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对数查表方法

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查表、内插法

1.对数表

把一些正整数或有限小数的对数近似值制成一个对照表, 依据这个表

再配合对数运算律, 我们就可估计所有正实数的对数值.

2. 常用对数

以10为底数的对数, 我们称它为常用对数, 并且用log 来代替log10.

自然对数

以无理数e = 2.71828„的对数, 我们称它为自然对数.

3. 对数查表法则

(1) 设1x<10, 且x含小数点以下二位数字 ( 如：x = 8.72, x = 4.52 ),

则可由对数表查出log x, 其法如下：

例：log 8.72 = .

解：利用对数表中, 从最左一行 ( 直行 ) N底下找出87 ( 代表8.7 ),

其次在最上面一列 ( 横列 ) N的右侧找到2, 然后在87之横列

与2的直行交会处找到一数9405 ( 代表0.9405 ), 则log 8.72 = 0.9405.

N

01234

56789 表尾差

123456789

55

87

|

|

|

–––––––9405––––––––

————————–

|

|

|

——————3

(2)表尾差：若1 x <10, x含小数三位数字

( 如：x = 8.726, x = 4.237 ),

则如下表之求法.

例：log 8.726 = .

解：(i) 先查出前三个数字8.72的对数值 log

8.72 = 0.9405.

(ii) 在87的横列与表尾差数字6的直行交会处找到数字3,

log 8.726 = 0.9405 + 0.0003 = 0.9408

例1.

(1) 利用对数表, 求log 8.83的值.

(2) 利用对数表, 求 ( 8.72 )11.2的近似值. 96.5

例2.

(1) 利用对数表, 求5375.8587.2375.9. 9.856

(2) 利用对数表计算

( 4.32 )2( 125.2 )232)51.31(之值. 29330

类题.

请用对数表, 求15346.1的近似值到小数点下二位. ( 四舍五入 ) 1.02

乙 .首数与尾数

1. 科学记号：

每一个正实数a都可以写成 a = b‧10n 其中 n Z, 1 b < 10,

则称 b‧10n为a的科学记号.

2. 首数、尾数：

设 a = b‧10n log a = n + log b, ( nZ,

0 log b < 1 ).

我们称 ” 整数n ”为log a的首数, “

log b ”为log a的尾数.

尾数相同的条件：

设x > 0, y > 0,

log x 与log y的尾数相等  x = y‧10n( nZ).

3. 首数性质：

(1) 对数 = 首数 + 尾数 ( 首数是整数, 0

尾数 < 1 ).

(2) 真数 a  1,

log a的首数为n ( n log a < n + 1)

 a的整数部分为 n + 1位数.

(3) 真数 a < 1 ( 0 < a < 1 )

log a的首数为 – n ( - n log a < -

n + 1 )

 a在小数点后第n位数字始不为0.

例3.

利用对数表, 求log 543.7及log 0.000123的值.

2.7354, 4.0899

类题.

利用对数表, 求log3208000及log00123.0的值. 4.841,2.5449

例4.

已知 log x = 4.7835, 求x的近似值. 60740

类题.

已知 log x = -2.7073, 求x的近似值.

0.001962.

例5.

已知 log 1965 = 3.2931, 则

(1) log 19.65 = . 1.2931

(2) log 0.00001965 = . –4.7069

(3) 若log x = 5.2931, 则x = . 196500

(4) log y = -2.7069, 则 y = .

0.001965

类题.

已知 log 199 = 2.2989, log x = -2 + 0.2989, 求

x = . 0.0199

例6.

试问：

(1) 340是几位数？

20

(2) (73)20在小数点后第几位开始出现不为0的数字？ 8

( log 3 = 0.4771, log 7 = 0.8451 )

类题.

(1) 230是几位数？ 10

(2) (21)30在小数点后第几位数始不为0？

10

例7.

(1) 设 log a = 4.531, 试求 log a 的首数和尾数, a的整数部分是几位数？

4, 0.531, 5

(2) 设 log b = 4.531, 试求 log b 的首数和尾数, b在小数点后第几位始

出现不为0的数字？ -4, 0.531, 4

(3) 求下列对数的首数

(a) log 3652.78 (b) log 7.29 (c) log

0.007 3, 0, -3

例8.

已知 log 2 = 0.3010, log 3 = 0.4771, log 7 =

0.8451：求 3100为 位数,

且其最高位( 首位 )数字为 . 48, 5

类题.

271005200的整数部分为 位数, 且最高位数字为 . 4, 2

例9.

设47100为168位数时, 则4717为 位数.

29

类题. 若7100为85位数, 11100为105位数, 则7730为

位数. 57

例10.

已知 log 2 = 0.3010, log 3 = 0.4771, log 7 =

0.8451, 将 (76)50表为纯小数时,

从小数点后第n位起开始出现不为0的数字, 令此数字为,

则(1) n = , (2) = . 4, 4

类题.

已知 log 2 = 0.3010, log 3 = 0.4771, log 7 =

0.8451, 试问65)108(7的近似值在

小数点后第 位才出现不为0的数字, 且该数字为 . 13, 9

例11.

(1) 设10 < x < 100, 又log x2与 logx1之尾数相等, 试求x. 1034, 1035

(2) A, B为三位数, 而B > 900, 若B之常用对数尾数2倍于A之常用对数

之尾数, 则A = . 310

类题.

(1) 已知 0.1 < x < 1, 若 log x3与 logx1之尾数相等, 试求x. 1041, 1021, 1043

(2) 设A, BN, 且200 < A < 300, B为四位数,

若log A的尾数是log B尾数的

两倍, 则A, B各为多少？ 225, 1500,

256, 1600, 289, 1700

例12.

已知 log 2 = 0.30103, log 3 = 0.47712,

(1) 比较2106与366的大小. 2106 > 366 (2) 2106+366为几位数？ 33

应用问题

例13.

假设定期存款的年利率为6 %, 复利计息. 李先生存进10000元言明定期5年,

求期满后的本利和. 13460

类题.

设年利率为12.5%, 若依复利计算, 则至少要

年( 取整数年数 ), 本利和才

会超过本金的2倍. 6

丙 .内插法

原理：

实数 x 的微小变量, 跟其所对应的对数 y

的变量近似值成比例.

1. 作法：

abafbf)()( = axafxf)()(

表尾差查不到时, 再用内插法直接计算.

例14.

查对数表知：log 1.346 = 0.1290, log 1.347 =

0.1294, 那么log 1.3467该是多少？

0.12928

类题.

用内插法 log 7.4142的值. 0.87002

例15.

(1)

已知 log 728 = 2.8621, log 0.0729 = -1.1373,

则 log 728300 = . 5.8623

(2) 设106776.0= 4.76, 106785.2= 477且10x= 4766,

则x之近似值为 . 3.6781

( 用四舍五入求进似值到小数点第四位

)

类题.

(1)由 log 72800 = 4.8621, log 0.000729 = -3.1373,

求出log 7283 = .

3.8623

(2)log 1.35 = 0.1303, log 1.34 = 0.1271, 则log 1346

= . 3.1290 (请用内插法计算)

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指数函数与对数函数的误差分析与优化

指数函数与对数函数的误差分析与优化

指数函数与对数函数的误差分析与优化

指数函数和对数函数是数学中的重要概念，它们在各个领域都有广泛的应用。在实际问题中，我们经常会遇到需要使用指数函数和对数函数来描述和优化某些现象或过程的情况。然而，由于计算机的不精确性和计算限制，我们在使用指数函数和对数函数进行计算时可能会遇到一些误差。本文将对指数函数和对数函数的误差进行分析，并提出一些优化方法。

1. 指数函数的误差分析

指数函数的一般形式为f(x) = a^x，其中a为底数。在实际计算中，我们常常使用自然对数的底数e来表示指数函数，即f(x) = e^x。

然而，由于计算机表示实数的精度限制，我们无法精确地表示和计算无限个小数位的e。这就导致了在计算指数函数时可能会出现误差。例如，当我们计算e^x时，如果x的值较大或较小，那么在计算过程中可能会丢失一些小数位，从而导致结果的精度下降。

为了减小指数函数的误差，我们可以考虑使用级数展开来逼近指数函数的计算。例如，根据泰勒展开，可以将e^x展开为以下形式：

e^x ≈ 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...

通过截断级数展开，我们可以得到一个近似的计算结果，使得误差得到一定程度的控制。同时，还可以使用数值方法，如龙贝格积分、数值微分等，来进一步提高指数函数的计算精度。

2. 对数函数的误差分析 对数函数的一般形式为f(x) = log_a(x)，其中a为底数。在实际计算中，我们常使用自然对数的底数e来表示对数函数。

与指数函数类似，对数函数的计算也会受到计算机表示实数精度的限制。特别地，当计算的结果非常接近1时，对数函数的误差会更加显著。这是因为对于接近1的数值，计算机无法精确地表示非常小的小数位，从而导致对数函数的计算结果的精度下降。

为了减小对数函数的误差，我们可以考虑使用级数展开的方法来逼近对数函数的计算。例如，根据泰勒展开，可以将ln(x)展开为以下形式：

ln(x) ≈ (x-1) - (x-1)^2/2 + (x-1)^3/3 - (x-1)^4/4 + ...

对数的运算教学讲义

对数的运算教学讲义

对数的运算教学讲义

必备知识·探新知

基础知识

知识点1 对数的运算性质

条件 a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0

性质 loga(MN)＝__logaM＋logaN__

logaMN＝__logaM－logaN__

logaMn＝__nlogaM__(n∈R)

思考1：在积的对数运算性质中，三项的乘积式loga(MNQ)是否适用？你能得到一个怎样的结论？

提示：适用，loga(MNQ)＝logaM＋logaN＋logaQ，积的对数运算性质可以推广到真数是n个正数的乘积．

知识点2

换底公式

若a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1，则有logab＝__logcblogca__.

思考2：(1)对数的换底公式用常用对数、自然对数表示什么形式？

(2)你能用换底公式和对数的运算性质推导出结论logNnMm＝mnlogNM吗？

提示：(1)logab＝lgblga，logab＝lnblna.

(2)logNnMm＝lgMmlgNn＝mlgMnlgN＝mn·lgMlgN＝mnlogNM.

基础自测

1．若a>0，a≠1，x>0，y>0，x>y，下列式子中正确的个数是( A )

①logax·logay＝loga(x＋y)；

②logax－logay＝loga(x－y)；

③logaxy＝logax÷logay；

④loga(xy)＝logax·logay.

A．0 B．1

C．2 D．3

[解析] 由对数运算法则知，均不正确．故选A．

2．log62＋log63等于( A )

A．1 B．2

C．5 D．6

[解析] log62＋log63＝log6(2×3)＝log66＝1.

3．(2020·天津和平区高一期中测试)计算：log25·log32·log59＝__2__.

[解析] 原式＝lg5lg2·lg2lg3·lg9lg5

＝lg5lg2·lg2lg3·2lg3lg5＝2.

轻松编制实用的自然对数表

轻松编制实用的自然对数表

轻松编制实用的自然对数表

在电子计算机普及的今天，对数表已经完成了它的历史使命，光荣下岗了。以前人们使用的对数表，基本都是以10为底数的常用对数表，这是因为全世界普遍采用10进制，用以10为底数的常用对数表更方便一些。尽管常用对数表编制计算时工作量繁多，但编成后可以一劳永逸，与为后世使用者带来的便利相比不足介意。编制的工作量终归是有限的，而对数表的使用却是无限的。

最近在网上读到了百度百科的“自然对数”条目，对于对数表有了进一步的理解，明白了就对数表的编制过程来说，自然对数表的编制要比原先预想的容易的多。这里不妨以1.0001做底数来做讨论。当以1.0001为底数时，

对数1的真数就是1.0001；

对数2的真数就是1.0001的2次方，即1.00020001；

对数3的真数就是1.0001的3次方，即1.000300030001；

对数4的真数就是1.0001的4次方，即1.0004000600040001；

......

这样可以不断计算下去，只要不断把上次的结果再乘以1.0001即可。虽说起来是乘法，实际做的只是加法，列算式也是列加法算式，即加上前一个数的1/10000，也就是把前一个数往后错4位再加上。

这样算出来的真数值，理论上都是精确值。我们只要根据需要截取相应的有效位数即可。

计算到对数23027时，真数值为9.99999780，已非常接近10，而对数23028的真数值是10.0009978，已经超过了10。进一步可算出真数10的精确对数值是23027.0022....在精确度要求不超过6位时，10的对数可以用23027。制表的计算到这里就可以结束了。对数值从1---23027.0022，对应的真数值是从1.0001到10。更大或更小的数字，在用科学计数法表示后，都可以在此表内查到。

编制这样一份对数表，主要的计算工作量是23028次加法，这样的加法，单人一天可以做几百次，一个人只要几十天就可以全部完成。

正态分布的概念及表和查表方法

正态分布的概念及表和查表方法

正态分布（Normal distribution），也称“常态分布”，又名高斯分布（Gaussian

distribution），最早由A·棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。P·S·拉普拉斯和高斯研究了它的性质。是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。

正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。

若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ =

0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。

中文名

正态分布

外文名 normal distribution

发现者 棣莫弗

所属学科 概率论

又 名 高斯分布 应用领域 数学、物理及工程等领域

目录

1 历史发展

2 定理

3 定义

▪ 一维正态分布

▪ 标准正态分布

4 性质

5 分布曲线

▪ 图形特征

▪ 参数含义 6 研究过程

7 曲线应用

▪ 综述

▪ 频数分布

▪ 综合素质研究

▪ 医学参考值

历史发展

正态分布概念是由德国的数学家和天文学家Moivre于1733年首次提出的，但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学家研究，故正态分布又叫高斯分布，高斯这项工作对后世的影响极大，他使正态分布同时有了“高斯分布”的名称，后世之所以多将最小二乘法的发明权归之于他，也是出于这一工作。但现今德国10马克的印有高斯头像的钞票，其上还印有正态分布的密度曲线。这传达了一种想法：在高斯的一切科学贡献中，其对人类文明影响最大者，就是这一项。在高斯刚作出这个发现之初，也许人们还只能从其理论的简化上来评价其优越性，其全部影响还不能充分看出来。这要到20世纪正态小样本理论充分发展起来以后。拉普拉斯很快得知高斯的工作，并马上将其与他发现的中心极限定理联系起来，为此，他在即将发表的一篇文章（发表于1810年）上加上了一点补充，指出如若误差可看成许多量的叠加，根据他的中心极限定理，误差理应有高斯分布。这是历史上第一次提到所谓“元误差学说”——误差是由大量的、由种种原因产生的元误差叠加而成。后来到1837年，海根（）在一篇论文中正式提出了这个学说。