0(,ββ≠≠a a a 满足 a a -=ββ与且,1的夹角为120°则a 的取值范围是 。 17．有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶” 五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复，若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶，其余项目上、下午都各测试一人，则不同的安排方式共有种 （用数字作答）。 三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18．（本题满分14分）在ABC ?中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知.4 1 2cos -=C （I ）求C sin 的值； （II ）当a=2，C A sin sin 2=时，求b 及c 的长. 19．（本题满分14分）如图，一个小球从M 处投入，通过管道自上面下落到A 或B 或C ，已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的。 某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A ，B ，C ，则分别设为1，2，3等奖. （I ）已知获得1，2，3等奖的折扣率分别为50%，70%，90%，记随机变量ξ为获得)3,2,1(=k k 等奖 的折扣率，求随机变量ξ的分布列及数学期望.ξE （II ）若有3人次（投入1球为1人次）参加促销活动，记随机变量η为获得1等奖或2等奖的人次， 求P （2=η）. 20．（本题满分15分）如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在线段AB ，AD 上，AE=EB=AF= .43 2 =FD 沿直线EF 将AEF ?翻折成,'EF A ?使平面⊥EF A '平面BEF. （I ）求二面角C FD A --'的余弦值； （II ）点M ，N 分别在线段FD ，BC 上， 若沿直线MN 将四边形MNCD 向上翻折， 使C 与'A 重合，求线段FM 的长. 21．（本题满分15分）已知1>m ，直线,02:2 =--m my x l 椭圆21222,,1:F F y m x C =+ 分别为椭圆C 的左、右焦点. （I ）当直线l 过右焦点F 2时，求直线l 的方程； （II ）设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，21F AF ?，21F BF ?的重心分别为G ，H.若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围. 22．（本题满分14分）已知a 是给定的实常数， 设函数,,)()()(2R b e b x a x x f x ∈+-=a x =是)(x f 的一个极大值点. （I ）求b 的取值范围; （II ）设321,,x x x 是)(x f 的3个极值点，问是否存在实数b ，可找到R x ∈4，使得4321,,,x x x x 的某 种排列432,,,i i i i x x x x （其中}4,3,2,1{},,,{4321=i i i i ）依次成等 差数列？若存在，示所有的b 及相应的;4x 若不存在，说明理由. 2010年浙江高考数学（理科）试题参考答案 一．选择题. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D B D B C C A B 二．填空题． 11. π 12．144 13324 14．0, 11 ,23n n ?? ?-??当为偶数时当为奇数时 15．2222d d =-≥或 16．23 (0,3 17．264 三、解答题. 18．本题主要考查三角交换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力。14分。 （Ⅰ）解：因为2 1 cos 212sin 4 C C =-=- ，及0C π<< 所以10sin .4 C = （Ⅱ）解：当2,2sin sin a A C ==时，由正弦定理 sin sin a c A C =，得 4.c = 由2 1cos 22cos 1,4 C C =-=-及0C π<<得6cos 4 C =± 由余弦定理222 2cos c a b ab C =+-，得2 6120b b ± -= 解得626b =或6,26 4 4.b b c c ??==????==???? 或 19．本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望、二项分布等概念，同时考查抽象概括、 运算求解能力和应用意识。满分14分。 （Ⅰ）解：由题意得ξ的分布列为 ξ 50% 70% 90% P 316 38 7 16 则3373 50%70%90%.168164 E ξ=?+?+?= （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，获得1等奖或2等奖的概率为339.16816 += 由题意得9(3,)16B η-，则22 1991701(2)()(1).16164096 P C η==-= 20．本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向中量的应用，同时考查空间想象 能力和运算求解能力。满分15分。 方法一： （Ⅰ）解：取线段EF 的中点H ，连结A H ' 因为A E A F ''=及H 是EF 的中点，所以A H EF '⊥ 又因为平面A EF '⊥平面BEF ，及A H '?平面.A EF ' 所以A H '⊥平面BEF 。 如图建立空间直角坐标系.A xyz - 则(2,2,22),(10,8,0),(4,0,0),(10,0,0).A C F D ' 故 (2,2,22),(6,0,0)FN FD =-=u u u r u u u r 设(,,)n x y z =r 为平面A FD '的一个法向量 所以22220 60 x y z x ?-++=??=??，取2,(0,2,2)z n ==-r 则 又平面BEF 的一个法向量(0,0,1)m =u r ，故3 cos ,|||| n m n m n m ?<>==?r u r r u r r u r 所以二面角的余弦值为 3 3 （Ⅱ）解：设￡?(4,0,0)FM x M x =+则 因为翻折后，C 与A 重合，所以CM=A M ' 故222222 (6)80(2)2(22)x x -++=--++，得214 x = 经检验，此时点N 在线段BG 上，所以21.4 FM = 方法二： （Ⅰ）解：取截段EF 的中点H ，AF 的中点G ，连结A G '，NH ，GH 因为A E A F ''=及H 是EF 的中点，所以A 'H//EF 。 又因为平面A 'EF ⊥平面BEF ，所以A 'H`⊥平面BEF ， 又AF ?平面BEF ，故A H AF '⊥， 又因为G ，H 是AF ，EF 的中点， 易知GH//AB ，所以GH AF ⊥， 于是AF ⊥面A 'GH 所以A GH '∠为二面角A '—DF —C 的平面角， 在Rt A GH '?中，22,2,23A H GH A G ''=== 所以3cos 3A GH '∠= 故二面角A '—DF —C 的余弦值为33 。 （Ⅱ）解：设FM x =， 因为翻折后，G 与A '重合，所以CM A M '⊥， 而2 2 2 2 2 8(6)CM DC DM x =+=+- 222222222(22)(2)2A M A H MH A H MG GH x '''=+=++-+++，得21 4 x = 经检验，此时点N 在线段BC 上，所以21.4 FM = 21．本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆，点与圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基 本思想方法和综合解题能力。满分15分 （Ⅰ）解：因为直线2:02m l x my --=经过2 2(1,0)F m -，所以2221,22 m m m -==得 又因为 1.m >所以 2.m = 故直线l 的方程为210.x -= （Ⅱ）解：设1122(,),(,)A x y B x y ， 由2 222,21 m x my x y m ?=+????+=??消去x 得：22 2104m y my +++= 则由2 2 28(1)804 m m m ?=--=-+>，知28m < 且有212121 ,.282 m m y y y y +=-= - 由于12(,0),(,0)F c F c -故O 为F 1F 2的中点， 由2,2AG GO BH HO ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，可知2112 (,),(,)3333 x y y x G H 22 2 1212()()||.99 x x y y GH --=+ 设M 是GH 的中点，则1212 ( ,)66 x x y y M ++ 由题意可知，2||||MO GH < 好22 2212121212()()4[()()]6699 x x y y x x y y ++--+<+ 即12120.x x y y +< 而2212121212()()22 m m x x y y my my y y +=+ ++22 1(1)(),82m m =+- 所以 21 0.82 m -<即2 4.m < 又因为10.m >?>且所以1 2.m <<所以m 的取值范围是（1，2）。 22．本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用及等差数列基础知识，同时考查推理论证能 力，分类讨论等综合解题能力和创新意识，满分14分。 （Ⅰ）解：22 ()()[(3)2]f x c x a x a b x b ab a '=-+-++-- 令2 ()(3)2g x x a b x b ab a =+-++-- 则2 2 (3)4(2)(1)80.a b b ab a a b ?=-+---=+-+> 于是可设12,x x 是()0g x =的两实根，且12,x x （1）当12x a x a ==或时，则x a =不是()f x 的极值点，此时不合题意 （2）当12x a x a ≠≠且时，由于x a =是()f x 的极大值点， 故12.x a x <<即()0g a < 即2 (3)20a a b a b ab a +-++--<，所以b a <- 所以b 的取值范围是（-∞，a -） （Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，假设存了b 及b x 满足题意，则 （1）当21x a a x -=-时，则424122x x a x x a =-=-或 于是122 3.x x a b -=+=-- 即 3.b a =-- 此时24223(1)826x x a a b a b a a =-=--++-+=+ 或24123(1)82 6.x x a a b a b a a =-=--+-+=- （2）当21x a a x -≠-时，则21222()()2()x a a x a x x a -=--=-或 ①若2 2122(),2 a x x a a x x +-=-= 则 于是2123(3)(1)8 32a b a b a x x ---+-+=+= 2(1)83(3)a b a b +-+=-++ 于是913 12 a b -+-= 此时222(3)3(3)113 3.242 a x a a b a b x b a ++---+++= ==--=+ ②若1 1222(),2 a x a x x a +-=+= 则x 于是23(3)(1)8 32a b a b a x x --+--+=+= 2 (1)83(3)a b a b --+=++，于是913 12 a b -++-= 此时122(3)3(3)113 3242 a x a a b a b x b a ++---++-= ==--=+ 综上所述，存在b 满足题意 当43,26b a x a =--=±时 当4713113 ,b a x a ++=-- =+ 当4713113 ,b a a a --=-=+
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