高一数学函数的单调性2

大成教育

滨湖区课外辅导教育专家

大德 大智 大成 高中数学必修一函数——单调性

考纲解读： 了解单调函数及单调区间的意义，掌握判断函数单调性的方法；掌握增，减函数

的意义，理解函数单调函数的性质。

能力解读：函数单调性的判断和函数单调性的应用。利用函数单调性判断方法来判断函数的

单调性，利用函数的单调性求解函数的最值问题。掌握并熟悉抽象函数以及符合函数的单调

性判断方法。

知识要点：

1．函数单调性的定义，

2．证明函数单调性；

3．求函数的单调区间

4．利用函数单调性解决一些问题；

5．抽象函数与函数单调性结合运用

一、单调性的定义

（1）设函数)(xfy的定义域为A，区间AI

如果对于区间I内的任意两个值

1x，

2x，当

21xx时，都有)()(

21xfxf，那么就说

)(xfy在区间I上是单调增函数，I称为)(xfy的单调增区间

如果对于区间I内的任意两个值

1x，

2x，当

21xx时，都有)()(

21xfxf，那么就说

)(xfy在区间I上是单调减函数，I称为)(xfy的单调减区间

（2）设函数)(xfy的定义域为A

如果存在定值Ax

0，使得对于任意Ax，有)()(

0xfxf恒成立，那么称)(

0xf为

)(xfy的最大值；

如果存在定值Ax

0，使得对于任意Ax，有)()(

0xfxf恒成立，那么称)(

0xf为

)(xfy的最小值。

二、函数单调性的证明

重点：函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须

先求函数的定义域；

（1）定义法求单调性

函数单调性定义中的1x，2x有三个特征：一是任意性；二是大小，即

)(

2121xxxx；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可；

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定义法判断单调性：如果用定义证明)(xfy在某区间I上的单

调性，那么就要用严格的四个步骤，即①取值；②作差；③判号（关键化成因式的乘积）；④

《函数的单调性》教学设计

一、教学内容解析

1. 教材内容及地位

本节课是人教版版《数学》(必修1)第二章第3节函数单调性的第一课时，

主要学习用符号语言(不等式)刻画函数的变化趋势(上升或下降)及简单应用.

它是学习函数概念后研究的第一个、也是最基本的一个性质，为后继学习奠

定了理性思维基础.如研究幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的性质，包

括导函数内容等；在对函数定性分析、求最值和极值、比较大小、解不等式、函

数零点的判定以及与其他知识的综合问题上都有重要的应用.因此，它是高中数

学核心知识之一，是函数教学的战略要地.

2. 教学重点

函数单调性的概念，判断和证明简单函数的单调性.

3. 教学难点

函数单调性概念的生成，证明单调性的代数推理论证.

二、学生学情分析

1. 教学有利因素

学生在初中阶段，通过学习一次函数、二次函数和反比例函数，已经对函数

的单调性有了“形”的直观认识，了解用“V 随X的增大而增大(减小)”描述

函数图象的上升(下降)的趋势.亳州一中实验班的学生基础较好，数学思维活

跃，具备一定的观察、辨析、抽象概括和归纳类比等学习能力.

2. 教学不利因素

本节课的最大障碍是如何用数学符号刻画一种运动变化的现象，从直观到抽

象、从有限到无限是个很大的跨度.而高一学生的思维正处在从经验型向理论型 跨越的阶段，逻辑思维水平不高，抽象概括能力不强.另外，他们的代数推理论

证能力非常薄弱.这些都容易产生思维障碍.

三 、课堂教学目标

1.理解函数单调性的相关概念.掌握证明简单函数单调性的方法.

2.通过实例让学生亲历函数单调性从直观感受、定性描述到定量刻画的自

然跨越，体会数形结合、分类讨论和类比等思想方法.

3.通过探究函数单调性，让学生感悟从具体到抽象、从特殊到一般、从局

部到整体、从有限到无限、从感性到理性的认知过程，体验数学的理性精神和力

芯衣州星海市涌泉学校师范大学附属中学高一数学教案：函数的单调性1

观察函数的图像：〔当x增加的时候，y的变化怎样？〕

函数2yx的图像在y轴右侧的部分是上升的，说明什么？〔随着x的增加，y值在增加〕，3yx又怎样？

知识要点：

1、 设函数y=f(x)的定义域为A，区间AI,假设对于区间I内的任意两个值21,xx,

当时，都有那么称y=f(x)在上是单调增函数，I称为函数y=f(x)的

假设对于区间I内的任意两个值21,xx,当时，都有那么称y=f(x)在上是单调减函数，I称为函数y=f(x)的

单调增区间和单调减区间统称为

在单调区间上增函数的图像是上升的，减函数的图像是下降的。

说明：〔1〕函数的单调性是在函数的定义域或者者其子区间上的性质；

〔2〕函数的单调性是对某个区间而言的，在某一点上不存在单调性；

〔3〕函数单调性的定义中，实际上含有两层意思：

①对于任意的1x，2xM，假设12xx，有12()()fxfx，那么称()fx在M上是增函数；

②假设()fx在M上是增函数，那么当12xx时，就有12()()fxfx．

2、常见函数的单调性：①bkxy ②xky

③cbxaxy2

3、函数的单调性的断定方法有、、

二、例题分析：

例1、画出以下函数的图象，并写出单调区间：

〔1〕22xy〔2〕)0(,1xxy〔3〕xxxf11)(

例2、求证：函数11)(xxf在区间)0,(上是单调增函数

注：断定或者者证明函数在某个区间上的单调性的方法步骤：

①取值：在给定区间上任取两个值1x，2x，且12xx；

②作差变形：作差12()()fxfx，通过因式分解、配方、分母有理化等方法变形；

③定号：判断上述差12()()fxfx的符号，假设不能确定，那么可分区间讨论；

④结论：根据差的符号，得出单调性的结论。

练习：p37，1，2，，5，6，7

高一函数的单调性知识点

函数的单调性是数学中的一个重要概念，它描述了函数在定义域上的增减情况。了解函数的单调性有助于我们更好地理解和运用函数，下面就是关于高一函数的单调性知识点的详细介绍。

一、函数的递增和递减区间

在讨论函数的单调性时，首先需要了解函数的递增和递减区间。我们将函数在定义域上递增（或递减）的部分称为函数的递增（或递减）区间。

1. 函数的递增区间

对于函数 f(x)，如果对于任意两个 x1 和 x2（x1 < x2），都有 f(x1)

< f(x2)，那么 f(x) 在 [x1, x2] 上递增。我们可以通过求函数的导数来确定函数的递增区间。

2. 函数的递减区间

对于函数 f(x)，如果对于任意两个 x1 和 x2（x1 < x2），都有 f(x1) >

f(x2)，那么 f(x) 在 [x1, x2] 上递减。同样地，我们可以通过求函数的导数来确定函数的递减区间。

二、函数单调性的判定

在大部分情况下，我们可以通过函数的导数来判定函数的单调性。具体而言，可以根据函数导数的正负性来确定函数的单调性。

1. 函数导数的正负性 如果函数 f(x) 的导数在某个区间内恒大于 0，则 f(x) 在该区间上递增；如果导数恒小于 0，则 f(x) 在该区间上递减。通过求导数，我们可以得到函数的递增区间和递减区间。

2. 临界点和极值点

函数的单调性与其临界点和极值点也有密切关系。在函数的临界点和极值点处，其单调性会发生改变。

- 临界点：函数 f(x) 在定义域上的某个点 x=c 处，如果 f'(c)=0 或者

f'(c) 不存在，那么点 c 称为函数的临界点。在临界点之间，函数的单调性可能会改变。

- 极值点：函数 f(x) 在定义域上的某个点 x=c 处，如果存在一个邻域，使得对于临界点 x 不等于 c，在该邻域内 f(c) 是 f(x) 的最大值或最小值，那么点 c 称为函数的极值点。极大值对应递减区间，极小值对应递增区间。