2019版高考数学大一轮复习第二章函数、导数及其应用第9讲对数与对数函数优选学案

第9讲 对数与对数函数

考纲要求

考情分析

命题趋势

1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．

2．理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,10，12的对数函数的图象．

3．体会对数函数是一类重要的函数模型．

4．了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a>0，且a≠1). 2017·全国卷Ⅱ，8

2017·北京卷，8

2016·全国卷Ⅰ，8

2016·浙江卷，5

2015·四川卷，4 1.对数式的化简与求值，考查对数的运算法则．

2．对数函数图象与性质的应用，多考查对数函数的定义域、值域、单调性，难度不大．

3．指数函数、对数函数的综合问题，考查反函数的应用，与指数函数、对数函数有关的方程、不等式、恒成立问题，综合性强，难度稍大. 分值：5～7分

1．对数的概念

(1)对数的定义

如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作__x＝logaN__，其中__a__叫做对数的底数，__N__叫做真数．

(2)几种常见对数

对数形式 特点 记法

一般对数 底数为a(a>0，且a≠1) __logaN__

常用对数 底数为__10__ __lg_N__

自然对数 底数为__e__ __ln_N__

2．对数的性质与运算法则 (1)对数的性质

①alogaN＝__N__；②logaaN＝__N__(a>0，且a≠1)．

(2)对数的重要公式

①换底公式：__logbN＝logaNlogab__(a，b均大于零，且不等于1)；

②logab＝1logba，推广logab·logbc·logcd＝__logad__.

(3)对数的运算法则

如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么

①loga(MN)＝__logaM＋logaN__；

②logaMN＝__logaM－logaN__；

③logaMn＝__nlogaM__(n∈R)；

④logamMn＝__nmlogaM__(m，n∈R，且m≠0)．

3．对数函数的图象与性质

a>1 0

图象

性质 定义域为__(0，＋∞)__

值域为__R__

过点__(1,0)__，即x＝__1__时，y＝__0__

当x>1时，__y>0__；

当01时，__y<0__；

当00__

在(0，＋∞)上是__增函数__ 在(0，＋∞)上是__减函数__

y＝logax的图象与y＝log1ax(a>0，且a≠1)的图象关于x轴对称

4．指数函数与对数函数的关系

指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数__y＝logax(a>0，且a≠1)__互为反函数，它们的图象关于直线__y＝x__对称．

5．对数函数的图象与底数大小的比较

如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．

故0

1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．

(1)logax2＝2logax.( × )

(2)函数y＝log2(x＋1)是对数函数．( × )

(3)函数y＝ln1＋x1－x与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．( √ )

(4)若logam

解析 (1)错误．logax2＝2loga|x|.

(2)错误．不符合对数函数的定义．

(3)正确．函数y＝ln1＋x1－x的定义域为(－1,1)，而函数y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域亦为(－1,1)．

(4)错误．当a＞1时成立，而0＜a＜1时不成立．

2．已知x，y为正实数，则( D )

A．2lg x＋lg y＝2lg x＋2lg y B．2lg(x＋y)＝2lg x·2lg y

C．2lg x·lg y＝2lg x＋2lg y D．2lg(xy)＝2lg x·2lg y

解析 2lg(xy)＝2(lg x＋lg y)＝2lg x·2lg y．故选D．

3．如果log12x

A．y

C．1

解析 由log12xy>1.故选D．

4．函数y＝log0.54x－3的定义域为( C )

A．x x>34 B．x 34

C．x 34

解析 要使函数y＝log0.54x－3有意义，则需log0.5(4x－3)≥0，即0<4x－3≤1，解得34

5．计算：log23·log34＋(3)log34＝__4__.

解析 log23·log34＋(3)log34＝lg 3lg 2·2lg 2lg 3＋312log34＝2＋3log32＝2＋2＝4.

一 对数的运算

对数运算的一般思路

(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数的运算性质化简合并．

(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．

【例1】 (1)log232－4log23＋4＋log213＝( B )

A．2 B．2－2log23

C．－2 D．2log23－2

(2)12lg 25＋lg 2－lg0.1－log29×log32的值是__－12__.

(3)已知2x＝12，log213＝y，则x＋y的值为__2__.

(4)设2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则m＝__10__.

解析 (1)log232－4log23＋4＝log23－22＝2－log23，又log213＝－log23，两者相加即为B项．

(2)原式＝lg 5＋lg 2＋12－2＝1＋12－2＝－12.

(3)∵2x＝12，∴x＝log212，

∴x＋y＝log212＋log213＝log24＝2.

(4)∵2a＝5b＝m>0，∴a＝log2m，b＝log5m，

∴1a＋1b＝1log2m＋1log5m＝logm2＋logm5＝logm10＝2.

∴m2＝10，∴m＝10. 二 对数函数的图象及应用

在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．在研究方程的根时，可把方程的根看作两个函数图象交点的横坐标，通过研究两个函数图象得出方程根的关系．一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．

【例2】 (1)函数f(x)＝lg1|x＋1|的大致图象是( D

)

(2)若a＝2x，b＝x，c＝log12x，则“a>b>c”是“x>1”的( B )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

(3)若不等式4x2－logax<0对任意x∈0，14恒成立，则实数a的取值范围为( A )

A．1256，1 B．1256，1

C．0，1256 D．0，1256

解析 (1)f(x)＝lg1|x＋1|＝－lg|x＋1|的图象可由偶函数y＝－lg|x|的图象左移1个单位得到．由y＝－lg|x|的图象可知D项正确．

(2)如图，可知“x>1”⇒“a>b>c”，但“a>b>c”⇒/ “x>1”，即“a>b>c”是“x>1”的必要不充分条件．故选B．

(3)∵不等式4x2－logax<0对任意x∈0，14恒成立，

∴x∈0，14时，函数y＝4x2的图象在函数y＝logax的图象的下方， ∴0

三 对数函数的性质及应用

`

(1)对数值大小比较的主要方法：

①化同底数后利用函数的单调性；

②化同真数后利用图象比较；

③借用中间量(0或1等)进行估值比较．

(2)对于较复杂的不等式有解或求参数值的问题，可借助函数图象解决，具体步骤为：

①对不等式变形，使不等号两边对应两函数f(x)，g(x)；

②在同一坐标系下作出两函数y＝f(x)及y＝g(x)的图象；

③比较当x在某一范围内取值时图象的上下位置及交点的个数来确定参数的取值或解的情况．

(3)解决与对数函数有关的问题时，务必先研究函数的定义域，并注意对数底数的取值范围．

【例3】 (1)(2018·江西南康中学期中)设a＝logπ3，b＝20.3，c＝log213，则( D )

A．a>b>c B．a>c>b

C．c>a>b D．b>a>c

(2)函数f(x)＝loga(ax－3)在[1,3]上单调递增，则a的取值范围是( D )

A．(1，＋∞) B．(0,1)

C．0，13 D．(3，＋∞)

解析 (1)01，log213＝－log23<0，则b>a>c.故选D．

(2)由于a>0，且a≠1，∴u＝ax－3为增函数，∴若函数f(x)为增函数，则f(x)＝logau必为增函数，因此a>1.又u＝ax－3在[1,3]上恒为正，∴a－3>0，即a>3.

1．下列四个命题：

①∃x0∈(0，＋∞)，12x0<13x0；

②∃x0∈(0,1)，log12x0>log13x0；