一、教学目标： 1 •知识与技能
掌握有限个函数的和、差、积、 商的求导公式；熟练运用公式求基本初等函数的四则运算的 导数，能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。 2. 过程与方法
通过用定义法求函数 f ( x ) =X+X 2
的导数，观察结果，发掘两个函数的和、差求导方法，给
2
结合定义给出证明；由定义法求 f(x)=x g(x)的导数，发现函数乘积的导数，归纳出两个函 数积、商的求导发则。 3. 情感、态度与价值观
培养学生由特别到一般的思维方法去探索结论， 培养学生实验一一观察一一归纳一一抽象的
数学思维方法。
_ 、 教学重点： 函数和、差、积、商导数公式的发掘与应
用
教学难点: 导数四则运算法则的证明
三
、 教学方法： 探析归纳，讲练结合 四
、
教学过程
(- 」)、复
习：
导函数的概念和导数公式表。 1•导数的定义：设函数 y =f(x)在X =X o 处附近有定义，如果 x — 0时，诃与的比
-工(也叫函数的平均变化率)有极限即
卫无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做
x
x
2.导数的几何意义：是曲线 y 二f (x)上点(X o , f (X o ))处的切线的斜率+因此，如果 y = f (x)在点X o 可导，则曲线y = f (x)在点(X o , f (X o ))处的切线方程为 y - f(X o ) = f /(X o )(X -
X o ) +
3.导函数(导数)：如果函数y = f(x)在开区间(a,b)内的每点处都有导数，此时对于每一个
(a,b)，都对应着一个确定的导数 fix)，从而构成了一个新的函数 fix),称这个函
主讲：陈晓林
时间：2012-2-23
函数y = f(x)在x > x 0处的导数，记作
f(X ° X)- f(X o )
即
数f /(x)为函数y = f(x)在开区间内的导函数，简称导数, 4.求函数y 二f (x)的导数的一般方法：
(1)求函数的改变量：.y = f (x- x) - f (x)p (2)求平均变化率
(3)取极限，得导数、/ 5.常见函数的导数公式：C' = 0 ; (x n
)、nx n 」
(二) 、探析新课
两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差)
证明：令 y = f(x) =u(x)二v(x)，
二y =[u(x 二x)二 v(x 二x)] _[u(x)二 v(x)]
= [u(x 亠:x) - u(x)]二[v(x 亠、x) -v(x)] = u 二-v ，
即 [u(x) _v(x)]二 u(x)_v(x). 例1：求下列函数的导数:
(1) y =x
z
2x
；
(2) y = ：：；x Tnx ；
y =(x 2 2x ) =(x 2) (2x ) =2x • 2x |n2。
y 『 = (>/x Tn x)『=(Jx)" — (ln x)" = ^^ 。
2Jx x
F
y = (x 2
1)(x-1)】二(x 3
-x 2
x -1) = (x 3
)' -(x 2)
(x)' -(1)二 3x 2
-2x 1。
，即
[f (x) g(x)] — f (x) g (x) [f (x) -g(x)] — f (x) - g (x)
(4)
(2) 卫二卫一卫，lim 卫二
L x -x
-x
X T
_x
_-v =ljm 土 _l.im^
二 X -10 -x 0
二 x
2 2 *
知 y = f (x)g(x)二x f
(
x )在 x ° 处的导数值为 X o f (X o ) 2x ° f (X o )。
=x^ - x J x 2
= (x^)-(x A
) (X 2
)
= —2x' x ，2x = -^,
x
3
1 例2:求曲线y 上点(1 , 0)处的切线方程。
x
r
F
解牛：y = x — i=(x ) - _ i= 3x * —2 o I x) i x
丿 x
1 将x =1代入导函数得 3 1^4 o
1
3
1
即曲线y=x 3
上点(1 ,
0)处的切线斜率为4 ,从而其切线方程为
x
y 一0 =4(X -1),
即 y = 4x - 4 o
设函数y =f(x)在X o 处的导数为f (x o ) , g(x) =x 2。我们来求y = f (x)g(x) = x 2
f (x)
在X o 处的导数。
绍 (X o =X)2
f(X o =X)- f (X o )
x X
_(X 。 ：X)2[f (X o X)- f(X 。)] (X o
X)2 - X 2 f(X o ) = Z x
= (x^ x)2
f (X o X)- f (X o ) (X o
，
x)2
渔 f (X o )
令 x — o ，由于
2
二
lim
.—o
f(X o X)- f(X o )
f (X o )
lim(x o
%2
-x ：
.—o
=2X o
⑷y =
x 2
