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数学物理方程--有限差分法

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有限元法与有限差分法的主要区别

有限元法与有限差分法的主要区别

有限元法与有限差分法的主要区别有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。

该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。

有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。

该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。

对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。

从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。

考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。

目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。

差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。

构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。

其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。

通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。

有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。

采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。

有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。

在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。

三类典型的数学物理方程

三类典型的数学物理方程
内容回顾
数学物理方程的建立过程
确定所研究的物理量 用数学中的“微元法”从所研究的系统中分割出
一小部分，再根据相应的物理规律分析邻近部分 与该部分的作用（抓主要作用），这种相互作用 在一个短的时间间隔内如何影响物理量。 把这种关系用微分方程表达出来，经过化简整理， 得到数学物理方程。
杆的纵振动方程 杆上x点在t时刻 F(x,t) 的弹性应力 x 研究对象：杆上各点的纵向位移 u(x,t)
得到
uxx u 2u u
utt a2[u 2u u ]
将上面两式代入原波动方程，得到
u 0
如何处理？
考虑采用积分的方法
先对 积分 u u d 0 f ( )
再对 积分
u f ( )d f1( ) f2 () f1(x at) f2(x at)（2）
即为齐次波动方程初值问题的通解 就某一具体问题，通过定解条件（初始条件）来 确定 f1 , f2
例：长为l 的均质细杆，侧面绝热，一端放在0°的水中，
另一端按已知规律 f (t) 变化。写出边界条件
物体边界面各点在时刻t所流过的热量已知：
u n
s
质温度已知，物体内部通过其边界S与 周围介质进行热量交换：
在S上任取一小块dS,用u1表示与物体接触处的介质温度，dQ 表示dt时间内流过dS的热量，根据牛顿冷却定律，我们有
弦的端点沿垂直于x轴的方向自由滑动，并受到一个 沿位移方向作用的已知外力，则边界条件形式为
ux (0,t) 1(t), ux (a,t) 2(t)
自由端点的情形：
1.2 初始条件与边界条件
第三类边界条件 给出所研究的物理量及其沿边界外法向导数 在边界上应满足的条件。
端点处为弹性支撑端的情形 根据Hooke 定律

有限差分法求解拉普拉斯方程

有限差分法求解拉普拉斯方程

收稿日期:2009-09-01第一作者简介:贾新民(1956-),男,四川邻水人,新疆昌吉学院计算机工程系,副教授,研究方向:计算机程序设计及其语言教学和理论物理研究。

有限差分法求解拉普拉斯方程贾新民1　严文2(1.昌吉学院计算机工程系新疆昌吉831100;2.昌吉学院物理系　新疆昌吉831100)摘　要:以极板上具有半圆截面沟槽的电容器内的电势分布为例,介绍了综合应用计算机软件利用有限差分法求解复杂边界的拉普拉斯方程数值解的方法。

并利用数值解的结果讨论了沟槽表面的电场分布和电荷分布。

关键词:拉普拉斯方程;有限差分法;五点差分格式中图分类号:O411.2 文献标识码:A 文章编号:1671-6469(2009)05-0105-051　引言无源空间的引力场、静电场、稳定的温度分布等问题都满足拉普拉斯(Laplace )方程 2u (x ,y ,z )=0(1)但由于方程(1)是偏微分方程,只有在问题具有高度对称的情况下,才能求出解析解,而这种情形是极少的。

有些情形看上去很简单,但却求不出解析解。

对于这些情况,只能寻求数值解。

2　计算机数值解法方案文献[1][2][3]给出了拉普拉斯方程数值解的方法———有限差分法。

有限差分法的思想是用差分Δu (x +Δx,y )Δx ,Δu (x ,y +Δy )Δy 代替导数5u 5x ,5u 5y,用网格将求解区域覆盖,对于平面拉普拉斯方程,第i 行第j 列小格的电势由Laplace 方程的五点差分格式给出。

u ij =14(u ij -1+u ij +1+u i -1j +u i +1j )(2)考虑图1所示的具有半圆形截面的槽的电容器内部的电势和电场分布。

为了能够对坑(槽)内部的电场进行比较细致的观察,应该将半径R 取的大些,为了满足无限远的条件,应该使求解区域尽量大些。

我们选Excel 为计算工具,因为Excel 具有不用编写程序和直观的优点。

Excel 的一个单元格代表求解区域的一个网格,单元格的值表示该网格处的电势。

有限差分法求解偏微分方程

有限差分法求解偏微分方程

有限差分法求解偏微分方程摘要：本文主要使用有限差分法求解计算力学中的系统数学模型，推导了有限差分法的理论基础，并在此基础上给出了部分有限差分法求解偏微分方程的算例验证了推导的正确性及操作可行性。

关键词：计算力学，偏微分方程，有限差分法Abstract：This dissertation mainly focuses on solving the mathematic model of computation mechanics with finite-difference method. The theoretical basis of finite-difference is derived in the second part of the dissertation, and then I use MATLAB to program the algorithms to solve some partial differential equations to confirm the correctness of the derivation and the feasibility of the method.Key words：Computation Mechanics, Partial Differential Equations, Finite-Difference Method1 引言机械系统设计常常需要从力学观点进行结构设计以及结构分析，而这些分析的前提就是建立工程问题的数学模型。

通过对机械系统应用自然的基本定律和原理得到带有相关边界条件和初始条件的微分积分方程，这些微分积分方程构成了系统的数学模型。

求解这些数学模型的方法大致分为解析法和数值法两种，而解析法的局限性众所周知，当系统的边界条件和受载情况复杂一点，往往求不出问题的解析解或近似解。

另一方面，计算机技术的发展使得计算更精确、更迅速。

欧拉梁方程有限差分

欧拉梁方程有限差分

欧拉梁方程有限差分欧拉梁方程是物理学和工程学中最基本的物理模型之一，可以用来解释许多现象，比如传播、振动、热传导等等。

这一方程也是日常生活中最普遍的物理模型，比如人们会在摆动秋千或滑板时用到它。

欧拉梁方程有限差分法是一种用来求解欧拉梁方程的数值求解方法，它利用近似的微分方程来把欧拉梁方程的复杂的数学模型简化成数值的形式。

有限差分法是一种有效的、简单的和快速的数值求解方法，它可以在不花费太多时间和金钱的情况下解决复杂的算法问题。

欧拉梁方程的有限差分法主要由以下几个步骤组成：首先，将欧拉梁方程写成一个多元微分方程；然后，采用有限差分法将其转化成离散形式；最后，利用特定的算法解决离散形式的多元微分方程。

这样，就可以得到所有欧拉梁方程的解，而不需要计算原始的欧拉梁方程。

有限差分法的优势在于可以快速准确的解决欧拉梁方程，而且也可以用于计算实际问题。

有限差分法可以给出精确度较高的结果，而且它可以在不耗费太多计算时间的情况下解决绝大部分欧拉梁方程问题。

有限差分法也可以用来求解不可解析的方程，这样可以节省大量的计算时间。

有限差分法对于计算欧拉梁方程提供了一种简单高效的方法，可以用来解决复杂的物理模型问题。

它的算法简单，执行效率高，准确度高，可以用来求解任何复杂的欧拉梁方程问题。

有限差分法的应用还可以延伸到物理学和力学的其他领域，例如地质动力学、流体力学等。

总之，欧拉梁方程有限差分法是一种使用近似的微分方程来求解欧拉梁方程的数值求解方法，可以用来解决欧拉梁方程以及其他物理模型的问题，这种方法具有简单高效、计算时间少、准确等特点，也可以用来求解不可解析的方程，因此有限差分法对于计算欧拉梁方程具有重要的应用价值。

《油藏数值模拟》差分方程

《油藏数值模拟》差分方程

二、差商
2、二阶差商
Pi+1
=
Pi
+
ΔxP' (
xi
)+
( Δx )2 2!
P'' (
xi
)+
( Δx )3 3!
P''' (
xi
)+
( Δx )4 4!
P( 4 )(
xi
)+⋅⋅⋅
Pi−1
=
Pi
− ΔxP' (
xi
)+
( Δx )2 2!
P'' (
xi
) − ( Δx )3 3!
P''' (
xi
)+
中国石油大学（北京）油藏数值模拟研究中心
第2节 有限差分法
一、网格系统
1、全局正交网格(Globally Orthogonal Grid)
全局正交网格单元的外边界通常和坐标轴平行，而在外边界处，为 了顺应边界的复杂形状，即可以对边界形状进行微弱的扭曲，也可以用 台阶来近似。
一维网格
一维径向 网格
中国石油大学（北京）油藏数值模拟研究中心
i-1
i
i+1
x0
xi-Δx
xi
xi+Δx
xN+1 x
中国石油大学（北京）油藏数值模拟研究中心
第2节 有限差分法
二、差商
1、一阶差商
∂P
如图, 将P(x)在x点微商 ∂x xi ,表示为离散
Pi-1
Pi
Pi+1
x
i-1 i i+1
点上P(i=1,…,n)的线性函数。首先把 Pi+1 = P ( xi+1 ) 展开成x点泰勒级数:

数学物理方程现代数值方法阅读笔记

《数学物理方程现代数值方法》阅读笔记1. 数学物理方程概述数学物理方程是描述自然现象和物理过程的基础工具，它们揭示了物理世界中各种量之间的内在联系和变化规律。

随着科学技术的发展，数值计算方法在解决数学物理方程中的应用越来越广泛。

本章节将介绍数学物理方程的基本概念、分类以及在现代数值方法领域的重要性。

数学物理方程是描述物理现象中各个量之间关系的数学表达式。

根据其性质和特点，可分为微分方程、偏微分方程、积分方程等。

这些方程不仅在数学领域有着重要的应用价值，还在物理、工程、医学等领域发挥着重要作用。

数学物理方程来源于实际生活中的物理问题，通过对物理现象进行数学建模，将实际问题转化为数学形式，从而通过数学手段求解。

这些方程反映了自然界中的基本规律和现象，是科学研究的重要工具。

随着科学技术的进步，越来越多的实际问题需要通过数值计算来解决。

数值方法作为一种有效的求解数学物理方程的手段，具有广泛的应用价值。

通过数值方法，可以求解复杂的偏微分方程、积分方程等，从而揭示物理现象的本质和规律。

微分方程描述的是未知函数与其导数之间的关系，在物理学中，许多动态问题都可以通过微分方程来描述，如力学、电磁学、热力学等。

偏微分方程描述的是未知函数及其导数之间的关系，常出现在物理学中的场论问题中，如波动、扩散、热传导等。

积分方程通过积分形式描述未知函数与其他函数之间的关系，在物理学中，积分方程常应用于描述守恒定律、边界问题等。

本章节介绍了数学物理方程的基本概念、分类以及在现代数值方法领域的重要性。

数学物理方程作为描述自然现象和物理过程的基础工具，具有重要的应用价值。

随着科学技术的发展，数值计算方法在解决数学物理方程中的应用越来越广泛。

随着计算机技术的不断进步，数值方法将在数学物理方程的求解中发挥更加重要的作用。

1.1 定义与分类数学物理方程是数学与物理学紧密结合的产物，它们描述了物理学中各种现象的数学模型。

这类方程通常用于求解各种实际问题，如流体力学、热传导、电磁学等。

铁木辛柯梁四阶偏微分方程有限差分解

铁木辛柯梁四阶偏微分方程有限差分解全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：铁木辛柯梁四阶偏微分方程有限差分解铁木辛柯梁四阶偏微分方程是一种常见的工程数学问题，其求解方法之一是利用有限差分法进行数值模拟。

本文将介绍铁木辛柯梁四阶偏微分方程的定义和性质，以及如何利用有限差分法对其进行数值解析。

铁木辛柯梁四阶偏微分方程是描述弹性梁振动问题的一类方程，在工程力学和结构分析中有广泛的应用。

其一般形式可以表示为：\frac{\partial^4 u}{\partial x^4} = f(x)u是梁的位移函数，x是空间变量，f(x)是外力项。

铁木辛柯梁四阶偏微分方程的解代表了梁在给定外力作用下的变形情况。

1. 线性性质：方程是线性的，即其解满足叠加原理，可以分解为若干个简单形式的解的线性组合。

2. 边界条件：通常需要给定边界条件才能获得唯一解，例如位移和受力边界条件。

3. 初值条件：梁振动问题通常需要给定初值条件，如初始位移和速度，才能解得全体解。

4. 解的存在性和唯一性：在适当的边界条件和初始条件下，铁木辛柯梁四阶偏微分方程存在唯一解。

有限差分法是一种常用的数值计算方法，用来近似求解微分方程。

通过在区域内采用离散的网格点，将微分方程的微分算子用有限差分算子替代，从而将微分方程转化为代数方程组，再通过数值求解方法得到近似解。

对于铁木辛柯梁四阶偏微分方程，可以将其进行空间离散化，假设空间区域用n个网格点离散化为\Delta x的格点间隔，即x_i=i\Delta x，i=0,1,...,n。

然后利用中心差分法对微分算子进行离散化，即：\frac{\partial^4 u}{\partial x^4} \approx \frac{u_{i-2} - 4u_{i-1} + 6u_i - 4u_{i+1} + u_{i+2}}{\Delta x^4}将原方程代入离散化的微分算子，得到差分方程：通过整理可得：根据给定的边界条件和初始条件，可以通过迭代计算在网格点处的位移值u_i，从而得到铁木辛柯梁四阶偏微分方程的数值解。

偏微分方程的数值解法

偏微分方程的数值解法偏微分方程（Partial Differential Equation, PDE）是数学和物理学中的重要概念，广泛应用于工程、科学和其他领域。

在很多情况下，准确解析解并不容易获得，因此需要利用数值方法求解偏微分方程。

本文将介绍几种常用的数值解法。

1. 有限差分法（Finite Difference Method）有限差分法是最常见和经典的数值解法之一。

基本思想是将偏微分方程在求解域上进行离散化，然后用差分近似代替微分运算。

通过求解差分方程组得到数值解。

有限差分法适用于边界条件简单且求解域规则的问题。

2. 有限元法（Finite Element Method）有限元法是适用于不规则边界条件和求解域的数值解法。

将求解域划分为多个小区域，并在每个小区域内选择适当的形状函数。

通过将整个域看作这些小区域的组合来逼近原始方程，从而得到一个线性代数方程组。

有限元法具有较高的灵活性和适用性。

3. 有限体积法（Finite Volume Method）有限体积法是一种较新的数值解法，特别适用于物理量守恒问题。

它通过将求解域划分为多个控制体积，并在每个体积内计算守恒量的通量，来建立离散的方程。

通过求解这个方程组得到数值解。

有限体积法在处理守恒律方程和非结构化网格上有很大优势。

4. 局部网格法（Local Grid Method）局部网格法是一种多尺度分析方法，适用于具有高频振荡解的偏微分方程。

它将计算域划分为全局细网格和局部粗网格。

在全局细网格上进行计算，并在局部粗网格上进行局部评估。

通过对不同尺度的解进行耦合，得到更精确的数值解。

5. 谱方法（Spectral Method）谱方法是一种基于傅里叶级数展开的高精度数值解法。

通过选择适当的基函数来近似求解函数，将偏微分方程转化为代数方程。

谱方法在处理平滑解和周期性边界条件的问题上表现出色，但对于非平滑解和不连续解的情况可能会遇到困难。

6. 迭代法（Iterative Method）迭代法是一种通过多次迭代来逐步逼近精确解的求解方法。

数学物理方程的求解方法

数学物理方程的求解方法在科学研究中，数学和物理都是不可缺少的学科，而将两者结合起来就形成了数学物理。

作为学科之间的交叉领域，数学物理的基础是方程求解。

本文将针对数学物理方程的求解方法进行exploratory talk。

一、常用数学物理方程要想掌握数学物理方程的求解方法，首先需要了解一些常用的数学物理方程。

以下是一些常用的数学物理方程：1. 微分方程：微分方程是描述变化规律的方程，可以用来描述上升和下降、加速度和速度等一系列现象。

2. 偏微分方程：偏微分方程是微分方程的一种，其中的未知函数是多元函数，其导数包括关于每个自变量的偏导数，被用来描述通常情况下与时间、空间、速度、温度等有关的形式变化。

3. 波动方程：波动方程是一种偏微分方程，被广泛用于描述波的传播。

其中，狭义的波动方程只适用于自由波，而广义的波动方程适用于各种波。

4. 热传递方程：热传递方程是一种偏微分方程，用于描述有热流的温度变化，并且它在实际应用中是非常重要的。

5. 瞬态流体力学方程：瞬态流体力学方程是一类偏微分方程，用于描述粘度、密度、流速和不稳定性等参数随时间变化的流体。

它们将被用于未来的空气动力学和工程流体力学应用中。

二、解析法解析法是指使用数学分析手段来求解数学物理方程的方法。

这是最基础的方法，因为它在整个数学物理领域中得到了广泛的应用。

然而，在实际应用中，使用解析法求解方程往往困难重重，因为存在着许多难以求解的非线性方程、奇异点和复杂模型等等。

因此，在现代科技中，解析法几乎被机器计算所取代。

三、数值方法数值方法是一种更加普遍的数学物理方程求解方法。

事实上，对于绝大多数实际问题，无论是科学中的还是工程中的，都需要采用数值方法来得到解。

数值方法主要包括离散化方法和连续化方法。

1. 离散化方法离散化方法是一种基本的数值方法，其基本思想是将求解区域离散，即将问题分成许多小问题，然后通过求解小问题来得到大问题的解。

离散化方法主要包括：（1）有限差分法：有限差分法是数值求解偏微分方程的一种方法，通过简单的代数运算，将偏微分方程转化为代数方程。

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数学物理方法课程报告 题 目：声波有限差分法数值模拟

学生姓名：xxx 学 号：xxx 学 院：地球科学与技术学院 专业班级：xxxx 教 师：xxx

2016年 4月12日 声波有限差分法数值模拟 Xxx （地球科学与技术学院研15级 学号：xxx） 摘要：数值模拟是最常用的正演模拟的方法。它通过给出的结构模型和物理参数，模

拟地震波的传播轨迹，了解其规律以及过程，然后通过计算来推断观测点的地震记录。根据求解方法，地震波方程数值解法可分为有限元法、伪谱法、有限差分法。根据本门课程的要求，并且有限差分法具有内存占用较小，精度较高等优点，本文主要采用这种方

法进行模拟。 关键词：数值模拟，声波，有限差分

正文 1、 引言 在勘探过程中，数值模拟的作用很大。例如：1、采集上，可用于设计或者优化野外观测系统；2、处理上，可以通过数值模拟来检验是否采用了正确的反演方法。将正演反演不断的逼近，从而使结果更加准确；3、解释上，还可以检测一下解释的资料是否正确。 而有限差分法是数值模拟最常用的方法，本文利用有限差分法，通过对声波进行正演模拟，来了解其在地下的传播规律及特点。

2、 二维各向同性介质声波方程数值模拟 使用规则网格差分对二阶方程进行求解。 具体过程：

在x方向上，关于0x对称分布的2N个网格节点的坐标分别为xqxN0，

xqxN10，……，xqx10，xqx10，……xqxN10，xqxN0。其 中，x表示节点间的最小间距；iq表示任意正整数。2N个网格节点所对应的函 数值已知，分别为xqxfN0，xqxfN10，……，xqxf10， xqxf10……，xqxfN10，xqxfN0。利用Taylor级数展开求解 xf在点0x处的一阶导数近似值。

120220220100!21!21NiNNiiiixqOxfxqNxfxqxfxqxfxqxf 120220220100!21!21NiNNiiiixqOxfxqNxfxqxfxqxfxqxf 其中，i=1,2，…，N 将上述两式相加，省略式中的误差项，得到

022044022000!21!41!21221xfxqNxfxqxfxqxqxfxfxqxfNNiiiii (1)

将相减后得到的式子整理成矩阵形式，有









xqxfxfxqxfxqxfxfxqxfxqxfxfxqxfxxfxNxfxxfqqqqqqqqqNNNNNNNNNN00020020100102022204202242224222214121222

21

!21!4

1

!21





 (2)

为了简化矩阵，可以记作 

NNNNNNqqqqqqqqqA242

224222

214121



，xqxfxfxqxfxqxfxfxqxfxqxfxfxqxfxDNN0002002010010222221

同时，构造两个简单矩阵，辅助计算

NNI111整理的， 1001NE

假设存在1A，使得IAA1，也可得IAATT1；即TA1为TA的逆，得到 IAATT1。式子两边右乘向量E就可得

EEAATT1 (3) 由式（2）可得 DAExfT10221 (4) 同时，假设 TNTTcccCEA,,,211 （5）

将NcccC,,,21带入式（4），得

xqxfxfxqxfcxxfnnNnn000120222121 （6） 整理得 xqxfxqxfcxfcxfxnnNnn00100022 可结合式（3）和式（5），可得到矩阵计算式： 00121222214424122221NNNNNNNcccqqqqqqqqq （7）

Niicc102 当iq的值确定后，可根据式（7）来求解nc的值，从而计算出01xf的值。 利用式（7）可以求得对称任意节点间距的一阶导数差分系数。其中，当iq取值为 ),2,1(Nnn,则式（7）可表示为

00121212121222444222NNNNcccNNN （8） 此时，所求得的Nncn,,2,1就是等节点间距的一阶导数的规则网格不同差分精度的差分系数（表1所示）。

表1 二阶导数规则网格各阶精度的差分系数 2L 0c 1c 2c 3c 4c 5c 6c

2 -2.00000 1.00000

4 -2.50000 1.33333 -8.33333E-2 6 -2.72222 1.50000 -1.50000E-1 1.11111E-2 8 -2.84722 1.60000 -2.00000E-1 2.53968E-2 -1.78571E-3 10 -2.92722 1.66667 -2.38095E-1 3.96825E-2 -4.96032E-3 3.17460E-4 12 -2.98278 1.71429 -2.67857E-1 5.29101E-2 -8.92857E-3 1.03896E-3 -6.01251E-5

二维声波方程的形式可表示为： 22222

2

21zuxutuvp

（9）

时间导数采用2阶，空间导数采用2N阶近似，即 )(2)(222ttututtutut

xnxuxnxucxucxxuxNnn

0010002

22

带入式（9）中，可得到在固定网格下，差分格式为 



NnnpNnnpznzuznzuazua

z

tv

xnxuxnxuaxuaxtvttututtu102102)(2)( （10） 3、模型测试： 震源选取： 正演模拟过程中采用雷克子波作为震源子波，雷克子波的表达式为 Source (it) =((1-2π fm (t-t0)2 )e-2π fm (t-t0)2 模型建立： 建立了一个两层介质模拟，其上层纵波速度为v=2000m/s，下层纵波速度为v=3000m/s。模型大小为200×200，空间采样间隔为dx=dz=10m。采用30Hz的雷克子波作为震源子波，震源位于模型(70,100)处，时间采样间隔为1ms。

结果分析：

it=50 it=100 it=150

it=200 it=250 it=300

it=350 it=400 图2 不同时刻波场快照 图中可以看出，在未遇到界面前，地震波在均匀介质中的波前面一个圆。当遇到地层界面之后，在界面处发生了反射、透射和折射现象。沿测线方向的地震记录如图2所示。记录中存在两条直线状的同相轴和两条近似双曲线的同相轴。由于直达波的时距曲线是直线，因此两条直线同相轴对应直达波；由于反射波的时距曲线是近似双曲线，因此近似双曲线同相轴对应的是反射波。 参考文献 [1] 刘庆敏，高阶差分数值模拟方法研究与应用，中国石油大学（华东）硕士论文，2004年9月 [2] 孙成禹、李振春，地震波动力学基础，石油工业出版社，2011年4月 [3] 王元名，数学物理方程与特殊函数，高等教育出版社，2012年12月