2007年高考数学试题分类详解--导数

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1、（浙江理8）设()fx是函数()fx的导函数，将()yfx和()yfx的图象画在同一个直角坐标系中，

不可能正确的是（ ）

【答案】：D

【分析】：检验易知A、B、C均适合，D中不管哪个为()fx均不成立。

2、（海、宁理10）曲线12exy在点2(4e)，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）

Ａ．29e2 Ｂ．24e Ｃ．22e Ｄ．2e

【答案】：D

【分析】：11221(),2xxyee曲线在点2(4e)，处的切线斜率为212e，因此切线方程

为221(4),2yeex则切线与坐标轴交点为2(2,0),(0,),ABe所以：

221||2.2AOBSee

3、（海、宁文10）曲线xye在点2(2)e，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）

Ａ．294e Ｂ．22e Ｃ．2e Ｄ．22e

【答案】：D

【分析】：(),xxyee曲线在点2(2)e，处的切线斜率为2e，因此切线方程

为22(2),yeex则切线与坐标轴交点为2(1,0),(0,),ABe所以：

2211.22AOBeSe

4、（辽宁理12）已知()fx与()gx是定义在R上的连续函数，如果()fx与()gx仅当0xy

x O y

x O y

x O y

x O

A． B． C． D． 中学学科网学科精品系列资料 上中学学科网，下精品学科资料

中学学科网学科精品系列资料 版权所有@中学学科网 时的函数值为0，且()()fxgx≥，那么下列情形不可能．．．出现的是（ ）

A．0是()fx的极大值，也是()gx的极大值

B．0是()fx的极小值，也是()gx的极小值

C．0是()fx的极大值，但不是()gx的极值

D．0是()fx的极小值，但不是()gx的极值

解析：根据题意和图形知当0是()fx的极大值时，不是()gx的极值是不可能的，选C

5、（陕西理11）f(x)是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf‘(x)+f(x)≤0,对任意正数a、b,若a＜b，则必有

A.af(b) ≤bf(a) B.bf(a) ≤af(b)

C.af(a) ≤f(b) D.bf(b) ≤f(a)

解析：设F（x）=xxf)(，则0)()()(2''xxfxxfxF，故F（x）=xxf)(为减函数，由a＜b有)()()()(abfbafbbfaaf，选A

6、（全国1 文11）曲线313yxx在点4(1,)3处的切线与坐标轴围成的三角形面积为

A．19 B．29 C．13 D．23

解．曲线313yxx在点4(1,)3处的切线方程是42(1)3yx，它与坐标轴的交点是(31，0)，(0，－32)，围成的三角形面积为19，选A。

7、（全国2理8）已知曲线23ln4xyx的一条切线的斜率为12,则切点的横坐标为

(A)3 (B) 2 (C) 1 (D) 12

解．已知曲线23ln4xyx的一条切线的斜率为12，13'2yxx=21，解得x=3或x=－2，由选择项知，只能选A。

8、（全国2文8）已知曲线24xy的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

解．已知曲线24xy的一条切线的斜率为12，1'2yx=21，∴ x=1，则切点的横坐标为1， 中学学科网学科精品系列资料 上中学学科网，下精品学科资料

中学学科网学科精品系列资料 版权所有@中学学科网 选A。

9、（江苏9）已知二次函数2()fxaxbxc的导数为'()fx，'(0)0f，对于任意实数x都有()0fx，则(1)'(0)ff的最小值为（C）

A．3 B．52 C．2 D．32

解析：0(0)f' 2)('bbaxxf对于任意实数x都有()0fx得04b 04b 022cacaca 211121)0(')1(bacbcabcbaff

当取a=c时取等号。 选C

10、（福建文理11）已知对任意实数x有f(－x)=－f(x)，g(-x)=g(x)，且x>0时，f’(x)>0，g’(x)>0，则x<0时

A f’(x)>0，g’(x)>0 B f’(x)>0，g’(x)<0

C f’(x)<0，g’(x)>0 D f’(x)<0，g’(x)<0

解析：由已知f(x)为奇函数,图像关于原点对称,在对称区间的单调性相同;g(x)为偶函数,在对称区间的单调性相反, x>0时f’’(x)>0,g’ (x) >0,递增,当x<0时, f(x) 递增, f ’(x)>0; g(x)递减, g’(x)<0,选B

11、（江西理11）设函数()fx是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线()yfx在5x处的切线的斜率为（ ）

Ａ．15 Ｂ．0 Ｃ．15 Ｄ．5

解析：因为()fx是R可导偶函数，所以()fx的图象关于y轴对称，所以()fx在x=0处取得极值，即0)0('f，又()fx的周期为5，所以0)5('f，即曲线()yfx在5x处的切线的斜率0，选B

二、填空题

1、(浙江文15)曲线32242yxxx在点(1，一3)处的切线方程是___________

【答案】： 520xy

【分析】：易判断点(1，-3)在曲线32242yxxx上，故切线的斜率'211|344|5xxkyxx，∴切线方程为351yx，即520xy

2、（辽宁理13）已知函数2cos(0)()1(0)axxfxxx≥，在点0x处连续，则a ． 中学学科网学科精品系列资料 上中学学科网，下精品学科资料

中学学科网学科精品系列资料 版权所有@中学学科网 解析：因为2cos(0)()1(0)axxfxxx≥，在点0x处连续，所以1)0()(lim)(lim00afxfxfxx，填-1

3、（广东文12）函数f(x)=xlnx(x>0)的单调递增区间是 ．

【解析】由()ln10fxx可得1xe,答案:1(,)e.

4、（北京文9）()fx是31()213fxxx的导函数，则(1)f的值是

．

解析：()fx是31()213fxxx的导函数，2'()2fxx，则(1)f=3．

5、（湖南理13）函数3()12fxxx在区间[33]，上的最小值是 ．

【答案】–16

【解析】2()12302,fxxx检验

(2)16,(3)9,ff min()(2)16.fxf

6、（湖北文13）已知函数)(xfy的图象在M（1，f（1））处的切线方程是xy21+2，＝)1()1(ff

答案：3

解析：由已知切点在切线上，所以f（1）=25221，切点处的导数为切线斜率，所以21)1(＝f，所以＝)1()1(ff3

三、解答题

1、（安徽理18）设a≥0，f (x)=x－1－ln2 x＋2a ln x（x>0）.

（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），讨论F（x）在（0.＋∞）内的单调性并求极值；

（Ⅱ）求证：当x>1时，恒有x>ln2x－2a ln x＋1.

本小题主要考查函数导数的概念与计算，利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方法，考查综合运用有关知识解决问题的能力．本小题满分14分．

（Ⅰ）解：根据求导法则有2ln2()10xafxxxx，，

故()()2ln20Fxxfxxxax，，

于是22()10xFxxxx，， 中学学科网学科精品系列资料 上中学学科网，下精品学科资料

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x (02)， 2 (2)，∞

()Fx  0 

()Fx  极小值(2)F 

故知()Fx在(02)，内是减函数，在(2)，∞内是增函数，所以，在2x处取得极小值(2)22ln22Fa．

（Ⅱ）证明：由0a≥知，()Fx的极小值(2)22ln220Fa．

于是由上表知，对一切(0)x，∞，恒有()()0Fxxfx．

从而当0x时，恒有()0fx，故()fx在(0)，∞内单调增加．

所以当1x时，()(1)0fxf，即21ln2ln0xxax．

故当1x时，恒有2ln2ln1xxax．

2、(安徽文20)设函数f（x）=-cos2x-4tsin2xcos2x+4t2+t2-3t+4,x∈R,其中t≤1，将f(x)的最小值记为g(t).

(Ⅰ)求g(t)的表达式；

(Ⅱ)诗论g(t)在区间（-1,1）内的单调性并求极值.

本小题主要考查同角三角函数的基本关系，倍角的正弦公式，正弦函数的值域，多项式函数的导数，函数的单调性，考查应用导数分析解决多项式函数的单调区间，极值与最值等问题的综合能力．

解：（I）我们有

232()cos4sincos43422xxfxxtttt

222sin12sin434xtttt

223sin2sin433xtxttt

23(sin)433xttt．