2019厦门双十中学高三数学(理)热身试卷

2019厦门双十中学高三数学（理）热身试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分． 1．已知集合{|12},{|0},A x x B x x =-≤-<=-≥则A B 等于

A ．}01|{≤≤-x x

B ． {|21}x x -<≤-

C ．{|02}x x ≤<

D ． {|20}x x -<≤

2.等比数列{}n a 中，1

0a >，则“13a a <”是“34a a <”的

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件 3．已知两不共线向量(cos ,sin ),(cos ,sin )a b ααββ==，则下列说法错误．．的是 A.||||1a b == B. 0)()(=-⋅+b a b a C.

a 与

b 的夹角等于αβ- D.a 与b 在a b +方向上的投影相等

4．已知实数4,,9m 构成一个等比数列，则圆锥曲线2

2

1y x m

+=的离心率为 A

．

6 B

C

．6

D. 56或7

5.若右边的程序框图输出的S 是126，则条件①可为（ ） A ．5n ≤ B ．6n ≤ C ．7n ≤ D ．8n ≤

6．学校组织高一年级4个班外出春游，每个班从指定的甲、乙、丙、丁四个景区中任选一个游览，则恰有两

个班选择了甲景区的选法共有

A. 36种 B . 54 种 C. 72种 D. 108 种

7

．下列关于函数

()cos f x x

=

的描述正确的是

A ．在π(,0]2-

上递增 B ．在3(,)22

ππ上最小值为0 C. 周期为π D. 在π

(,0]2-上递减 8．如图是某几何体的三视图，其中正视图为正方形，俯视图是腰长为2的

等腰直角三角形，则该几何体的体积是 A ．

9. 定义在 R 上的函数()y f x =是减函数，且函数(2)y f x =+的图象关于点(2,0)-成中心对称，若,s t 满足

不等式组()(2)0

()0

f t f s f t s +-≤⎧⎨

-≥⎩，则当23s ≤≤时，2s t +的取值范围是

A ．[3,4] (B) [3,9] (C) [4,6] D ．[4,9]

10.如图，半径为2的⊙O 与直线MN 相切于点P ，射线PK 从PN 出发绕点P 逆时针方向旋转到PM ，旋

转过程中，PK 交⊙O 于点Q ，设POQ ∠为x ，弓 形 PmQ 的面积为()S f x =，那么()f x 的图象大致是

438

3

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分． 11．复数

2i

1i

a +-在复平面内所对应的点在虚轴上，那么实数a = . 12. 某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表。为了检验主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到84.430

202723)7102013(502

2

≈⨯⨯⨯⨯-⨯=χ，所以断定主修统计专业与性别

有关系，这种判断出错的可能性最高为 ．

13.如图，圆222

:O x y π+=内的正弦曲线sin y x =与x 轴围成的区域记为M (阴影部分)，随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率是 ．

14.对一块边长为1的正方形进行如下操作:第一 步,将它分割成3x3方格，接着用中心和四个角 的5个小正方形，构成如图①所示的几何图形，其面积1

5

9

S =

；第二步,将图①的5个小正方形中的每个小正方形都进行与第一步相同的操作,得到图②;依此类推，到第…步,所得图形的面积5()9

n n S =. 若将以上操作类比推广到棱长为1的正方体中，则

(I)当n = 1时,所得几何体的体积V 1 =______. (II)到第n 步时，所得几何体的体积V n =______. 15．已知正方形ABCD 的中心在原点，四个顶点都在函数3

()f x x bx =+图象上．若正方形ABCD 唯一确定，则实数b 的值为 ． 16.(本题满分13分)

某网站用“10分制”调查一社区人们的幸福度。现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：

（1）指出这组数据的众数和中位数；

（2）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”。求从这16人中随机选取3人，至多有1人

是“极幸福”的概率；

（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记ξ表示“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望。 17.(本题满分13分)

在ABC ∆中，c ,b ,a 分别是角A 、B 、C 的对边，且满足：A

c

A b sin 2sin 2= ．

（I ）求角C ；

（II ）求函数A B B A y sin sin 32sin sin 32

2++=的单调减区间和取值范围．

1

18.(本题满分13分)

如图，已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1，侧面BCC 1B 1⊥底面ABC. （I ）若M 、N 分别为AB 、A 1C 的中点，求证：MN//平面BCC 1B 1； （II ）若三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各棱长均为2，侧棱BB 1与底面ABC

所成的角为60°.问在线段1CC 上是否存在一点P ，使得平面ABP 与底面ABC 的所成角为0

60，若存在，求BP 的长度，若不存在，说明理由.

20.（本小题满分13分）

已知函数),1()1()(*

N n x x x f n

∈->+=在点（0,1）处的切线L 为

)(x g y =

（Ⅰ）判断函数)(x f 在),1(+∞-∈x 上的单调性；

（Ⅱ）求证：)()(x g x f ≥对任意的),1(+∞-∈x 都成立；

（Ⅲ）求证：已知*

,N n m ∈，m m m m n S +++=...21，求证：1

(1)m m n

m S +<+

21.（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换

已知()(1)a b y f x A c d ⎛⎫== ⎪⎝⎭

的图象如图经作用后变换为曲线C （如图2）

。 （I ）求矩阵A ； （II ）若矩阵2211B

-⎛⎫= ⎪⎝⎭

,求AB 的逆矩阵.

（2）（本小题满分

7分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知极点O 与原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合．点A,B 的极坐标分别为),2(π，)4

π

，

曲线C 的参数方程为2

sin 1cos x y α

αα

=⎧⎨

=+⎩（为参数）.

(Ⅰ)求AOB ∆的面积； （Ⅱ）若直线AB 与曲线C 的交点.